Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный

экономический университет»

филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего образования

«Санкт-Петербургский государственный экономический университет» в г.Череповце

(филиал СПбГЭУ в г.Череповце)

Кафедра менеджмента

Контрольная работа по дисциплине

Экономико- математические методы в логистике

Болдырева Кирилла Алексеевича

Череповец

2016

СОДЕРЖАНИЕ

• 1. РЕФЕРАТИВНАЯ ЧАСТЬ РАБОТЫ
• 1.1 Методы сглаживания экспериментальных данных
• 2. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
• Задача 1. Моделирование времени выполнения заказа клиента методом Монте-Карло
• Задача 2. АВС - анализ прибыльности товаров
• Задача 3. Определение вероятности отказа в поставке товара клиенту методами схемной надёжности
• Задача 4. Прогнозирование спроса на товары методом наименьших квадратов (МНК) с учётом сезонности
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. РЕФЕРАТИВНАЯ ЧАСТЬ РАБОТЫ

1.1 Методы сглаживания экспериментальных данных

Данные большинства экспериментов имеют случайные составляющие погрешности. Поэтому часто возникает необходимость статистического сглаживания данных.

Выполнение экспериментальных исследований связано с регистрацией численных значений величин, измеряемых с некоторой погрешностью. В связи с этим понятно естественное стремление исследователей уменьшить погрешность измерений до пренебрежимо малых значений.

Функциональное представление зависимостей, полученных в результате измерений достаточно важно еще и как промежуточный этап в изучении сложных зависимостей, когда измеренная величина является составляющей сложных выражений. Такая задача является типичной при моделировании физических процессов, когда какой-либо параметр в уравнении, описывающем физический процесс, задан в виде таблицы данных [1]. Для моделирования процесс, задан в виде таблицы данных [1].

При обработке экспериментальных данных используют аппроксимацию и интерполяцию. Если данные зарегистрированы с погрешностью, то необходимо использовать аппроксимацию - сглаживание данных кривой, не проходящей в общем случае через экспериментальные точки, но отслеживающей зависимость, устраняя возможные ошибки, вызванные погрешностью измерений.

Если погрешность данных мала, то используют интерполяцию, т.е. рассчитывают сглаживающую кривую, проходящую через каждую экспериментальную точку.

Один из наилучших методов аппроксимации - это способ (метод) наименьших квадратов, который был развит усилиями Лежандра и Гаусса более 150 лет назад.

Метод наименьших квадратов позволяет получать наилучшую функциональную зависимость по набору имеющихся точек (наилучшую означает, что сумма квадратов отклонений минимальна).

В результате эксперимента получается набор значений функций (у1, у2, ..., уn) для значений аргумента (х1, х2, ..., хn).

Если соединить последовательно точки у1, у2, ..., уnломаной линией, она не является графическим изображением функцииу=f(х), так как при повторении данной серии опытов мы получим ломаную линию, отличную от первой. Значит, измеренные значения у будут отклоняться от истинной кривой у = f(х)вследствие статистического разброса. Задача состоит в том, чтобы аппроксимировать экспериментальные данные гладкой (не ломаной) кривой, которая проходила бы как можно ближе к истинной зависимости у = f(х).

Теория вероятности показывает, что наилучшим приближением будет такая кривая (или прямая) линия, для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до кривой будет минимальной. Метод нахождения кривой, соответствующей этому условию, и называется методом наименьших квадратов (МНК). Фактически это условие минимума соответствует предположению, что разброс точек у относительно кривой у=f(х) подчиняется закону нормального распределения.

Регрессионный анализ применяют для получения зависимостей в процессах, в которых параметры зависят от многих факторов. Часто между переменными x и y существует связь, но не вполне определенная. В самом простом случае одному значению x соответствует несколько значений (совокупность) y. В таких случаях связь называют регрессионной.

Таким образом, функция y = f(x) является регрессионной (корреляционной), если каждому значению аргумента соответствует статистический ряд распределения y. Установление регрессионных зависимостей между величинами x и y возможно лишь тогда, когда выполнимы статистические измерения.

Статистические зависимости описываются математическими моделями процесса. Модель по возможности должна быть простой и адекватной.

Задача регрессионного анализа- установление уравнения регрессии, т.е. вида кривой между случайными величинами, и оценка тесноты связи между ними, достоверности и адекватности результатов измерений.

Чтобы предварительно определить наличие такой связи между x и y, наносят точки на графики строят так называемое корреляционное поле. Корреляционное поле характеризует вид связи между x и y. По форме поля можно ориентировочно судить о форме графика, характеризующего прямолинейную или криволинейную зависимости.

Если на корреляционном поле усреднить точки, то можно получить ломаную линию, называемую экспериментальной регрессионной зависимостью. Наличие ломаной линии объясняется погрешностями измерений, недостаточным количеством измерений, физической сущностью исследуемого явления и др.

2. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задача 1. Моделирование времени выполнения заказа клиента методом Монте-Карло

Выполнение заказа включает три операции: 1 - приём и обработка заказа; 2 - документирование и отгрузка товара; 3 - доставка. Время выполнения каждой операции t_i случайно и определено соответствующим законом распределения f(t_i). Общее время, затрачиваемое на выполнение заказа, также случайно и определяется в виде суммы:

t₀ = t₁ + t₂+ t₃.

Необходимо смоделировать последовательность из 10 случайных значений t₀, используя данные из табл.1.1-1.4 и формулы генераторов случайных чисел для разных законов распределения. Параметры законов распределения следует вычислить по формулам табл.1.1 через среднее и среднее квадратическое значения распределения после выбора исходных данных по последней цифре номера зачётной книжки из табл.1.2. Исходные последовательности псевдослучайных чисел для генерации t_i выбираются из табл.1.3 по двум последним цифрам номера зачётной книжки следующим образом. Первое случайное число определяется на пересечении строки и столбца. Последующие числа выбираются построчно справа от первого. Для каждого шага вычислений необходимо выбрать новое случайное число. Например, для шифра 91 следует из табл.1.3 выбрать последовательность: 0.28, 0.207, 0.518, 0.286, 0.451, 0.263 и т.д. А для шифра 21 - 0.803, 0.442, 0.903, 0.792, 0.415 и т.д. Аналогично выбираются последовательности нормально распределённых чисел из табл.1.4.

Таблица 1.1

Законы распределения

Наименование (обозначение)	Плотность распределения	Параметры
Нормальный (Н)		,
Логарифмически нормальный (Л)
Экспоненциальный (Э)
Равновероятный (Р)
- среднее значение; - среднее квадратическое отклонение

Таблица 1.2

Выбор данных для моделирования по последней цифре шифра

Послед. цифра шифра	Параметры распределения времени выполнения операций
	t1 , ч	t2 , ч	t3 , ч
			закон			закон			закон
8	1.0	0.2	Р	1.8	0.8	Л	4.2	0.9	Р

Таблица 1.3

Случайные равномерно распределённые в интервале [0,1] числа о

Предпоследняя цифра	Последняя цифра шифра
	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
6	0,483	0,428	0,955	0,824	0,071	0,904	0,736	0,632	0,889	0,292
7	0,109	0,979	0,457	0,762	0,893	0,180	0,112	0,347	0,596	0,859

Таблица 1.4

Нормально распределённые случайные числа з

Предпоследняя цифра	Последняя цифра шифра
	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
6	-1,013	-0,219	-0,371	-0,108	-1,330	1,253	-1,400	-1,772	0,194	-0,120
7	0,687	-0,212	-0,425	1,244	1,497	-1,340	0,837	-0,696	-0,284	-0,110

Решение:

Параметр распределения времени выполнения операций t₁ равновероятный (Р):

t₁ = = 0,2815

t₂ = =0,1845

t₃ = 0,223

t₄ = 0,1595

t₅ = 0,3955

t₆ = 0,254

t₇ = 0,0275

t₈ = 0,140

t₉= 0,1035

t₁₀ = 0,259

Параметр распределения времени выполнения операций t₂ Логарифмически нормальный (Л):



t₁ = 0,617

t₂= 0,123

t₃ = 0,184

t₄ = 0,520

t₅ = 0,057

t₆ = 0,073

t₇ = 0,3235

t₈ = 0,01034

t₉= 0,6890

t₁₀ = 0,1004

Параметр распределения времени выполнения операций t₃ равновероятный (Р):

t₁ = = 0,2815

t₂ = =0,158

t₃ = 0,614

t₄ = 0,093

t₅ = 0,220

t₆ = 0,165

t₇ = 0,506

t₈ = 0,076

t₉= 0,007

t₁₀ = 0,0214

Общее время, затрачиваемое на выполнение заказа, также случайно и определяется в виде суммы:

прибыльность вероятность моделирование поставка

t₀ = t₁ + t₂+ t₃.

t₁ = 0,2815+0,617+0,2815=1,18

t₂ = 0,1845+0,123+0,158=0,4655

t₃ = 0,223+0,184+0,614=1,021

t₄ = 0,1595+0,520+0,093 =0,7725

t₅ = 0,3955+0,057+0,220=0,6725

t₆ = 0,254+0,073+0,165=0,492

t₇ = 0,0275+0,3235+0,506 = 0,857

t₈ = 0,140+0,0103+0,076=0,2263

t₉= 0,1035+0,6890+0,007=0,7995

t₁₀ = 0,259+0,1004+0,0214=0,3808

Задача 2. АВС - анализ прибыльности товаров

Заданы объёмы продаж товаров по номенклатуре. Необходимо проанализировать и классифицировать товары с делением на три группы (группы А-В-С), используя в качестве критерия объем продаж. Группы АВС определяются аналитически и графически в виде диаграммы Парето. Исходные данные выбираются из табл. 2.1 по шифру зачётной книжки.

Таблица 2.1

Исходные данные для выбора варианта выборки к задаче 2

Товар	Последняя цифра номера зачётной книжки
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Т1	100	101	102	103	104	105	99	98	97	96
Т2	200	199	204	194	196	198	202	203	197	201
Т3	300	294	295	296	298	301	302	303	296	297
Т4	150	151	152	152.5	149	148	147	146	145	147.5
Т5	70	70.5	71	72	72.5	69.5	69	71.5	68,5	72.5
Т6	80	79	79.5	80.5	81	81.5	82	82.5	81,8	79.3
Т7	40	39	39.5	39.7	40.3	40.5	407	41	41,2	41.5
Т8	110	111	112	109	109.5	108.5	108	110.5	111,5	107.5
Т9	120	120.5	121	122	122.5	119	119.5	123	118,5	121.5
Т10	230	228	227	227.5	229	229.5	230.5	231	229,7	228.5
Т11	50	48.6	49	49.5	49.8	50.4	51	51.3	51,6	52
Т12	60	57.8	58	58.4	59	59.5	60.4	61	61,6	62
Т13	90	89	89.5	90.4	90.7	91	91.5	91.8	92	92.6
Т14	110	109	110.4	110.9	111	111.5	109.5	112	108,6	112.4
Т15	120	118.6	119	119.4	120.5	120.8	121	121.5	122	122.4
Т16	140	138	138.5	19	139.5	140.5	141	141.4	141,8	142
Т17	160	159	159.5	159.8	160.4	161	161.4	161.8	162	162.3
Т18	250	252	253.5	253	251	250.5	249.5	249	248,5	248
Т19	270	270.5	271	271.3	269.5	271.8	272	272.4	272,9	273.1
Т20	305	304	303.5	303.3	303	302.5	302	305.5	302,7	301.6
Т21	310	311	310.5	309.7	309.2	309	308.7	308.2	308	307.5
Т22	280	278	278.6	279	279.5	280.5	281	281.5	282	282.5
Т23	210	209	209.3	209.6	210.3	210.9	211.2	211.7	212	212.5
Т24	190	191	192.5	192	191.5	190.5	189.5	189	188,6	187.8
Т25	140	139.5	137.5	138	138.5	139	140.5	141	141,5	142
Т26	130	129	129.5	130.5	130.8	131.5	131.3	132	132,4	132.7
Т27	95	94	94.5	95.3	95.7	96	96.4	96.8	97	97.4
Т28	80	79.7	79.5	80.3	80.6	80.9	81	81.3	81,6	82

Решение:

Анализ ABC - это способ ресурсного исследования, заключающийся в разделении продукции на категории A, B и C, составляющие в структуре продаж 80, 15 и 5% соответственно, и предполагающий различные подходы к управлению этими товарными группами.

Данный метод анализа получил большое развитие, благодаря своей универсальности и эффективности. Результатом АВС анализа является группировка объектов по степени влияния на общий результат.

Группа А - объекты, сумма долей с накопительным итогом которых, составляет первые 80 % от общей суммы параметров.

Группа В - следующие за группой А объекты, сумма долей с накопительным итогом которых, составляет от 80 % до 95 % от общей суммы параметров.

Группа С - оставшиеся объекты, сумма долей с накопительным итогом которых, составляет от 95 % до 100 % от общей суммы параметров.

Сгруппируем объекты в порядке возрастания их удельных весов.

Таблица

АВС - анализа

Исходные данные	Упорядоченный список
№ позиции	Средний запас по позиции	Доля запаса позиции в общем запасе	№ позиции	Средний запас по позиции	Доля запаса по позиции	Доля нарастающим итогом	Группа
Т1	97	2,21%	21	308	6,97%	6,97%	Группа А
Т2	197	4,48%	20	302,7	6,91%	13,89%
Т3	296	6,74%	3	296	6,86%	20,75%
Т4	145	3,30%	22	282	6,37%	27,12%
Т5	68,5	1,56%	19	272,9	6,16%	33,28%
Т6	81,8	1,86%	18	248,5	5,64%	38,92%
Т7	41,2	0,94%	10	229,7	5,23%	44,14%
Т8	111,5	2,54%	23	212	4,79%	48,94%
Т9	118,5	2,70%	2	197	4,59%	53,53%
Т10	229,7	5,23%	24	188,6	4,28%	57,81%
Т11	51,6	1,17%	17	162	3,66%	61,47%
Т12	61,6	1,40%	4	145	3,30%	64,77%
Т13	92	2,09%	16	141,8	3,20%	67,97%
Т14	108,6	2,47%	25	141,5	3,19%	71,16%
Т15	122	2,78%	26	132,4	2,99%	74,15%
Т16	141,8	3,23%	9	122	2,78%	76,93%
Т17	162	3,69%	15	118,5	2,75%	79,68%	Группа В
Т18	248,5	5,66%	14	111,5	2,53%	82,22%
Т19	272,9	6,21%	8	108,6	2,50%	84,72%
Т20	302,7	6,89%	1	97	2,22%	86,94%
Т21	308	7,01%	27	97	2,19%	89,13%
Т22	282	6,42%	13	92	2,08%	91,21%
Т23	212	4,83%	6	81,8	1,87%	93,07%
Т24	188,6	4,29%	28	81,6	1,84%	94,91%	Группа С
Т25	141,5	3,22%	5	68,5	1,62%	96,53%
Т26	132,4	3,01%	12	61,6	1,38%	97,91%
Т27	97	2,21%	11	51,6	1,16%	99,07%
Т28	81,6	1,86%	7	41,2	0,93%	100,00%
Итого:	4393	100,00%		4393	100,00%

По полученным данным построим кривую АВС - анализа.

Задача 3. Определение вероятности отказа в поставке товара клиенту методами схемной надёжности

Необходимо определить вероятность нарушения контрактных условий доставки товара в цепи поставки, состоящей из 5 элементов (посредников) с резервированием. Характеристики надёжности (безотказность) основных и резервных элементов и структура цепи выбираются из табл.3.1 - 3.2. Элементы с резервированием выделены затенением (два значения в ячейке таблицы - в числителе основной элемент, а в знаменателе параллельно включённый резервный).

Таблица 3.1

Структура цепи поставок из 5 элементов

Последняя цифра шифра	Элементы цепи поставок
	первый	второй	третий	четвёртый	пятый
					5
8	1	2	3	4	5
	1	2

Таблица 3.2

Характеристики надёжности элементов цепи поставок к задаче 3

Предпоследняя цифра шифра	Вероятность безотказной работы элементов цепи, pj
	1-й	2-й	3-й	4-й	5-й
6	0.90	0.88	0.93	0.93	0.96

Решение:

Вероятность безотказной работы системы из n последовательно соединённых элементов:

, (1)

где: Pi(L) - вероятность безотказной работы i-го элемента.

Если система состоит из равнонадёжных элементов, то:

(2)

При заданной надёжности системы можно определить требования к надёжности её элементов:

(3)

Р₁ = 1-(1-0,9)² = 0,99

Р₂ = 1-(1-0,88)² = 0,986

Р₃ = 0,93

Р₄ = 0,93

Р₅ = 0,96

Вероятность безотказной работы системы из n параллельно соединённых элементов

(4)

Р = 0,99*0,986*0,93*0,93*0,96 =0,81

При равнонадёжных элементах вероятность безотказной работы:

(5)

Вычислим вероятность безотказной работы всех элементов цепи поставок используя соотношения:

Ро = 1-0,81=0,19

Задача 4. Прогнозирование спроса на товары методом наименьших квадратов (МНК) с учётом сезонности

По данным, представленным в виде динамического ряда поквартальных продаж (табл.4.1 - 4.2), необходимо построить траекторию тренда и сделать прогноз на два квартала вперёд. Особенностью динамического ряда является явно выраженная сезонность, которая учитывается с помощью тригонометрической функции. Модель тренда имеет вид

, j=1,2,…,8,

где: Z_j - объем продаж; h - частота колебаний; t_j - текущее время (квартал); a, b - искомые коэффициенты модели.

Пояснения к задаче:

1. Текущее время t_j определяется следующим образом

t₁=k, t₂=t₁+1, t₃=t₂+1, t₄=t₃+1 и т. д.,

где k - номер квартала, с которого начинаются наблюдения (табл.4.1). Например, для шифра 21 t₁=2, t₂=3, t₃=4 и.т.д. Ряд продаж для данного шифра 201, 260, 190, 122, 210, 265, 209, 120.

2. Частота сезонных колебаний определяется из соотношений

1=Cos(2р)=Cos(hr), откуда h=2р/r,

где r - количество кварталов между двумя соседними пиками продаж (период). Например, если первый пик приходится на t₃, а второй на t₇, то r=4 и, следовательно, имеем h=р/2. Для определения r следует построить график эмпирических значений продаж (табл.4.2).

3. После вычисления частоты необходимо выполнить замену переменной Y_j=Cos(ht_j). Получим новую модель Z_j=a+bY_j , коэффициенты которой a и b необходимо найти, используя метод наименьших квадратов.

Результаты расчётов представить в виде графика Z(t), включая прогнозные значения для t₉ и t₁₀.

Таблица 4.1

Номер квартала, с которого начинаются наблюдения k

Номер	Предпоследняя цифра шифра зачётной книжки
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
k =	4	1	2	3	4	1	2	3	4	1

Таблица 4.2

Динамический ряд продаж, начиная с k-го квартала

Последняя цифра шифра	Объем продаж/квартал
	1	2	3	4	5	6	7	8
8	220	191	140	180	222	200	145	198

Решение:

С помощью метода наименьших квадратов построим уравнение линейной регрессии. Построим расчетную таблицу

х	у	у*х	х2	1
2	191	382	4	176,8
3	140	420	9	178,6
4	180	720	16	180,5
5	222	1110	25	182,3
6	200	1200	36	184,1
7	145	1015	49	185,9
8	198	1584	64	187,8
35	1276	6431	203	1276,00
Среднее:	182,29	918,71	29,00	182,29

Для построения линейной модели решим следующую систему уравнений:

a = 173,179

b = 1,821

h=2р/4

Представим прогноз на 2 ближайших периода:

=198,9

=201,8

По результатам расчетов построим диаграмму.

Рис. Фактический и прогнозный ряд

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

4. Агишева Д.К., Зотова С.А., Матвеева Т.А., Светличная В.Б. Математическая статистика. Учебное пособие. ВПИ (филиал) ВолгГТУ. - Волгоград, 2010. - 160 с.

5. Агишева Д.К., ЗотоваС.А., СветличнаяВ.Б., МатвееваТ.А. Методы принятия оптимальных решений. Часть 1: учебное пособие / ВПИ (филиал) ВолгГТУ. - Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2011. - 155 с.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.Численные методы.Бином. Лаборатория знаний, 2011. - 636 с.

7. Модели и методы теории логистики: Учебное пособие / Лукинский и др. - СПб: Питер, 2007. - 448 с.

8. Мур Дж., Уэдерфорд Л. Экономическое моделирование в Microsoft Excel -Изд. Дом Вильямс, 2004. -1024 с.

9. Партыка Т.Л., Попов И.И. Математические методы (учебник) - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005.

10. Решение экономических задач на компьютере. /А.В. Каплан и др. - М.: ДМК Пресс, СПб.: Питер, 2004. - 600 с.

11. Салманов О.Н. Математическая экономика с применением MathCad и Excel. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 464 с.

12. Сток Д.Р., Ламберт В.М. Стратегическое управление логистикой - М.:, ИНФРА-М, 2005. - 797 с.

13. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности (учебник) - М.: Финансы и статистика, 2001.

Размещено на Allbest.ru

...