Фиктивные переменные в эконометрическом моделировании сезонных явлений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

На сегодняшний день темпы роста российской экономики замедлились до такого уровня, который не позволит стабильно развиваться ей в ближайшие годы. По прогнозу Министерства экономического развития России рост ВВП в 2013 году в нашей стране составит порядка 1,8%, в то время как критический минимальный уровень, необходимый для стабильной ситуации в стране составляет по оценкам разных экспертов 6-7%.

Многие экономисты связывали рост российской экономики исключительно с ростом цен на нефть на мировом рынке. После кризиса 2008 года цена на нефть значительно упала, однако ВВП России в сравнении с ценой на нефть упал не так сильно.

В начале 2013 года прогноз Минэкономразвития РФ по росту ВВП России в этом году составлял 3,4%, затем этот прогноз неоднократно пересматривался в сторону уменьшения и в настоящее время составляет 1,8%. Однако нельзя сказать, что замедление роста российской экономики было неожиданным, и его нельзя было предусмотреть.

Целью данной курсовой работы является исследование роста ВВП и его прогнозирование. Объектом исследования является процесс экономического роста, предметом - статистика ВВП 1994-2012 годов.

В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие задачи:

- изучаются теоретические вопросы;

- проводится построение регрессионной модели;

- проводится корреляционный анализ;

- строится прогноз на основе модели.



1. Теоретические основы

1.1 Понятие множественной регрессии

Множественной регрессией называют уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

y = f (x1,x2,...,xp) (1)

регрессионный корреляционный прогноз сезонный

Переменная у называется зависимой, объясняемой или результативным признаком. х1, х2, …, хp - независимые, объясняющие переменные или факторные признаки (факторы). Соответствующая регрессионная модель имеет вид:

y = f (x1,x2,...,xp) + е (2)

где е - ошибка модели, являющаяся случайной величиной.

Множественная регрессия применяется в ситуациях, когда из множества факторов, влияющих на результативный признак, нельзя выделить один доминирующий фактор и необходимо учитывать влияние нескольких факторов. Например, объем выпуска продукции определяется величиной основных и оборотных средств, численностью персонала, уровнем менеджмента и т.д., уровень спроса зависит не только от цены, но и от имеющихся у населения денежных средств.

Основная цель множественной регрессии - построить модель с несколькими факторами и определить при этом влияние каждого фактора в отдельности, а также их совместное воздействие на изучаемый показатель.

Постановка задачи множественной регрессии: по имеющимся данным n наблюдений (табл. 1) за совместным изменением p+1 параметра y и xj и ((yi, xj,i); j = 1, 2,..., p; i=1, 2,..., n) необходимо определить аналитическую зависимость y = f(x1,x2,...,xp), наилучшим образом описывающую данные наблюдений.

Каждая строка Таблицы 1 содержит p+1 число и представляет собой результат одного наблюдения. Наблюдения различаются условиями их проведения. Вопрос о том, какую зависимость следует считать наилучшей, решается на основе какого-либо критерия. В качестве такого критерия обычно используется минимум суммы квадратов отклонений расчетных или модельных значений результативного показателя y i = f (x1i,x2i,...,xpi) от наблюдаемых значений yi:

S =У( y€ ? y)2 > min i (3)

Таблица 1 - Данные наблюдений

№	у	x1	x2	…	хn
1	y1	x11	x21	…	xn1
2	y2	…			xn2
…	…
n	Yn	x1n	x2n	…	xnn

Как и в случае парной регрессии, построение уравнения множественной регрессии предполагает решение двух задач (или, другими словами, осуществляется в два этапа):

1) спецификация модели;

2) оценка параметров выбранной модели.

В свою очередь, спецификация модели включает в себя решение двух задач:

? отбор p факторов xj, подлежащих включению в модель;

? выбор вида аналитической зависимости y = f (x1, x2,...,xp).

Отбор факторов при построении множественной регрессии.

Процесс отбора факторов в достаточно сложных ситуациях является итерационной процедурой, предполагающей, в частности, построение уравнений регрессии, и включает два этапа. Первоначально отбор факторов осуществляется на основе качественных соображений, исходя из представлений о природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими показателями. На следующем этапе отобранные факторы подвергаются проверке на статистическую значимость. Окончательно решение о включении фактора в модель основывается на количественной оценке степени влияния фактора на изучаемый показатель.

К факторам, включаемым в модель, предъявляются следующие требования.

1. Факторы не должны быть взаимно коррелированы и, тем более, находиться в точной функциональной связи. Наличие высокой степени коррелированности между факторами может привести к неустойчивости и ненадежности оценок коэффициентов регрессии, а также к невозможности выделить изолированное влияние факторов на результативный показатель.

2. Включение фактора в модель должно приводить к существенному увеличению доли объясненной части в общей вариации зависимой переменной.

Так как данная величина характеризуется таким показателем, как коэффициент детерминации R2, включение фактора в модель должно приводить к заметному изменению последнего. Формальная проверка существенности вклада фактора в модель выполняется с помощью оценки значимости соответствующего частного коэффициента корреляции либо значимости коэффициента в уравнении регрессии. Если необходимо учесть влияние качественного фактора (не имеющего количественной оценки), то в модель включается соответствующая ему «фиктивная» переменная, имеющая конечное количество формально численных значений, соответствующих градациям качественного фактора. Например, если нужно учесть влияние уровня образования (на размер заработной платы), то в уравнение регрессии можно включить переменную z, принимающую значения z = 0 при начальном образовании, 1 - при среднем, 2 - при высшем.

Если для какого-либо показателя, который представляется важным для данного исследования, отсутствуют исходные данные, либо сам показатель четко не определен, то может быть полезно включить в модель некоторый ее «заменитель». Например, в качестве показателя качества образования можно использовать число преподавателей или расходы на одного студента. Такой подход основан на том факте, что не учет существенного показателя приводит к смещенным оценкам параметров. Например, производственная функция Кобба-Дугласа, построенная по данным экономики США за период 1949-1978 гг., построенная с учетом времени в качестве замещающей переменной для показателя технического прогресса имеет вид:

logY = -1,03 + 0,17 logK + 0,93 logL + 0,024t (4)

(2,33) (0,66) (0,17) (0,016)

а без учета имеет вид:

logY = -4,50+ 1,19 logK + 0,77 logL (5)

(0,57) (0,10) (0,15)

где Y - индекс объема выпуска частного сектора;

K - индекс затрат капитала;

L - индекс затрат труда;

t - время, равное единице в 1948 г. и т.д.

Без учета замещающей переменной коэффициент при logK неправдоподобно велик. При отборе факторов в модель следует, по возможности, стремиться к минимизации количества факторов, так как неоправданное их увеличение приводит к затруднениям в интерпретации модели и снижению достоверности результатов.



1.2 Мультиколлинеарность

Под мультиколлинеарностью понимается высокая взаимная коррелированность объясняющих переменных. Следствием мультиколлинеарности является линейная зависимость между столбцами наблюдений xij или между столбцами матрицы X. В результате, матрица X?X становится плохо обусловленной, что приводит к неустойчивости оценок коэффициентов регрессии, когда незначительные изменения данных наблюдений приводят к значительным изменениям оценок.

Проверка наличия мультиколлинеарности основывается на анализе матрицы парных корреляций между факторами:

Коэффициенты парной корреляции rxixj между объясняющими переменными используются для выявления дублирующих факторов. Линейная зависимость между объясняющими переменными xi и xj считается установленной, если выполняется условие rxixj ? 0,8, а сами факторы называются явно коллинеарными (эмпирическое правило). Один из факторов должен быть исключен из модели. Предпочтение при этом отдается тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами.

Наряду с парной коллинеарностью может иметь место линейная зависимость между боле, чем двумя переменными. Для оценки мультиколлинеарности факторов в этом случае может использоваться величину определителя Det R матрицы парных коэффициентов корреляции rxixj между факторами либо ее минимального собственного значения.

Чем ближе к нулю определитель (минимальное собственное значение) матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность между факторами и тем ненадежнее результаты множественной регрессии.

Для оценки статистической значимости мультиколлинеарности факторов может быть использован тот факт, что величина имеет приближенное распределение c степенями свободы.

Выдвигается гипотеза H0 о независимости переменных, т. е. Det |R| = 1.

Если фактическое значение ч2 превосходит табличное (критическое) , то гипотеза Н0 отклоняется и мультиколлинеарность считается доказанной.

Для выявления мультиколлинеарности факторов можно использовать коэффициенты множественной детерминации ; …, полученные по уравнениям регрессии, в которых качестве зависимой переменной рассматривается один из факторов. Чем ближе значение коэффициента детерминации к эмпирическому правилу, при значении коэффициента множественной детерминации R2 x1|x2x3...xp > 0,6 ультиколлинеарность факторов считается установленной. Оставляя в уравнении регрессии факторы с минимальной величиной коэффициента множественной детерминации, можно исключить мультиколлинеарность факторов.

Для преодоления явления линейной зависимости между факторами используются такие способы, как:

- исключение одного из коррелирующих факторов;

- переход с помощью линейного преобразования к новым некоррелирующим независимым переменным. Например, переход к главным компонентам вектора исходных объясняющих переменных (что позволяет также уменьшить количество рассматриваемых факторов), переход к последовательным разностям во временных рядах Дxit = xit - xit-1 и т.п.;

- переход к смещенным оценкам, имеющим меньшую дисперсию. В частности, при использовании «ридж-регрессии» применяются смещенные оценки вектора параметров,

(6)

где ф - некоторое положительное число;

Ep+1 - единичная матрица порядка p+1. Такое преобразование увеличивает определитель матрицы системы нормальных уравнений и повышает устойчивость результатов (снижает дисперсию оценок, которые становятся смещенными).

Следует также учитывать ограничение, накладываемое на количество факторов, имеющимся числом наблюдений. Количество наблюдений должно превышать количество факторов более чем в 6-7 раз.

1.3 Прогнозирование

Прогнозимрование -- это разработка прогноза; в узком значении -- специальное научное исследование конкретных перспектив дальнейшего развития какого-либо процесса.

Необходимость прогноза обусловлена желанием знать события будущего, что невозможно на 100 % в принципе, исходя из статистических, вероятностных, эмпирических, философских принципов.

Доверительные интервалы для параметров b, уравнения линейной регрессии определяются соотношениями:



(7)

Величина представляет собой табличное значение t-критерия Стьюдента на уровне значимости б при степени свободы n-2.

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается равным нолю, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения. Точность полученного уравнения регрессии можно оценить, анализируя доверительный интервал для функции регрессии, т.е. для среднего значения зависимой переменной y при заданных значениях объясняющих переменных:

(8)

Доверительный интервал для функции регрессии определяется соотношениями

(9)

где - групповая средняя, определяемая по уравнению регрессии при заданных значениях объясняющих переменных .

- ее стандартная ошибка

- точное значение групповой средней;

- вектор, составленный из заданных значений независимых переменных .

Доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной определяется соотношениями

(10)

есть стандартная ошибка индивидуальных значений зависимой переменной .

1.4 Моделирование сезонных колебаний с помощью фиктивных переменных

До сих пор в качестве факторов рассматривались экономические переменные, принимающие количественные значения в некотором интервале. Вместе с тем может оказаться необходимым включить в модель фактор, имеющий два или более качественных уровней. Это могут быть разного рода атрибутивные признаки, такие, например, как профессия, пол, образование, климатические условия, принадлежность к определенному региону. Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, им должны быть присвоены те или иные цифровые метки, т.е. качественные переменные преобразованы в количественные. Такого вида сконструированные переменные в эконометрике принято называть фиктивными переменными.

Фиктивная переменная -- качественная переменная, принимающая значения 0 и 1, включаемая в эконометрическую модель для учёта влияния качественных признаков и событий на объясняемую переменную. При этом фиктивные переменные позволяют учесть влияние не только качественных признаков, принимающих два значения, но и несколько возможных. В этом случае добавляются несколько фиктивных переменных. Фиктивная переменная может быть также индикатором принадлежности наблюдения к некоторой подвыборке. Последнее можно использовать для обнаружения структурных изменений.

Моделирование сезонных колебаний с помощью фиктивных переменных Рассмотрим метод моделирования временного ряда, содержащего сезонные колебания, основанный на включении в модель фиктивных переменных. Количество фиктивных переменных принимается равным числу наблюдений в пределах одного цикла колебаний без единицы. Например, при моделировании поквартальных данных необходимо ввести три дополнительные переменные:

(11)

Зиме в этом случае соответствуют нулевые значения всех фиктивных переменных. Уравнение регрессии с учетом фиктивных переменных принимает вид: y = a + b*t + c1*z1 + c2*z2 + c3*z3 + е (8.28)

Коэффициенты ct характеризуют отклонение уровней первых трех сезонов по отношению к последнему. Поэтому модель с фиктивными переменными может рассматриваться как частный случай аддитивной модели временного ряда.

2. Построение регрессионной модели

2.1 Отбор факторов и корреляционный анализ

Для регрессионной модели в качестве факторов, влияющих на рост ВВП, были определены «уровень безработицы», «среднедушевые денежные доходы населения», «индекс потребительских цен», «сальдо торгового баланса», «расходы федерального бюджета», «индекс промышленного производства», «цена нефти марки Brent».

Рисунок 1 - Данные для регрессионной модели

Уровень безработицы -- отношение численности безработных определенной возрастной группы к численности экономически активного населения соответствующей возрастной группы, %.

Уровень доходов населения отражается при помощи следующих показателей.

Среднедушевые денежные доходы исчисляются путем деления общей суммы денежного дохода на наличное население.

Сальдо торгового баланса - разница между экспортом и импортом товаров.

Положительное сальдо - экспорт превышает импорт, отрицательное сальдо (ставится знак "минус") - импорт превышает экспорт.

Расходы федерального бюджета -- это денежные средства, направляемые из федерального бюджета на финансовое обеспечение задач и функций государства.

Практически расходы федерального бюджета -- это денежные средства, направляемые из федерального бюджета на финансирование затрат общегосударственного характера, предусмотренных в Законе о федеральном бюджете на соответствующий финансовый год. Они выражают экономические отношения, связанные с распределением и перераспределением национального дохода, используемого на общегосударственные цели.

Индекс промышленного производства, сокращенно ИПП. ИПП -- показатель динамики объёма промышленного производства, его подъёма или спада, определяется в виде отношения текущего объёма производства в денежном выражении к объёму промышленного производства в предыдущем или другом базисном году. Определяется путем отбора товаров-представителей, характеризуемых как важнейшие виды промышленной продукции.

ИПП в России рассчитывается в соответствии с Официальной статистической методологией исчисления индекса промышленного производства (утв. приказом Росстата от 08 мая 2014 года № 301). Компании, представляющие фундаментальные отрасли, составляют основу капитализации всего фондового рынка РФ. К таким компаниям относятся: Газпром, Лукойл, РусГидро, крупнейшие машиностроительные производители и так далее. Рост ИПП свидетельствует о росте производства, который, в свою очередь, увеличивает прибыль, что может выражаться в растущей стоимости акций компаний, связанных с промышленным производством.

Вrent (англ. Brent Crude, Brent Blend, London Brent) -- эталонная марка (маркерный сорт) нефти, добываемая в Северном море. Фактически является смесью нескольких сортов нефти, добываемых на шельфовых месторождениях Brent, Forties, Oseberg и Ekofisk [1] между побережьями Норвегии и Шотландии. Является одной из основных марок нефти, торгуемых на международных нефтяных биржах, в частности на ICE.

Коэффициент детерминации означает высокую зависимость объясняемой переменной от факторов, т.е. изменение цены на 99,495% обусловлено изменением всех факторов. Коэффициент детерминации и нормированный коэффициент детерминации не на много отличаются друг от друга, что говорит о высокой точности модели.

Рисунок 2 - Вывод итогов регрессионного анализа



Необходимо сделать проверку на наличие дублирующих факторов. Для этого построим матрицу парных коэффициентов корреляции Рисунок 3.

Рисунок 3 - Матрица парных коэффициентов корреляции

Из рисунка видно, что фактор «Расходы федерального бюджета» имеет сильную зависимость от фактора «Среднедушевые денежные доходы населения», r=0,976. Такой фактор необходимо удалить из модели, т.к. незначительное изменение таких факторов ведет к значительному изменению объясняемой переменной. Удаляем факторы, между которыми коэффициент парной корреляции r>0,8. В нашем случае это факторы «Сальдо торгового баланса» и «Цена нефти марки Brent».

Проведем еще раз регрессионный анализ для оценки качества модели, результаты которого приведены на Рисунке 4.

Как видно, коэффициент детерминации и нормированный коэффициент детерминации мало отличаются от предыдущих значений. Это означает, что качество модели осталось на прежнем уровне.



Рисунок 4 - Результаты регрессионного анализа после удаления дублирующих факторов

2.2 Прогнозирование

Доверительный интервал:

где - групповая средняя, определяемая по уравнению регрессии при заданных значениях объясняющих переменных;

- стандартная ошибка;

представляет собой табличное значение t-критерия Стьюдента на уровне значимости б при степени свободы n-k-2.

Групповая средняя составляет 80% от максимальных значений факторов.



Рисунок 5 - Прогнозные значения факторов

А) Уравнение регрессии выглядит следующим образом:

Значение групповой средней

Б) табличное значение t-критерия Стьюдента:

В) -стандартная ошибка:

Определяется по результатам регрессионного анализа.

;

Таблица 2 - Результаты вычислений доверительного интервала

	Значения
Ошибка
tтабл
delta
Доверительный интервал	(13277,73; 15342,34)

Результаты вычисления приведены в Таблице 2.



Заключение

В курсовой работе было проведено исследование роста ВВП. В качестве факторов, влияющих на рост ВВП, были определены «уровень безработицы», «среднедушевые денежные доходы населения», «индекс потребительских цен», «сальдо торгового баланса», «расходы федерального бюджета», «индекс промышленного производства», «цена нефти марки Brent». С помощью регрессионного анализа было определено качество модели, коэффициент детерминации и нормированный коэффициент детерминации Что говорит о высоком качестве модели. С помощью корреляционного анализа были удалены дублирующие факторы «сальдо торгового баланса», «расходы федерального бюджета», «цена нефти марки Brent». После удаления факторов качество модели осталось почти на прежнем уровне: и . Для прогнозных расчетов были определены доверительные интервалы (13277,73; 15342,34).



Список литературы

1. Бутусов, Е.Г. Эконометрика (продвинутый уровень): электронный учебно-методический комплекс для магистрантов очной формы обучения по программе «Экономика предприятий и организаций (строительство)» /Е.Г. Бутусов; рец. Э.А. Халикова, О.Г. Кантор; УГНТУ, каф. ЭНГП, ОДПМО. - Уфа: Изд-во УГНТУ, 2015.

2. Годин, А. М. Статистика [Текст]: учебник / А. М. Годин. - М.: Дашков и Ко, 207. - 458 с.

3. Голубева, Г. Ф. Статистика [Текст]: учебник / Г. Ф. Голубева. - М.: Академия, 207. - 192 с.

4. Дианов, Д. В. Статистика финансов и кредита [Текст]: учебное пособие / Д.В. Дианов, Е.В. Радугина, Е.Н. Степанян. - М.: КноРус, 2008.

5. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики [Текст]: Учебник - 2-е изд., исправленное и доп. - М.: ИНФРА-М, 2007. - 416 с.

6. Захаренков, С. Н. Статистика [Текст]: учеб. пособие / С. Н. Захаренков, В. А. Тарловская. - М.: Современная школа, 2009. - 272 с.

7. Колесникова, И. И. Социально-экономическая статистика [Текст]: учеб. пособие - 2-е изд., испр. - Минск: Новое знание, 2007. - 260 с.

8. Маличенко, И. П. Социально-экономическая статистика с решением типовых задач [Текст] / И. П. Маличенко, Е. М. Бортник, О. Е. Лугинин. - Ростов-на-Дону: Феникс, 2009. - 384 с.

9. Мелкумов, Я. С. Социально-экономическая статистика [Текст]: учебное пособие / Я.С. Мелкумов. - М.: Инфра-М, 2009.

10. Моисеев, Р. С. Финансовая статистика: денежная и банковская [Текст]: учебник / Р. С. Моисеев, М. В. Ключников, Е. А. Пищулин. - М.: КноРус, 2008. - 208 с.

11. Назаров, М. Г. Статистика [Текст]: учебно-практ. пособие / М. Г. Назаров. - М.: КноРус, 2008. - 480 с.

12. Практикум по общей теории статистики [Текст]: учебно-метод. пособие / Под ред. М. Г. Назарова. - М.: КНОРУС, 2008. - 184 с.

13. Просветов, Г. И. Статистика. Задачи и решения [Текст] / Г. И. Просветов. - М.: Альфа-Пресс, 2008. - 496 с.

14. Сидоренко, М. Г. Статистика [Текст]: учебное пособие / М. Г. Сидоренко. - М.: Форум, 2007. - 160 с.

15. Социально-экономическая статистика. Практикум [Текст] / Под ред. д-ра экон. наук, проф. С. А. Орехова. - М.: Эксмо, 2007. - 384 с.

16. Статистика [Текст]: учебное пособие / В. Н. Салин, Э. Ю. Чурилова, Е. П. Шпаковская. - М.: КноРус, 2009.

17. Статистика [Текст]: учебное пособие / В. Н. Салин, Э. Ю. Чурилова, Е. П. Шпаковская. - М.: КноРус, 2008.

18. Статистика [Текст]: учебное пособие / под ред. И. И. Елисеевой. - М.: Юрайт, 2006.

19. Статистика [Текст]: учебное пособие / Под ред. Л. И. Ниворожкиной. - М.: Дашков и Ко, 2006.

20. Шерстнева, Г. С. Социальная статистика. Конспект лекций [Текст]: учеб. пособие / Г. С. Шерстнева. - М.: Эксмо, 2009. - 160 с.

21. Экономическая статистика [Текст]: учебник. - изд. 3-е, перераб. и доп. / Под ред. профессора Ю. Н. Иванова. - М.: Инфра-М, 2009. - 736 с.

Размещено на Allbest.ru

...