Классификация игр

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Для правильной классификации нужно определиться сначала, определиться с понятием игры.

Игры представляют собой строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока и указания выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий.

Характеризующие признаки игры как математической модели ситуации:

· наличие нескольких участников;

· неопределенность поведения участников, связанная с наличием у каждого из них нескольких вариантов действий;

· различие (несовпадение) интересов участников;

· взаимосвязанность поведения участников, поскольку результат, получаемый каждым из них, зависит от поведения всех участников;

· наличие правил поведения, известных всем участникам.

1. Классификация

Обычно игры классифицируют следующим образом.

· По количеству игроков:

o игры одного игрока,

o игры двух игроков,

o игры n игроков.

· По количеству стратегий:

o конечные игры

o бесконечные игры.

Если у всех игроков конечное число стратеги, то такая игра конечная, иначе - игра бесконечная.

· По характеру взаимоотношений между игроками:

o бескоалиционные игры

o кооперативные игры.

Игра называется бескоалиционной, если игроки не заключают между собой никаких соглашений. Конечная бескоалиционная игра двух игроков называется биматричной игрой. В кооперативной игре игроки могут заключать соглашения с целью увеличить свои выигрыши.

· По свойствам функций выигрышей:

o непрерывные,

o выпуклые,

o сепарабельные,

o иные

Если сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю, то это - игра с нулевой суммой. Игра двух игроков c нулевой суммой называется антагонистической. В такой игре один игрок выигрывает за счет другого.

Конечная антагонистическая игра называется матричной игрой. В играх с ненулевой суммой все игроки в сумме могут получить меньше их суммарного взноса. Например, в лотерее ее организаторы всегда в выигрыше, а участники в сумме получают меньше их суммарного взноса.

· По количеству ходов:

o одноходовые,

o многоходовые.

Среди многоходовых игр выделяются позиционные игры, в которых несколько игроков последовательно делают ходы; выигрыши игроков зависят от стратегии выбора ходов (пример -- шашки, шахматы, карточные игры, игровые автоматы, динамические экономические системы и т. д.).

· По информированности игроков:

o игры с совершенной информацией,

o игры с несовершенной информацией.

В игре с совершенной информацией на каждом шаге игрокам известно, какие ходы были сделаны ранее (например, шашки и шахматы). В игре с несовершенной информацией игроки могут не знать, в какой позиции они находятся (некоторые стохастические игры, в частности, карточные игры).

К играм с несовершенной информацией сводятся игры с неполной информацией (также известные как байесовские игры). В отличие от игр с несовершенной информацией, где неполная информированность игроков возникает в процессе игры, в играх с неполной информацией неполная информированность некоторых игроков возникает еще до начала игры, как следствие ассимметричной информированности игроков.

Например, покупатель меньше знает о качестве товара, чем продавец, фирма точно не знает, какую технологию использует ее конкурент, и т. д..

Подробно рассмотрим следующие типы игр:

· Бескоалиционные игры

o олигополии

o матричные игры

o биматричные игры

· Позиционные игры

· Байесовские игры

· Кооперативные игры

2. Олигополии

Одним из основных достижений теории бескоалиционных игр в экономике является формулировка и анализ моделей олигополий. В этих моделях ограниченное число фирм соперничают на некотором рынке. Поскольку на рынке фирм немного, то они могут сами влиять на цены, что невозможно на рынках с совершенной конкуренцией.

Теория игр доказывает, что и в этом случае на рынке возможно устойчивое равновесие, если фирмы-олигополисты будут принимать свои решения, просчитывая возможные ответы конкурентов.

Самыми известными моделями олигополии являются:

· олигополии Курно (однородные продукты)

Ситуация такова, что на однопродуктовом рынке соперничают n фирм (олигополистов).

· Олигополии Бертрана (разнородные продукты)

Ситуация рассматривается в таком ключе: покупатели рассматривают продукты одинакового назначения разных фирм как разные товары. Поэтому логично считать, что на рынок каждая из фирм выходит со своим товаром, причем все эти товары взаимозаменяемы.

3. Матричные игры

Матричная игра представляет собой парную или множественную, конечную, стратегическую игру.

Описание игры включает перечень участников конфликта, задание множеств возможных действий и оценок эффективности этих действий для каждого из них. Участников конфликта принято называть игроками. Множество всех игроков обозначается N. Игроков принято различать по их номерам, т. е. N={1,2, ..., n}.

Множество возможных действий i-го игрока обозначается Si. Элементы этого множества принято называть стратегиями. Каждый игрок имеет не менее двух различных стратегий, в противном случае его действия заранее определены и фактически он не участвует в игре. В результате выбора i-м игроком стратегии складывается система стратегий (s1,s2,…,sn) = s, которая называется ситуацией. Эффективность возможных действий игроков оценивается теми выигрышами, которые игроки получают в каждой ситуации s. Выигрыш игрока i в ситуации s обычно обозначается через Hi(s). Функция Hi(s), определенная на множестве всех ситуаций, называется функцией выигрыша игрока i. Цель i-го игрока - максимизация своей функции выигрыша.

Данный способ описания игры заключается в том, что рассматриваются все возможные стратегии каждого игрока и определяются выигрыши, соответствующие любой возможной ситуации. Описанная таким образом игра называется бескоалиционной игрой n лиц в нормальной форме.

Игра называется антагонистической, если в ней участвуют два игрока и значения функций выигрыша в каждой ситуации равны по величине и противоположны по знаку.

Следовательно, для задания антагонистической игры достаточно указать функцию выигрыша только одного из игроков. Поэтому под антагонистической игрой понимается совокупность:

Г = <А, В, Н>, где

А и В -- соответственно множества стратегий игроков I и II,

Н -- функция выигрыша игрока I.

Конечная антагонистическая игра в нормальной форме называется матричной игрой. олигополия экономика кооперативный байесовский

Это название можно объяснить следующей возможностью описания игр такого рода. Поскольку множество возможных действий каждого из игроков в этом случае конечно, можно положить А = {1, 2, ..., m}, В = {1, 2,..., n}, где m и n -- соответственно число стратегий игроков I и II, а значения функции Н представить в виде следующей матрицы:

Здесь hij=H(i,j)--выигрыш игрока I в ситуации (i, j), где i -- номер строки (стратегия игрока I), j -- номер столбца (стратегия игрока II). Матрица Н называется матрицей игры или матрицей выигрышей.

Преимущество представления игры в виде матрицы заключается в хорошей наглядности. Матричные игры являются самыми простыми из класса антагонистических игр.

4. Биматричные игры

Конечная бескоалиционная игра двух игроков называется биматричной игрой. Пусть первый игрок имеет m стратегий, а второй - в n стратегий. Выигрыши первого и второго игроков задаются матрицами:

A = [aij] mЧn , B = [bij] mЧn .

Если первый игрок применяет стратегию i, а второй - стратегию j, то первый игрок выигрывает aij , а второй - bij.

То есть ситуация выигрыша одной стороны соответствует проигрышу другой стороны, но платежная матрица у каждой из сторон своя собственная.

5. Позиционные игры

Позиционные игры - это многоходовые (или динамические) бескоалиционные игры. В позиционной игре ходы делаются в логической последовательности. Каждый ход делается либо одним из игроков (личный ход), либо выбирается случайным образом (случайный ход) в соответствии с заданным распределением вероятностей.

Процесс самой игры состоит в последовательном переходе от одного состояния игры к другому состоянию, который осуществляется либо путём выбора игроками одного из возможных действий в соответствии с правилами игры, либо случайным образом (случайный ход).

В качестве примеров позиционных игр можно привести крестики-нолики, шашки, шахматы, карточные игры, домино и др.

В каждой конечной позиции игры задан вектор выигрышей игроков.

Формально, позиционная игра (точнее, конечная бескоалиционная игра в позиционной форме) представляется деревом игры T = (V, E), вершины (узлы) v ? V которого соответствуют позициям в игре, а дуги e ? E соответствуют ходам в игре. Корень дерева соответствует начальной позиции игры. Каждый узел, за исключением листьев, помечен одним из чисел 0, 1, n, указывающим номер игрока, который должен делать ход в данной позиции, 0 означает случайный ход. Дугам (v, w), выходящих из узла v с меткой 0, приписаны вероятности с(v, w) применения соответствующих им случайных ходов, P (v,w)?E(v,V ) с(v, w) = 1. Листья дерева T - это конечные позиции в игре. Каждому листу t приписан вектор (ц1(t), . . . , цn(t))T выигрышей игроков, в случае, когда игра заканчивается в данном узле. Информация в игре задается с помощью информационных множеств.

Две позиции принадлежат одному информационному множеству, если игрок, который должен делать ход в каждой из этих позиций, не может отличить одну позицию от другой. Из данного определения следует, что из всех узлов одного информационного множества выходит одинаковое число дуг.

Как правило, при задании игры ходам приписываются некоторые имена, не обязательно уникальные. Нужно понимать, что одноименные ходы во всех позициях одного информационного множества -- это один ход для игрока, который должен делать ход во всех этих по- зициях. Но одноименные ходы, которые делаются игроком в позициях разных информационных множеств, -- это различные ходы этого игрока.

6. Байесовские игры

Когда в начале игры некоторые игроки имеют ограниченную информацию о стратегиях и функциях выигрышей других игроков, то им нужно принимать решения, базируясь только на доступной информации. Такие игры называются играми с неполной информацией или Байесовскими играми.

Эти игры не следует путать с играми с несовершенной информацией, в которых неполная информированность игроков появляется в процессе игры из-за невозможности наблюдать действия других игроков или результаты случайных ходов.

7. Кооперативные игры

Большинство неантагонистических конфликтов в экономике и смежных с ней областях характеризуются тем, что их участники могут объединять свои усилия.

В бескоалиционной игре отклонение одного из игроков от ситуации равновесия не может дать ему какого-либо преимущества. Но при отклонении сразу нескольких игроков эти игроки могут получить больший выигрыш по сравнению с тем, что они имели в ситуации равновесия. При возможности кооперации возникает противоречие между устойчивостью ситуации, выраженной в виде равновесия, и ее целесообразностью, отражающей стремление игроков получить большие выигрыши. Понятно, что в теории кооперативных игр очень важно понять, как должны формироваться коалиции игроков.

Разработка модели формирования коалиций остается одной из важнейших нерешенных проблем в теории игр. Единственное, что удалось решить, это разработать методики дележа выигрыша членами сформировавшейся коалиции.

Заключение

В ходе работы дана классификация игр по различным основаниям классификации:

· По количеству игроков:

· По количеству стратегий:

· По характеру взаимоотношений между игроками:

· По свойствам функций выигрышей:

· По количеству ходов:

· По информированности игроков:

Определены различия между типами игр в каждом основании.

Более подробно рассмотрены следующие игры:

· Бескоалиционные игры

o олигополии

o матричные игры

o биматричные игры

· Позиционные игры

· Байесовские игры

· Кооперативные игры

Список использованных источников

1. Данилов В.И. Лекции по теории игр [Текст] / В.И. Данилов. - М.: Российская экономическая школа, 2002 - 163с.

2. Печерский С. Л., Беляева А.А. Теория игр для экономистов [Текст] / С.Л. Печерский. - С-Пб.: Издательство европейского университета в Санкт-Петербурге, 2001 - 342с.

3. Теория игр. Википедия [Электронный ресурс ]. Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_игр. ( Дата обращения 24.03.16)

Размещено на Allbest.ru