Методы поиска функциональной зависимости экспериментальных результатов
Аппроксимация, интерполяция и экстраполяция как наиболее распространенные методы поиска функциональных зависимостей. Методы и подходы к интерполяции данных. Метод наименьших квадратов как математический метод, применяемый для решения различных задач.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.11.2016 |
| Размер файла | 155,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Контрольная работа
на тему: «Методы поиска функциональной зависимости экспериментальных результатов»
по курсу «Планирование эксперимента»
Выполнил: Иванов Никита
Проверил: Степанов П.Е.
Введение
Многие эксперименты зачастую заключаются в измерении неких величин (параметров). Результатом таких экспериментов обычно является последовательность пар чисел. Примером такого эксперимента может быть ежечасное измерение суточной температуры.
В результате получения подобных данных возникает необходимость поиска закономерностей, которым они удовлетворяют (для поиска промежуточных значений, прогнозирования величины измеряемого параметра за пределами измерений).
Наиболее распространенными методами поиска функциональных зависимостей являются аппроксимация, интерполяция и экстраполяция.
Аппроксимация - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в каком-то смысле близкими к исходным, но более простыми. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (в нашем случае - элементарных функций).
Интерполяция - способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Экстраполяция - метод научного исследования, состоящий в распространении выводов, полученных из наблюдения над одной частью явления, на другую его часть; научное прогнозирование событий.
1. Аппроксимация данных
Наиболее известный и распространенный метод аппроксимации данных - метод наименьших квадратов. Этот математический метод, применяемый для решения различных задач, основан на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных.
Постановка задачи приближения функции по методу наименьших квадратов
Пусть функция y=f(x)задана таблицей своих значений: , i=0,1,-n. Требуется найти многочлен фиксированной степени m, для которого среднеквадратичное отклонение (СКО) минимально.
Так как многочлен определяется своими коэффициентами, то фактически нужно подобрать набор кофициентов , минимизирующий функцию
.
Используя необходимое условие экстремума, , k=0,1,-m получаем так называемую нормальную систему метода наименьших квадратов:
, k=0,1,-m.
Полученная система есть система алгебраических уравнений относительно неизвестных . Можно показать, что определитель этой системы отличен от нуля, то есть решение существует и единственно. Однако при высоких степенях m система является плохо обусловленной. Поэтому метод наименьших квадратов применяют для нахождения многочленов, степень которых не выше 5. Решение нормальной системы можно найти, например, методом Гаусса.
Запишем нормальную систему наименьших квадратов для двух простых случаев: m=0 и m=2. При m=0 многочлен примет вид: . Для нахождения неизвестного коэффициента имеем уравнение:. Получаем, что коэффициент есть среднее арифметическое значений функции в заданных точках.
Если же используется многочлен второй степени , то нормальная система уравнений примет вид:
За критерий погрешности результата МНК обычно берется среднеквадратичное отклонение по узлам приближения
аппроксимация интерполяция экстраполяция математический
2. Интерполяция
Существует много различных подходов к интерполяции данных, рассмотрим основные из них: линейную интерполяцию и интерполяцию полиномами.
Линемйная интерполямция -- интерполяция алгебраическим двучленом
P1(x) = ax + b
функции f, заданной в двух точках x0 и x1 отрезка [a, b]. В случае, если заданы значения в нескольких точках, функция заменяется кусочно-линейной функцией. То есть заданные точки (xi, yi) при (i=0..n) соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(x) приближается ломаной с вершинами в данных точках. равнения каждого отрезка ломаной в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов , то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i-го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки и , в виде
Отсюда
Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента х, а затем подставить его в формулу (*) и найти приближенное значение функции в этой точке. На рисунке 1 наглядно изображена линейная интерполяция данных.
Рисунок 1 - Линейная интерполяция
3. Интерполяция полиномами
Также можно проинтерполировать данные гладкой, не кусочной функцией. Для этого часто используют так называемые полиномы Лагранжа. Интерполяциомнный многочлемн Лаграмнжа -- многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n+1 пар чисел (x0, y0), (x1, y1),…, (xn, yn), где все xj различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xj) = yj.
В простейшем случае (n=1) -- это линейный многочлен, график которого -- прямая, проходящая через две заданные точки. Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:
где базисные полиномы определяются по формуле:
li(x) обладают следующими свойствами:
· являются многочленами степени n
· li(xi) = 1
· li(xj) = 0 при j ? i
Отсюда следует, что L(x), как линейная комбинация li(x), может иметь степень не больше n, и L(xi) = yi.
На рисунке 2 изображен график, полученный интерполированием четырех точек полиномом Лагранжа.
Рисунок 2 - Полином Лагранжа
4. Экстраполяция
Экстраполяция - распространение результатов, полученных из наблюдений над одной частью некоторого явления, на другую его часть. Экстраполяция функции - продолжение функции за пределы её области определения, при котором продолженная функция (как правило, аналитическая) принадлежит заданному классу функций. Экстраполяция функций обычно происходит с помощью формул, в которых используется информация о поведении функции в некотором конечном наборе точек (в узлах экстраполяции), принадлежащих её области определения.
Понятие интерполирования функций иногда употребляется в качестве противопоставления понятию экстраполирования, когда конструктивно восстанавливаются (возможно, приближённо) значения функций в областях их определений.
Например, если используется информация о значениях функции, определённой на отрезке [a; b], в узлах хk из этого отрезка (k = 0; 1; …; n), то интерполяционный многочлен Лагранжа, поскольку он определён на всей числовой оси, является, в частности, экстраполяцией этой функции вне отрезка [a; b] в классе многочленов степени не выше n.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Метод наименьших квадратов; регрессионный анализ для оценки неизвестных величин по результатам измерений. Приближённое представление заданной функции другими; обработка количественных результатов естественнонаучных опытов, технических данных, наблюдений.
контрольная работа [382,4 K], добавлен 16.03.2011Оценка влияния разных факторов на среднюю ожидаемую продолжительность жизни по методу наименьших квадратов. Анализ параметров линейной двухфакторной эконометрической модели с помощью метода наименьших квадратов. Графическое изображение данной зависимости.
практическая работа [79,4 K], добавлен 20.10.2015Основные методы решения задач линейного программирования. Графический метод, симплекс-метод. Двойственная задача, метод потенциалов. Моделирование и особенности решения транспортной задачи методом потенциалов с использованием возможностей Мicrosoft Excel.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 14.03.2014Типы транспортных задач и методы их решения. Поиск оптимального плана перевозок методом потенциалов. Решение задачи с использованием средств MS Excel. Распределительный метод поиска оптимального плана перевозок. Математическая модель, описание программы.
курсовая работа [808,7 K], добавлен 27.01.2011Оценка коэффициентов парной линейной регрессии, авторегрессионное преобразование. Трехшаговый и двухшаговый метод наименьших квадратов, его гипотеза и предпосылки. Системы одновременных уравнений в статистическом моделировании экономических ситуаций.
курсовая работа [477,2 K], добавлен 05.12.2009Использование различных ресурсов для производства изделия с применением математических методов и построением функциональной зависимости. Математическая идеализация процентного изменения спроса. Составление модели межотраслевого баланса разных отраслей.
контрольная работа [195,4 K], добавлен 19.08.2009Аналитические и численные методы безусловной оптимизации. Метод исключения и метод множителей Лагранжа (ММЛ). Метод Эйлера – классический метод решения задач безусловной оптимизации. Классическая задача условной оптимизации. О практическом смысле ММЛ.
реферат [387,0 K], добавлен 17.11.2010Эффективность линейной несмещенной оценки вектора для обобщенной регрессионной модели, теорема Айткена. Обобщенный метод наименьших квадратов. Преобразования Фурье, их применение; разложение временного ряда. Ряды Фурье, многомерные преобразования.
реферат [345,4 K], добавлен 09.05.2012Основные понятия моделирования. Общие понятия и определение модели. Постановка задач оптимизации. Методы линейного программирования. Общая и типовая задача в линейном программировании. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
курсовая работа [30,5 K], добавлен 14.04.2004Основные элементы эконометрического анализа временных рядов. Задачи анализа и их первоначальная обработка. Решение задач кратко- и среднесрочного прогноза значений временного ряда. Методы нахождения параметров уравнения тренда. Метод наименьших квадратов.
контрольная работа [37,6 K], добавлен 03.06.2009Общее понятие о прогнозировании, методы. Абсолютные, сравнительные и качественные показатели оценки качества прогноза. Метод наименьших квадратов. Модели линейного роста. Новшества программы Excel 5.0. Пример решения задачи по прогнозу объема кредита.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 07.08.2013Простейшие алгоритмы направленного случайного поиска. Алгоритм наилучшей пробы с направляющим гиперквадратом. Многоканальный статистический оптимизатор со случайным поиском. Метод статистического градиента. Локальный случайный поиск по наилучшей пробе.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 08.02.2015Примеры задач, решения которых найдено путем использования метода экспертных оценок и линейное прогнозирование (симплекс-метод). Определение структуры комплекса оборудования и получения максимальной выгоды при наличии ограниченных исходных данных.
контрольная работа [54,7 K], добавлен 07.07.2010Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Элементы теории игр. Системы массового обслуживания. Транспортная задача. Графоаналитический метод решения задач линейного программирования. Определение оптимальной стратегии по критерию Вальде.
контрольная работа [400,2 K], добавлен 24.08.2010Эффективная оценка по методу наименьших квадратов. Корелляционно-регрессионный анализ в эконометрическом моделировании. Временные ряды в эконометрических исследованиях. Моделирование тенденции временного ряда. Расчет коэффициента автокорреляции.
контрольная работа [163,7 K], добавлен 19.06.2015Построение математической модели двойственной задачи (системы ограничений по единичной прибыли и целевую функцию общих издержек на сырье. Определение оптимального набора цен на сырье, обеспечивающего минимум общих затрат на сырье. Анализ переменных.
контрольная работа [632,5 K], добавлен 18.05.2015Линейное программирование. Геометрическая интерпретация и графический метод решения ЗЛП. Симплексный метод решения ЗЛП. Метод искусственного базиса. Алгоритм метода минимального элемента. Алгоритм метода потенциалов. Метод Гомори. Алгоритм метода Фогеля.
реферат [109,3 K], добавлен 03.02.2009Изучение интуитивных и рациональных методов подхода к решению творческих задач. Темпы технического прогресса напрямую зависят от изобретателей, а экономические успехи зависят от темпов технического прогресса. Методы решения изобретательских задач.
реферат [22,4 K], добавлен 17.07.2008Эконометрика как наука, позволяющая анализировать связи между различными экономическими показателями на основании реальных статистических данных. Структурная форма эконометрической модели. Метод наименьших квадратов: общее понятие, главные функции.
курсовая работа [135,1 K], добавлен 05.12.2014Виды проявления количественных связей между признаками. Определения функциональной и корреляционной связи. Практическое значение установления, направление и сила корреляционной связи. Метод квадратов (метод Пирсона), ранговый метод (метод Спирмена).
презентация [173,6 K], добавлен 19.04.2015
