Основы экономико-математического моделирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Индексы деловой активности (share indexes)

Уровень состояния дел отдельной фирмы часто оценивают по рыночной стоимости ее акций. Если цена акций растет - дела идут хорошо и наоборот. Показателем, или индексом, деловой активности отдельной i - ой фирмы в t - й момент времени является отношение рыночной стоимости ее акций в t - й момент времени к стоимости акций в базисный момент времени с коэффициентом 100., то есть

Коэффициент 100 представляет собой базисное (стартовое) значение индекса.

Пример расчета индивидуального индекса:

	Периоды
	базисный	1-й	2-й	3-й
Цена акций	320	345	380	395
Индекс цены	100	107,81	118,75	123,44

Для оценки уровня деловой активности региона или отрасли используются рыночные стоимости акций по группе наиболее крупных фирм, входящих в регион или отрасль.

Введем следующие обозначения:

N - число фирм, участвующих в определении индекса деловой активности;

K_ia - стоимость всех акций (рыночный капитал) i - ой фирмы в базисный момент времени;

d_i - доля капитала i- й фирмы в сумме капиталов всех фирм группы в базисный момент; определяется по формуле:

.

Индекс деловой активности I₁ группы в i - й момент времени рассчитывается по формуле:

.

Таким образом, индекс деловой активности, или сводный индекс акций, представляет собой взвешенную сумму индивидуальных индексов. В качестве весов берутся доли капитала фирмы в суммарном капитале группы. Чем больше доля, тем сильнее влияние индивидуального индекса на сводный.

По приведенной формуле рассчитываются, например, индекс Standard & Poor's 500 (группа состоит из 500 фирм, акции которых котируются на Нью-Йоркской фондовой бирже, базисный момент - конец 1943 г., начальное значение - 10, современное значение колеблется около 1000).

Задача 1

Рассчитать сводный индекс акций для данных из следующей таблицы:

1. Числовые данные в диапазоне B3:B5 и в диапазоне D3:G5 являются первичными и вводятся непосредственно

2. Вводим в C3 формулу: B3/СУММ($B$3:$B$5).

3. Копируем формулу из C3 диапазон C4:C5.

4. Вводим в D7 формулу: =СУММПРОИЗВ($C$3:$C$5;D3:D5).

5. Копируем формулу из D7 в диапазон E7:G7.

Задача 2

Рассчитать индекс деловой активности по группе из 10 фирм за 6 периодов, если капитал i - ой фирмы рассчитывается по формуле:

А индивидуальный индекс цен акций i -й фирмы в t - м периоде равен:

Решение

1. Вводим в диапазон A3:A12 номера фирм от 1 до10.

2. Вводим в ячейку B3 формулу:=400/A3.

3. Копируем формулу из B3 в диапазон B4:B12.

4. Вводим в ячейку C3 формулу: =B3/СУММПРОИЗВ($B$3:$B$12).

5. Вводим в D3:D12 число 100 (базисное значение индивидуальных индексов).

6. Вводим в E2:J2 номера периодов с 1 по 6.

7. Вводим в ячейку E3 формулу: =100*(1+SIN($A3+E$2)*0.05* E$2).

(обращение к столбцу A и строке 1 делаем абсолютными для корректного последующего копирования).

8. Копируем формулу из E3 в диапазон E3:J12.

9. Вводим в D14 формулу: =СУММПРОИЗВ($C$3:$C$12; D3:D12).

10. Копируем формулу из D14 в диапазон E14:J14.

Ответ: приведен на рис. Результаты округлены до целых значений.

Задача 3

Рассчитать сводный индекс по группе из 15 фирм за 6 периодов по следующим данным:

t=1,5

Ответ:

Периоды	базисный	1	2	3	4	5	6
Индекс СВОДНЫЙ	100	97,8	94	96,9	107,6	115,5	108,6

В заключение отметим, что наряду со взвешенным индексом на практике применяется индекс рассчитываемый на основе простого среднего арифметического значения цен акций, включенных в группу. Так рассчитывается, например, наиболее известный промышленный индекс Доу-Джонса (DJIA - Dow Jones Industrial Average), публикуемый с 1916 г. и включающий в себя акции 30 наиболее крупных компаний, котирующихся на Нью-Йоркской фондовой бирже. Первоначальное значение индекса равнялось 100. в настоящее время значения индекса достигают значений порядка 9000-10000.

2. Расчет индекса стоимости потребительской корзины

Для оценки уровня инфляции используется понятие потребительской корзины, в состав которой входит месячный (годовой) прожиточный минимум продуктов (товаров, услуг) для среднестатистического человека (семьи). Вместе с изменением цен на отдельные товары изменяется стоимость и всей корзины. Изменение цены корзины по отношению к базисному моменту измеряется величиной, которая называется индексом.

Индекс I1 изменения стоимости корзины в i - й момент вычисляется по формуле:

где - количество i - го продукта в корзине, i=1….K,

- цена i - го продукта в t - й момент.

- цена i - го продукта в базисный момент.

Индекс стоимости корзины в базисный момент полагается равным 100.

Задача 1

Рассчитать индексы и темпы роста стоимости корзины для данных из таблицы на рис. 14 (числа в диапазоне B4:F6 - первичные, вводятся непосредственно).

Решение:

1. Вводим в ячейку C8 формулу :

=СУММПРОИЗВ($B$4:$B$6; C4:C6).

Обращение к диапазону B4:B6, содержащему месячные потребности, делаем абсолютным, так как при копировании эти значения не должны меняться.

2. Копируем C8 в диапазон D8:F8.

3. Вводим в C9 формулу: = C8/$C$8*100 (отношение стоимости к стоимости вначале базового периода с коэффициентом 100)

4. Копируем C9 в диапазон D8:F8

5. Вводим в C10 формулу: = (D8-C8)/C8.

6. Копируем C10 в диапазон C10:E10.

7. Применяем к диапазону C10:E10 формат процента.

Ответ: стоимость корзины в начале 1 - го периода считается базисной и соответствующий индекс полагается равным 100;

за 1- й период стоимость корзины выросла на 49%;

за 2- й период - на 22%;

за 3- й период - на 16%;

Задача 2

Рассчитать индексы стоимости в каждом из 7 периодов для корзины из 10 наименований для следующих данных

где - количество i - го продукта в корзине,

- цена единицы i - го продукта на начало t - го периода времени.

Определить, в каких периодах темпы роста стоимости корзины были наибольшими и наименьшими.

Определить индексы для части корзины, составленных из первых 5 продуктов.

Определить индексы для части корзины, составленных из последних 5 продуктов.

Решение:

1. Вводим в диапазон A3:A12 числа от 1 до 10 (номера продуктов, входящих в корзину).

2. Вводим в диапазон C2:I2 числа от 1 до 7 (номера периодов).

3. Вводим в B3 формулу: = 2*A3+1 (количество 1 - го продукта).

4. Копируем B3 в диапазон B4: B12.

5. Вводим в C3 формулу: = $A3*(1.05+SIN(C$2)*C$2/100)^C$2

(обращение к колонке A с номерами продуктов и к строке 2 с номерами периодов делаем абсолютными).

3. Исчисление валютных корзин

В практике международных финансовых расчетах применяются так называемые коллективные валютные единицы: SDR (special drawing rights) и ECU (European currency unit), которые рассчитываются на основе стоимости корзин валют. валютный рыночный потребительский

Состав корзин и удельный вес отдельных валют, входящих в корзину, периодически пересматривается с учетом изменяющейся экономической конъюнктуры.

Рассмотрим корзину для SDR, в которую входят валюты пяти крупнейших стран экспортеров мира (США, Японии, Германии, Франции и Великобритании).

Обозначим:

V_i - количество единиц i - ой валюты в корзине;

K_дi - стоимость единицы i - ой валюты в долларах(индекс I);

SDR_i - стоимость единицы SDR в долларах:

В таблице приведено исчисление единицы SDR по состоянию на 15.08.94.

		Валютный компонент (ед. валюты) Vi	Стоимость единицы в долларах Kдi	Долларовый эквивалент ViKдi	Доля в корзине
1	Доллар США	0,572	1	0,572	39,30%
2	Немецкая марка	0,453	0,64412	0,291786	20%
3	Фунт стерлингов	0,0812	1,544	0,125373	8,60%
4	Японская иена	31,8	0,00996	0,316728	21,80%
5	Французский франк	0,8	0,18769	0,150152	10,30%
	Стоимость в долларах			1,456037

Введем матрицу кросс-курсов валют

K= { K_{ij ,}

Где K_ij - стоимость единицы i - ой валюты в j - ой валюте;

i, j - номера валют;

1 - доллар; 4 - иена;

2 - марка;5 - франк.

3 - фунт стерлингов;

Тогда стоимость единицы в SDR в j - ой валюте вычисляется по формуле:

Задача 1

Рассчитать стоимость единицы SDR в долларах, марках, фунтах стерлингов, иенах и франках (SDR_i) по данным таблицы кросс-курсов валют на 14.04.98. Найти стоимости национальных валют в SDR за период с 15.08.94?

Решение:

1. Вводим в B4:B8 валютные компоненты из рассмотренной выше таблицы .

2. Вводим в B13:G18 таблицу кросс-курсов.

3. Вводим в C4 формулу: = $B4*C14

(обращение к колонке B делаем абсолютным для корректного последующего копирования).

4. Копируем формулу из C4 вниз до 8 строки и вправо до G - столбца.

5. Вводим в C10 формулу: = СУММ(C4:C8).

6.Копируем формулу из C10 вправо до G - столбца (стоимости единицы SDR в национальных валютах).

Ответ: стоимости единицы SDR в национальных валютах на 14.04.98 находятся в ячейках C10:G10. Стоимости национальных валют в единицах SDR значения (1/ SDR_i) на 14.04.98 представлены в таблице:

Валюта	USD	DEM	GBR	JPY	FRF
Стоимость в SDR	0,75063	0,41218	1,25326	0,00578	0,12287

На 15.08.94 единица SDR стоила 1,4560$, доллар стоил 0,68681 SDR.

На 14.04.98

единица SDR стоила 1,3322$, доллар стоил 0,75064 SDR.

Курс доллара по отношению к SDR вырос на 9,29%.

Курс марки снизился на 6,83%.

Курс фунта вырос на 18,19%.

Курс иены снизился на 15,46%.

Курс франка снизился на 4,68%.

4. Построение наилучших теоретических зависимостей

4.1 Одномерный случай

Данные по расходам на образование и национальным доходам по 4 - м странам представлены в следующей таблице:

	Страны
	1	2	3	4
Расход на образование Xi	2	4	5	8
Национальный доход Yi	10	30	50	60

Графически изобразим данные на диаграмме типа ТОЧЕЧНАЯ.

Эксперты предполагают, что между расходами на образование x и национальным доходом y существует линейная связь

y=bx+c.

Задача 1

Требуется по фактическим донным из таблицы найти параметры b и c наилучшей теоретической прямой, которая менее всех других прямых отклоняется от экспериментальных точек. В качестве меры отклонения (точности) взять сумму квадратов отклонений

.

Решение:

1. Заполним диапазон A1:E5 первичными данными, представленными на следующем рисунке. Ячейки B2 и B3 содержат стартовые значения.

2. В ячейку B6 вводим формулу: =$B$2*B4+$B$3 (теоретическое значение в точке x_i)

3. В ячейку B7 вводим формулу: (B5-B6)^2 (квадрат отклонения фактического значения от теоретического значения функции).

4. Копируем формулы из B6:B7 вправо

5. Вводим в ячейку F7 формулу =СУММ(B7:E7) (сумма квадратов отклонений).

6. Запускаем СЕРВИС - ПОИСК РЕШЕНИЯ и устанавливаем следующие параметры поиска:

целевая ячейка - F7,

цель поиска - МИНИМУМ,

изменяемые ячейки - B2:B3.

Результаты поиска приведены на рис.

Ответ: уравнение наилучшей прямой имеет вид: y=8,4x-2,4, сумма квадратов отклонений равна 152, и график прямой представлен на рис.

Задача 2

Для фактических данных из приведенной выше таблицы найти параметры наилучшей кривой в классе квадратичных:

y=ax²+bx+c

Построить кривую на диаграмме. Определить, если имеется, точку максимума полученной кривой.

Ответ: a = -1.17, b = 20,3, с = -27,13, S = 54, x_max = 8,67.

Задача 3

Решить предыдущую задачу в классе кубических функций:

y= dx³+ax²+bx+c.

Ответ: d= -1,24 a = 16,97, b = -57,03, с = 66,11, S = 0.

Замечание. Полученная кубическая кривая точно проходит через все 4 заданные точки, о чем свидетельствует величина S, равная нулю.

В заключение напомни, что рассмотренная задача может быть решена аналитически по методу наименьших квадратов.

4.2 Многомерный случай

Специалисты-маркетологи некоторой фирмы считают, что уровень продаж фирмы (y) зависит от расходов на рекламу на телевидении (x1), расходов на рекламу в печати (x2) и расходов (x3) конкурирующей фирмы на рекламу своего аналогичного товара по формуле:

y = a₀+a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃

В отделе маркетинга имеются данные за 8 периодов, которые сведены в таблицу.

№ периода	Y (объем продаж)	X1 (затраты нарекламу на TV)	X2 (затраты нарекламу в песати)	X3 (затраты компенсируюся на свою рекламу)
1	9,72	10	5	10
2	10,57	12	4	8
3	10,05	14	6	12
4	9,49	8	3	9
5	8,76	9	5	13
6	9,74	11	7	11
7	10,52	13	10	10
8	10,17	10	4	8

Требуется по имеющимся данным найти коэффициенты

a₀,a₁,a₂,a_3,

минимизирующие сумму квадратов отклонений теоретических значений от фактических данных.

Используя геометрическую терминологию, эту задачу можно сформулировать так: построить в 4- х мерном пространстве плоскость наименее всех других отстоящую от заданных точек.

Решение:

Обозначим a столбец искомых коэффициентов

a₀

a₁

a = a₂

a₃

Пусть X - матрица размером 8Ч4 у которой первый столбец состоит их вспомогательных единиц, а остальные столбцы содержат значения величин X₁, X₂, X₃, за 8 периодов из приведенной выше таблицы,

X^T - транспонированная матрица X,

Y - столбец объемов продаж за 8 периодов.

Столбец коэффициентов находится методом наименьших квадратов по формуле:

a = (X^T X ) X^T Y.

1. Вводим в диапазон B3:B10 вспомогательные единицы, в диапазон C3:E10 данные по X₁, X₂, X₃, в диапазон G3:G10 данными по Y.

2. Маркируем диапазон B3:E10 и присваиваем ему имя X

3. Маркируем диапазон G3:G10 и присваиваем ему имя Y

4. Маркируем диапазон B3:E10 и копируем его в буфер (ПРАВКА, КОПИРОВАТЬ).

5. Устанавливаем курсор в ячейку A13 и выбираем ПРАВКА, СПЕЦИАЛЬНАЯ ВСТАВКА.

В появившемся окне ставим галку в квадрат ТРАНСПОНИРОВАТЬ

6. Маркируем диапазон A13:H16 и присваиваем ему имя XT.

7. Маркируем место для столбца искомых коэффициентов - диапазон B19:B22.

8. Активизируем строку формул и вводим туда формулу:

МУМНОЖ(МУМНОЖ(МОБР( МУМНОЖ(XT;X));XT);Y)

9/ Нажимаем комбинацию CTRL+SHIFT+ENTER

	Столбец коэффициентов
a0	10,013
a1	0,2
a2	0,04
a3	-0,25

Ответ: искомая зависимость имеет вид

Y = 10,013 + 0,2x₁ + 0.04x₂ - 0,25x₃.

Увеличение затрат на рекламу на TV на единицу увеличивает продажи на 0,2 единиц. Увеличение затрат на рекламу в печати на единицу увеличивает продажи на 0,04 единицы. Таким образом, затраты на рекламу на TV в 5 раз эффективнее затрат на рекламу в печати.

Затраты конкурирующей фирмы на рекламу собственной аналогичной продукции уменьшают объем продаж конкурента, о чем свидетельствует знак «минус» у коэффициента 0,25.

5. Задача оптимального потребительского выбора

Обозначим:

x - количество единиц первого продукта в наборе;

y - количество единиц второго продукта в наборе;

p₁ - цена единицы первого продукта;

p₂ - цена единицы второго продукта;

U(x,y) - полезность работы (x,y), выраженная числом.

x p₁+y p₂ - стоимость набора (x,y):

I - количество средств, которые можно потратить на первый и второй продукты.

В общем виде задача потребительского выбора формулируется так:

Найти набор (x,y), который максимизирует полезность и не превосходит по стоимости величины I, т.е.

U(x,y)>max

x p₁+y p₂ ? I

x ? 0, y ? 0

Задача 1

Решить задачу потребительского выбора для следующих данных:

U(x,y) = vxy.

p₁=2, p₂=4, I = 200.

Построить кривую безразличия (кривую одинаковой полезности) и бюджетную линию, проходящие через оптимальный набор.

Решение:

Математическая модель имеет вид:

vxy)>max,

2x + 4y ? 200,

x ? 0, y ? 0

Преобразуем все неравенсва-ограничения к стандартному виду:

200 - 2x - 4y ? 0,

x ? 0,

y ? 0.

1. Для удобства присваиваем ячейкам B2 и B3 имена X и Y соответственно.

2. Заполняем таблицу данными, как показано ниже (стартовые значения переменных X и Y полагаем равными 1)

(В С4 формула введена с ошибкой)

3. Вызываем из основного меню СЕРВИС, ПОИСК РЕШЕНИЯ.

Устанавливаем следующие параметры поиска:

целевая ячейка D2

цель поиска - максимум

изменяемые ячейки - x, y

ограничения -С2:С4>=0

(ссылку на ячейки, содержащие ограничения, вводим методом указания, обводя курсором диапазон С2:С4).

Запускаем поиск, щелкнув по кнопке "Выполнить".

Сохраняем найденные результаты.

Ответ: оптимальный набор состоит из х = 50 единиц первого продукта и у=25 единиц второго продукта, полезность оптимального набора равна 35,36.

Уравнение кривой постоянной полезности 35,36 единиц (кривой, безразличия уровня 35,36) в плоскости XOY имеет вид

,

откуда получаем

Уравнение бюджетной линии (изокосты уровня 200) имеет вид

2x + 4y = 200,

откуда получаем

y = 50-0,5x.

Табулируем эти функции на отрезке [40;60] с шагом и строим график искомых функций на одной диаграмме типа ТОЧЕЧНАЯ.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Хорошо видно, что кривая безразличия и бюджетная линия касаются в точке х = 50, у = 25.

Задача 2

Решить задачу потребительского выбора для следующих данных:

,

р₁ =6, р₂=4, I= 100,

при дoпoлнитeльнoм ограничении

.

Ответ: x_opt=10,4; y_opt =9,4; U_opt =13,47.

Задача 3

Решить трехпродуктовую задачу потребительского выбора для следующих данных

,

p₁ = 3, p₂ =7, p₃ =5, I=200.

Ответ: x_opt=15,8; y_opt=13,6; z_opt=11,5; U_opt=27,66.

Задача 4

Студент может потратить 1000 руб. в месяц на занятия плаванием и дискотеку. Стоимость часа в бассейне равна p₁ =20 руб., стоимость часа на дискотеке р₂ =100 руб. Ценность проведенных в бассейне х часов и проведенных на дискотеке у часов оценивается следующей функцией полезности

.

Найти оптимальное распределение времени.

Ответ: следует в месяц потратить 35 часов на бассейн и 3 часа на дискотеку.

Размещено на Allbest.ru

...