Экономико-математические методы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Экономико-математические методы

Введение

Курс "Экономико-математические методы" синтетический. Он опирается на знания в области экономики, высшей математики, теории вероятностей и математической статистики.

Целью преподавания дисциплины "Экономико-математические методы" является изучение учащимися математических методов и моделей, применяемых при анализе процессов в экономических и социальных системах.

Задачей изучения дисциплины является обучение учащихся навыкам составления математических моделей практических задач с их последующим анализом.

Конкретное содержание и объём информации, охватывающей каждую тему, определяется характером будущей профессиональной деятельности студентов. В зависимости от этого определяется и круг рассматриваемых экономико-математических моделей.

Наиболее важными для экономиста являются следующие типы моделей:

ЭММ производственных функций.

ЭММ экономического равновесия.

ЭММ транспортных систем.

ЭММ управления запасами.

Сетевые модели планирования и управления.

ЭММ конфликтных ситуаций.

Модель межотраслевого баланса.

Для более глубокого понимания студентами особенностей разных классов моделей предусмотрены практические занятия по каждому типу указанных выше моделей. Каждое практическое занятие предусматривает построение ЭММ соответствующего типа на основании набора отдельных данных путём объединения их в единый информационный комплекс, соответствующий экономическому объекту по определённому параметру адекватности. Далее выполняется эконометрический анализ полученной модели. Для закрепления прочитанного материала по каждому типу моделей студенты выполняют индивидуальные задания: построение ЭММ указанного типа и проведение эконометрического анализа, что способствует развитию мышления, умения самостоятельно принимать решения.

Данное пособие представляет собой руководство по выполнению практических заданий по курсу "Экономико-математические методы". Практикум составлен в соответствии с программой для обучающихся по специальности: П.08.01.01 "Профессиональное образование" специализации П.08.01.01-08 "Экономика и управление". Пособие содержит 30 вариантов каждого индивидуального задания одинаковой степени сложности.

Весь материал разбит по темам в соответствии с учебной программой курса. Вначале некоторых тем приводятся краткие теоретические сведения. Каждая работа начинается с задания, которое одинаково для всех вариантов. В конце работы приводится образец выполнения типового варианта.

1. ЭММ производственных функций

1.1 Построение ЭММ ПФ Кобба-Дугласа. Выполнение эконометрического анализа модели

Задание.

Рассмотреть в качестве примера ЭММ фирмы производственную функцию Кобба-Дугласа

y=a0•x1a1 • x2a2, которая выражает зависимость результатов производственной деятельности у от обусловивших эти результаты показателей-факторов производства: х1-затраты труда (в чел\час),

х2-объём производственных фондов (в стоимостных единицах).

2. Выполнить эконометрический анализ полученной модели.

Найти предельную производительность труда.

Найти предельную фондоотдачу.

Найти коэффициент эластичности выпуска продукции по затратам труда а1.

Найти коэффициент эластичности выпуска продукции по объёму производственных фондов а2.

Объяснить экономический смысл коэффициентов эластичности и суммы коэффициентов эластичности выпуска по затратам.

Объяснить, за счёт чего фирме выгоднее проводить интенсификацию производства.

В-1 а0=35,44 а1=0,465 а2=0,825 \ В-2 а0=8,32 а1=0,317 а2=0,475

В-3 а0=18,26 а1=0,625 а2=0,127 \ В-4 а0=31,03 а1=0,287 а2=0,812

В-5 а0=20,37 а1=0,435 а2=0,387 \ В-6 а0=14,83 а1=0,702 а2=0,633

В-7 а0=40,09 а1=0,487 а2=0,531 \ В-8 а0=20,34 а1=0,513 а2=0,325

В-9 а0=27,49 а1=0,632 а2=0,375 \ В-10 а0=17,43 а1=0,434 а2=0,551

В-11 а0=10,15 а1=0,211 а2=0,715 \ В-12 а0=21,35 а1=0,562 а2=0,495

В-13 а0=72,15 а1=0,413 а2=0,228 \ В-14 а0=18,11 а1=0,305 а2=0,681

В-15 а0=11,17 а1=0,175 а2=0,319 \ В-16 а0=14,18 а1=0,801 а2=0,205

В-17 а0=30,16 а1=0,610 а2=0,815 \ В-18 а0=15,14 а1=0,291 а2=0,613

В-19 а0=19,14 а1=0,719 а2=0,310 \ В-20 а0=21,17 а1=0,307 а2=0,703

В-21 а0=16,12 а1=0,495 а2=0,309 \ В-22 а0=18,17 а1=0,555 а2=0,690

В-23 а0=31,17 а1=0,666 а2=0,777 \ В-24 а0=43,19 а1=0,390 а2=0,459

В-25 а0=48,05 а1=0,451 а2=0,549 \ В-26 а0=82,14 а1=0,769 а2=0,796

В-27 а0=41,19 а1=0,600 а2=0,392 \ В-28 а0=32,16 а1=0,471 а2=0,591

В-29 а0=18,92 а1=0,392 а2=0,674 \ В-30 а0=39,15 а1=0,305 а2=0,218

Решение типового варианта В-31

а0=26,58 а1=0,722 а2=0,416

I. 1. Объектом моделирования в данном задании является фирма.

2. Проблемная ситуация заключается в выборе факторов, обуславливающих результаты производственной деятельности фирмы.

3. Наблюдаемый комплекс информации, отображающий объект, определяется двумя факторами: x1~ затраты труда в единицу времени, х2 - объем производственных фондов.

4. Математической моделью экономической динамики, измерения темпов хозяйственного развития, вклада различных факторов в прирост выпускаемой продукции является мультипликативная производственная функция Кобба- Дугласа. Для данной задачи она имеет вид:

y=a0•x1a1•x2a2=26,58x10,722•x20,416.

II. Выполним эконометрический анализ полученной модели.

Предельная производительность труда определяется выражением

откуда следует, что с увеличением затрат труда x1 при неизменных производственных фондах х2 предельная производительность труда снижается. С увеличением объема фондов при неизменных трудовых ресурсах предельная производительность труда возрастает. Одновременное изменение обеих переменных может в зависимости от всей совокупности конкретных данных приводить к различным результатам

Предельная фондоотдача определяется как

и показывает, что с увеличением ресурсов труда при неизменных фондах она увеличивается и уменьшается при увеличении самих фондов и неизменных трудовых ресурсах.

3. Коэффициент эластичности выпуска продукции по затратам труда равен

и показывает, что при увеличении затрат труда на 1% выпуск продукции увеличится на 0,722% .

4. Коэффициент эластичности выпуска продукции по объему производственных фондов равен

и показывает, что при увеличении объема производственных фондов на 1% выпуск продукции увеличится на 0,41б%.

5. Коэффициенты a1 и а2 указывают на процентное увеличение или уменьшение выпуска продукции при однопроцентных изменениях затрат труда и объема производственных фондов.

Рассмотрим случай, когда объем каждого из ресурсов увеличился в m раз. Тогда новый объем продукции у? составит

y=a0•(mx1) a1••(mx2) a2= ma1+ a2 a0x1a1x2 a2=mAy , где А=а1+ а2.

Откуда видно, что сумма коэффициентов эластичности выпуска по затратам отражает общую реакцию производства на указанные изменения затрат.

Если

А =a1 + a2 = 1,

то имеет место нейтральный эффект масштаба, т.е. при увеличении расходов ресурсов в m раз результат производства тоже увеличивается в m раз. При А > 1 наблюдается положительный эффект масштаба производства, который заключается в повышении эффективности производства под воздействием концентрации ресурсов. Если А < 1, то увеличение затрат на производство оборачивается снижением их продуктивности, т.е. отрицательный эффект масштаба производства. Это происходит в ситуациях, связанных с переконцентрацией и выходом размеров производства за оптимальные границы.

В нашем примере А = 1,138 > 1, следовательно, имеет место положительный эффект масштаба производства.

6. Сравнивая коэффициенты эластичности a1 =0,722 и а2 =0,416, можно сделать вывод, что фирме выгоднее проводить интенсификацию производства за счет увеличения затрат труда (так как a1 > а2).

2. Линейные оптимизационные модели

2.1 Построение ЭММ равновесия для задачи о поиске лучших вариантов использования ресурсов при заданных затратах и ценах. Выполнение эконометрического анализа модели

Задание 1.

На предприятии имеется возможность выпускать 2 вида продукции П1 и П2 . При её изготовлении используются ресурсы Р1 и Р2 . Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b1 , b2 . Расход ресурса i-того вида на единицу продукции j -того вида составляет аij единиц. Цена единицы продукции j-того вида равна Сj ден. ед . Для обеспечения сбыта и согласно спросу , продукция j-того вида должна производиться в размерах : не менее nj единиц , и не более mj единиц .

Требуется :

составить экономико - математическую модель задачи, позволяющую найти сбалансированный по ресурсам план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию максимальный доход ;

графическим методом найти оптимальный план выпуска продукции по видам , дать содержательный ответ.

Все необходимые числовые данные приведены в таблице .

Параметры	В1	В2	В3	В4	В5	В6	В7	В8	В9	В10	В11	В12	В13	В14	В15
b1	5	500	70	540	30	36	72	64	70	63	42	30	15	90	140
b2	30	300	100	450	50	48	48	56	26	36	20	45	90	150	52
a11	1	3	1	3	1	3	3	2	5	7	7	3	3	3	10
a12	1	2	1	2	1	4	4	2	7	9	6	5	3	3	14
a21	3	1	1	2	3	3	1	1	3	4	2	9	9	9	6
a22	10	2	2	1	1	8	4	4	1	9	5	5	30	3	2
c1	3	5	20	15	10	4	2	10	4	7	12	15	15	5	9
c2	1	5	10	60	5	8	6	5	4	14	6	5	5	20	9
n1	-	50	-	60	-	2	6	4	3	-	1	-	3	-	6
n2	-	50	-	30	5	-	-	4	3	1	1	-	-	15	6
m1	-	-	40	-	12	10	18	24	10	3	7	4	20	36	20
m2	-	-	60	-	25	-	-	24	6	5	10	5	-	75	12

Решение типового варианта В-31

1.Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим через Х1, Х2 -количество единиц продукции соответственно П1, П2, планируемой к выпуску, а через f -доход от реализации этой продукции. Тогда, учитывая значения цены единицы продукции, суммарный доход - целевая функция - запишется в виде:

Переменные Х1, Х2 должны удовлетворять ограничениям, накладываемым на расход имеющихся в распоряжении предприятия ресурсов:

По смыслу задачи:

Для обеспечения сбыта и согласно спросу, продукция П1, П2 должна производиться соответственно в размерах не более 100 и 30 единиц:

Соотношения (1)-(4) образуют экономико-математическую модель задачи:

Математически задача сводится к нахождению числовых значений Х1*, Х2*, удовлетворяющих линейным неравенствам (2)-(4) и доставляющих максимум линейной функции (1).

2. Решим задачу графическим способом.

Граничные прямые :

Областью допустимых решений задачи является многоугольник ОАВСД (рис1), ограниченный прямыми ОА с уравнением Х1=0, АВ с уравнением Х2=30, ВС с уравнением Х1+3Х2=120, СД с уравнением 3Х1+4Х2=240, ОД с уравнением Х2=0.

На рисунке построен вектор 10С=(20;30), указывающий направление наискорейшего возрастания функции f и разрешающая прямая fmax, параллельная вспомогательной прямой f=0. Разрешающая прямая засекает вершину С, в которой функция f достигает наибольшего значения в допустимой области ОАВСД. В результате совместного решения уравнений прямых ВС и СД, пересекающихся в точке С, находим её координаты:



Итак, по оптимальному плану следует изготовить 48 ед. продукции П1 и 24 ед. продукции П2 .При этом предприятие получит максимальный доход в размере 168 ден. ед. Причём , ресурсы Р1 и Р2 будут израсходованы полностью.

Задание

Построить ЭММ равновесия для задачи о поиске лучших вариантов использования ресурсов при заданных затратах и ценах.

Предприятие ежемесячно имеет ресурсы трёх типов Р1,Р2,Р3, объёмы которых определяются величинами b1, b2, b3. Из этих ресурсов предприятие может организовать производство четырёх видов изделий П1, П2, П3, П4, причём продукция может производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен). У предприятия есть и другая альтернатива распорядиться ресурсами- продавать их (спрос на ресурсы имеется). Оценить эти два варианта с точки зрения наибольшей прибыли для предприятия.

Расход ресурсов на производство единицы изделия каждого типа aij и прибыль от реализации единицы изделия всех типов cj приведены в таблице.

Выполнить эконометрический анализ полученной модели.

Привести полученную задачу линейного программирования к каноническому виду. Объяснить смысл введённых балансовых переменных.

Найти оптимальный ассортиментный план производства , при котором расход ресурсов не превысит имеющегося количества, а суммарная прибыль будет максимальной. Дать экономическую интерпретацию полученного результата.

Составить двойственную задачу для исходной. Определить, при каких ценах на ресурсы их продажа будет не менее выгодна, чем продажа готовой продукции, вошедшей в оптимальный план.

Определить дефицитность сырья и увеличение прибыли при изменении его объёма на единицу.

Определить цены на ресурсы, при которых прямая реализация их не менее выгодна, чем организация производства изделий из этих отходов. Рыночные цены на ресурсы соответствующего типа равны z1, z2, z3. Оценить целесообразность введения в план производства нового вида изделия П5, нормы затрат ресурсов на производство единицы продукции ai5 и прибыль от реализации единицы продукции c5 которого приведены в таблице.

	В1	В2	В3	В4	В5	В6	В7	В8	В9	В10
b1	1000	500	300	400	1000	2200	600	400	800	500
b2	2100	3000	1000	900	800	1000	1000	1200	1500	1700
b3	3500	2200	800	1000	2500	1500	1500	1800	2000	2500
a11	3	1	1	1	1	3	3	2	0	0
a12	0	0	1	1	1	4	1	1	3	2
а13	3	3	3	0	5	0	3	1	1	1
а14	1	2	0	2	3	1	0	0	4	1
а15	1	1	1	3	2	1	2	1	1	1
а21	1	3	2	0	1	0	1	3	1	3
а22	4	0	0	3	0	1	0	2	2	4
а23	1	4	1	1	2	2	4	0	1	3
а24	2	1	1	4	1	1	2	4	1	1
а25	1	4	4	2	3	2	1	2	4	4
а31	2	2	3	1	3	1	2	1	1	2
а32	1	3	2	2	4	1	2	1	3	0
а33	1	1	1	2	1	3	1	4	2	2
а34	3	4	2	1	2	0	3	0	1	1
а35	5	1	1	4	1	4	3	3	1	3
с1	3	3	2	3	3	2	2	2	1	2
с2	1	1	3	1	2	2	3	1	3	2
с3	2	2	1	1	2	1	1	3	3	2
с4	4	1	1	2	1	2	1	1	2	1
с5	3	3	2	4	2	3	2	4	5	3
z1	0,1	0,5	1	0,8	0,5	0,9	0,1	1,2	1,2	0,9
z2	0,5	0,3	0,2	0,5	0,3	0,3	0,2	0,8	0,5	0,3
z3	1,3	0,4	0,5	0,1	0,8	0,5	0,8	0,3	0,1	0,1

Решение типового варианта В-31

Обозначим через Х1, Х2, Х3, Х4 - количество единиц продукции соответственно П1, П2, П3, П4, планируемой к выпуску, а через f -величину прибыли от реализации этой продукции. Тогда, учитывая значения прибыли от единицы продукции П1, П2, П3, П4 соответственно, суммарная величина прибыли - целевая функция - запишется в виде:

Переменные Х1, Х2, Х3, Х4 должны удовлетворять ограничениям, накладываемым на расход имеющихся в распоряжении предприятия ресурсов:

По смыслу задачи:

Соотношения (1)-(3) образуют экономико-математическую модель задачи. Математически задача сводится к нахождению числовых значений Х1*, Х2*, Х3*, Х4*, удовлетворяющих линейным неравенствам и доставляющих максимум линейной функции (1).

Выполним эконометрический анализ полученной модели.

Приведём модель к канонической форме: запишем ограничения задачи в виде равенств. Для этого введём в левые части неравенств дополнительные неотрицательные переменные Х5, Х6, Х7, обозначающие разности между правыми и левыми частями этих неравенств (возможные остатки ресурсов):

В модели (4) переменные Х5, Х6, Х7 являются базисными, а Х1, Х2, Х3, Х4 - свободными.



Найдём оптимальный ассортиментный план производства , при котором расход ресурсов не превысит имеющегося количества, а суммарная прибыль будет максимальной.

Составим 1-ую симплекс-таблицу:

Табл. 1.

БП	1	СП
		-Х1 -Х2 -Х3 -Х4
Х5= Х6= Х7=	2600 1800 500	1 5 1 5 1 3 4 1 3 1* 2 4
f=	0	-2 -4 -1 -2

Все элементы столбца свободных членов положительны, поэтому содержащийся в табл.1 план (0;0;0;0;2600;1800;500) является опорным, но он не оптимален, т.к. в f -строке имеются отрицательные элементы. Чтобы получить опорный план, более близкий к оптимальному, выполним симплексное преобразование табл.1. С этой целью выберем элементы, участвующие в преобразовании базиса Х5, Х6, Х7 в новый базис. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-4) f-строки указывает, что в новый базис следует ввести переменную Х2, т.е. в качестве разрешающего в предстоящем симплексном преобразовании надо взять второй столбец. Чтобы определить переменную, выводимую из базиса, составляем симплексные отношения и выбираем наименьшее из них:

Итак, из базиса надо исключить переменную, стоящую в третьей (разрешающей) строке, т.е. Х7. На пересечении разрешающих столбца и строки находится разрешающий элемент 1, с которым и выполняется симплексное преобразование. В результате приходим к табл.2

Симплексные преобразования - это правила пересчёта элементов симплекс-таблицы при переходе к новому опорному плану и заключаются они в следующем:

разрешающий элемент заменяется обратной величиной;

остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент;

остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент и меняют знаки;

все остальные элементы таблицы вычисляются по формуле:

,

где aks - разрешающий элемент, aij - пересчитываемый элемент,

ais - соответственный элемент разрешающего столбца, akj - соответственный элемент разрешающей строки, a ?ij - элемент новой таблицы, стоящий в i - той строке и j - ом столбце на месте элемента aij.

В рассматриваемой задаче, например,

Табл.2

БП	1	СП
		-Х1 -Х7 -Х3 -Х4
Х5= Х6= Х2=	100 300 500	-14 -5 -9 -15 -8 -3 -2 -11 3 1 2 4
f=	2000	10 4 7 14

В f-строке таблицы 2 отрицательных элементов нет, следовательно, опорный план (0;500;0;0;100;300;0) является оптимальным, а соответствующее ему значение 2000 целевой функции будет максимальным.

Итак, по оптимальному плану следует изготовить 500 ед. продукции П2, а продукцию П1, П3 и П4 производить не следует (не выгодно). При этом предприятию будет обеспечена максимальная прибыль в размере 2000 ден. ед. Останутся неиспользованными 100 ед. ресурса Р1 , 300 ед. ресурса Р2, а ресурс Р3 будет израсходован полностью.

Чтобы составить модель двойственной задачи, напишем матрицу

Транспонируем матрицу (5). В результате получим матрицу (6) двойственной задачи:

По матрице (6) напишем модель задачи, двойственной к исходной:

Сформулируем в экономических терминах двойственную задачу.

Предположим, что некоторая организация хочет закупить все ресурсы, которыми располагает предприятие. Необходимо определить оптимальные цены на эти ресурсы, исходя из естественного условия, что покупающая организация стремится минимизировать общую оценку ресурсов. Учтём тот факт, что за ресурсы покупающая организация должна уплатить сумму, не меньшую той, которую может выручить предприятие при организации собственного производства продукции.

Итак, целевой функцией является общая оценка ресурсов, которую требуется минимизировать:

Yi-цены на эти ресурсы (i=1,3)

Из теорем двойственности следует, что если решена одна из пары двойственных задач, то одновременно найдено решение и другой задачи. Компоненты оптимального плана этой задачи Yi* находятся в строке целевой функции последней симплекс-таблицы решённой задачи.(табл.2). Выписать компоненты поможет соответствие между переменными двойственных задач. Для этого преобразуем ограничения-неравенства в эквивалентные уравнения, вычитая из левых частей дополнительные неотрицательные переменные У4, У5, У6,У7, равные разностям между левыми и правыми частями этих неравенств. Тогда модель (7)-(9) запишется в виде:

В этой модели переменные У4, У5, У6,У7 являются базисными, а У1, У2, У3 - свободными.

Сопоставим базисным переменным одной задачи свободные переменные двойственной задачи и наоборот

Воспользовавшись соответствием, устанавливаем:

У1*=0; У2*=0; У3*=4; У4*=10; У5*=0; У6*=7; У7*=14

Из теорем двойственности:

Итак, оптимальные цены на ресурсы составляют:

- на единицу ресурса вида Р1: У1*=0 ден. ед.

- на единицу ресурса вида Р2: У2*=0 ден. ед.

- на единицу ресурса вида Р3: У3*=4 ден. ед.. Т.е. при ценах У1*=0; У2*=0; У3*=4 на ресурсы соответствующего типа продажа их принесёт ту же прибыль (2000 ден. ед.), как и в случае продажи готовой продукции, вошедшей в оптимальный план.

4) Полученные условные оценки У1*, У2*, У3* являются мерой дефицитности ресурсов. Так как в нашей задаче

У1* =У2* =0, то ресурсы первого и второго типов недефицитны, они оказались в избытке, а оценка Уз* = 4 говорит о дефицитности ресурса третьего типа. Если положительных оценок в задаче несколько, то большей условной оценке соответствует наиболее дефицитный ресурс.

Условные оценки показывают, что увеличение сырья третьего типа на единицу приведет к увеличению прибыли на 4 ден.ед., и ее общая сумма станет равной 2004 ден. ед. Увеличение же на единицу сырья первого и второго типов не приведет к росту прибыли, так как ресурсы этих типов имеются в избытке.

5. В случае организации производства 500 ед. продукции второго вида сумма прибыли составит 2000 руб. При этом остается сырье: первого типа - 100 ед., второго - 300 ед., которое можно реализовать по рыночным ценам и общая сумма дохода составит

z = 2000 + 100 * 0,1 + 300 * 0,2 = 2070 ден. ед.

В случае продажи всего сырья на товарном рынке предприятие должно установить такие цены, чтобы получить доход в размере 2070 ден. ед. Если соотношение рыночных цен на сырье составляет 0,1/0,2/0,5, то составим уравнение

2600*0,1к+1800*0,2к+500*0,5к=2070. Откуда получим к=3,4, тогда цена на сырье первого типа должна быть равной 0,34 ден. ед., второго типа -

0,68 ден. ед.., третьего - 1,7 ден. ед.. Расчетные цены выше рыночных, следовательно, предприятию прямая реализация всего сырья менее выгодна, чем организация производства.

6. Если в план включаются новые виды продукции, то оценка целесообразности их введения определяется по формуле

где аij - объем ресурсов i-го типа, которые требуются на производство единицы продукции j-го вида, cj - прибыль от реализации единицы продукции j - го вида. В нашей задаче

Так как ?5< 0, то прибыль превышает затраты и введение в план производства пятого вида изделия целесообразно.

3. ЭММ транспортной задачи

Построение ЭММ распределения запасов продукции с точки зрения минимальных транспортных затрат. Выполнение эконометрического анализа модели.

Задание.

Готовая продукция заводов Ai (i= 1,3) направляется на склады Bj(j = 1, 4). Заводы Ai производят аi тыс. изделий c себестоимостью единицы продукции Сi. Пропускная способность складов Bj за это время xaрактеризуется величинами bj тыс. изделий. Стоимость перевозки с завода Ai на склад Bj одной тысячи изделий равна Сi j.

Требуется:

1. Составить экономико-математическую модель задачи, найти план перевозки готовой продукции с заводов на склады с минимальными затратами методом потенциалов. Найти величину fmin минимальныx транспортных затрат.

2. Найти оптимальный план перевозки готовой продукции на склады при дополнительном условии,. что на складе Bк созданы лучшие условия для хранения готовой продукции , а поэтому он должен быть загружен полностью, (или продукция завода Ак должна быть распределена полностью), где к - номер склада , незагруженного полностью , (или номер завода с нераспределённой продукцией);

3. Найти оптимальный план перевозки готовой продукции на склады при дополнительном условии, что из пункта отправления Аp в пункт назначения Вr должно быть перевезено не менее drp ед. продукции, а из пункта отправления Аs в пункт назначения Вt должно быть перевезено не более dst ед. продукции.

	В1	В2	В3	В4	В5	В6	В7	В8	В9	В10	В11	В12	В13	В14
А1	250	240	260	200	180	140	160	115	280	510	50	20	40	50
А2	150	120	220	270	160	180	140	175	125	90	70	100	36	100
А3	400	270	300	130	140	160	170	130	175	120	100	250	24	130
С1	1	2	3	1	2	1	1	2	1	1	2	2	2	1
С2	2	4	2	4	5	3	5	1	3	2	4	1	4	5
С3	3	1	1	2	3	2	2	3	4	5	1	3	5	2
В1	100	150	350	120	150	60	120	70	90	370	40	70	24	100
В2	500	180	240	80	250	70	50	220	180	140	60	120	38	50
В3	100	190	180	240	120	120	190	40	310	200	50	150	30	80
В4	300	280	130	160	180	130	110	30	130	110	50	130	50	120
С11	2	7	2	2	18	2	7	4	4	1	4	4	1	2
С12	1	1	6	4	2	3	8	5	5	4	3	7	3	4
С13	3	6	5	7	3	4	1	2	3	7	2	2	4	1
С14	6	9	6	9	12	2	2	8	7	3	6	3	5	5
С21	1	2	3	5	3	8	4	3	1	5	2	3	2	7
С22	4	3	4	1	4	4	5	1	3	6	4	1	6	3
С23	7	4	8	8	8	1	9	9	9	8	5	0	8	4
С24	9	8	9	12	7	4	8	7	8	9	1	4	1	8
С31	6	4	8	11	4	9	9	9	2	7	3	5	2	3
С32	2	5	1	6	5	7	2	6	4	2	6	6	1	2
С33	4	2	7	4	6	3	3	7	5	4	7	3	3	1
С34	5	3	3	3	12	7	6	2	6	8	5	7	7	3
P	1	2	1	2	2	3	2	1	2	1	1	2	2	1
r	2	1	3	3	4	1	3	4	2	1	2	3	2	4
drp	50	20	60	30	40	50	60	70	60	30	50	60	20	30
s	2	1	2	3	1	1	3	3	3	2	3	3	3	2
t	1	2	4	2	3	3	4	1	1	3	1	1	3	1
dst	50	100	70	80	90	90	100	90	80	100	90	100	40	70

Решение типового варианта В-31

1)Обозначим через Хij- количество единиц продукции, которое планируется перевезти с завода Аi (i=1,3) на склад Вj(j=1,4), а через f-суммарные затраты на её изготовление и доставку.

Суммарная мощность пунктов производства составляет:

400+300+500=1200 .

Суммарная пропускная способность складов составляет:

350+250+150+250=1000

Замечаем, что суммарная пропускная способность складов меньше суммарной мощности пунктов производства:

1000<1200

Таким образом, условие закрытости модели не выполняется, поэтому надо вводить фиктивный склад В5 с возможным спросом:

1200-1000=200 и стоимостью перевозок Сi5=0 (i=1,3).

После введения фиктивного склада открытая модель задачи преобразовалась в закрытую.

Составим распределительную таблицу 1.

Таблица 1.

Пункты производства Аi и их мощность.	В1 ( 350)	В2 ( 250)	В3 ( 150)	В4 ( 250)	В5 ( 200)
А1(400)	2 +2=4 Х11	6 +2=8 Х12	4+2=6 Х13	7+2=9 Х14	0+2=2 Х15
А2(300)	6+3=9 Х21	2+3=5 Х22	7+3=10 Х23	1+3=4 Х24	0+3=3 Х25
А3(500)	6+1=7 Х31	10+1=11 Х32	7+1=8 Х33	5+1=6 Х34	0+1=1 Х35

Где:

-стоимость изготовления и доставки единицы продукции с завода Аi (i=1,3) на склад Вj(j=1,5).

Экономико-математическая модель задачи примет вид:

суммарные затраты :

условия полной отгрузки продукции со всех пунктов производства:

условия полной загрузки всех складов:

-Условия неотрицательности переменных:

Таким образом, задача сводится к нахождению решения (Х11*, Х12*,…, Х35*) системы линейных уравнений (2), (3), доставляющих минимум линейной функции(1).

Решим данную задачу транспортного типа методом потенциалов.

Критерием оптимальности задачи минимизации является отсутствие в заключительной таблице свободных клеток с отрицательными оценками.

В таблице 2 построен начальный опорный план методом минимального элемента.

Табл. 2.

	350	250	150	250	200	Ui
400	- 4 300	8	+ 6 100	9	2	U1=0
300	9	5 250	- 10 50	+ 4 *	3	U2=4
500	7 50 +	11	8	- 6 250	1 200	U3=3
Vj	V1=4	V2=1	V3=6	V4=3	V5=-2

Число занятых клеток равно 7, совпадает с m+n-1=3+5-1=7- опорный план-невырожденный.

Замечание. Если при построении опорного плана занятых клеток будет меньше, чем m+n-1, то опорный план - вырожденный; а в свободную клетку, соответствующую наименьшему тарифу, и не образующую замкнутый цикл с занятыми клетками, заносится нуль, и эта клетка считается занятой.

Для исследования плана на оптимальность необходимо найти оценки свободных клеток. Для этого надо знать потенциалы Ui и Vj , которые определим в результате решения системы уравнений, составленных по заполненным клеткам. Получаем

Найдём оценки свободных клеток:



Поскольку среди оценок имеются отрицательные , то план неоптимален и его можно улучшить, занимая клетку с максимальной по модулю отрицательной оценкой (2,4). В таблице 2 для этой клетки построен замкнутый контур, по которому находим величину для занимаемой клетки (2,4). Прибавляя л в положительных клетках и вычитая в отрицательных, получаем новый опорный план, содержащийся в табл.3.

табл.3.

	350	250	150	250	200	Ui
400	4 250 +	8	6 150 -	9	2	U1=0
300	9	5 250	10	4 50	3	U2=1
500	7 100 -	11	8 + *	6 200	1 200	U3=3
Vj	V1=4	V2=4	V3=6	V4=3	V5=-2

Поскольку среди оценок имеются отрицательные , то план неоптимален и его можно улучшить, занимая клетку (3,3). В таблице 3 для этой клетки построен замкнутый контур, по которому находим величину для занимаемой клетки (3,3). Прибавляя л в положительных клетках и вычитая в отрицательных, получаем новый опорный план, содержащийся в табл.4.

табл.4

	350	250	150	250	200	Ui
400	4 350	8	6 50	9	2	U1=0
300	9	5 250	10	4 50	3	U2=0
500	7	11	8 100	6 200	1 200	U3=2
Vj	V1=4	V2=5	V3=6	V4=4	V5=-1

Клеток с отрицательными оценками в табл. 4 нет. Следовательно , в ней содержится оптимальный план.

Этому плану соответствуют минимальные суммарные затраты:

По этому плану перевозок завод А1 должен 350 ед. продукции доставить на склад В1 и 50 ед. продукции доставить на склад В3; завод А2 должен 250 ед. продукции доставить на склад В2 и 50 ед. продукции доставить на склад В4; завод А3 должен 100 ед. продукции доставить на склад В3 и 200 ед. продукции доставить на склад В4. При этом суммарные затраты будут минимальными и составят 5350 ден. ед.

Нераспределённая продукция в объёме 200 ед. останется на заводе А3.

2)Решим данную задачу транспортного типа методом потенциалов при дополнительном условии,. что продукция завода А3 должна быть распределена полностью. Это ограничение будет соблюдено в том случае, если в заключительной таблице с оптимальным планом клетка (А3, В5) останется свободной .Чтобы добиться этого, на время решения условно завысим показатель критерия оптимальности в клетке (А3, В5) до величины М=100 (М- большое положительное число). Понятно, что теперь занимать клетку (А3, В5) будет явно невыгодно. В таблице 5 построен начальный опорный план с учётом дополнительного ограничения по методу минимального элемента.

Критерием оптимальности задачи минимизации является отсутствие в заключительной таблице свободных клеток с отрицательными оценками.

Табл. 5.

	350	250	150	250	200	Ui
400	4 200	8	6	9	2 200	U1=0
300	9	5 250	- 10 50	+4 *	3	U2=5
500	7 150	11	+ 8 100	- 6 250	100	U3=3
Vj	V1=4	V2=0	V3=5	V4=3	V5=2

Число занятых клеток равно 7, совпадает с m+n-1=3+5-1=7- опорный план-невырожденный.

Для исследования плана на оптимальность необходимо найти оценки свободных клеток. Для этого надо знать потенциалы Ui и Vj , которые определим в результате решения системы уравнений, составленных по заполненным клеткам. Получаем

Найдём оценки свободных клеток:

Поскольку среди оценок имеются отрицательные, то план неоптимален и его можно улучшить, занимая клетку (2,4). В таблице 5 для этой клетки построен замкнутый контур, по которому находим величину для занимаемой клетки (2,4). Прибавляя л в положительных клетках и вычитая в отрицательных, получаем новый опорный план, содержащийся в табл.6.

табл.6

	350	250	150	250	200	Ui
400	4 200	8	6	9	2 200	U1=0
300	9	5 250	10	4 50	3	U2=1
500	7 150	11	8 150	6 200	100	U3=3
Vj	V1=4	V2=4	V3=5	V4=3	V5=2

Клеток с отрицательными оценками в табл. 6 нет. Следовательно, в ней содержится оптимальный план.

Этому плану соответствуют минимальные суммарные затраты:

По этому плану перевозок завод А1 должен 200 ед. продукции доставить на склад В1; завод А2 должен 250 ед. продукции доставить на склад В2 и 50 ед. продукции доставить на склад В4; завод А3 должен 150 ед. продукции доставить на склад В1 ; 150 ед. продукции доставить на склад В3 и 200 ед. продукции доставить на склад В4. При этом суммарные затраты будут минимальными и составят 6100 ден. ед.

Нераспределённая продукция в объёме 200 ед. останется на заводе А1.

При соблюдении дополнительного условия, что продукция завода А3 должна быть распределена полностью, минимальные суммарные затраты увеличиваются на 6100-5350=750 ден. ед.

3) Найдём оптимальный план перевозки готовой продукции на склады при дополнительном условии, что из пункта отправления А2 в пункт назначения В4 должно быть перевезено не менее 100 ед. продукции, а из пункта отправления А1 в пункт назначения В1 должно быть перевезено не более 150 ед. продукции.

В таблице 4, содержащей оптимальный план, в клетке (2;4) стоит число 50<100. Итак, поставка Х24 =100 ед. обязательна и должна войти в оптимальный план. Уменьшим количество продукции у поставщика А2 на 100 ед. , т.е. а2? = а2 - 100=300-100=200 ед., и пропускную способность склада В4 на 100 ед. , т.е. b4? = b4 - 100=250-100=150 ед..

Т.к. по маршруту А1В1 можно перевезти не более 150 ед. продукции, то В1-ый столбец матрицы перевозок разобьём на два: В1? и В1??. Тогда b1?= b1-150=350-150=200; b1??= 150. Тарифы С i 1?= С i 1??= С i 1 (i=2,3); С 11?=100 (клетка блокируется). Решим задачу относительно необязательных поставок.

В таблице 7 построен начальный опорный план методом минимального элемента.

Табл. 7.

<...

	200	150	250	150	150	200	Ui
400	100	4 150	- 8 100	6 150	9	+2 *	U1=0
200	- 9 50	9	+ 5 150	10	4	3	U2?=-3
500	+ 7 150

Подобные документы

• Экономико-математические методы

  Исследование методом Жордана-Гаусса системы линейных уравнений. Решение графическим и симплексным методом задач линейного программирования. Экономико-математическая модель задачи на максимум прибыли и нахождение оптимального плана выпуска продукции.
  
  контрольная работа [177,8 K], добавлен 02.02.2010
  

• Математические методы исследования в экономике

  Построение и решение математических моделей в экономических ситуациях, направленных на разработку оптимального плана производства, снижение затрат и рационализации закупок. Моделирование плана перевозок продукции, направленного на минимизацию затрат.
  
  задача [1,8 M], добавлен 15.02.2011
  

• Экономико-математические модели

  Типовые модели менеджмента: примеры экономико-математических моделей и их практического использования. Процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции. Определение оптимального плана производства продуктов каждого вида.
  
  контрольная работа [536,2 K], добавлен 14.01.2015
  

• Экономико-математические методы и прикладные модели

  Построение экономико-математической модели задачи, комментарии к ней и получение решения графическим методом. Использование аппарата теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.
  
  контрольная работа [2,2 M], добавлен 27.03.2008
  

• Оптимизация доставки грузов и плана выпуска промышленной продукции

  Расчет связи пунктов отправления и назначения. Обеспечение вывоза всех грузов из пункта отправления и ввоза в места назначения необходимых объемов. Экономико-математическая модель задачи на максимум прибыли, расчет оптимального плана выпуска продукции.
  
  курсовая работа [49,1 K], добавлен 29.07.2011
  

• Экономико-математические модели

  Основные понятия и типы моделей, их классификация и цели создания. Особенности применяемых экономико-математических методов. Общая характеристика основных этапов экономико-математического моделирования. Применение стохастических моделей в экономике.
  
  реферат [91,1 K], добавлен 16.05.2012
  

• Экономико-математические методы и модели

  Построение математических моделей по определению плана выпуска изделий, обеспечивающего максимальную прибыль, с помощью графического и симплексного метода. Построение моделей по решению транспортных задач при применении метода минимальной стоимости.
  
  задача [169,2 K], добавлен 06.01.2012
  

• Экономико-математическое моделирование производства

  Графический метод решения и построение экономико-математической модели производства. Определение выручки от реализации готовой продукции и расчет оптимального плана выпуска продукции. Баланс производства проверка продуктивность технологической матрицы.
  
  задача [203,4 K], добавлен 03.05.2009
  

• Типовая задача оптимизации

  Пример решения типовой задачи оптимизации графическим методом. Получение оптимального плана выпуска продукции при помощи теории двойственности. Применение метода Леонтьева для построения баланса производства и распределения продукции предприятий.
  
  контрольная работа [2,2 M], добавлен 23.04.2013
  

• Нахождение оптимального плана производства двух типов ремонтных работ с помощью симплексного метода

  Математические и программные средства моделирования при решении конкретной производственной задачи. Метод реализации задачи планирования производства и нахождение оптимального плана с помощью симплексного метода. Программа на языке программирования С.
  
  курсовая работа [603,8 K], добавлен 06.06.2011
  

• Построение экономико-математических моделей производства продукции

  Нахождение оптимального значения целевой функции, позволяющей минимизировать себестоимость произведенной продукции. Оптимизационные задачи на максимум выручки от реализации готовой продукции. Экономико-математическая модель технологической матрицы.
  
  контрольная работа [248,8 K], добавлен 25.10.2013
  

• Анализ экономических задач оптимизации

  Экономико-математическая модель оптимального плана выпуска продукции. Оптимальная организация рекламной компании. Решение транспортной задачи: нахождение суммарных затрат на перевозку. Задача об оптимальном назначении (линейного программирования).
  
  контрольная работа [812,0 K], добавлен 29.09.2010
  

• Применение математических методов в моделировании экономических процессов

  Расчет минимального значения целевой функции. Планирование товарооборота для получения максимальной прибыли торгового предприятия. Анализ устойчивости оптимального плана. План перевозки груза от поставщиков к потребителям с минимальными затратами.
  
  контрольная работа [250,6 K], добавлен 10.03.2012
  

• Детерминированные экономико-математические модели и методы факторного анализа

  Моделирование. Детерминизм. Задачи детерминированного факторного анализа. Способы измерения влияния факторов в детерминированном анализе. Расчёт детерминированных экономико-математических моделей и методов факторного анализа на примере РУП "ГЗЛиН".
  
  курсовая работа [246,7 K], добавлен 12.05.2008
  

• Экономико-математические методы и моделирование в землеустройстве

  Развитие экономико-математических методов и моделирования процессов в землеустройстве. Задачи схем и проектов. Математические методы в землеустройстве. Автоматизированные методы землеустроительного проектирования. Виды землеустроительной информации.
  
  контрольная работа [23,5 K], добавлен 22.03.2015
  

• Изучение экономико-математических методов и их применения в управленческом учете

  Общая характеристика и классификация экономико-математических методов. Стохастическое моделирование и анализ факторных систем хозяйственной деятельности. Балансовые методы и модели в анализе связей внутризаводских подразделений, в расчетах и цен.
  
  курсовая работа [200,8 K], добавлен 16.06.2014
  

• Методы управления запасами

  Система с фиксированным размером заказа. Применение математических методов в системах оптимального управления запасами. Сущность метода технико-экономических расчетов. Расчет параметров моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий.
  
  контрольная работа [545,1 K], добавлен 25.05.2015
  

• Оптимальные экономико-математические модели

  Нахождение начального опорного плана методом минимальной стоимости, оптимизация его методом потенциалов. Решение задачи о назначениях с заданной матрицей затрат. Построение набора дуг, соединяющих все вершины сети и имеющих минимальную протяженность.
  
  контрольная работа [341,0 K], добавлен 24.04.2012
  

• Экономическая модель оптимального плана производства трех видов изделий, максимизирующего прибыль

  Моделирование задачи определения оптимального плана выпуска продукции, вывод ее в канонической форме. Решение задания с помощью надстройки MS Excel "Поиск решения", составление отчетов по устойчивости и результатам. Оптимальная прибыль при заданной цене.
  
  курсовая работа [635,6 K], добавлен 07.09.2011
  

• Планирование производства и управления инвестиционными ресурсами

  Математическая модель планирования производства. Составление оптимального плана производственной деятельности предприятия методом линейного программирования. Нахождение оптимального способа распределения денежных ресурсов в течение планируемого периода.
  
  дипломная работа [8,8 M], добавлен 07.08.2013
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам