Построение двухфакторной математической модели технического объекта

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"Пензенский государственный

технологический университет"(ПензГТУ)

Кафедра: Технология машиностроения

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Дисциплина: «Планирование эксперимента»

на тему: "Построение двухфакторной математической модели технического объекта"

Выполнил: студент группы 15УК1мз

Лобачёва Д.С.

контактный телефон: 89624744554

e-mail: Dasha5864@mail.ru

Проверил: д.т.н., профессор Прошин И.А.

Пенза 2016



Содержание

Введение

1. Кодирование факторного пространства

2. Составление матрицы планирования эксперимента

3. Составление программы

4. Вычисление коэффициентов регрессионной модели

5. Расчет статистических характеристик

6. Оценка адекватности математической модели

Заключение

Список литературы

Приложения



Введение

Принятие проектных решений в любой отрасли промышленности и оценка их качества в основном осуществляются на основании данных эксперимента.

Экспериментом называют целенаправленное воздействие на объект исследования с целью получения о нем достоверной информации.

Планирование эксперимента - это средство построения математических моделей различных процессов с целью повышения эффективности экспериментальных исследований: сокращения времени и средств на проведение эксперимента, повышения достоверности результатов исследования.

Цель планирования эксперимента - нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности

Целью данной работы является построение двухфакторной математической модели зависимости плотности изоляционного материала от давления Р( 15;21 МПа), Д Р= 3 МПа и температуры Т(110;150 ⁰С), ДТ=20⁰С.

кодирование планирование регрессионный математический



1. Кодирование факторного пространства

Пусть интересующее нас свойство (Y) объекта зависит от нескольких (n) независимых переменных (Х1, Х2, …, Хn) и мы хотим выяснить характер этой зависимости - Y=F(Х1, Х2, …, Хn), о которой мы имеем лишь общее представление. Величина Y - называется “отклик”, а сама зависимость Y=F(Х1,Х2, …, Хn) - "функция отклика".

Независимые переменные Х1, Х2, …, Хn - иначе факторы, также должны иметь количественную оценку. Если используются качественные факторы, то каждому их уровню должно быть присвоено какое-либо число.

Диапазоны изменения факторов задают область определения Y. Если принять, что каждому фактору соответствует координатная ось, то полученное пространство называется факторным пространством. При n=2 область определения Y представляется собой прямоугольник, при n=3 - куб, при n >3 - гиперкуб.

При выборе диапазонов изменения факторов нужно учитывать их совместимость, т.е. контролировать, чтобы в этих диапазонах любые сочетания факторов были бы реализуемы в опытах и не приводили бы к абсурду. Для каждого из факторов указывают граничные значения

, i=1,... n.

Если заранее не известно аналитическое выражение функции отклика, то можно рассматривать не саму функцию, а ее разложение, например в степенной ряд в виде полинома:

Y=В0 + B1Х1 + … + BnХn + В12Х1Х2 + … Вnn-1ХnХn-1 + В11Х12 + … + ВnnXn2 +….



Факторы могут иметь разные размерности (А, В, Вт, об/мин) и резко отличаться количественно. В теории планирования эксперимента используют кодирование факторов.

Рис. 1. Пространство кодированных факторов.

Эта операция заключается в выборе нового масштаба для кодированных факторов (рис. 1), причем такого, чтобы минимальное значение кодированных факторов соответствовало “-1”, а максимальное значение “+1”, а также в переносе начала координат в точку с координатами Х1ср, Х2ср, …, Хnср:

.

Текущее значение кодированного фактора:

,

где Хi - именованное (абсолютное) значение фактора; xi - кодированное значение фактора; Xicp -Ximin =Ximax-Xicp - интервал варьирования фактора.

Граница совместимости факторов указана на рис. 1 в виде кривой линии.

Если фактор изменяется дискретно, например он является качественным, то каждому уровню этого кодированного фактора присваиваются числа в диапазоне от +1 до -1. Так при двух уровнях это +1 и -1, при трех уровнях +1, 0, -1 и т.д.

Для полинома, записанного в кодированных факторах, степень влияния факторов или их сочетаний на функцию отклика определяется величиной их коэффициента bi. Для полинома в именованных факторах величина коэффициента Вi еще не говорит однозначно о степени влияния этого фактора или их сочетаний на функцию отклика.

Степенной вид полинома может быть записан в более компактной форме:

Исходя из задания: построить двухфакторную математическую модель зависимости плотности изоляционного материала от давления Р( 15;21 МПа), Д Р=0,3 МПа и температуры Т(110;150 ⁰С), ДТ=20 ⁰С, занесем эти данные в таблицу.

Расшифруем матрицу планирования экспериментов, приведенную в табл. 2. Целью исследований являлось изучение влияния давления и температуры на плотность изоляционного материала (y) Всего было произведено 9 серий опытов.

Варьируемыми факторами (независимыми переменными) являлось давление (x₁) и температура (x₂). Пределы варьирования (см. табл. 1): давления Р - 15...21 МПа, интервал варьирования 3 МПа; температуры Т - 110...150⁰С, интервал варьирования 20⁰С. Условно эти параметры по верхнему и нижнему пределам (уровням) обозначены через кодированные значения факторов “Х_i = +1” и “ Х_i = -1”. Верхний уровень “ Х_i = +1” соответствует максимальному значению, нижний уровень “ Х_i = -1” - минимальному.

Таким образом, переменные х_i влияют на плотность изоляционного материала в натуральном виде, а переменные Х_i - в кодированном виде соответственно через верхний (Х_i = +1) и нижний (Х_i = -1) уровни (табл. 3). В дальнейшем для построения регрессионной модели сначала будут использоваться кодированные значения факторов Х_i, а затем будет производиться переход от кодированных значений факторов к их фактическим значениям х_i.

2. Составление матрицы планирования эксперимента

Таблица 1- Относительные значения уровней факторов (n=3)

Относительные уровни	Давление , МПа	Температура, 0С
Нижний уровень, хi(min) (Хi = -1)	15	110
Основной уровень, хi00	18	130
Верхний уровень, хi(max) (Хi = +1)	21	150
Интервал варьирования, Xi	3	20

Таблица 2- Матрица планирования эксперимента на трех уровнях двух входных переменных(х₁- давление, х₂- температура)

№ опыта, u	Х0	Х1	Х2	X3= Х1 Х2	X4= Х12	X5= Х22	X6= Х1Х22	X7= Х12Х2	X8= Х12Х22	Yu
u = 1	+1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	-1	+1	323
u = 2	+1	0	-1	0	0	+1	0	0	0	324
u = 3	+1	+1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	+1	322
u = 4	+1	-1	0	0	+1	0	0	0	0	339
u = 5	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	339
u = 6	+1	+1	0	0	+1	0	0	0	0	338
u = 7	+1	-1	+1	-1	+1	+1	-1	+1	+1	347
u = 8	+1	0	+1	0	0	+1	0	0	0	348
u = 9	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	349

Для плана полного факторного эксперимента (ПФЭ) 3² число факторов равно 2 и число уровней фиксирования факторов 3. Значения кодированных факторов выбираются в виде +1 , 0, -1. Полное число возможных сочетаний значений n факторов (число опытов, а значит и число строк плана) N= 3² = 9. Составляется план, в котором число столбцов факторов и их сочетаний равняется числу членов уравнения.

3. Составление программы



4. Вычисление коэффициентов регрессионной модели

Коэффициенты уравнения регрессии рассчитываются по зависимости:

где u - номер опыта; - кодированные значения уровней варьируемых факторов /независимых переменных X₁(Р), X₂(Т) (табл. 2); - значения функции отклика (плотности изоляционного материала (табл. 2).

Рассчитаем коэффициенты в уравнении регрессии по зависимостям с учетом знаков Х_i в столбцах табл. 2:

Если учесть обозначения, принятые в табл. 2, регрессионное уравнение запишется в виде:

Y = b₀ + b₁x₁ +b₂x₂ + b₅ x₃+ b₄ x₄+ b₃x₅ + b₆ x₆ + b₇ x₇ + b₈ x₈ .

5. Расчет статистических характеристик

Расчет дисперсии

Построчная дисперсия для каждого эксперимента определяется по формуле:

где g и n_u - номер и количество дублей эксперимента соответственно; - результат g-го повторения u-го эксперимента; - среднее арифметическое значение всех дублей u - го эксперимента; f_u - число степеней свободы в u - м опыте при определении u - й построчной дисперсии .

Число степеней свободы - понятие, учитывающее в статистических ситуациях связи, ограничивающие свободу изменения случайных величин. Это число определяется как разность между числом выполненных опытов и числом констант (средних, коэффициентов и пр.), подсчитанных по результатам тех же опытов.

В нашем случае n_u = 2, f_u = 2 - 1 = 1.

Построчная дисперсия по выражению рассчитывается для каждого u - го опыта отдельно.

Приведем пример расчета построчной дисперсии в первом опыте (u=1):

;

После определения построчных дисперсий производят проверку воспроизводимости экспериментальных данных. Проверка выполняется в том случае, если имеет место дублирование опытов, что является обязательным правилом при проведении планированного эксперимента. На этой стадии проверяется гипотеза о постоянстве дисперсии шума с использованием критерия Кохрена. Проверка данной гипотезы позволяет судить об однородности или неоднородности ряда дисперсий. Если ряд дисперсий однороден, различные значения функции отклика (y) определяются с одинаковой точностью. Если ряд дисперсий неоднороден, различные значения функции отклика (y) определяются с разной точностью.

Процедура проверки статистических гипотез в общем случае формально предусматривает сравнение некоторого критерия, рассчитанного по экспериментальным данным, с его табличным значением при выбранном заранее уровне значимости . Уровень значимости определяет наибольшую вероятность отвергнуть правильную гипотезу, т. е. наибольшую вероятность предположения о том, что экспериментальный результат ошибочен. Например, если уровень значимости выбирают равным 0,05 (что, очень часто делается в технических задачах), то это означает, что допускается 5%-ная вероятность неверного решения и доверительная 95%-ная вероятность верного.

Если найденное по экспериментальным данным значение критерия попадает в область, соответствующую уровню значимости, то проверяемая гипотеза неверна и ее следует отвергнуть, совершив ошибку с вероятностью . Если же экспериментальное значение критерия попадает в область, соответствующую вероятности (1-), то проверяемую гипотезу принимают, совершив ошибку, связанную уже с альтернативной гипотезой.

Расчетное значение критерия Кохрена рассчитывается по формуле:

,

где - наибольшая в ряду дисперсия, которую сравнивают со значением G - критерия, взятым из табл. А1 (приложение А) в зависимости от уровня значимости , числа степеней свободы f_u и числа опытов N: G(; f_u; N). В рассматриваемом случае f_u = 1; N = 9.

Находим максимальную построчную дисперсию и Тогда G ^pacч = 210,25/962,25 = 0,218.

Приняв значение уровня значимости = 0,05, для числа степеней свободы f_u = 1 и числа опытов N = 9 получим следующее табличное значение G-критерия: .

Если G ^pacч < , ряд дисперсий однороден. Если G ^pacч , ряд дисперсий неоднороден.

В рассматриваемом примере G ^pacч , т.е. ряд дисперсий неоднороден. Обычно такая ситуация возникает, если среди анализируемых экспериментальных данных имеются грубые ошибки или промахи, связанные с ошибками, допущенными при проведении эксперимента. В таком случае эксперимент следует повторить, тщательно проанализировав его с методологической точки зрения и уделив особое внимание методике сбора и обработки экспериментальных данных. Если при тщательном анализе экспериментальных данных грубых ошибок и промахов не выявлено, неоднородность ряда дисперсий означает, что значения функции отклика (y) действительно определены с разной точностью, однако в каждом отдельном опыте уровень шумов (ошибок) не выходит за границы допустимых значений.

Проверка статистической значимости коэффициентов регрессии

Коэффициенты регрессии, рассчитанные ранее, строго говоря, определены не точно, а с некоторой погрешностью. Мерой этой погрешности является дисперсия оценок коэффициентов. Неизбежное наличие погрешности в определении коэффициентов регрессии обусловлено колебаниями значений функции отклика при дублировании экспериментов в каждом опыте. С учетом этого уравнение можно записать в следующем виде:

Очевидно, что при достаточно малых значениях коэффициентов b_i абсолютная погрешность их определения 2b_i, обусловленная погрешностью определения значений функции отклика, может оказаться недопустимо большой. В этом случае значение коэффициента следует признать статистически незначимым, а сам коэффициент исключить из регрессионной модели. Статистическая незначимость коэффициента означает отсутствие его влияния на исследуемый процесс.

Поскольку дублирование экспериментов равномерное, дисперсию оценок коэффициентов уравнения регрессии можно рассчитать по зависимости:

,

где n_u - количество дублей в каждом опыте (n_u = 2); N - количество опытов (N = 9); - средняя дисперсия эксперимента.

При неоднородности ряда дисперсии (значения функции отклика в разных опытах определены с различной точностью), но в результатах измерений значений функции отклика отсутствуют грубые ошибки и промахи, в качестве средней дисперсии эксперимента принимается максимальная построчная дисперсия. В соответствии с этим, максимальная построчная дисперсия в нашем случае: . Ее значение и принимаем как среднюю дисперсию эксперимента:. Тогда дисперсия оценок коэффициентов регрессии равна

Среднеквадратичная ошибка оценки коэффициентов регрессии определяется как:

.

Для рассматриваемого случая

Рассчитаем доверительный интервал коэффициентов регрессии :

,

где - критерий Стьюдента, зависящий от уровня значимости и числа степеней свободы f₂ при определении дисперсии эксперимента:

Для полного факторного эксперимента 3² f₂ = (2-1)9 = 9.

Выбрав уровень значимости = 0,05, при числе степеней свободы f₂ = 9 из табл. Б1 (приложение Б) найдем табличное значение критерия Стьюдента (t-критерия) t_0,05;9 = 2,26. По выражению рассчитаем доверительный интервал коэффициентов регрессии:

Коэффициенты уравнения регрессии, абсолютная величина которых равна доверительному интервалу или больше его, следует признать статистически значимыми. Т.е. для статистически значимых коэффициентов должно выполняться условие:

или .

Это условие означает, что абсолютные значения статистически значимых коэффициентов регрессии b_i должны не менее чем в раз превышать абсолютную ошибку их определения .

Статистически значимыми коэффициентами, точность оценки которых можно считать удовлетворительной, являются коэффициенты b₀, b₄, b₅ и b₈.

Подставляя значения статистически значимых коэффициентов в выражение , получим следующее уравнение регрессии:

.

6. Оценка адекватности математической модели

Процедура проверки адекватности модели сводится к выполнению ряда последовательных вычислений:

1. Расчет теоретических значений функции отклика в каждом опыте по уравнению .

2. Сопоставление расчетных и экспериментальных значений функции отклика и нахождение дисперсии неадекватности.

3. Расчет критерия Фишера и окончательный вывод на основе сопоставления его расчетного и табличного значений об адекватности или неадекватности модели.

С помощью полученного уравнения определим расчетные значения функции отклика (плотности изоляционного материала y). Все значения Х_i в данное уравнение входят в кодовом масштабе. Например, в 4-м опыте х₀ = +1, х₄ = +1, х₅ = 0, х₈ = 0 (табл. 2). Тогда расчетное значение удельной потери массы в этом опыте будет равно:

у₍₄₎ = 336,5+224,2+0+0=560,7.

Подсчитанные таким образом значения плотности изоляционного материала будем использовать для определения дисперсии неадекватности. При равномерном дублировании экспериментов дисперсия неадекватности определяется по зависимости:

; ,

где и - значения функции отклика в u-м эксперименте, соответственно рассчитанные по уравнению регрессии и определенные экспериментально; f₁ - число степеней свободы; - число оставленных коэффициентов уравнения регрессии, включая b₀ (); N - число опытов плана (N = 9). Тогда f₁ = 9 - 4 = 5.

Таким образом, если из регрессионной модели исключен, хотя бы один статистически незначимый коэффициент (а это неизбежно, если варьируемые факторы действительно являются независимыми переменными), массив разностей будет содержать информацию об ошибках в предсказании значений функции отклика.

Например, в u=5,

В рассматриваемом случае построенная модель включает пять коэффициентов: . Тогда в соответствии с выражением .

Гипотеза об адекватности модели проверяется по критерию Фишера. Его расчетное значение находим по уравнению:

.

Из выражения следует, что расчетное значение критерия Фишера представляет собой отношение дисперсии неадекватности к дисперсии опыта. По сути дела он позволяет ответить на вопрос: во сколько раз модель предсказывает значения функции отклика хуже по сравнению с опытом? Тогда табличное значение критерия Фишера должно регламентировать допустимое отклонение расчетных значений функции отклика относительно опытных данных.

Табличное значение критерия Фишера определяется в зависимости от уровня значимости и числа степеней свободы f₁ и f₂, определенных ранее: F(; f₁; f₂). При уровне значимости = 0,05 табличное значение F - критерия (табл. В1, приложение В) равно .



Заключение

В данной работе была построена двухфакторная математическая модель зависимости плотности изоляционного материала от давления и температуры.

Целью исследований являлось изучение влияния давления и температуры на плотность изоляционного материала. Всего было произведено 9 серий опытов.

Работа включала в себя:

- кодирование факторного пространства;

- составление матрицы планирования эксперимента;

- составление программы;

- вычисление коэффициентов регрессионной модели;

- расчет статистических характеристик определенного фактора и результативного признака;

- оценку адекватности математической модели.

В соответствии с вышеизложенным, можно сказать,что цель работы была достигнута.



Список литературы

1.Барабашук В.И. Планирование эксперимента в технике. - К.: Техніка. - 2014. - 200с.

2.Волченко В.Н. Статистические методы управления качеством по результатам неразрушающего контроля. - М.: Машиностроение. - 2009. - 64с.

3.Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD в математике, физике и в Internet. - М.: Нолидж, 2009. - 352с.

4.Новик Ф.С., Арсов Я.Б. Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов. - М.: Машиностроение. - 2010. - 304с.

5.Ноулер Л., Хауэлл Дж., Голд Б. Статистические методы контроля качества продукции. - М.: Изд-во стандартов. - 2014. - 104

6.Розанов Ю.Н. Методы математической статистики в материаловедении. - Л.: Машиностроение. - 2010. - 232с.

7.Статистические методы обработки эмпирических данных / В.А. Грешников, Б.Н. Волков, А.И. Кубарев - М.: Изд-во стандартов. - 2008. - 232с.

8.Эрнесто Рафалес-Ламарка. Методология научно-технического исследования. - Луганск. - 2012. - 218с.

9.http://lit.vstu.ru/ucheba/Metodiki/aktiv.pdf

10.http://mathlab2011.h12.ru/index.php?p=2

11.http://edu.penzgtu.ru/pluginfile.php/70248/mod_resource/content/1/Часть%203.pdf

Размещено на Allbest.ru

...