Приближенные методы вычисления собственных чисел и собственных векторов матриц линейных операторов в конечномерном линейном пространстве
Линейные операторы и операции над ними. Собственные числа и векторы. Связь между матрицами оператора в различных базисах. Сложение и умножение линейных векторов. Отыскание собственных значений матрицы. Способы получения характеристического многочлена.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.10.2016 |
| Размер файла | 204,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http: //www. allbest. ru/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИИ
РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА «ЗНАК ПОЧЕТА»
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
«Приближенные методы вычисления собственных чисел и собственных векторов матриц линейных операторов в конечномерном линейном пространстве»
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
1.1 Основные определения
1.2 Связь между линейными операторами и матрицами
1.3 Сложение и умножение линейных операторов
1.4 Обратный оператор
1.5 Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах
1.6 Собственные числа и собственные векторы линейных операторов
2. МЕТОД А.Н.КРЫЛОВА
2.1 Отыскание собственных значений матрицы
2.2 Отыскание собственных векторов матрицы
3. МЕТОД ЛАНЦОША.
3.1 Отыскание собственных значений
3.2 Отыскание собственных векторов
4. МЕТОД ДАНИЛЕВСКОГО.
4.1 Отыскание собственных значений
4.2 Отыскание собственных векторов
5. ДРУГИЕ СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА
5.1 Метод Леверрье - Фаддеева
5.2 Метод окаймления
5.3 Эскалаторный метод
5.4 Метод Самуэльсона
5.5 Интерполяционный метод
5.6 Сравнение некоторых методов раскрытия характеристического многочлена
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ВВЕДЕНИЕ
Большое число задач математики и физики требует отыскания собственных значений и собственных векторов линейных операторов, т.е. отыскания таких значений , для которых существуют нетривиальные решения операторного уравнения
(1)
и отыскания этих нетривиальных решений.
Выберем некоторый базис e в пространстве L. Уравнение (1) индуцирует в пространстве Rn систему линейных алгебраических уравнений следующего вида:
(1/)
Здесь А=- матрица линейного оператора А в базисе e.
Под полной проблемой собственных значений понимается проблема нахождения всех собственных значений матрицы А, так же как и отвечающих этим собственным значениям собственных векторов.
Собственными значениями матрицы А называются корни ее характеристического многочлена, т.е. корни уравнения
Определение компонент собственного вектора требует решения n однородных уравнений с п неизвестными; для вычисления всех собственных векторов матрицы требуется решить п систем вида (1/).
Коэффициенты pi характеристического многочлена являются, с точностью до знака, суммами всех миноров определителя матрицы А порядка i, опирающихся на главную диагональ. Непосредственное вычисление коэффициентов pi является чрезвычайно громоздким и требует огромного числа операций.
В вычислительной математике выработано много различных приемов и методов, облегчающих численное решение поставленных задач. Большинство методов, дающих решение полной проблемы собственных значений, включает предварительное вычисление коэффициентов pi характеристического многочлена. Собственные значения вычисляются затем по какому-либо методу для приближенного вычисления корней многочлена, например, способом Ньютона или Лобачевского, а потом по полученному собственному значению вычисляются собственные векторы, отвечающие этому собственному значению. Методы этой группы являются точными. Существуют также методы, позволяющие отыскивать собственные значения и собственные векторы без раскрытия определителя (2). Эти методы называются итерационными. Такие методы более приспособлены к решению частичной проблемы собственных значений, т.е. задачи нахождения одного или нескольких собственных значений и соответствующих им собственных векторов.
Целью данной дипломной работы является рассмотрение некоторых численных методов решения полной проблемы собственных значений.
1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
матрица линейный оператор многочлен
1.1 Основные определения
Определение 1. Пусть каждому вектору х n-мерного пространства L поставлен в соответствие вектор у этого же пространства. Функцию у = (х) называют оператором пространства L.
Определение 2. Оператор называется линейным, если выполняются следующие условия:
10 ( х1 + х2) = (х1) + (х2)
(свойство аддитивности оператора)
20 (х) = (х)
Среди линейных операторов особую роль играют следующие:
Единичный оператор Е (или тождественный), ставящий в соответствие каждому вектору этот же самый вектор, т.е. Ех = х
Нулевой оператор О, ставящий в соответствие каждому вектору х нулевой вектор: Ох = о
1.2 Связь между линейными операторами и матрицами
Пусть{e} = {e1,e2, …,en} - базис в n-мерном пространстве L и - линейный оператор в L. Тогда имеет место следующая
Теорема 1. Для любых n векторов q1, q2, …, qn существует один и только один линейный оператор , такой, что
(e1) = q1, (e2) = q2, …, (en) = qn.
Обозначим координаты вектора qk в базисе e1, e2, …, en через a1k, a2k, …, ank, т.е. положим
qk = (ek) =
Совокупность чисел aik ( i,k = 1,2,…, n) образует матрицу
Ае = || aik||,
которая называется матрицей линейного оператора в базиcе e1, …, en. Таким образом, матрицей оператора в базиcе {e} называется транспонированная матрица координат векторов (e1), (e2), …, (en) в базисе {e}. Ае есть квадратная матрица порядка n с элементами из поля Р.
Соответствие линейному оператору его матрицы в фиксированном базисе является взаимно-однозначным соответствием между множеством всех линейных операторов в пространстве L и множеством Mn (P) всех квадратных матриц порядка n с элементами из поля Р.
1.3 Сложение и умножение линейных операторов
Линейные операторы можно складывать и умножать.
Определение 1. Произведением линейных операторов и называется оператор , состоящий в последовательном выполнении сначала преобразования , а затем .
Другими словами
=
означает, что для любого х
(х)= ((х)).
Произведение линейных операторов есть линейный оператор. Действительно,
(х1 + х2) = [ (x1 + x2)] = [ (x1) + (x2)] =
= ( (x1) ) + ( ( x2) ) = (x1) + (x2)
Аналогично показывается, что (х) = (х).
Если Е - единичный оператор, а - произвольный, то Е = Е = . Степень оператора определяется так:
2 = , 3 = 2 , … и т.д.
0 = Е.
m+n = m n
Определение 2. Суммой линейных операторов и называется такой оператор , который каждому вектору х ставит в соответствие вектор (х) + (х); иначе говоря,
= +
означает, что
(х) = (х) + (х) для любого х.
Операции сложения и умножения линейных операторов удовлетворяют обычным для сложения и умножения свойствам, а именно:
10 + = +
20 ( + ) + = + ( + )
30 () = ()
40 ( + ) = + ; ( + ) = +
Необходимо определить также произведение оператора на число ; под оператором понимается оператор, который каждому вектору х ставит в соответствие вектор ( (х) ). Ясно, что если линейному оператору отвечает матрица || aik||, то преобразованию отвечает матрица || aik||. Умея находить сумму и произведение линейных операторов, можно теперь найти любой многочлен от оператора . Пусть Р () - многочлен от с коэффициентами из основного поля Р.
P () = ann + an-1 n-1 + … + a1 + a0
Тогда по любому линейному оператору можно построить новый линейный оператор
P() = ann + an-1 n-1 + … + a1 + a0E,
который называется многочленом от . При этом, если Ае - матрица оператора в базисе {e}, то матрица оператора P() в том же базисе имеет вид:
P (Аe) = an Аne + an-1Аn-1e + … + a1Аe + a0E.
1.4 Обратный оператор
Определение 1. Оператор называется обратным к , если
= = Е,
где Е - единичный оператор.
В силу определения Е это означает, что для любого х ((х))=х, т.е. если переводит х в вектор (х), то обратный оператор переводит вектор (х) обратно в вектор х. Оператор, обратный оператору , обозначается -1.
Не для всякого оператора существует обратный. Например, оператор, проектирующий трехмерное пространство на плоскость XOY, очевидно, не имеет обратного.
С понятием обратного оператора связано понятие обратной матрицы. Как известно, для каждой матрицы А, удовлетворяющей условию Det (A) 0, можно определить матрицу А-1, удовлетворяющую условию
АА-1 = А-1А = Е (*)
Эта матрица А-1 называется обратной к матрице А. Ее можно найти, решая систему линейных уравнений, эквивалентную выше приведенному матричному равенству (*). Элементы ее k-го столбца окажутся равными минорам k-кой строки матрицы А, деленным на ее определитель. Легко проверить, что так определенная матрица А-1 удовлетворяет условиям (*).
С произвольным линейным оператором связаны два важных подпространства - ядро и образ этого оператора.
Определение 2. Образом оператора называется множество всех векторов вида (х), где х пробегает все пространство L. Образ оператора обозначается через im .
Другим важным подпространством является ядро оператора .
Определение 3. Ядром линейного оператора , действующего в пространстве L, называется множество всех векторов х, удовлетворяющих условию (х) = 0.
Ядро оператора обозначается Ker . Таким образом, ker есть полный прообраз нуль-вектора при отображении , а im есть полный образ пространства L при отображении . Далее ker есть совокупность решений однородного уравнения (х) = 0, а im есть совокупность тех и только тех правых частей, при которых уравнение (х) = d имеет решение.
Имеет место общая
Теорема 2. Пусть размерность пространства L равна n, и - линейный оператор из L, тогда
dim (im ) + dim (ker ) = n.
1.5 Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах
Один и тот же линейный оператор может в различных базисах иметь различные матрицы. Выясним, как изменяется матрица линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому.
Пусть в L даны два базиса :
{e} = { e1, e2, …, en} и { e/} = { e/ } = { e/1, e/2, …, e/n}.
Матрица перехода от базиса {e} к базису {e/} обозначают P ee/. Положим:
(*)
Другими словами матрица перехода от базиса {e} к базису {e|} есть транспонированная матрица координат векторов e/1, e/2, …, e/n в базисе {e}.
Введем вспомогательный линейный оператор P, положив
P(ei) = e/i.
Его матрица в базисе е1, е2, …, en будет Pee/
Обозначим матрицу линейного оператора в базисе {e} через
Ae = || aik||,
а в базисе { e/} через
Ae/ = || dik||.
Иначе говоря,
,
Наша цель выразить матрицу Ae/ через матрицы Aе и Pee/. Заменим для этого в правой и левой части последней формулы e|r через (er) и e|i через (er/ )
Получим :
( p (er) ) = bik ei
Применим к общим частям этого равенства оператор р-1 ( он существует, так как векторы e|1, e|2, …, e|n линейно независимы).
Получим:
p-1 ( p (ek) ) =
Итак, матрица || bik|| есть так же матрица оператора p-1 p в базисе {e}. При умножении операторов их матрицы в данном базисе {e} перемножаются. Поэтому
Ae| = P-1ee| Aе Рee| (**)
Итак, матрица Ae| оператора в базисе {e|} получается из матрицы Aе оператора в базисе {e} по формуле (**), где Pee| - матрица перехода от базиса {e} к базису {e|} (формула (*).
Предположим, что
{e||} = { e||, e||2, …, e||n}
- еще один базис в пространстве L. Матрица перехода от одного базиса к другому обладает следующими свойствами :
1) det Pee/ 0 ;
2) Pee/ = E
3) Pe/e// Pe//e = Pe/e
4) Pee/ = P-1e/e
Пусть x L и {i,} i = 1, 2, …, n - его координаты в базисе {e}. Тогда вектор-столбец ( 1, 2, …, n ) будем обозначать символом хе. Необходимо отметить также формулу, связывающую координаты вектора х в разных базисах :
хе = Pee/ xe/.
1.6 Собственные числа и собственные векторы линейных операторов
Пусть линейный оператор в пространстве L.
Определение 1.
Число из основного поля Р называется собственным значением оператора , если существует такой вектор и L, что и О и (и) = и. Вектор и называется собственным вектором оператора , отвечающим собственному значению . Множество всех собственных значений оператора называется его спектром и обозначается ().
Пусть и - собственный вектор оператора , отвечающий собственному значению 0. Тогда
(и) =0и, т.е. ( - 0Е) (и) = 0. Таким образом, и ker ( - 0Е).
Легко видеть, что верно и обратное: любой ненулевой вектор из подпространства ker ( - 0Е) является собственным вектором оператора , отвечающим собственному значению 0. Поэтому число 0 Р является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда ker ( - 0Е) 0, т.е. когда det ( - 0Е) = 0, или оператор - 0Е - необратим
Справедлива следующая
Tеорема 3
Для числа из основного поля следующие условия эквивалентны:
1) () ;
2) ker ( - Е) {0} ;
3) оператор - Е необратим ;
4) det ( - Е) = 0.
det ( - E) = 0
- уравнение n-й степени относительно . Его называют характеристическим уравнением линейного оператора .
Таким образом, каждый линейный оператор имеет собственное значение. Действительно, характеристическое уравнение det ( - Е) = 0 всегда имеет корень ( в силу основной теоремы алгебры).
Собственные векторы обладают следующими свойствами:
10. Для того, чтобы матрица А линейного оператор в данном базисе {еk} была диагональной (т.е. все ее элементы, расположенные не на главной диагонали, равны нулю), необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы ek были собственными векторами этого оператора.
20. Пусть собственные значения 1, 2, …, р оператора различны. Тогда отвечающие им собственные векторы е1, е2, …, ер линейно независимы.
Условие 4) теоремы 3 дает способ отыскания спектра оператора . Выбрав произвольный базис {e} в пространстве L и учитывая, что в любом базисе тождественный оператор имеет единичную матрицу Е, запишем условие 4) в эквивалентной форме:
(1)
Матрица Ае - Е называется характеристической матрицей оператора в базисе {e}. Ее определитель | Ае - Е|, являющийся многочленом n-ной степени от с коэффициентами из основного поля Р, называется характеристическим многочленом оператора и обозначается Р(). Так как для любого
Р Р()= =det ( - E),
то коэффициенты характеристического многочлена не зависят от базиса, в котором взята матрица Ае оператора . Из теоремы 1 следует, что 0 () тогда и только тогда, когда р (0) = 0, т.е. спектр оператора совпадает с множеством корней ( в основном поле!) характеристического многочлена р (). Любой многочлен нулевой степени с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень, а любой многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами имеет по крайней мере один вещественный корень. Отсюда еще один важный результат :
Теорема 4. Спектр любого линейного оператора в комплексном пространстве ненулевой размеренности не пуст. Спектр любого линейного оператора в вещественном пространстве нечетной размеренности не пуст.
Задача вычисления коэффициентов характеристического многочлена в общем случает является довольно трудоемкой.
Поэтому раскрытие определителя | Ае - Е | при n 4 предпочтительно проводить, используя общие приемы вычисления определителей, в частности, приводя его элементарными преобразованиями к треугольному или клеточному виду. Как только характеристический многочлен оператора найден и определены его корни в основном поле, то координаты собственных векторов в базисе {ek}, отвечающих собственному значению 0, определяются решением системы линейных однородных уравнений с матрицей Фе - 0Е. Следует заметить, что одному собственному числу 0 отвечает столько линейно независимых собственных векторов, какова размерность подпространства ker ( - 0E).
Далее будут рассмотрены некоторые численные методы, позволяющие решить задачу нахождения собственное значений и собственной векторов линейного оператора.
2. МЕТОД А.Н. КРЫЛОВА
2.1 Отыскание собственных значений матрицы
Академик А.Н.Крылов в 1931 году одним из первых предложил довольно удобный метод раскрытия определителя (2).
Суть метода А.Н.Крылова состоит в преобразовании определителя D() к виду
(1)
Равенство нулю определителя D() есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы однородная система линейных алгебраических уравнений
(2)
имела решение х1, х2, …, хn, отличное от нулевого.
Преобразуем систему (2) следующим образом. Умножим первое уравнение на и заменим x1, …,xn их выражениями (2) через x1,…, xn.
Это дает
, (3) где (4)
Умножим далее уравнение (3) на и заменим снова x1, …,xn их выражениями через x1,…, xn. Получим
.
Повторяя этот процесс (n-1) раз, мы перейдем от системы (2) к системе
(5)
коэффициенты которой будут определятся по рекуррентным формулам
(6)
Очевидно, что определитель системы (5) будет иметь вид (1).
Система линейных алгебраических уравнений (5) имеет ненулевое решение для всех значений , удовлетворяющих уравнению D()=0. Таким образом, D1()=0 при всех , удовлетворяющих уравнению D()=0.
Покажем, что
(7)
Пусть все корни D() различны. Так как все корни D() являются корнями D1(), то D1() делится на D(). Так как, кроме того, степени D1() и D() одинаковы, то частное должно быть постоянным. Сравнивая коэффициенты при n, получим
D1()=СD() (8)
В случае, если D() имеет кратные корни, равенство (8) сохраняется.
Рассмотрим теперь коэффициенты bik, определяющие D1(). Введем в рассмотрение векторы Bi с компонентами bi1, bi2, …, bin. Равенства
(i=1,2,…,n)
показывают, что Bi=ABi-1, где A - матрица, транспонированная к данной. Из этого следует, что
Bi=A i-1B1, B1=AB0, (9)
где В0=(1,0,…,0)
Если С0, то уравнения D1()=0 и D()=0 эквивалентны. Если же С=0, то это преобразование ничего не дает. А.Н.Крылов предлагает в этом случае особый прием, рассмотренный ниже. Возьмем в качестве вектора В0 произвольный вектор В0=(bi1,bi2,…,bin) и получим с его помощью по формулам (9) векторы Вi.
Пусть u=b01x1+b02x2+…+b0nxn (10)
где x1,x2,…xn - решения системы (1/). Тогда повторяя прежние рассуждения, получим:
(11)
Решая эту систему как систему линейных однородных уравнений с n+1 неизвестными u,x1,x2,…xn, получим, что ненулевое решение возможно в том и только в том случае, когда
(12)
Повторяя прежние рассуждения, найдем, что
(13)
если С10, то коэффициенты рi характеристического многочлена определяются как отношения где Di - алгебраические дополнения элементов n-i в определителе D().
Но сущность метода Крылова и состоит в том, чтобы находить эти коэффициенты, не подсчитывая миноры.
Воспользуемся теоремой Гамильтона - Кэли о том, что матрица является корнем своего характеристического уравнения, т.е.
(A) n+p1(A)n-1+…+pn-1A+pnE=0, (14)
где рi - коэффициенты характеристического многочлена.
Умножая равенство (14) на b0, получим:
bn+p1bn-1+p2bn-2+…+pn-1b1+pnb0=0 (15)
Это векторное равенство дает систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов характеристического многочлена. Определитель этой системы равен С1. Решать полученную систему можно любым из известных методов, например, методом Гаусса.
Можно было бы применить теорему Гамильтона - Кэли и для самой матрицы А, получили бы тогда систему
сn+p1сn-1+p2сn-2+…+pn-1с1+pnс0=0 (15/)
здесь ci=Aic0, c0
- произвольный начальный вектор.
Пример. Пусть матрица A имеет вид:
в качестве вектора В0 возьмем вектор В0=(1,0,0,0). Тогда получим векторы
В1=АВ0, В2=А2В0= АВ1, В3=А3В0=АВ2, В4=А4В0=АВ3:
|
B0 |
B1= AB0 |
B2=AB1 |
B3=AB2 |
B4=AB3 |
|
|
1 |
1 |
26 |
194 |
1973 |
|
|
0 |
2 |
17 |
174 |
1651 |
|
|
0 |
3 |
33 |
337 |
3260 |
|
|
0 |
4 |
21 |
230 |
2095 |
Система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов характеристического многочлена имеет вид:
Решив эту систему, получим: р1=-11, р2=7, р3=72, р4=-93. Поэтому характеристический многочлен примет вид:
D()= 4 -113 + 72 +72 -93.
В приведенном примере С10.
В случае, если С=0, такая система не даст возможности определить коэффициенты характеристического уравнения. Матрица А и транспонированная к ней матрица А удовлетворяет своему характеристическому уравнению D(A)=0. Но может оказаться, что существуют многочлены () степени меньше n, для которых также выполняется равенство (А)=(А)=0. Среди таких многочленов имеется единственный многочлен со старшим коэффициентом 1, имеющим наименьшую степень. Этот многочлен называется минимальным. Если минимальный многочлен матрицы не совпадает с характеристическим, то С=0 при любом выборе начального вектора. В этом случае АС0=0 и векторы С0, АС0, …,Аn-1C0 линейно зависимы.
На практике при использовании метода Крылова такая ситуация может возникнуть лишь при особых обстоятельствах.
Можно подсчитать, что при раскрытии характеристического многочлена матрицы с помощью метода Крылова потребуется 0,5(2п3+п2+п) операций умножения и деления.
2.2 Определение собственных векторов по методу А.Н. Крылова
Предположим, что методом Крылова найдены коэффициенты характеристического многочлена уравнения и что все собственные числа вычислены и оказались различны. Покажем, как определить собственные векторы матрицы. Пусть В0 - начальный вектор в процессе Крылова и пусть Х1, Х2,..,Хn собственные векторы матрицы, отвечающие собственным значениям 1, 2, …, n. Так все собственные значения различны, то собственные векторы линейно независимы. Разложим вектор В0 по собственным векторам:
B0=a1X1+a2X2+…+anXn (1)
В1=АВ0=а11Х1+а22Х2+…+аnnXn,
Вn-1=Аn-1В0=а11n-1 Х1+а22 n-1Х2+…+аnn n-1Xn,
Векторы В1,В2,…, Вn-1 вычислены в процессе нахождения собственных значений. Они могут быть получены в виде линейных комбинаций
i0Bn-1+ i1Bn-2+in-1B0 (i=1,2,…,n)
при подходящем выборе коэффициентов ij. Рассмотрим линейную комбинацию
10Bn-1+11Bn-2+1n-1B0= a1(101n-1+ 111n-2 +… +1n-1)X1++ a2(102n-1+ 112n-2 +… +1n-1)X2+ ………………………++ an(10nn-1+ 11nn-2 +… +1n-1)Xn=а111Х1 ++ а212Х2 +…+ аn1nХn, где 1=10n-1+ 11n-2 +… +1n-1.
Подберем коэффициенты 10, 11,…,1n-1 так, чтобы 110, 12=1n=0. Для этого достаточно взять в качестве 1 многочлен
1=(-1)(-2)… (-n)= ,
где - характеристический многочлен, коэффициенты и корни которого уже вычислены. Коэффициенты последнего равенства легко вычисляются по схеме Горнера, т.е. по рекуррентным формулам
10=1, ij=11j-1-pj, j=1,2,…,n-1.
Таким образом,
i0Bn-1+ i1Bn-2+in-1B0= а111Х1,
т.е. составленная нами линейная комбинация есть собственный вектор Х1 с точностью до численного множителя. Конечно, коэффициент а1 должен быть отличен от нуля, это обеспечивается успешным завершением процесса А.Н.Крылова. Так как собственный вектор определен с точностью до постоянного множителя, мы можем принять за собственный вектор построенную линейную комбинацию.
Аналогично,
3. МЕТОД ЛАНЦОША
3.1 Отыскание собственных значений
Решение систем линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов характеристического или минимального многочлена можно осуществить методом ортогонализации. Процесс ортогонализации целесообразно проводить после каждого умножения на матрицу А. Здесь рассмотрим возникающие при этом алгоритмы. Выберем произвольный начальный вектор С00 и находим АС0.
Подберем теперь коэффициент а10 так, чтобы вектор
С1 = а0 - а10С0
был ортогонален и вектору С0. Это всегда возможно и условие ортогональности дает
А10 = .
Может оказаться, что С0 = 0. В этом случае векторы С0 и АС0 линейно зависимы и Р1(А) = - а10 будет делителем минимального многочлена матрицы А. Тогда дальнейшие действия с вектором С0 прекращаются. Если же С1 0, то образуем вектор АС1 и подбираем коэффициенты а21 и а20 так, чтобы вектор
С2 = АС1 = а21 С1 - а20С0
был ортогонален к векторам С0 и С1. Это также всегда возможно. При этом
А21 = ; а20 = .
Если окажется, что С2 = 0, то
А (АС0 - а10С0) - а21( АС0 - а10С0) - а20С0 = 0
даст линейную зависимость между векторами С0 и АС0 и А2С0, а многочлен
Р2() = ( 0 а21) ( - а10) - а20 = ( - а21) Р1() - а20
будет делителем минимального многочлена матрицы А. Если же С20, то продолжаем процесс ортогонализации.
Пусть нами уже найдены векторы С0,С1, …, Cm-1, удовлетворяющие условиям:
Ck+1 = ACk - ak+1, k Ck - ak+1, k-1 Ck-1 - …- ak+1, 0 C0
(k = 1,2,…,m-1)
(Ci, Cj) = 0 при ij, Ck0 (i,j,k = 0,1,2,…,m-1).
Тогда подбираем коэффициенты amm, am,m-1,…, am,0 так, чтобы вектор
Cm = А Cm-1 - am,m-1Cm-1 - am,m-2Cm-2 - … - am0C0
был ортогонален к каждому из векторов С0, С1,…,Сm-1. Это возможно. Коэффициенты ami должны быть определены по формулам
Ami =
Параллельно с построением системы взаимно ортогональных векторов С0, С1,…, Cm,… строим последовательность многочленов
Р0() = 1; Рm()=(- аm, m-1)Pm-1() - am, m-2Pm-2 () - …- am0 P0()
Так как в нашем пространстве имеется не более n взаимно ортогональных векторов, то на каком-то шаге будет иметь Cm = 0. При этом АСm-1 - am? m-1 Cm-1 - am, m-2 Cm-2 -..- am,0 C0=0 даст линейную зависимость векторов С0 ,АС0,…,AmC0 и, следовательно многочлен
Pm() = ( - am,m-1) Pm-1 () - , k Pk()
будет делителем минимального многочлена матрицы А. При m=п
Pm () будет является характеристическим многочленом матрицы А. Если mn, то выбираем новый начальный вектор С0|, ортогональный к векторам С0,С1,…,Cm-1, и повторяем с ним тот же процесс. Если этого окажется недостаточно, т.е. общее количество ортогональных векторов все еще будет меньше k, то проводим наши рассуждения с новым вектором С0|| ортогональным ко всем предыдущим и т.д.
Для симметрической матрицы А эти равенства упрощаются. Действительно, в этом случае
Ak+1,i = = =
i = 0,1,2,…,k),
И если i k-1, то аk+1, i = 0. Таким образом, если матрица А симметрическая, то будем иметь:
Сл+1 = А Сk - аk+1, k Ck - ak+1, k-1 Ck-1.
Аналогичное упрощение можно получить и для несимметрической матрицы, заменив процесс ортогонализации процессом биортогонолизаци.. Будем исходить из двух начальных векторов С0 и B0. Найдем по ним векторы АС0 и АВ0 и образуем линейные комбинации
С1=АС0 - а10С0 , В1=АВ0-10В0
Коэффициенты а10 и 10 подберем так, чтобы оказалось
(С1, В0) = (В1, С0) = 0. Это возможно, если начальные векторы С0 и В0 не были ортогональны, так как
10 = 10 = =
В дальнейшем будем предполагать, что (С0, В0) 0. Тогда по найденным С1 и В1 строим векторы АС1 и АВ1 и образуем линейные комбинации
С2 = АС1 - а21С1 - а20С0, В2 = АВ1 - 21В1 - 20В0
так, чтобы оказалось
(С2, В1) = (С2, В0) = (В2,С1) = 0
При этом будем иметь
21 = 21 = = ;
20 = 20 = = =
И наше построение возможно, если (С1,В1) 0, (С0, В0) 0. Будем предполагать, что эти условия выполнены, и продолжим построение дальше. Пусть у нас уже простроены векторы
С0 , С1, …, Ck ,
B0, B1, …, Bk
Причем эти две системы биортогональны, т.е.
(Bi, Cj) = 0 при ij (i,j = 0,1,…,k).
Тогда строим векторы
(Сk+1, Bi) = (Bk+1, Ci) = 0 (i = 0,1,2,…,k).
Эти условия дают
k+1, i = k+1,i = =
(i = 0,1,…,k)/
При этом, если ik-1, то
Ak+!,i = k+1,i = = = = 0
Таким образом равенства примут вид
Наши построения будут возможны до тех пор, пока (Ck,Bk)0. Это условие может нарушаться в следующих трех случаях:
Все эти три случая могут встречаться фактически. Продемонстрируем это на примере матрицы
А =
а) Возьмем сначала
В0 = С0 = (0,1,0,0)
Тогда AC0 = (2,3,-2,0); A|B0 = (3,3,0,0)
И a10 = = 3
Следовательно, C1 = (2,0,-2,0); B1 = (3,0,0,0)
Далее, AC1 = (12,6,-6,6), A|B1 = (15,6,-3,-3).
Отсюда a20 = = 6 ; a21 = = 6
И C2 = (0,0,6,6); B2 = (-3,0,-3,-3)
Продолжая процесс, найдем :
б) Возьмем теперь
B0 = С0 = (1,0,0,0)
При этом
в) Наконец, если взять
С0 = (1,0,0,0), В0 = ( 1,,0,0),
и (С1, В1) = 0.
Если минимальный многочлен матрицы А имеет степень m, то векторы C0, AC0,…,AMB0 линейно зависимы. В силу этого наш процесс обязательно закончится не позже чем через k m шагов. При этом в случаях а) и б) мы найдем линейную зависимость между векторами С0,АС0,…,АkC0 или B0, A|B0,…,A|kB0,а следовательно, и минимальный многочлен матрицы А или его делитель. Случай в) может встретиться лишь как исключение при неудачном выборе начальных векторов С0 и В0 и его всегда можно избежать, выбрав другие начальные векторы.
Предполагая, что мы получим Сk=0, или Bk=0, последовательно находим минимальный многочлен А или его делитель по формулам:
В частности, в рассмотренных ниже примерах будем иметь: в случае а)
в случае б)
Такой способ получения минимального многочлена или его делителя будем называть методом Ланцоша. При его выполнении потребуется п3 + 5п2 + 4п операций умножения и деления.
3.2 Отыскание собственных векторов
Предположим, что, применяя метод Ланцоша, мы получили
Cm =0. Пусть i - какой-нибудь корень минимального многочлена вектора С0. Тогда будем разыскивать собственный вектор, соответствующий этому собственному значению в виде
Xi = 0С0 + 1С1 + … + m-1Cm-1.
Условие AXi = i Xi дает
0(С1+а10С0) + 1 (С2 + а21С1 + а20С0) + …+ m-2 (Сm-1+ am-1,m-2Cm-2 + am-1,m-3Cm-2) + m-1 ( am,m-1Cm-1 + am,m-2Cm-2) = i0C0 + i1C1 + … + im-1Cm-1.
В силу линейной независимости векторов С0, С1,…Cm-1 из этой линейной комбинации следует:
Коэффициент m-1 должен быть отличен от нуля, так как в противном случае и все остальные коэффициенты i были бы равны нулю. Положим, например, m-1 = 1. Тогда остальные коэффициенты i последовательно находятся из равенств:
Как и для метода Крылова, первое из полученных равенств будет следствием остальных и условия, что i является корнем минимального многочлена вектора С0.
Найдем собственные векторы матрицы
А = .
Если за вектор С0 принять С0 =(0,1,0,0), то вычисления при i = 3 дают
и Xi = (0,6,0,0) + (0,0,6,6) = (0,6,6,6).
При i = 6 соответственно получим :
и Xi = (0,6,0,0) + (0,0,-6,0) = (0,0,6,6)= (6,6,0,6).
Можно ввести в рассмотрение многочлен :
Тогда собственный вектор Xi соответствующий собственному значению i можно записать в виде
Xi = qm-1(i) C0 + qm-2 (i) C1 +…+q1(i) Cm-2 + q0(i) Cm-1.
Многочлен qm() в последнем равенстве совпадает с многочленом Pm()
4. МЕТОД ДАНИЛЕВСКОГО
4.1 Отыскание собственных значений
Довольно простой и изящный способ получения характеристического многочлена дал А.М.Данилевский. Суть его метода состоит в преобразовании уравнения
D () = |A - Е| = 0 (1)
к виду = 0 (2)
При этом определитель (2) легко раскрывается, и мы получим:
D() = (-1)n [n - p1n-1 - p2n-2 - … - pn] (3)
Проиллюстрируем ход вычислений по методу Данилевского на примере матрицы четвертого порядка
А = . (4)
Эта матрица должна быть преобразована к виду
(5)
(нормальная форма Фробениуса) преобразованиями подобия.
Делим все элементы третьего столбца на а43. Если а43 = 0, то предварительно находим среди элементов а41 и а42 отличный от нуля. Пусть это оказался а42. Тогда меняем местами вторую и третью строки и второй и третий столбцы. Если а41 = а42 = а43 = 0, то характеристический многочлен матрицы (4) примет вид
(а44 -) =
и задача сведется к отысканию характеристического многочлена матрицы третьего порядка.
Вычтем теперь из i-го столбца (i = 1,2,4) полученной матрицы
(7)
третий столбец, умноженный на а41. При этом матрица примет вид
(8)
Наш процесс эквивалентен умножению матрицы (4) справа на матрицу
В1 = (9)
Чтобы получить матрицу, подобную исходной, мы должны умножить (8) слева на матрицу В1-1, равную
В1-1 = (10)
При этом получим
В1-1 АВ1 = (11)
Умножение на В1-1 не изменяет первой и второй строк. Третья же стока получается путем сложения строк (8), умноженных соответственно на а41, а42 , а43 и а44.
На следующем этапе преобразуем третью строку. Это достигается путем умножения матрицы (10) справа на матрицы В2.
В2 = (12)
И последующего умножения слева на матрицу В1-1, равную
В2-1 = (13)
Ход вычислений подобен предыдущему. Матрица А будет приведена к виду
(14)
Наконец, умножая (14) справа на
В3 = (15)
И слева на
В3-1 = (16)
мы придем к нормальной форме Фробениуса.
Для получения характеристического многочлена методом Данилевского потребуется (п2 - 1)(п + 1) операций умножения и деления.
4.2 Отыскание собственных векторов.
Пусть процесс перехода от матрицы А к матрице
осуществляется по методу Данилевского в его обычном виде. Тогда
Обозначим В=В1В2…Вп-1. Тогда С=В-1АВ. Пусть Y - собственный вектор матрицы С. Тогда
СY=Y или В-1АВY=Y. При этом АВY=ВY,
т.е. ВY является собственным вектором матрицы А. Поэтому, зная собственные векторы матрицы С, мы можем без труда находить собственные векторы матрицы А, так как матрицу В можно постепенно находить в процессе перехода от А к С.
Собственные векторы матрицы С находятся так же легко. Если расписать векторное равенство CY =Y по компонентам, то получим
p1y1 + p2y2 + p3y3 + … + pn-1yn-1 + pnyn =y1
y1 =y2
y2 =y3
yn-1 =yn.
Полагая yn=1, мы получим, используя последовательно эти уравнения снизу вверх,
yn-1=, yn-2=2,…,y1=n-1.
Y=(n-1, n-2,…, ,1).
5. ДРУГИЕ СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА
В настоящее время известно большое число других способов получения характеристического многочлена. Ограничимся лишь кратким обзором некоторых методов.
5.1 Метод Леверрье - Фаддеева
Обозначим корни характеристического многочлена через 1, 2, …, k. Тогда если
|A - J| = (-1)n [n + p1 n-1 + …+ pn-1 + pn] (1)
то pk = (-1)k . (2)
Выражения, стоящие в правой части равенства (2) являются симметрическими функциями корней характеристического уравнения. Рассмотрим еще следующие симметрические функции корней :
Sk = 1k + 2k +…+ nk (3)
Известно, что Sk и pk связаны следующими соотношениями (формулы Ньютона):
Sk + Sk-1 p1 + Sk-2p2 + … + S1pk-1 + kpk =0 ( kn) (4)
Отсюда получим (5)
и мы можем найти все pk, если будут известны Sk. но Sk равняется следу матрицы Аk. Поэтому, вычислив Аk (k = 1,2,…,n) и найдя их следы, мы можем найти характеристический многочлен. Процесс довольно трудоемкий, так как приходится производить большое количество умножений матриц. Д.К.Фадеев предложил усовершенствование метода Леверье. Оно состоит в следующем.
Рассмотрим матрицу С(), присоединенную для матрицы А-J.
При этом C() (A - J) = D() J, (6)
где D () - характеристический многочлен матрицы А. Матрицу С() можно записать в виде
С() = С0n-1 + С1n-2 + …+ Сn-2 +Cn-1 (7)
где Ci - квадратные матрицы порядка n, не зависящие от . Сравнивая коэффициенты при одинаковых степеня в правой и левой частях (6) и учитывая (7), получим :
(8)
Отсюда получим:
С0 = (-1)пJ, (9) C1 = C0A + (-1)n-1 p1J = (-1)n-1 [A + p1J]. (10)
Так как p1 определяется следом матрицы А и, следовательно, известно, то мы сможем найти С1. Умножая равенство (10) на А и беря след от обеих частей равенства (мы будем обозначать след матрицы В через Sp(B)), найдем в силу второго и равенств (5) :
Sp (C1A) = (-1)n-1 [Sp(A2) + p1Sp(A)] = (-1)n-1 [S2 + p1S1] = (-1)n 2p2.
Это нам позволит найти р2. Затем мы находим С2 при помощи третьего из равенств (8) и умножая С2 на А, найдем :
Sp(C2A) = Sp(C1A2) + (-1)n-1p2Sp(A) = (-1)n-1 [Sp(A3) + p1Sp (A2) + p2Sp (A)] = (-1)n-1 {S3 + p1S2 + p2S1] = (-1)n 3p3. (12)
Продолжая эти рассуждения, мы придем, в конце концов, к равенству
Sp (Cn-1A) = (-1)n npn. (13)
Последнее из уравнений (8) будет служить для контроля правильности вычислений.
В процессе вычислений мы найдем определитель матрицы А, равный (-1)n pn , присоединенную к А матрицу, равную (-1)n Сn-1, а следовательно и обратную матрицу А-1. Если i - корень характеристического многочлена А и С (i) 0, то столбцы С(i) являются собственными векторами А, так как
(A - iJ) C (i) = D(i) J = 0. (14)
Это наверняка произойдет, если i простой корень D(). В случае, если i - кратный корень D(), для получения собственных векторов может потребоваться переход от С() к производным ее по .
Метод Фадеева также требует большего числа операций, но зато он дает возможность кроме характеристического многочлена находить еще ряд величин.
5.2 Метод окаймления.
Если записать матрицу А в виде
А = An = , (15)
где Аn-1 - квадратная матрица, состоящая из элементов первых n-1 строк и столбцов А , то матрица С(), о которой говорилось ранее, может быть представлена так:
С() = Cn() = , (16)
где многочлен Dn-1() является характеристическим для Аn-1 и разбиение (16) на клетки соответствует разбиению (15). В силу равенства
(An - Jn) C() = D() J. (17)
(18)
Таким образом, если известен многочлен Dn-1(), первое из равенств (18) даст нам возможность найти qn-1 (), а второе из равенств даст возможность найти D().
Этими рассуждениями можно воспользоваться для отыскания характеристического многочлена D(), если, начиная с D2(), последовательно находить все Di().
5.3 Эскалаторный метод
Рассмотрим еще один метод, позволяющий использовать собственные значения и собственные векторы матрицы Аn-1, для получения собственных значений и собственных векторов матрицы . Предположим, что матрица А n-1 симметрическая и все ее собственные значения различны. Обозначим собственные значения An-1 через i : 123…n-1, и соответствующие им ортонормированные собственные векторы - через
Xi = (x1i, x2i,…,xn-1,i) (i=1,2,..,n-1).
При этом An-1X = X, где
Х = , = .
Будем предполагать, что в матрице Ап Сn-1 = ( bn-1).
Собственный вектор матрицы Ап ищем в виде
y =
где z - некоторый (n-1)- мерный вектор - столбец, а t - число.
Из равенства
Ay = y следует: .
Первое равенство этой системы можно записать в виде
x z + t bn-1t = z
Так как XX = Е, то из этого равенства следует:
z + Xbn-1t = z и z = (J -)-1 Хb n-1 t
Собственный вектор А определяется с точностью до постоянного множителя. Поэтому мы можем выбрать t произвольным числом. Следовательно, последнее равенство дает возможность найти z, если известно .
Значение можно найти, воспользовавшись вторым из равенств системы.
Подставляя туда вместо z его значение по последней формуле, получим:
Cn-1 Х (J -)-1 Xbn-1 = - dn-1, или = - dn-1
Последняя формула показывает, что имеется ровно п собственных значений А. Эти собственные значения расположены следующим образом: одно из них меньше 1, n-2 расположены между i и ш+1 и одно больше чем т-1.Так как собственные значения А разделены собственными значениями А n-1, то последующее их вычисление по тем или иным формулам не вызывает затруднений. Такой метод получения собственных значений матрицы А и ее собственных векторов называют эскалаторным.
5.4 Метод Самуэльсона.
Запишем матрицу А в виде
А = =
И пусть характеристические многочлены матриц А и М имеют вид
F() - (-1)n [n + p1n-1 +…= pn-1 + pn]
() = (-1)n-1 [n-1 + q1n-2 + …+ qn-2 + qn-1]
Между коэффициентами рi и qi имеют место следующие соотношения
Эти соотношения можно получить, например, следующим образом. Запишем матрицу С(), присоединенную к А - Jn1 в виде :
С() = .
Условие
C() = = f () Jn даст
отсюда gn-1()=- ()R(M-Jn-1)-1 и
()(a11-)- ()R(M-Jn-1)-1S= f()
Применим теперь для отыскания коэффициентов gi метод Крылова, взяв за начальный вектор R|. Получим систему уравнений
M|n-1R| + q1M|n-2R| + …+ qn-1R| = 0
Так как коэффициенты pi являются линейными комбинациями gi, то их можно определить (не находя gi) по схеме Гаусса без обратного хода. Это и осуществляет метод Сaмуэльсона.
5.5 Интерполяционный метод
Для интерполяционного метода специальный вид определителя, дающего характеристический многочлен, не имеет значения. Поэтому рассматривают произвольный определитель, элементы которого являются многочленами от :
F() = (1)
Пусть степень многочлена f() равна m. Вычислим этот определитель при каких-либо m+1 различных значениях i и построим соответствующий интерполяционный многочлен. Это интерполяционный многочлен будет совпадать с f(). Теоретически метод совершенно прост. Практически он может потребовать выполнения большого числа операций.
5.6 Сравнение некоторых методов раскрытия характеристического многочлена
Приведем сравнительную таблицу, в которой указаны количества действий, требуемых некоторыми из рассмотренных методов, в зависимости от порядка определителя.
|
Метод |
Порядок |
||||||||||
|
3 |
4 |
5 |
7 |
9 |
|||||||
|
У-Д |
С-В |
У-Д |
С-В |
У-Д |
С-В |
У-Д |
С-В |
У-Д |
С-В |
||
|
Данилевского |
14 |
12 |
42 |
36 |
92 |
80 |
282 |
252 |
632 |
576 |
|
|
Крылова |
67 |
38 |
179 |
118 |
389 |
280 |
1287 |
1022 |
3209 |
2688 |
|
|
Леверрье |
41 |
27 |
153 |
114 |
414 |
330 |
1791 |
1533 |
5228 |
4644 |
Из этой таблицы видно, что для раскрытия характеристического многочлена порядка выше пятого наиболее выгодным, с точки зрения количества операций, является метод А.М.Данилевского.
ЛИТЕРАТУРА
Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1973
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987
Березин И.С., Жидков Н.П., Методы вычислений. - М.: Физматгиз, 1962
Вержбицкий В.М. Численные методы (Линейная алгебра и нелинейные уравнения). - М.: Высшая школа, 2000
Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. - М.: Наука, 1977
Воробьева Г.В., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. - М.: Высшая школа, 1984
Гутер Р.С., Овчинский Б.В. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. - М.: Наука, 1970
Данилина Н.И., Дубровская Н.С. и др. Вычислительная математика. - М.: Наука, 1985
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1970
Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. - М.: Наука, 1994
Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989
Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - М.: Физматгиз, 1960
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Покажем использование рассмотренных методов на конкретном примере. Пусть линейный оператор в некотором базисе имеет матрицу А:
А=
1. Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы, используя метод Крылова.
Собственные числа определим с четырьмя верными цифрами, а собственные векторы - с тремя десятичными знаками.
4 -p1 3-p22-p3-p4 =0
B1 = =AB0, B2=AB1, B3=AB2, B4=AB3.
строим последовательность векторов: B0 - произвольный вектор,
Если векторы B0, B1, B2, B3 окажутся линейно независимыми, то коэффициенты p1, p2, p3, p4 определяются из решения системы уравнений
p1B3+p2B2+p3B1+p4B0=B4.
Систему линейных уравнений будем решать методом Гаусса. Все вычисления располагаем в таблице 1.
|
А |
В0 |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
||||
|
2,2 |
1 |
0,5 |
2 |
1 |
2,2 |
10,09 |
52,37 |
291,0 |
|
|
1 |
1,3 |
2 |
1 |
0 |
0,5 |
6,5 |
41,84 |
239,6 |
|
|
0,5 |
2 |
0,5 |
1,6 |
0 |
0,5 |
6,55 |
37,64 |
220,8 |
|
|
2 |
1 |
1,6 |
2 |
0 |
2 |
10,20 |
57,56 |
321,9 |
|
|
1 |
1 |
2,2 |
10,00 |
52,37 |
291,1 |
||||
|
0 |
1 |
1 |
6,5 |
41,84 |
239,6 |
||||
|
0 |
0,5 |
3, |
1 |
5,066 |
30,6 |
||||
|
0 |
2 |
-2,8 |
-12, |
1 |
6,000 |
||||
|
1 |
6 |
||||||||
|
1 |
0,2 |
||||||||
|
1 |
-12,735 |
||||||||
|
1 |
2,762 |
Таким образом, характеристическое уравнение матрицы имеет вид
4 -6 3-0,22+12,735-2,7616 =0.
Определение собственных чисел матрицы состоит в решении полученного характеристического уравнения:
1= 5,652; 2=1,545; 3=-1,420; 4=0,2226
2. Cобственный вектор Xi, соответствующий собственному числу i, определяется по формуле:
Xi=i3B0+i2B1+i1B2+i0B3,
где коэффициенты при ранее найденных векторах B0, B1, B2, B3 находятся из равенства:
|
i |
i3B0 |
i2B1 |
i1B2 |
i0B3 |
Xi |
Xi |
|
|
5,652 |
0,4877 |
-4,7672 |
-3,5113 |
52,373 |
44,5822 |
0,879 |
|
|
0 |
-2.1669 |
-2,2620 |
41,84 |
37,4111 |
0,753 |
||
|
0 |
-1,0334 |
-2,2794 |
37,64 |
34,2772 |
0,690 |
||
|
0 |
-4,3338 |
-3,5496 |
57,56 |
49,6766 |
1,0 |
||
|
1,545 |
1,7918 |
15,583 |
-44,951 |
52,373 |
-6,369 |
1 |
|
|
0 |
-7,0829 |
-28,957 |
41,84 |
5.7995 |
-0,911 |
||
|
0 |
-3,5415 |
-29,18 |
37,64 |
4,9183 |
-0,772 |
||
|
0 |
-14,166 |
-45,441 |
57,56 |
-2,047 |
0,321 |
||
|
-1.420 |
-1,9427 |
22,7400 |
-74,868 |
52,373 |
-1,6975 |
0,293 |
|
|
0 |
10,3364 |
-48,23 |
41,84 |
3,9464 |
-0,681 |
||
|
0 |
5,1682 |
-48,601 |
37,64 |
-5,7928 |
1 |
||
|
0 |
20,6728 |
-75,684 |
57,56 |
2,5488 |
-0,44 |
||
|
0.226 |
12.4042 |
-5.2692 |
-58.294 |
52.373 |
3.214 |
-0,740 |
|
|
0 |
-1.486 |
-37.553 |
41,84 |
2.8009 |
-0,645 |
||
|
0 |
-0.743 |
-37.842 |
37,64 |
-0.945 |
-0,218 |
||
|
0 |
-2,972 |
-58.929 |
57,56 |
-4,341 |
1 |
2. Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы, используя метод Данилевского.
Коэффициенты характеристического уравнения матрицы А определяются как элементы первой строки матрицы Фробениуса Р, подобной данной матрице А. Матрицу Р найдем в результате трех преобразований подобия:
P=
Эти преобразования осуществляются в таблице 3.
|
Строки |
M-1\ M |
Элементы матриц |
||||
|
1 |
2,2 |
1 |
0,5 |
2 |
||
|
2 |
1 |
1.3 |
2 |
1 |
||
|
3 |
0.5 |
2 |
0.5 |
1.6 |
||
|
4 |
2 |
1 |
1.6 |
2 |
||
|
I |
M-13\M3 |
-1.25 |
-0,625 |
-0,625 |
21,25 |
|
|
5 |
2 |
1,575 |
0,6875 |
0,3125 |
1,375 |
|
|
6 |
1 |
-1,5 |
0,05 |
1,25 |
1,5 |
|
|
7 |
1,6 |
-0,125 |
1,6875 |
0,3125 |
0,975 |
|
|
8 |
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
7 |
1,45 |
4,125 |
4,375 |
2,81 |
||
|
II |
M2-1\M2 |
-0.352 |
-0.024 |
-1.061 |
-0.681 |
|
|
9 |
1.5 |
1.3333 |
0,1667 |
-0.417 |
0.906 |
|
|
10 |
4.1 |
-1.517 |
0.012 |
1.197 |
-1.534 |
|
|
11 |
4.4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
12 |
28 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
10 |
-4.326 |
4.6666 |
7.1433 |
-5.013 |
||
|
III |
M-1\M1 |
-0.023 |
1.0786 |
1.651 |
-1.159 |
|
|
13 |
-4.3 |
0.3081 |
1.6047 |
1.7847 |
-0.638 |
|
|
14 |
4.7 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
15 |
7.1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
16 |
-5. |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
13 |
6 |
0.2 |
-12.73 |
2.7616 |
Таким образом, получили уравнение:
Его корни: 1= 5,652; 2=1,545; 3=-1,420; 4=0,2226
2. Cобственный вектор Xi, соответствующий собственному числу i, определяется равенством:
При этом координаты вектора Xi=(x1i,x2i,x3i,x4i) находятся по формулам:
Вычисление собственных векторов приведено в таблице 4.
|
i |
M1 |
M2 |
M3 |
Yi |
Xi |
||
|
5,652 |
-0,2311 |
-0,3515 |
-1,25 |
180,554 |
0,8977 |
0,898 |
|
|
1.07858 |
0.24242 |
-0,625 |
31,9451 |
0.7529 |
0,753 |
||
|
1.66500 |
-1,0606 |
0.625 |
5.652 |
0.6898 |
0,690 |
||
|
-1.1587 |
-0.6812 |
-1.25 |
1 |
1 |
1 |
||
|
1,545 |
-0,2311 |
-0,3515 |
-1,25 |
3.6880 |
3.1143 |
1 |
|
|
1.07858 |
0.24242 |
-0,625 |
2.3870 |
-2.8359 |
-0,911 |
||
|
1.66500 |
-1,0606 |
0.625 |
1.545 |
-2.4048 |
-0,772 |
||
|
-1.1587 |
-0.6812 |
-1.25 |
1 |
1 |
-0,440 |
||
|
-1.420 |
-0,2311 |
-0,3515 |
-1,25 |
0.01103 |
-0.7403 |
-0.740 |
|
|
1.07858 |
0.24242 |
-0,625 |
0.4955 |
-0.6451 |
-0.645 |
||
|
1.66500 |
-1,0606 |
0.625 |
0.2226 |
0.2177 |
0.218 |
||
|
-1.1587 |
-0.6812 |
-1.25 |
1 |
1 |
1 |
||
|
0.226 |
-0,2311 |
-0,3515 |
-1,25 |
-2.8633 |
-0.6665 |
0.293 |
|
