Размещено на http://www.allbest.ru/

Равновесие Нэша

Содержание

Введение

1. Джон Форбс Нэш

1.1 Научные достижения Джона Нэша

2. Равновесие Нэша

2.1 Проблема существования равновесий Нэша

2.2 Проблема единственности равновесия Нэша

2.3 Проблема эффективности равновесия Нэша

2.4 Оптимальные по Парето ситуации

3. Проблемы практического применения

Заключение

Список литературы

Введение

Ученые вот уже почти шестьдесят лет используют теорию игр для расширения анализа стратегических решений, принимаемых фирмы, в частности для того, чтобы ответить на вопрос: почему на некоторых рынках фирмы и стремятся сговориться, тогда, как на других агрессивно конкурируют; использующих фирмы, чтобы не допустить вторжения потенциальных конкурентов; как должны приниматься решения о цене, когда меняются условия п опроса или расходов или, когда новые конкуренты вторгаются на рынок.

Первыми провели исследование в области теории игр Дж-Ф Нейман и О Моргенштерн и описали результаты в книге "Теория игр и экономическое поведение" (1944) Они распространили математические категории этой теории й на экономическую жизнь общества, введя понятие оптимальных стратегий, максимизации ожидаемой полезности, доминирования в игре.

Ученые стремились сформулировать основополагающие критерии рационального поведения участника на рынке с целью достижения благоприятных результатов. Они различали две основные категории игр. Первая - игра с нулевой суммой, предусматривающий такой выигрыш, состоящий исключительно из проигрыша других игроков. В связи с этим пользу одних непременно должна образовываться за счет потерь других игроков, так что общее, а сумма пользы и потерь всегда равна нулю. Вторая категория - игра с положительной суммой, когда индивидуальные игроки соревнуются за выигрыш, состоящий из их же ставок. В обоих случаях игра неизбежно сопряжена с риском, поскольку каждый из ее участников, как считали исследователи, стремится максимально повысить функцию, переменные которой им не контролируются. Если все игроки одинаково умелые, то решающим фактором становится случайность. Но так бывает редко. Почти всегда важную роль в игре играет хитрость, с помощью которой делаются попытки раскрыть замыслы противников и завуалировать свои й намерениях, а затем занять выгодные позиции, которые заставили бы этих противников действовать в ущерб самим себе.

В начале 50-х Джон Нэш разрабатывает методы анализа, в которых все участники или выигрывают, или терпят поражение. Эти ситуации получили названия «равновесие по Нэшу».

1. Джон Форбс Нэш

Очень сильная личность и Нобелевский лауреат Джон Нэш является ученым, который много и плодотворно работал в сфере дифференциальной геометрии и теории игр. Однако не все знают, что математик многие годы своей жизни посвятил трагической борьбе с собственным безумием, граничащим с гениальностью.

«Хорошие научные идеи не приходили бы мне в голову, если бы я думал как нормальные люди.» Д. Нэш

Трудовую деятельность Джон Нэш начал в корпорации "РЭНД" (Санта-Моника, Калифорния), где работал летом 1950 года, а также в 1952 и 1954 годах.

В 1950 - 1951 годах молодой человек преподавал на курсах исчисления (Принстон). В этот период времени он доказал теорему Нэша (о регулярных вложениях). Она является одной из главных в дифференциальной геометрии.

В 1951 - 1952 гг. Джон работает научным ассистентом в Кембридже (Массачусетский технологический институт).

Великому ученому было трудно уживаться в рабочих коллективах. Еще со времен студенчества он прослыл чудаковатым, обособленным, заносчивым, эмоционально холодным человеком (что уже тогда указывало на шизоидную организацию характера). Коллеги и сокурсники, мягко говоря, недолюбливали Джона Нэша за эгоистичность и замкнутость.

1.1 Научные достижения Джона Нэша

Прикладная математика имеет один из разделов - теория игр, который изучает оптимальные стратегии в играх. Эта теория широко применяется в общественных науках, экономике, изучении политико-социальных взаимодействий.

Самое большое открытие Нэша - это выведенная формула равновесия. Она описывает игровую стратегию, в которой выигрыш увеличить не может ни один участник, если изменит свое решение в одностороннем порядке. Например, рабочий митинг (требующий повышения социальных льгот) может завершиться соглашением сторон или же путчем. Для взаимной выгодности две стороны должны использовать идеальную стратегию. Ученый сделал математическое обоснование сочетаний коллективной и личной выгоды, понятий конкуренции. Также он развил "теорию торгов", которая была положена в основу современных стратегий разных сделок (аукционов и т. п.).

Научные изыскания Джона Нэша после исследований в области теории игр не остановились. Ученые считают, что труды, которые математик написал после его первого открытия, даже люди науки не могут понять, очень уж они сложны и для их восприятия.

нэш математик единственность равновесие

2. Равновесие Нэша

Основной математической моделью конфликтной ситуации является игра в нормальной форме. Эта модель задается совокупностью

где множество участников или игроков;

множество допустимых стратегий игрока ;

ситуация игры, возникающая в результате выбора всеми игроками своих стратегий;

выигрыш игрока в ситуации .

Важнейшим принципом принятия решений в конфликтных ситуациях является понятие равновесия Нэша.

Равновесием Нэша в игре называется набор стратегий такой, что для каждого игрока его стратегия , входящая в набор , удовлетворяет условию:

Выражение "" читается " при условии ". Оно обозначает набор стратегий, в котором все компоненты, кроме стратегии игрока , совпадают с , а стратегия есть . Данное условие показывает, что стратегия , входящая в набор , является оптимальной для игрока при фиксированных стратегиях всех остальных игроков. Таким образом, можно сказать, что равновесие Нэша это такой набор стратегий, от которого ни одному из игроков не выгодно отклоняться индивидуально.

Обсудим, как можно использовать понятие равновесия Нэша с точки зрения принятия решений. В теории игр, как и во многих других теориях, можно выделить два подхода: нормативный и позитивный. Нормативный подход состоит в том, что теория дает рекомендации, как следует действовать в той или иной конфликтной ситуации. А при позитивном подходе теория пытается описать, как на самом деле происходит взаимодействие между игроками. Изначально теория игр развивалась как нормативная. И сейчас мы обсудим понятие равновесия Нэша именно с такой точки зрения. В этом случае правило принятия решения можно сформулировать следующим образом: в конфликтной ситуации, описываемой игрой в нормальной форме, каждому участнику следует использовать стратегию, которая входит в равновесие Нэша.

Возникают следующие вопросы: всегда ли существует равновесие Нэша и является ли оно единственным? Далее приводятся несколько примеров, которые показывают, что на оба эти вопроса ответ, вообще говоря, отрицательный.

2.1 Проблема существования равновесий Нэша

Рассмотрим игру двух лиц (), у каждого из которых имеется конечное число стратегий: , . Такие игры двух лиц с конечным числом стратегий у каждого игрока называют биматричными, т.к. для задания функций выигрыша в этом случае удобна биматричная форма записи:

Стратегиям первого игрока соответствуют строки, а стратегиям второго игрока столбцы. Элемент матрицы равен выигрышу игрока , если первый игрок использует свою -тую стратегию, а второй игрок применяет свою -тую стратегию.

Пример игры, в которой не существует равновесий Нэша

Рассмотрим следующую биматричную игру:

Игре с такими матрицами выигрышей можно дать следующую интерпретацию: происходит игра "в монетку": второй игрок загадывает "орел" или "решку", а первый игрок отгадывает. Если он угадывает правильно, то получает от второго игрока "1", иначе отдает "1" второму игроку.

Легко видеть, что в рассматриваемой игре нет равновесий Нэша. Это можно доказать непосредственной проверкой: какую бы ситуацию мы ни взяли, одному из игроков выгодно отклониться, т.к. их интересы противоположны (если выигрывает один, то проигрывает другой) и при любой фиксированной стратегии одного из игроков у другого всегда найдется стратегия, при которой он выигрывает.

2.2 Проблема единственности равновесия Нэша