Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность данной курсовой работы обусловлена тем, что по сей день существует тысячи предприятий, целью которых является максимизация прибыли. Эта цель может быть достигнута разными путями: путем увеличения выпуска продукции, путем улучшения качества продукции, нахождением других источников дохода, расширением рынка продаж, рациональным расходованием ресурсов, повышением производительности труда, ликвидацией непроизводственных расходов и потерь, повышением технического уровня производства и так далее. Мы же рассмотрим максимизацию прибыли путем определения объема выпуска продукции каждого вида.

Целью данной курсовой работы является расчет оптимального объема выпуска продукции каждого вида, при которых прибыль будет максимальной.

Для решения этой задачи будет использован симплексный метод.



1. ПОСТАНОВКА И ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ

Задача данной курсовой работы -определить какие виды товара и в каком количестве следует выпускать для достижения максимальной прибыли. Для решения этой задачи будут использован симплексный метод.

Симплекс метод задач линейного программирования основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возрастает (при условии, что данная задача имеет оптимальный план, и каждый ее опорный план является невырожденным).

Указанный переход возможен, если известен какой-нибудь исходный опорный план.

Этот метод является универсальным, применимым к любой задаче линейного программирования в канонической форме.

Система ограничений здесь - система линейных уравнений, в которой количество неизвестных больше количества уравнений.

Применение симплекс-метода для задачи линейного программирования предполагает предварительное приведение ее формальной постановки к канонической форме с n неотрицательными переменными: (X1, ..., Xn), где требуется минимизация линейной целевой функции при m линейных ограничениях типа равенств.

Среди переменных задачи выбирается начальный базис из m переменных, для определенности (X1, ..., Xm), которые должны иметь неотрицательные значения, когда остальные (n-m) свободные переменные равны 0.

Целевая функция и ограничения равенства преобразуются к диагональной форме относительно базисных переменных, переменных, где каждая базисная переменная входит только в одно уравнение с коэффициентом 1:



X0 + A0,m+1*Xm+1 + ... + A0,n*Xn = A0,0

X1 + A1,m+1*Xm+1 + ... + A1,n*Xn = A1,0

. . . . . . . . . . . . . . . .

Xi + Ai,m+1*Xm+1 + ... + Ai,n*Xn = Ai,0

. . . . . . . . . . . . . . . .

Xm + Am,m+1*Xm+1 + ... + Am,n*Xn = Am,0

Данная формальная модель задачи линейного программирования обычно задается в форме так называемой симплекс-таблицы, удобной для выполнения операций симплекс-метода:

	1	X1	X2	...	Xm	Xm+1	...	Xn
X0	A0,0	0	0	...	0	A0,m+1	...	A0,n
X1	A1,0	1	0	...	0	A1,m+1	...	A1,n
X2	A2,0	0	1	...	0	A2,m+1	...	A2,n
...	...	...	...	...	...	...	...	...
Xm	Am,0	0	0	...	1	Am,m+1	...	Am,n

Рисунок 1 - Симплекс-таблица

Верхняя строка симплекс-таблицы представляет целевую функцию задачи. Каждая строка симплекс-таблицы, кроме первой, соответствует определенному ограничению-равенству задачи. Свободные члены ограничений составляют крайний левый столбец таблицы. Слева от таблицы записаны текущие базисные переменные (X1, ..., Xm). Сверху от таблицы приведен набор всех переменных задачи, где Xm+1, ..., Xn - свободные переменные задачи.

Преобразования таблицы надо производить до тех пор, пока не будет получена симплекс-таблица, которая одновременно является прямо и двойственно допустимой.

Данный метод получил широкое распространение и большую популярность по сравнению с другими подходами, так как крайне редко на практике встречаются задачи трудные для симплекс-метода.

2. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗАДАЧИ

2.1 Формулировка задачи

Завод выпускает изделия трех видов. Для их изготовления требуется один вид ресурса, запас которого составляет 4000 единиц. Расход ресурса на одно изделие вида 1,2 и 3 вида составляет 2, 3 и 5 единиц соответственно.

Трудоемкость изготовления ресурса изготовления изделия изделия вида 1 вдвое больше, чем изделия вида 2, и втрое больше чем изделия вида 3. Численность рабочих завода позволяет выпускать 1500 изделий вида 1 (если выпускать только это изделие).

Таблица 1 - Исходные данные задачи

Тип Ресурса	Тип продукции	Объем ресурса 4000
	I	II	III
Ресурс	2	3	5	4000
Трудоемкость	6	3	2	9000
Цена	30$	20$	50$

Спрос на изделие 2 не превышает 200 единиц, а на изделие вида 3 150 единиц. Прибыли от реализации одного изделия вида 1, 2 и 3 составляют 30, 20 и 50$.

Определить объемы выпуска изделий каждого вида, при которых прибыль будет максимальной.

2.1 Целевая функция и критерий оптимизации

Целевая функция -- вещественная или целочисленная функция нескольких переменных, подлежащая оптимизации (минимизации или максимизации) в целях решения некоторой оптимизационной задачи. Если получаемые при заданных входных воздействиях значения целевой функции удовлетворяют заказчика, а стоимость такой системы минимальна, то такую систему считают эффективной, т.е. она является оптимальной.

Под эффективностью системы понимают ее способность выполнять заданные функции с наименьшими затратами ресурсов. Оптимизация системы должна проводиться именно по показателю эффективности, именно он определяет качество системы.

Выбор критерия эффективности - неформальная инженерная задача. Критерий должен выбираться исходя из целевой задачи системы, он должен иметь понятный физический смысл и измеряться в общепринятых физических единицах.

Целевая функция:

С=30x1+20x2+50x3->MAX (1)

2.2 Система переменных

Переменные величины могут быть основными, дополнительными, искусственными и вспомогательными.

Основные переменные - должны отражать главные объекты моделируемого экономического процесса.

Дополнительные переменные - вводят для преобразования системы ограничений задачи из стандартного вида в канонический. Они служат для анализа полученного решения с помощью объективно обусловленных оценок (двойственных оценок).

Искусственные переменные - никакой экономической роли не играют. Они служат лишь для решения задач и на последнем этапе решения задачи выбывают из оптимального плана.

Вспомогательные переменные - вводят в экономико-математическую модель задачи для увязки основных и дополнительных ограничений между собой.Различают два вида критериев:

- локальный;

- глобальный.

Локальный критерий оптимизации - применяется в моделях, с помощью которых производится моделирование экономического явления микромасштабного плана. Чаще всего в качестве локальных критериев оптимизации используют следующие:

а) максимум прибыли предприятия

б) максимум чистого дохода

в) максимум стоимости товарной продукции

г) максимум стоимости валовой продукции

д) минимум затрат на производство продукции и др.

Глобальный критерий оптимизации - строится для моделей макроуровня. Например, для области, территориального региона, страны в целом. Глобальный критерий оптимизации выражает максимум экономического эффекта от работы народного хозяйства, области, региона, страны. Они бывают двух видов:

- максимум прибыли (чистого дохода) от производства продукции

- минимум затрат времени на производство продукции.

Основные переменные:

х1-количество 1го вида товаров.

х2-количество 1го вида товаров.

х3-количество 1го вида товаров.

Вспомогательные переменные:

X4 - недопроизводство ресурса

X5 - недоиспользование трудоемкости

2.3Система ограничений

После определения переменных определяют состав ограничений. В любой задаче состав ограничений охватывает следующие группы:

- ограничения по ресурсам;

- ограничения по трудоемкости;

-ограничение по объему производства

Система ограничений:

2x1+3x2+5x3 <=4000

6x1+3x2+2x3<=9000

X2 <=200, x3 <= 150



3. РАЗРАБОТКА ЧИСЛОВОЙ МОДЕЛИ И ПОДГОТОВКА ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Построим математическую модель задачи. Составление модели начинается с введения переменных. Переменные являются элементами языка, на котором будет сформирован производственный план. Обозначим посредством х1- количество товаров 1го вида, посредством х2 - количество товара 2го вида, посредством х3- количество товара 3го вида, посредством х4- количество товаров 4го вида. Следует найти наилучший (оптимальный) ассортимент товаров.

Переменные, которые мы ввели, позволяют выразить ограниченность ресурсов в математической форме. Данные в Таблице показывают расход ресурсов на изготовление продукции и доступные объемы ресурсов. Каждая строка является основной для формирования неравенства по своему виду ресурса.

Составим систему ограничений и целевую функцию

2x1+3x2+5x3 <=4000

6x1+3x2+2x3<=9000

X2 <=200, x3 <= 150

С=30x1+20x2+50x3->Max

Таким образом, в целом мы получаем систему неравенств, характеризующих в математической форме условия составления плана производства продукции.

На основе этой модели мы можем составить первую симплексную таблицу, как показано на рисунке 3.

Найдем разрешающий элемент.

Из отрицательных элементов индексной строки выберем наибольший по модулю, назовем соответствующий ему столбец - разрешающим.

Чтобы выбрать разрешающую строку, необходимо вычислить отношения элементов столбца свободных членов к только положительным элементам разрешающего столбца.

Выбрать из полученных отношений минимальное. Соответствующий элемент, на котором достигается минимум, называется разрешающим. Наш элемент 2. Выбрав разрешающий элемент, делаем перечет таблицы по правилам.

В новой таблице, таких же размеров, что и ранее, переменные разрешающей строки и столбца меняются местами, что соответствует переходу к новому базису. На месте разрешающего элемента записываем обратное ему число. Элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент. Элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент и записываются с противоположным знаком. Чтобы заполнить оставшиеся элементы таблицы, осуществляем пересчет по правилу прямоугольника. Соединяем этот элемент мысленно с разрешающим элементом, находим произведение, вычитаем произведение элементов, находящихся на другой диагонали получившегося прямоугольника. Разность делим на разрешающий элемент. Пересчитываем так все элементы.

Проверим целевую функцию, согласно условиям.

В индексной строке есть отрицательный элемент, в столбце которого есть хотя бы один положительный. Тогда переходим к следующему шагу, пересчитываем таблицу, улучшая опорный план.

В индексной строке нет отрицательных элементов. Значит, план оптимален, можно выписать решение задачи. Целевая функция достигла своего оптимального значения, равного числу, стоящему в правом нижнем углу, взятым с противоположным знаком.

Значение целевой функции равно51875.

симплексный оптимизация модель математический



4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ ПРОГРАММЫ

При решении данной задачи на персональном компьютере мы используем программуOptim 2.

Сначала мы вводим число ограничений и количество ресурсов, затем мы заполняем таблицу, после чего нажимаем на кнопку "Расчет" и нам выдается решение данной задачи в виде симплексной таблице.

Рисунок 2 - Решение данной задачи

Так же эту задачу можно рассмотреть пошагово, как представлено на рисунках 3,4,5,6.

Рисунок 3 - Первая симплексная таблица



Рисунок 4- Вторая симплексная таблица

Рисунок 5- Третья симплексная таблица

Так же мы имеем возможность проверить верность решения с помощью программы Excel , используя функцию «поиск решения». Вбиваем исходные значения в ячейки, ячейка G4 будет содержать значение целевой функции. Ячейки G6, G7,будут содержать значения использованных ресурсов, то есть соответственно сырьё, трудоемкость. После введения исходных данных выделяем ячейку H6 и применяем к ней функцию «поиск решения» (Рисунок 7).



Рисунок 7 - Исходные данные

После чего мы видим окно с настройками поиска решения. В нем мы определяем координаты ячеек, что будут хранить в себе полученный результат. А так же необходимо задать ограничения и установить целевую функцию, как показано на рисунке 8.

Рисунок 8 - Настройка окна поиска решений.

Далее нажимаем клавишу «Выполнить» и программа предоставляет нам полученные результаты. Как видно на рисунке 9 - все полученные значения сходятся с результатами, полученными в программе Optim 2, что позволяет нам быть уверенными в верности полученного решения.



Рисунок 9 - Решение посредством Excel.



5. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Экономический анализ решения

При решении задачи было установлено, что максимальный доход 51875$, предприятие получит при выпуске товара 1-го вида, количество которого, должно составлять 1362,5 единиц, второго 175 единиц, и 3-го 150 единиц.

Наибольший доход у товара 1-го вида - 40870$, у товара второго вида - 3500$, у третьего 7500$.

Вывод: для данного предприятия наиболее целесообразно производить товар 1-го вида.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе были исследованы методы операции по максимизации прибыли на предприятии. При помощи линейного программирования, а именно симплексного метода. Данный метод решения задач широко используется на практике.

В курсовой работе были рассмотрены следующие вопросы:

· Решение задач симплексным методом;

· Решение выполнено в программе Optim;

· Выполнена проверка в MicrosoftOfficeExcel;

Для выполнения расчетов применялись следующие программные продукты:

· Optim;

· Microsoft Office Excel;

Все задачи, сформулированные в данной курсовой работе, выполнены в полном объеме.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Афанасьев М.Ю., Багринский К.А., Матюшок В.М. Прикладные задачи исследования операций: Учеб. пособие. - М.: ИНФРА-М, 2006.

2 Исследование операций в экономике: учеб. пособие для вузов /Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2003.

3 Кононов В.А. - Исследование операций. Для продвинутых математиков. 2010г.

4 Смородинский С.С., Батин Н.В. - Оптимизация решений на основе методов и моделей математического программирования: Учебное пособие. 2010г.

5 Тарасенко Н.В. Математика-2. Линейное программирование: курс лекций. - Иркутск: изд-во БГУЭП, 2006.

6 Шикин Е. В., Шикина Г. Е. Исследование операций : учеб. Проспект, 2006.

7 А.Г. Бурда, Г.П., Бурда, Е.В. Яроцкая. Исследование операций: учебно-методическое пособие по выполнению курсовой работы. Краснодар: КубГАУ, 2013.

Размещено на Allbest.ur

...