Методы оптимальных решений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Пермская государственная сельскохозяйственная академия имени академика Д.Н. Прянишникова"

Контрольная работа

Методы оптимальных решений



1. Экономический анализ задач с использованием теории двойственности

Рассмотрим задачу оптимального использования ресурсов, запишем ее математическую модель

при ограничениях:

Двойственная задача имеет вид

при ограничениях:

Теорема 3. Значения переменных уi в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов системы ограничений исходной задачи на оптимальное значение ее целевой функции, т.е.



Примем Li ? ДLi, bi ? Дbi, тогда

ДLi ? yi * Дbi.

Для задачи оптимального использования сырья это уравнение показывает, что при изменении i-го ресурса оптимальный доход является линейной функцией от его приращения, причем коэффициентом служит уi -- i-я компонента оптимального решения двойственной задачи. Если yi мало, то значительному увеличению i-го ресурса будет соответствовать небольшое увеличение оптимального дохода и ценность ресурса невелика.

Если yi = 0, то при увеличении i-го ресурса оптимальный доход остается неизменным и ценность этого ресурса равна нулю. В самом деле, сырье, запасы которого превышают потребности в нем, не представляет ценности для производства и его оценку можно принять за нуль. Если уi велико, то незначительному увеличению i-го ресурса будет соответствовать существенное увеличение оптимального дохода и ценность ресурса высока. Уменьшение ресурса ведет к существенному сокращению выпуска продукции. Переменную уi считают некоторой характеристикой ценности i-го ресурса. В частности, при увеличении i-го ресурса на единицу (Дbi = 1) оптимальный доход возрастает на yi, что позволяет рассматривать yi как "условную цену", оценку единицы i-го ресурса, объективно обусловленную оценку.

Так как уi представляет частную производную от оптимального дохода по i-му ресурсу, то уi характеризует скорость изменения оптимального дохода при изменении i-го ресурса. С помощью yi можно определить степень влияния ограничений на значение целевой функции. Предельные значения (нижняя и верхняя границы) ограничений ресурсов, для которых yi остаются неизменными, определяются по формулам:

где xj -- значение переменной в оптимальном решении; dij -- элементы матрицы (dij) = А-1, обратной к матрице базиса оптимального решения, для которой А = (aij)mxn. Если в план включаются новые виды продукции, то их оценка находится по формуле

Если Дj < 0, то новый вид продукции улучшает план. При Дj > 0 нецелесообразно включать новый вид продукции.

2. Решение задачи симплексным методом

Симплекс-метод. Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом. Определим максимальное значение целевой функции (максимум прибыли, руб.)

F(X) = 60x1+125x2+30x3 при следующих условиях-ограничений. x1+x2+x3?2000 4x1+2.5x2+4.5x3?20000 0.8x1+x2+1.2x3?3000

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных. В 1-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x6. 1x1 + 1x2 + 1x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = 2000 4x1 + 2.5x2 + 4.5x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 20000 0.8x1 + 1x2 + 1.2x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 3000 Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

1	1	1	1	0	0
4	2,5	4,5	0	1	0
0,8	1	1,2	0	0	1

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом. Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные переменные задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана. Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x4, x5, x6

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X1 = (0,0,0,2000,20000,3000) Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	2000	1	1	1	1	0	0
x5	20000	4	2.5	4.5	0	1	0
x6	3000	0.8	1	1.2	0	0	1
F(X0)	0	-60	-125	-30	0	0	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода. 1. Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. 2. Определение новой базисной переменной. В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю. 3.



2. Определение новой свободной переменной

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2 и из них выберем наименьшее: Следовательно, 1-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x4	2000	1	1	1	1	0	0	2000
x5	20000	4	2.5	4.5	0	1	0	8000
x6	3000	0.8	1	1.2	0	0	1	3000
F(X1)	0	-60	-125	-30	0	0	0	0

Пересчет симплекс-таблицы. Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x4 в план 1 войдет переменная x2. Строка, соответствующая переменной x2 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x4плана 0 на разрешающий элемент РЭ=1. На месте разрешающего элемента в плане получаем 1. В остальных клетках столбца x2 записываем нули. Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x2 и столбец x2.

Все остальные элементы нового плана, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:



Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x2	2000	1	1	1	1	0	0
x5	15000	1.5	0	2	-2.5	1	0
x6	1000	-0.2	0	0.2	-1	0	1
F(X1)	250000	65	0	95	125	0	0

1. Проверка критерия оптимальности. Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи. Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x2	2000	1	1	1	1	0	0
x5	15000	1.5	0	2	-2.5	1	0
x6	1000	-0.2	0	0.2	-1	0	1
F(X2)	250000	65	0	95	125	0	0

Оптимальный план можно записать так: x1 = 0, x2 = 2000, x3 = 0 F(X) = 60*0 + 125*2000 + 30*0 = 250000

3. Транспортная задача

Стоимость доставки единицы продукции от поставщика к потребителю располагается в правом нижнем углу ячейки.

Поставщик	Потребитель	Запас
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	6	3	7	10	45
A 2	10	4	12	10	100
A 3	5	9	8	11	20
A 4	4	2	4	8	75
Потребность	30	80	95	35

Требуется составить план перевозок, при котором общая стоимость доставки продукции будет наименьшей.

Для решения задачи необходимо выполнение следующего условия: cуммарные запасы продукции у поставщиков должны равняться суммарной потребности потребителей. Запасы поставщиков: 45 + 100 + 20 + 75 = 240 единиц продукции. Потребность потребителей: 30 + 80 + 95 + 35 = 240 единиц продукции.

Суммарные запасы продукции у поставщиков равны суммарной потребности потребителей, значит система закрытая.

Для решения задачи необходимо выполнение следующего условия: количество задействованных маршрутов = количество поставщиков + количество потребителей - 1.

В первую очередь, будем задействовать маршруты с наименьшей стоимостью доставки. Искомый элемент равен 2.

Для этого элемента запасы равны 75, потребности 80. Минимальным является 75, то вычитаем его.

Х42 = min (75,80) =75

Поставщик	Потребитель	Запас
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	6	3	7	10	45
A 2	10	4	12	10	100
A 3	5	9	8	11	20
A 4	4	75 2	4	8	75-75=0
Потребность	30	80-75 5	95	35

Х12=min (45,5)=5

Для этого элемента запасы равны 20, потребности 30. Поскольку минимальным является 20, то вычитаем его.

Поставщик	Потребитель	Запас
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	6	5 3	7	10	45 40
A 2	10	4	12	10	100
A 3	5	9	8	11	20
A 4	4	75 2	4	8	75 0
Потребность	30	5 0	95	35

Х31=min (20,30)=20

Поставщик	Потребитель	Запас
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	6	5 3	7	10	45 40
A 2	10	4	12	10	100
A 3	20 5	9	8	11	20-20=0
A 4	4	75 2	4	8	75 0
Потребность	30 10	5 0	95	35

Искомый элемент равен 6. Для него запасы равны 40, потребности 10. Минимальным является 10, то вычитаем его.

Х11=min(40,10)=10

Поставщик	Потребитель	Запас
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	10 6	5 3	7	10	40-10= 30
A 2	10	4	12	10	100
A 3	20 5	9	8	11	20 0
A 4	4	75 2	4	8	75 0
Потребность	10 0	5 0	95	35

Искомый элемент равен 7. Для него запасы равны 30, потребности 95. Вычитаем минимальное 30.

Х13=min (30,95)=30

Поставщик	Потребитель	Запас
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	10 6	5 3	30 7	10	30-30=0
A 2	10	4	12	10	100
A 3	20 5	9	8	11	20 0
A 4	4	75 2	4	8	75 0
Потребность	30 10 0	80 5 0	95 65	35

Искомый элемент равен 10. Для него запасы равны 100, потребности 35. Вычитаем минимальное.

Х24=mi(100,35)=35

Поставщик	Потребитель	Запас
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	10 6	5 3	30 7	10	45 40 30 0
A 2	10	4	12	35 10	100 65
A 3	20 5	9	8	11	20 0
A 4	4	75 2	4	8	75 0
Потребность	30 10 0	80 5 0	95 65	35 0

Х23=min (65,65)=65

Поставщик	Потребитель	Запас
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	10 6	5 3	30 7	10	45 40 30 0
A 2	10	4	65 12	35 10	65-65 0
A 3	20 5	9	8	11	20 0
A 4	4	75 2	4	8	75 0
Потребность	30 10 0	80 5 0	65-65 0	35 0

В результате получен опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m+n-1=7. Следовательно опорный план является невырожденным.

10*6 + 5*3 + 30*7 + 65*12 + 35*10 + 20*5 + 75*2 = 1665 ден. ед.

Проверим является ли полученное решение оптимальным.

Каждому поставщику A i ставим в соответствие число u i, называемое потенциалом поставщика. Каждому потребителю B j ставим в соответствие число v j, называемое потенциалом потребителя. Значение одного потенциала необходимо задать. Пусть u1 = 0. Последовательно найдем значения потенциалов.

Поставщик	Потребитель	U
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	10 6	5 3	30 7	10	u1 = 0
A 2	10	4	65 12	35 10	u2 = 5
A 3	20 5	9	8	11	u3 = -1
A 4	4	75 2	4	8	u4 = -1
V	v1 = 6	v2 = 3	v3 = 7	v4 = 5

A1B1:	v1 + u1 = 6	v1 = 6 - 0 = 6
A1B2:	v2 + u1 = 3	v2 = 3 - 0 = 3
A1B3:	v3 + u1 = 7	v3 = 7 - 0 = 7
A2B3:	v3 + u2 = 12	u2 = 12 - 7 = 5
A2B4:	v4 + u2 = 10	v4 = 10 - 5 = 5
A3B1:	v1 + u3 = 5	u3 = 5 - 6 = -1
A4B2:	v2 + u4 = 2	u4 = 2 - 3 = -1

Найдем оценки незадействованных маршрутов.

A1B4:	Д14 = c14 - ( u1 + v4 ) = 10 - ( 0 + 5 ) = 5
A2B1:	Д21 = c21 - ( u2 + v1 ) = 10 - ( 5 + 6 ) = -1
A2B2:	Д22 = c22 - ( u2 + v2 ) = 4 - ( 5 + 3 ) = -4
A3B2:	Д32 = c32 - ( u3 + v2 ) = 9 - ( -1 + 3 ) = 7
A3B3:	Д33 = c33 - ( u3 + v3 ) = 8 - ( -1 + 7 ) = 2
A3B4:	Д34 = c34 - ( u3 + v4 ) = 11 - ( -1 + 5 ) = 7
A4B1:	Д41 = c41 - ( u4 + v1 ) = 4 - ( -1 + 6 ) = -1
A4B3:	Д43 = c43 - ( u4 + v3 ) = 4 - ( -1 + 7 ) = -2
A4B4:	Д44 = c44 - ( u4 + v4 ) = 8 - ( -1 + 5 ) = 4

Есть отрицательные оценки, следовательно, опорный план не является оптимальным.

Выберем ячейку A2B2, ее оценка отрицательная. Поставим в эту ячейку знак "+", а в остальных вершинах чередующиеся знаки "-", "+", "-".

Поставщик	Потребитель	Запас
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	10 6	5(-) 3	30(+) 7	10	45
A 2	10	-4(+) 4	65(-) 12	35 10	100
A 3	20 5	9	8	11	20
A 4	4	75 2	4	8	75
Потребность	30	80	95	35

Из грузов стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее. Прибавляем 5 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 5 из стоящих в минусовых клетках. Получаем новый опорный план.



Поставщик	Потребитель	Запас
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	10 6	5 3	30 7	10	45
A 2	10	-4 4	65 12	35 10	100
A 3	20 5	9	8	11	20
A 4	4	75 2	4	8	75
Потребность	30	80	95	35

Данное преобразование не изменит баланса.

Поставщик	Потребитель	Запас
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	10 6	5 - 5 3	30 + 5 7	10	45
A 2	10	+5 -4 4	65 - 5 12	35 10	100
A 3	20 5	9	8	11	20
A 4	4	75 2	4	8	75
Потребность	30	80	95	35

Получили новое решение.

Поставщик	Потребитель	Запас
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	10 6	3	35 7	10	45
A 2	10	5 4	60 12	35 10	100
A 3	20 5	9	8	11	20
A 4	4	75 2	4	8	75
Потребность	30	80	95	35

Общая сумма доставки продукции, для данного решения

S = 1665 + Д22 * 5 = 1665 -4 * 5 = 1645 ден. ед.

A2B2:	v2 + u2 = 4	v2 = 4 - 0 = 4
A2B3:	v3 + u2 = 12	v3 = 12 - 0 = 12
A2B4:	v4 + u2 = 10	v4 = 10 - 0 = 10
A4B2:	v2 + u4 = 2	u4 = 2 - 4 = -2
A1B3:	v3 + u1 = 7	u1 = 7 - 12 = -5
A1B1:	v1 + u1 = 6	v1 = 6 - (-5) = 11
A3B1:	v1 + u3 = 5	u3 = 5 - 11 = -6

A1B2:	Д12 = c12 - ( u1 + v2 ) = 3 - ( -5 + 4 ) = 4
A1B4:	Д14 = c14 - ( u1 + v4 ) = 10 - ( -5 + 10 ) = 5
A2B1:	Д21 = c21 - ( u2 + v1 ) = 10 - ( 0 + 11 ) = -1
A3B2:	Д32 = c32 - ( u3 + v2 ) = 9 - ( -6 + 4 ) = 11
A3B3:	Д33 = c33 - ( u3 + v3 ) = 8 - ( -6 + 12 ) = 2
A3B4:	Д34 = c34 - ( u3 + v4 ) = 11 - ( -6 + 10 ) = 7
A4B1:	Д41 = c41 - ( u4 + v1 ) = 4 - ( -2 + 11 ) = -5
A4B3:	Д43 = c43 - ( u4 + v3 ) = 4 - ( -2 + 12 ) = -6

Поставщик	Потребитель	U
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	10 6	3	35 7	10	u1 = -5
A 2	10	5 4	60 12	35 10	u2 = 0
A 3	20 5	9	8	11	u3 = -6
A 4	4	75 2	4	8	u4 = -2
V	v1 = 11	v2 = 4	v3 = 12	v4 = 10

Есть отрицательные оценки, значит можно получить новое решение.



Поставщик	Потребитель	Запас
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	10 6	3	35 7	10	45
A 2	10	5(+) 4	60(-) 12	35 10	100
A 3	20 5	9	8	11	20
A 4	4	75(-) 2	-6(+) 4	8	75
Потребность	30	80	95	35

Из грузов стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее.

60 = min ( 75, 60 ) Прибавляем 60 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 60 из стоящих в минусовых клетках. Получим новый опорный план.

Поставщик	Потребитель	Запас
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	10 6	3	35 7	10	45
A 2	10	5 4	60 12	35 10	100
A 3	20 5	9	8	11	20
A 4	4	75 2	-6 4	8	75
Потребность	30	80	95	35

Данное преобразование не изменит баланса. А вот общая стоимость доставки продукции изменится на величину:

4 * 60 - 2 * 60 + 4 * 60 - 12 * 60 = ( 4 - 2 + 4 - 12 ) * 60 = -6 * 60 ден. ед. -6 * 60 = Д43 * 60



Поставщик	Потребитель	Запас
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	10 6	3	35 7	10	45
A 2	10	5 + 60 4	60 - 60 12	35 10	100
A 3	20 5	9	8	11	20
A 4	4	75 - 60 2	+60 -6 4	8	75
Потребность	30	80	95	35

Получили новое решение.

Поставщик	Потребитель	Запас
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	10 6	3	35 7	10	45
A 2	10	65 4	12	35 10	100
A 3	20 5	9	8	11	20
A 4	4	15 2	60 4	8	75
Потребность	30	80	95	35

Считаем общую сумму доставки продукции, для данного решения

S = 1645 + Д43 * 60 = 1645 -6 * 60 = 1285 ден. ед.

Проверяем полученное решение на оптимальность. Значение одного потенциала необходимо задать. Пусть u1 = 0. Последовательно найдем значения потенциалов.

Поставщик	Потребитель	U
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	10 6	3	35 7	10	u1 = 0
A 2	10	65 4	12	35 10	u2 = -1
A 3	20 5	9	8	11	u3 = -1
A 4	4	15 2	60 4	8	u4 = -3
V	v1 = 6	v2 = 5	v3 = 7	v4 = 11

A1B1:	v1 + u1 = 6	v1 = 6 - 0 = 6
A1B3:	v3 + u1 = 7	v3 = 7 - 0 = 7
A3B1:	v1 + u3 = 5	u3 = 5 - 6 = -1
A4B3:	v3 + u4 = 4	u4 = 4 - 7 = -3
A4B2:	v2 + u4 = 2	v2 = 2 - (-3) = 5
A2B2:	v2 + u2 = 4	u2 = 4 - 5 = -1
A2B4:	v4 + u2 = 10	v4 = 10 - (-1) = 11

A1B2:	Д12 = c12 - ( u1 + v2 ) = 3 - ( 0 + 5 ) = -2
A1B4:	Д14 = c14 - ( u1 + v4 ) = 10 - ( 0 + 11 ) = -1
A2B1:	Д21 = c21 - ( u2 + v1 ) = 10 - ( -1 + 6 ) = 5
A2B3:	Д23 = c23 - ( u2 + v3 ) = 12 - ( -1 + 7 ) = 6
A3B2:	Д32 = c32 - ( u3 + v2 ) = 9 - ( -1 + 5 ) = 5
A3B3:	Д33 = c33 - ( u3 + v3 ) = 8 - ( -1 + 7 ) = 2
A3B4:	Д34 = c34 - ( u3 + v4 ) = 11 - ( -1 + 11 ) = 1
A4B1:	Д41 = c41 - ( u4 + v1 ) = 4 - ( -3 + 6 ) = 1
A4B4:	Д44 = c44 - ( u4 + v4 ) = 8 - ( -3 + 11 ) = 0

Поставщик	Потребитель	Запас
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	10 6	-2 3	35 7	10	45
A 2	10	65 4	12	35 10	100
A 3	20 5	9	8	11	20
A 4	4	15 2	60 4	8	75
Потребность	30	80	95	35

Есть отрицательные оценки, следовательно, возможно получить новое решение.

Из грузов стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. ячейку A1B2, ее оценка отрицательная.

Общая стоимость доставки продукции изменится на величину:

3 * 15 - 7 * 15 + 4 * 15 - 2 * 15 = ( 3 - 7 + 4 - 2 ) * 15 = -2 * 15 ден. ед. -2 * 15 = Д12 * 15

Поставщик	Потребитель	Запас
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	10 6	+15 -2 3	35 - 15 7	10	45
A 2	10	65 4	12	35 10	100
A 3	20 5	9	8	11	20
A 4	4	15 - 15 2	60 + 15 4	8	75
Потребность	30	80	95	35

Получили новое решение.

Поставщик	Потребитель	Запас
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	10 6	15 3	20 7	10	45
A 2	10	65 4	12	35 10	100
A 3	20 5	9	8	11	20
A 4	4	2	75 4	8	75
Потребность	30	80	95	35

Считаем общую сумму доставки продукции

S = 1285 + Д12 * 15 = 1285 -2 * 15 = 1255 ден. ед.

Проверяем решение на оптимальность. Значение одного потенциала необходимо задать. Пусть u1 = 0. Последовательно найдем значения потенциалов.

Нет отрицательных оценок, следовательно, уменьшить общую стоимость доставки продукции невозможно. План является оптимальным, так как все оценки свободных клеток удовлетворяют условию Ui+Vj<Cij.

Минимальные затраты составят:

F(х)=6*10+3*15+7*20+4*65+10*35+5*20+4*75=1255 ден. ед.

Анализ оптимального плана.

Из 1-го склада необходимо груз направить в 1-й магазин (10), во 2-й магазин (15), в 3-й магазин (20). Из 2-го склада необходимо груз направить во 2-й магазин (65), в 4-й магазин (35). Из 3-го склада необходимо весь груз направить в 1-й магазин. Из 4-го склада необходимо весь груз направить в 3-й магазин.

A1B1:	v1 + u1 = 6	v1 = 6 - 0 = 6
A1B2:	v2 + u1 = 3	v2 = 3 - 0 = 3
A1B3:	v3 + u1 = 7	v3 = 7 - 0 = 7
A2B2:	v2 + u2 = 4	u2 = 4 - 3 = 1
A2B4:	v4 + u2 = 10	v4 = 10 - 1 = 9
A3B1:	v1 + u3 = 5	u3 = 5 - 6 = -1
A4B3:	v3 + u4 = 4	u4 = 4 - 7 = -3

Поставщик	Потребитель	U
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	10 6	15 3	20 7	10	u1 = 0
A 2	10	65 4	12	35 10	u2 = 1
A 3	20 5	9	8	11	u3 = -1
A 4	4	2	75 4	8	u4 = -3
V	v1 = 6	v2 = 3	v3 = 7	v4 = 9



Список литературы

1. Высшая математика для экономистов: учебник* / Кремер Н. Ш. [и др.]; ред. Н. Ш. Кремер. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. - 479с.

2. Высшая математика для экономического бакалавриата: учебник* и практикум / Н. Ш. Кремер [и др.]; ред. Н. Ш. Кремер. - Москва: Юрайт, 2012. - 909с.

3. Красс, М. С. Математика для экономистов [Текст]: учебное пособие* / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. - М.; СПб.; Н. Новгород [и др.]: Питер, 2009. - 464 с.: рис. - (Учебное пособие). - Библиогр.: с. 461.

4. Грицюк С.Н. Математические методы и модели в экономике: учебник.- Ростов н/Д:Феникс, 2007

Размещено на Allbest.ru

...