Динамические модели оптимального отбора инвестиционных проектов

Размещено на http://allbest.ru

Самарский государственный аэрокосмический университет им. Королева

Динамические модели оптимального отбора инвестиционных проектов

Т.А. Мошкова

Введение

В работе рассматривается задача об отборе наилучшего проекта из m взаимоисключающих альтернативных проектов, имеющих разные параметры.

Проблема отбора наилучшего инвестиционного проекта формализуется как задача оптимального управления дискретной системой Павлов О.В. Принятие инвестиционных решений на основе теории оптимального управления дискретными системами // Проблемы управления Control sciences. 2010. 4..

Для решения задачи применяется дискретный принцип максимума Понтрягина См.: Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М., 1973; Лагоша Б.А. Оптимальное управление в экономике. М., 2003..

1. Постановка динамической задачи отбора оптимального инвестиционного проекта

Динамика изменения основных средств предприятия FA_it в результате реализации i-го инвестиционного проекта описывается дискретным уравнением

FA_it+1 = FA_it + б_itINV_it, i = 1, m, t = 0, n, (1)

где б_it -- булевые переменные, принимающее значение 0 или 1;

INV_it -- потребность в финансовом ресурсе для реализации i-го проекта в периоде t; m -- количество рассматриваемых альтернативных инвестиционных проектов; n -- максимальное число из n_i; n_i -- период окончания i-го проекта.

Если финансовый ресурс INV_it инвестируется в i-й проект в периоде t, то б_it = 1, если не инвестируется, то б_it = 0.

Данное ограничение формализуется следующим образом:

б_it [0,1], i = 1, m, t = 0, n. (2)

Так как проекты взаимоисключающие, должно выполняться еще одно ограничение:

Для каждого инвестиционного проекта заданы начальные условия в период анализа проектов t = 0:

FA_i0 = 0, i = 1, m. ⁽⁴⁾

Выражение для чистого приведенного дохода предприятия в результате выбора одного из проектов запишется:

где t_0i -- период начала осуществления i-го проекта;

FCF_it -- свободный денежный поток i-го инвестиционного проекта (Free Cash Flow) в периоде t; r_i -- ставка дисконтирования для i-го проекта, учитывающая различную степень риска инвестиций.

Предполагается, что все инвестиционные проекты осуществляются за счет финансовых ресурсов предприятия. Экономическая эффективность проектов оценивается в целом, и схема финансирования не учитывается.

Рассматриваются денежные потоки от операционной (производственной) и инвестиционной деятельности См.: Бреши Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов. М., 1997; Бирман Г., Шмидт С. Капиталовложения: Экономический анализ инвестиционных проектов. М., 2003; Бригхем Ю, Гасперски Л. Финансовый менеджмент: Полный курс: в 2 т. СПб., 1998; Хелферт Э. Техника финансового анализа. СПб., 2003; Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов: Теория и практика: учеб. пособие. М., 2004..

Считается, что денежный поток, генерируемый инвестиционным проектом, имеет место в конце периода, т.е. является постнумерандо.

Свободный денежный поток i-го инвестиционного проекта FCF_it в конце периода t определяется как разница денежных потоков от операционной деятельности (Operating Cash Flow) OCF_it и инвестиционной (Investment Cash Flow) ICF_it:

FCF_it = OCF_it - ICF_it, t = t_0i, n_i. (6)

Денежный поток от операционной деятельности рассчитывается (здесь и далее предполагается t = t_0i,n_i; i = 1, m):

OCF_it = REV_it - NOC_it - PT_it, (7)

где REV_it -- выручка (Revenue) от реализации произведенной продукции i-го проекта в периоде t; NOC_it -- чистые операционные издержки (NetOperating Costs); PT_it -- налог на прибыль (Profit Tax).

Выручка i-го проекта определяется:

REV_it = P_it Q_it, (8)

где P_it -- цена продукции;

Q_it -- прогноз объема продаж продукции.

Чистые операционные издержки включают: материальные затраты (Material Costs) MC_it, заработную плату (Wages and Salary) WS_it, начисления на заработную плату (Wages Charges) WC_it, другие затраты (other cost) OC_it,:

NOC_it = MC_it+ WS_it + WC_it + OC_it. (9)

Материальные затраты i-го инвестиционного проекта рассчитываются:

MC_it = Cm_it Q_it (10)

где Cm_it -- материальные затраты на единицу продукции. Фонд заработной платы определяется:

WS_it = w_it L_it, (11)

где w_it -- средняя ставка заработной платы персонала;

L_it -- численность производственного персонала.

Численность персонала рассчитывается по формуле

где l_it -- норматив выпуска продукции средним работником за период t.

Начисления на заработную плату определяются:

WC_it = ф^w WS_it, (13)

где фw -- ставка единого социального налога.

Накладные и коммерческие затраты OC_it вычисляются следующим образом:

OC_it = w_i (MC_it + WS_it + WC_it), (14)

где w_i -- процент от затрат на материалы, зарплату, начислений на зарплату i-го проекта.

Подставим (12) в (11), а (10), (11), (13) и (14) в (9), получим формулу для чистых операционных издержек в следующем виде:

NOC_it = Q_itC_it (1 + w_i), (15)

где C_it -- себестоимость продукции (затраты на единицу продукции), рассчитывается по формуле:

Налог на прибыль вычисляется:

PT_it = ф_c(REV_it - NOC_it - DEP_it), (17)

где ф_c -- ставка налога на прибыль;

DEP_it -- амортизационные начисления (Depreciation).

Для расчета износа основных средств (внеоборотных активов) предприятия (Fixed Assets) FA_t используется метод равномерного начисления амортизации:

DEP = мFA_it, (18)

где м -- норма амортизации;

FA_it -- стоимость основных средств в i-м проекте в начале периода t.

Процесс производственной деятельности t-го проекта описывается производственной функцией Леонтьева

P_itQ_it = f_iFA_it, (19)

где P_itQ_it -- стоимость прогнозируемого объема продаж продукции (выручка) i-го проекта; f_i -- фондоотдача основных средств, характеризующая производственный процесс i-го проекта.

Подставим формулы (8), (15), (17) в выражение для денежного потока от операционной деятельности t-го инвестиционного проекта (7) и, учитывая (8), (18), (19), получим:

Выражение в скобках является рентабельностью инвестиций в форме денежного потока t-го проекта (Cash Flow Return On Investments) CFROI_it:

С учетом (19) операционный денежный поток запишется:

OCF_it = CFROI_itFA_it. (21)

Инвестиционный денежный поток ICF_it расходуется на капиталовложения INV_it в основные средства:

ICF_it = б_itINV_it. (22)

Выражение для чистого приведенного дохода предприятия (5) с учетом (6), (21) и (22) в результате выбора одного из проектов определится:

Таким образом, задача выбора оптимального инвестиционного решения из m альтернативных вариантов запишется в следующем виде:

Сформулируем задачу оптимального управления: зная начальное состояние основных средств для каждого инвестиционного проекта (28), необходимо выбрать такое допустимое управление инвестициями (26)-(27) для дискретной системы (25), чтобы чистый приведенный доход предприятия (24) принял максимальное значение.

2. Решение динамической задачи отбора инвестиционного проекта

Применим для решения задачи дискретный принцип максимума Понтрягина Болтянский В.Г. Указ. соч.; Лагоша Б.А. Указ. соч.. Запишем гамильтониан:

В соответствии с принципом максимума в каждой точке оптимальной траектории функция Гамильтона H_t достигает максимума относительно управления.

Из условия максимума гамильтониана найдем оптимальное управление в период начала осуществления i-го проекта t_0i, определяющее выбор наилучшего i-го проекта:

где значение R_it0t определяется:

Таким образом, наилучшим проектом будет проект, у которого максимальное значение R_it0t. Сопряженная система запишется:

Для сопряженных переменных на правом конце должно выполняться условие трансверсальности:

Ш_ini+1 = 0, i = 1, m. (32)

Сформулируем численный алгоритм выбора наилучшего инвестиционного решения из m взаимоисключающих альтернативных вариантов в начальный период:

1) подготавливаются исходные данные для m различных проектов: прогнозируемые цены и объем продаж продукции, удельные материальные затраты, количество и средняя зарплата сотрудников для периодов t = t_0i, n_i;

2) рассчитывается по формуле (10) себестоимость продукции C_it каждого i-го проекта для периодов t = t_0i, n_i;

3) рассчитывается по формуле (20) рентабельность инвестиций в форме денежного потока CFROI_it каждого i-го проекта, t = t_0i, n_i;

4) рассчитываются по формуле (31) сопряженные переменные Ш_it+1 для каждого i-го проекта для периодов t = n_i, t_0i;

5) вычисляются по формуле (30) значения R_itoi для каждого i-го проекта;

6) выбирается по формулам (29),(30) наилучший проект с максимальным значением R_itoi.

3. Аналитическое решение динамической задачи отбора оптимального инвестиционного проекта

Для распространенного случая, когда инвестиции осуществляются однократно, а операционные денежные потоки проектов являются постоянными, возможно аналитическое решение дискретной задачи. В этом случае из формулы (21) следует, что рентабельности инвестиций проектов постоянны CFROI_it = const. Получено аналитическое выражение для сопряженной переменной См.: Павлов О.В., Мошкова Т.А. Математические модели оптимального управления инвестициями в реальные активы // Вестн. СГАУ. 2010. 3(23).:

С учетом формулы (30) и условий однократных инвестиций в периоде начала осуществления i-го проекта t_0i значение R_itoi определится:

Учитывая, что выражение в круглых скобках в формуле (34) представляет собой приведенную стоимость аннуитета с периода t_0i по n_i (коэффициент аннуитета) B(n_i,r_i, t_0i), запишем:

рентабельность инвестиция дискретный понтрягин

Таким образом, отбор наилучшего инвестиционного проекта определяется следующими факторами: рентабельностью инвестиций CFROI_i, коэффициентом аннуитета B(n_i, r_i, t_0i), коэффициентом дисконтирования 1/(1 + r )^t_oi, объемом инвестиций INV_i0.

Максимум R_i0 достигается при максимизации произведения рентабельности инвестиций i-го проекта CFROI_i и коэффициента аннуитета B(n_i, r_i, t_0i) и объема инвестиций INV_i0.

При рассмотрении проектов, начинающихся одновременно в начальный период времени t_0i = 0, функция R_i0 будет иметь выражение:

R_it0i = [CFROI_i B(n_i, r_i) - 1]/INV_i0.(36)

Из анализа формулы (36) следует, что в случае равенства периодов окончания проектов n_i = n, рисков проектов r_i=r, объемов инвестирования проектов INV_i0 = INV₀ наилучшим будет проект с максимальной рентабельностью инвестиций CFROI_t.

При рассмотрении проектов с бесконечным горизонтом планирования функция R_i.₀ запишется:

Заключение

Проблема отбора инвестиционного проекта из нескольких альтернативных вариантов формализована как задача оптимального управления дискретной системой.

С использованием дискретного принципа максимума Понтрягина найдена структура оптимального управления. Для случая осуществления однократных инвестиций и постоянных денежных потоков проектов найдено аналитическое решение дискретной задачи.

Показано, что отбор наилучшего инвестиционного проекта определяется следующими факторами: рентабельностью инвестиций в форме денежного потока CFROI_t, коэффициентом аннуитета B(n_i, r_i, t_0i), коэффициентом дисконтирования 1/(1 + r_i)^t_0i, объемом инвестиций INV_i0 .

Размещено на Allbest.ru