Решение задач линейного программирования симплекс-методом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рязанский государственный технологический колледж

Курсовая работа

по дисциплине «Математические методы»

Решение задач линейного программирования симплекс-методом

Выполнил:

Студентка группы ПК-24

Д.В. Машникова

Проверил:

руководитель курсовой работы

М.В. Ерёмина

Рязань 2016



Оглавление

линейный программирование математический уравнение

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Постановка основной задачи линейного программирования с n-переменными

1.2 Графический метод решения задач линейного программирования с n-переменными

1.3 Симплекс-метод решения задач линейного программирования с n-переменными

2. Практическая часть

2.1 Решение задачи симплекс-методом

2.2 Нахождение оптимального решения

2.3 Графическая интерпретация решения

Заключение

Список используемой литературы



Введение

В последние годы в прикладной математике большое внимание уделяется новому классу задач оптимизации, заключающихся в нахождении в заданной области точек наибольшего или наименьшего значения некоторой функции, зависящей от большого числа переменных. Это так называемые задачи математического программирования, возникающие в самых разнообразных областях человеческой деятельности и прежде всего в экономических исследованиях, в практике планирования и организации производства. Изучение этого круга задач и методов их решения привело к созданию новой научной дисциплины, получившей позднее название линейного программирования. В конце 40-х годов американским математиком Дж. Данцигом был разработан эффективный метод решения данного класса задач - симплекс-метод. К задачам, решаемых этим методом в рамках математического программирования относятся такие типичные экономические задачи как «Определение наилучшего состава смеси», «Задача об оптимальном плане выпуска продукции», «Оптимизация межотраслевых потоков», « Задача о выборе производственной программы», «Транспортная задача», «Задача размещения», «Модель Неймана расширяющейся экономики» и другие. Решение таких задач дает большие выгоды как народному хозяйству в целом, так и отдельным его отраслям. Цель курсового проектирования -- закрепить, систематизировать и комплексно обобщить знания по методам решения задач линейного программирования с n-переменными и развить навыки самостоятельной творческой работы; научиться практически применять полученные теоретические знания при решении конкретных вопросов; научиться пользоваться справочной литературой, стандартами, другими нормативно-техническими документами и средствами вычислительной техники. Объектом исследования будет конкретная задача, описанная ниже. В курсовой работе рассмотрим графический и симплекс-методы линейного программирования с n-переменными и найдем оптимальный план производства товаров, обеспечивающего предприятию максимальную прибыль.

Актуальность подобных задач в настоящее время сомнений ни у кого не вызывает, так как проблема оптимального планирования производства сейчас является, наверное, второй по степени важности после проблемы наилучшей организации передачи и хранения информации, а в России, скорее всего, главной, если говорить исключительно о развитии научного прогресса в нашей стране.

Решение задач математического программирования при помощи симплекс-метода традиционными способами требует затрат большого количества времени. В связи с бурным развитием компьютерной техники в последние десятилетия естественно было ожидать, что вычислительная мощность современных ЭВМ будет применена для решения указанного круга задач.



1. Теоретическая часть

1.1 Постановка основной задачи линейного программирования с n-переменными

Линейное программирование -- математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств. Называется программированием условно, не имея ничего общего с написанием машинного кода.

Линейное программирование является частным случаем выпуклого программирования, которое в свою очередь является частным случаем математического программирования. Одновременно оно -- основа нескольких методов решения задач целочисленного и нелинейного программирования. Одним из обобщений линейного программирования является дробно-линейное программирование.

Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их.

Термин «программирование» нужно понимать в смысле «планирования». Он был предложен в середине 1940-х годов Джорджем Данцигом, одним из основателей линейного программирования, ещё до того, как компьютеры были использованы для решения линейных задач оптимизации.

В линейном программировании изучаются свойства решений линейных систем уравнений и неравенств с n-переменными следующего вида:



(1.1)

В системах (1) коэффициенты a_ij и правые части b_i являются числами.

Системы (1) называются системами ограничений.

Точка в n - мерном пространстве,

(1.2)

удовлетворяющая системе (1.1), называется допустимым планом.

Основной задачей линейного программирования (ОЗЛП) с n-переменными называется задача о нахождении такого допустимого плана, который доставляет максимум функции

(1.3)

Функция Z, определенная соотношением (1.3), называется функцией прибыли (целевой функцией).

Допустимый план, доставляющий максимум функции (1.3), называется оптимальным планом.

Иногда в задачах линейного программирования вместо нахождения максимума функции прибыли Z требуется найти минимум функции затрат

(4)



В этом случае с помощью введения функции Z = ? R задача о нахождении минимума функции затрат R сводится к задаче о нахождении максимума функции прибыли Z.

1.2 Графический метод решения задач линейного программирования с n-переменными

Задача линейного программирования для n-переменных

Рассмотрим задачу формирования плана производства.

Некоторое предприятие может выпускать определённый набор продукции. Нормы затрат известны. Требуется построить производственный план, учитывающий ограниченность ресурсов.

Формализация:

n - число различных видов продукции.

m - число различных ресурсов.

Таблица 1

Вид продукции	Норма расхода ресурса на единицу продукции	Прибыль на единицу продукции
	1	2	3	...	i	…	m
1	a11	c21	a31	…	ai1	…	am1	c1
2	a12	c22	a32	…	ai2	…	am2	c2
3	a13	c23	a33	…	ai3	…	am3	c3
…	…	…	…	…	…	…	…	…
j	a1j	c2j	a3j	…	aij	…	amj	cj
…	…	…	…	…	…	…	…	…
n	a1n	a2n	a3n	…	ain	…	amn	cn
Ограничения на ресурсы	b1	b2	b3	…	bi	…	bm

a_ij - объём i-того ресурса, который расходуется на производство одной единицы j-того вида продукции i=1..m, j=1..n.

x_j - объем (количество единиц) j-того вида продукции в производственном плане предприятия (j от 1 до n).

Необходимо определить нормы выпуска каждого вида продукции, чтобы прибыль от её реализации была максимальной.

Построение экономико-математической модели

Прибыль обозначим F, тогда

F=c₁x₁+c₂x₂+...+c_nx_ng >max

Составим ограничения для первого ресурса:

а₁₁ - объем первого ресурса, который расходуется на производство одной единицы первого вида продукции;

а₁₁x₁ - объём первого ресурса, который требуется на изготовление x₁ единиц первого вида продукции;

а₁₂x₂ - объём первого ресурса, который требуется на изготовление x₂ единиц второго вида продукции;

а_1nx_n - объём первого ресурса, который требуется на изготовление x_n единиц n-ого вида продукции;

а₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n - объём первого ресурса, который требуется на изготовление продукции, следовательно, мы имеем следующее ограничение:

а₁₁x₁+а₁₂+...+а_1nx_n ? b₁

Аналогично для остальных ресурсов:

а₂₁x1+а₂₂+...+а_2nx_n ? b₂

а₃₁x1+а₃₂+...+а_3nx_{n ?} b₃

а_m1x₁+а_m2+...+a_mnx_n?b_m



Кроме того, количество выпущенной продукции не может быть отрицательной, следовательно, x₁? 0, x₂?0, ...,x_n?0.

Таким образом, получаем следующую экономико-математическую модель задачи линейного программирования:

(2.1)

Задачу линейного программирования для N (любое целое число) переменных можно представить в следующем виде:

Решения, удовлетворяющие системе ограничений условий задачи и требованиям неотрицательности, называются допустимыми, а решения, удовлетворяющие одновременно и требованиям минимизации (максимализации) целевой функции, -- оптимальными.

С помощью графического метода может быть решена задача линейного программирования, система ограничений которой содержит n неизвестных и m линейно независимых уравнений, если N и M связаны соотношением N - M = 2. Действительно, пусть поставлена задача линейного программирования.

Найти максимальное значение линейной функции:

Z = c₁х₁+c₂х₂+... +c_Nx_N

при ограничениях

a₁₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_1NХ_N = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2NХ_N = b₂

a_М1x₁ + a_М2x₂ + ... + a_МNХ_N = b_М

x_j ? 0 (j = 1, 2, ..., N),

где все уравнения линейно независимы и выполняется соотношение N - M = 2.

Используя метод Жордана-Гаусса, производим M исключений, в результате которых базисными неизвестными оказались, например, M первых неизвестных х₁, х₂, ..., х_M, а свободными -- два последних: х_М+1, и х_N, т. е. система ограничений приняла вид:

x₁ + a_1,М+1x_М+1 + a_1NХ_N = b₁

x₂ + a_2,М+1x_М+1 + a_2NХ_N = b₂

x_М + a_{М, М+1}x₂ + a_МNХ_N = b_М

x_j ? 0 (j = 1, 2, ..., N)

С помощью уравнений преобразованной системы выражаем линейную функцию только через свободные неизвестные и, учитывая, что все базисные неизвестные -- неотрицательные: х_j ? 0 (j = 1, 2, ..., M), отбрасываем их, переходя к системе ограничений, выраженных в виде неравенств.



1.3 Симплекс-метод решения задач линейного программирования с n-переменными

Симплекс-метод является основным в линейном программировании. Решение задачи начинается с рассмотрений одной из вершин многогранника условий. Если исследуемая вершина не соответствует максимуму (минимуму), то переходят к соседней, увеличивая значение функции цели при решении задачи на максимум и уменьшая при решении задачи на минимум. Таким образом, переход от одной вершины к другой улучшает значение функции цели. Так как число вершин многогранника ограничено, то за конечное число шагов гарантируется нахождение оптимального значения или установление того факта, что задача неразрешима.

Этот метод является универсальным, применимым к любой задаче линейного программирования в канонической форме. Система ограничений здесь -- система линейных уравнений, в которой количество неизвестных больше количества уравнений. Если ранг системы равен r, то мы можем выбрать r неизвестных, которые выразим через остальные неизвестные. Для определенности предположим, что выбраны первые, идущие подряд, неизвестные x₁, x₂, ..., x_r. Тогда наша система уравнений может быть записана как

(3.1)

К такому виду можно привести любую совместную систему, например, методом Гаусса. Правда, не всегда можно выражать через остальные первые r неизвестных (мы это сделали для определенности записи). Однако такие r-неизвестных обязательно найдутся. Эти неизвестные (переменные) называются базисными, остальные свободными.

Придавая определенные значения свободным переменным, и вычисляя значения базисных (выраженных через свободные), мы будем получать различные решения нашей системы ограничений. Таким образом, можно получить любое ее решение. Нас будут интересовать особые решения, получаемые в случае, когда свободные переменные равны нулю. Такие решения называются базисными, их столько же, сколько различных базисных видов у данной системы ограничений. Базисное решение называется допустимым базисным решением или опорным решением, если в нем значения переменных неотрицательны. Если в качестве базисных переменных взяты переменные x₁, x₂, ..., x_r, то решение {b₁, b₂,..., b_r, 0, ..., 0} будет опорным при условии, что b₁, b₂,..., b_r ? 0.

Симплекс-метод основан на теореме, которая называется фундаментальной теоремой симплекс-метода. Среди оптимальных планов задачи линейного программирования в канонической форме обязательно есть опорное решение ее системы ограничений. Если оптимальный план задачи единственен, то он совпадает с некоторым опорным решением. Различных опорных решений системы ограничений конечное число. Поэтому решение задачи в канонической форме можно было бы искать перебором опорных решений и выбором среди них того, для которого значение F самое большое. Но, во-первых, все опорные решения неизвестны и их нужно находить, a, во-вторых, в реальных задачах этих решений очень много и прямой перебор вряд ли возможен. Симплекс-метод представляет собой некоторую процедуру направленного перебора опорных решений. Исходя из некоторого, найденного заранее опорного решения по определенному алгоритму симплекс-метода мы подсчитываем новое опорное решение, на котором значение целевой функции F не меньше, чем на старом. После ряда шагов мы приходим к опорному решению, которое является оптимальным планом.

Итак, симплексный метод вносит определенный порядок как при нахождении первого (исходного) базисного решения, так и при переходе к другим базисным решениям. Его идея состоит в следующем. Имея систему ограничений, приведенную к общему виду, то есть к системе m-линейных уравнений с n-переменными (m < n), находят любое базисное решение этой системы, заботясь только о том, чтобы найти его как можно проще.

Если первое же найденное базисное решение оказалось допустимым, то проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то, осуществляется переход к другому, обязательно допустимому базисному решению.

Симплексный метод гарантирует, что при этом новом решении линейная форма, если и не достигнет оптимума, то приблизится к нему. С новым допустимым базисным решением поступают так же, пока не находят решение, которое является оптимальным.

Если первое найденное базисное решение окажется недопустимым, то с помощью симплексного метода осуществляется переход к другим базисным решениям, которые приближают нас к области допустимых решений, пока на каком-то шаге решения либо базисное решение окажется допустимым и к нему применяют алгоритм симплексного метода, либо мы убеждаемся в противоречивости системы ограничений.

Таким образом, применение симплексного метода распадается на два этапа: нахождение допустимого базисного решения системы ограничений или установление факта ее несовместности; нахождение оптимального решения. При этом каждый этап может включать несколько шагов, соответствующих тому или иному базисному решению. Но так как число базисных решений всегда ограниченно, то ограниченно и число шагов симплексного метода.

Приведенная схема симплексного метода явно выражает его алгоритмический характер (характер четкого предписания о выполнении последовательных операций), что позволяет успешно программировать и реализовать этот метод на ЭВМ. Задачи же с небольшим числом переменных и ограничений могут быть решены симплексным методом вручную.



2. Практическая часть

Методику решения задачи линейного программирования рассмотрим на примере.

Предприятие производит изделия двух видов И_1, И_2. На их изготовление идет 3 вида сырья - I, II, III. Запасы сырья ограничены. При реализации каждое изделие приносит предприятию прибыль. Требуется спланировать производство так, чтобы прибыль была максимальной.

Вид изделия	Норма расхода материала на единицу изделия	Запасы сырья	Прибыль на единицу продукции
	I	II	III	I	II	III
И1	4	16	10	40	80	60	6
И2	10	10	12				2

Процесс решения задачи ЛП разбивается на ряд этапов.

1. Построение математической модели задачи

Построим математическую модель задачи. Обозначим за Х₁ число изделий вида И₁, а через И₂ - число изделий вида В.

При составлении плана необходимо учитывать выделенные материальные ресурсы, поэтому сумма произведений количества запланированных изделий на удельную норму расхода материала на каждое из изделий не может превысить величину выделенных материалов.

10х? + 12х? ? 60 (3)

Заданные ограничения можно записать в виде неравенств:



Количество выпускаемых изделий не может быть величиной отрицательной, поэтому

(4)

(5)

Общая прибыль производства может быть выражена целевой функцией:

Z = 6х₁ + 2х₂ (6)

2.1 Решение задачи симплекс-методом

Нахождение опорного решения

Для решения задачи перейдем в ограничениях от неравенств к равенствам, для этого введем дополнительные переменные, которые имеют экономический смысл и характеризуют неиспользованный остаток тех ресурсов, по которым введено ограничение:

Целевая функция примет вид

Так как х₁, х₂ - свободные переменные, а х₃, х₄, х₅ - базисные, то набор х₁=0, х₂=0, х₃=40, х₄=80, х₅=60, Z_о=0 образует первое опорное решение.

Построим исходную симплекс-таблицу 2.

Таблица 2. Первое опорное решение

N	Cj	Базис	Р0	0	0	0	6	2
				Р3	Р4	Р5	Р1	Р2
1	0	Р3	40	1	0	0	4	10
2	0	Р4	80	0	1	0	16	10
3	0	Р5	60	0	0	1	10	12
Zj - Cj	0	0	0	0	-6	-2

Отрицательные значения в итоговой строке указывают на наличие признаков не оптимальности, т.е. ресурсы полностью не использованы, и свидетельствуют о возможности улучшения решения.

2.2 Нахождение оптимального решения

Составим новую симплекс-таблицу 2: элементы новой таблицы вычисляются исходя из значений элементов предыдущей.

Первый шаг: выбор ключевого столбца. Ключевой столбец тот, которому соответствует наибольшее по абсолютному значению отрицательное число в итоговой строке. Таким столбцом является столбец Р2.

Второй шаг: выбор ключевой строки. Для этого надо каждое положительное число или нуль в столбце постоянных величин (Р₀) разделить на соответствующее положительное число ключевого столбца. Минимальное частное из числа полученных чисел соответствует ключевой строке. Такой строкой является строка № 1.

Третий шаг: число, находящееся на пересечении ключевой строки и ключевого столбца, называется ключевым элементом. Таким элементом является число 6.

В таблице 2 элементы, соответствующие элементам ключевой строки предшествующей таблицы 1, получаются делением элементов этой строки на ключевой элемент. В таблице 3 индекс этой строки должен быть изменен, ей присваивается индекс Р2, а нуль в столбце С_j заменяется на коэффициент при соответствующей переменной в целевой функции.

Таблица 3. Второе опорное решение (начало)

N	Cj	Базис	Р0	0	0	0	6	2
				Р3	Р4	Р5	Р1	Р2
1	0	Р3
2	2	Р4	80/16=5	0/16=0	1/16=0,0625	0/16=0	16/16=1	10/16=0,625
3	0	Р5
Zj - Cj

При переходе к новому решению следует использовать правила:

1) Если в ключевой строке стоит 0, то все элементы столбца, содержащие этот 0, переписываются в новую таблицу без изменений.

2) Если в ключевом столбце содержится 0, то все элементы в этой строке с этим 0 переписываются в новую таблицу без изменений.

3) Столбец, обозначение которого встречается в основании таблицы, всегда состоит из ряда нулей и одной единицы, расположенной в строке, на пересечении которой с основанием таблицы стоит обозначение этого столбца.

4) Столбец, который был ключевым, должен войти в единичную матрицу.

Четвертый шаг: остальные элементы рассчитываются по правилу:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/



Рассчитаем и заполним таблицу 4.

Для столбца Р_о:

Для столбца Р₂:

Для столбца Р₄:

Таблица 4. Второе опорное решение (окончание)

N	Cj	Базис	Р0	0	0	0	6	2
				Р3	Р4	Р5	Р1	Р2
1	0	Р3	20	1		0	0
2	2	Р1	5	0	0.0625	0	1	0.625
3	0	Р5	10	0		1	0
Zj - Cj	30	0		0	0

В итоговой строке таблицы 4 имеется отрицательное число (-86). Это означает, что найденное решение не является оптимальным и может быть улучшено. Принимая таблицу 4 за исходную, составим новую таблицу 5, которая примет вид:

Таблица 5. Оптимальный план

N	Cj	Базис	Р0	0	0	0	6	2
				Р3	Р4	Р5	Р1	Р2
1	0	Р3	20	1	-0.25	0	0	7.5
2	2	Р4	5	0	0.0625	0	1	0.625
3	0	Р5	10	0	-0.625	1	0	5.75
Zj - Cj	130	0	0.375	0	0	1.75



Итоговая строка не содержит отрицательных коэффициентов, поэтому получен оптимальный план х₁=20, х₂=5, х₃=0, х₄=0, х₅=10 с соответствующим ему значением функции:

Z = 6Ч20+2Ч5+0Ч0+0Ч0+0Ч10=130

2.3 Графическая интерпретация решения

Графическая интерпретация выполняется для задач, в которых количество свободных переменных равно 2. Решение происходит в 2 этапа: построение области допустимых решений и нахождение в этой области оптимальной точки.

1 этап: ограничения - неравенства заменяются на уравнения - равенства; строят по ним прямые на плоскости; определяют полуплоскости, соответствующие исходным ограничениям - неравенствам; выделяют ОДР.

2 этап: определяют координаты вершин многоугольника ОДР; вычисляют значения целевой функции для этих точек; выбирают точку, соответствующую оптимальному решению.

С геометрической точки зрения перебор опорных планов можно толковать как переход по ребрам из одной вершины многоугольника ОДР в другую по направлению к оптимальной вершине, в которой целевая функция достигает максимального (минимального) значения.

Для решения задачи от неравенств перейдем к равенствам. Допустим, что неиспользованные ресурсы равны 0, тогда уравнения примут вид:

4х₁+10х₂=40 (1) или х₁ +2,5х₂=10

16х₁+ 10х₂=80 (2)

10х₁+12х₂=6 (3) или



К каждому уравнению построим прямую. Прямые образуют прямоугольник ОДР. Построим прямую функции цели. Максимальная прибыль равна 130, тогда уравнение имеет вид:

6х₁ + 2х₂ = 130 (4)

1)Построим прямую по уравнению 4х₁+10х₂=40:

4х₁+10х₂=40; x₂=4 4х₁+10х₂=40; x₁=10;

x₁=0; x₁=0 x₂=0; x₂=0.

Получаем точки (0;4) и (10;0)

2)Построим прямую по уравнению 16х₁+10х₂=80:

16х₁+10х₂=80; x₂=8; 16х₁+10х₂=80; x₁=5;

x₁=0; x₁=0 x₂=0; x₂=0.

Получаем точки (0;8) и (5;0)

3)Построим прямую по уравнению 10х₁+12х₂=60:

10х₁+12х₂=60; x₂=5; 10х₁+12х₂=60; x₁=6;

x₁=0; x₁=0 x₂=0; x₂=0.

Получаем точки (0;5) и (6;0)

Z=0=6x₁₊2x₂=0

Получаем точки (6;0) и (0;2)



Заключение

В ходе работы над данным курсовым проектом, были раскрыты методы линейного программирования с n- переменными, в частности, графический метод и симплекс-метод и построена математическая модель задачи линейного программирования с её подробным описанием, получен исчерпывающий отчёт о результатах решения задачи, а также получено графическое и симплекс-решение.

Была решена конкретная поставленная передо мною практическая задача. Полученные решения различными методами совпали, что свидетельствует о правильном выполнении задания. Я получила максимальную прибыль товара Были выполнены все необходимые ограничения и выявлено в каком количестве стоит производить различные товары.

Выполняя данный курсовой проект, я лучше усвоила знания, в особенности симплекс-метод. Выполняя практическое задание, была использована дополнительная литература, которую я брала в библиотеке и на сайтах.

Таким образом, на основе расчета можно сделать следующий вывод: полученное решение данной задачи является оптимальным, то есть для получения максимальной прибыли от реализации продукции необходимо выбрать план при котором производится __ штук изделий А вида и __ штук изделий вида В.

Решение, полученное с помощью табличных расчетов, совпадает с решением, полученным графически, что подтверждает его правильность.



Список используемой литературы

1. Ашманов С.А. Линейное программирование. М.: Наука, 2001.

2. Ашихмин В.Н. «Введение в математическое моделирование». Москва: Логос, 2005.

3. Банди Б. «Основы линейного программирования». Москва: Радио и связь, 1989.

4. Большакова И.В. «Линейное программирование». Минск: БНТУ, 2004.

5. Калихман И.Л. Линейная алгебра и программирование. - М.: Высшая школа, 1987.

6. Лунгу К.К. Линейное программирование. Руководство к решению задач. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

Размещено на Allbest.ru

...