Многофакторная модель. Ряды динамики

Размещено на http://allbest.ru

Многофакторная модель. Ряды динамики

Введение

статистический затрата цена

В первом разделе курсовой работы мы рассмотрим зависимость цены первичных однокомнатных квартир в Приволжском районе города Казань. Исходные данные были взяты из газеты «Из рук в руки». Проведя анализ совокупности, выясним какой из 3 факторов (площадь квартиры, площадь кухни, этаж) больше всего влияет на уровень цены первичной однокомнатной квартиры. Также в этом разделе рассчитаем множественную и парную регрессию, такие статистические показатели как мода, медиана, коэффициент эластичности, дисперсия, общая дисперсия, межгрупповая дисперсия, эмпирический коэффициент детерминации, эмпирическое корреляционное отношение.

Во втором разделе курсовой работы мы рассмотрим затраты на содержание государственных природных заповедников и национальных парков, охрану и воспроизводство диких животных с 2010 по 2014 года, данные были взяты на сайте http://www.gks.ru. Необходимо найти абсолютные, относительные, средние изменения и их темпы базисным и цепным способами. Также проверить ряд на наличие в нем линейного тренда, на основе которого рассчитать интервальный прогноз на 2015 год с вероятностью 95%.

1. Многофакторная модель

Для оценки влияния факторов на результативный признак (цена вторичной однокомнатной квартиры в Приволжском районе г.Казань) требуется провести отбор факторов в модель линейной регрессии на основе данных по 30 квартирам, а также изучить состав и структуру выборочный совокупности. Выборочные данные представлены в табл. 1.1

Таблица 1

№ п/п	Цена вторичной однокомнатной квартиры в Приволжском районе г.Казань, млн.руб. (Y)	Площадь квартиры, м2 (Х1)	Площадь кухни, м2 (Х2)	Этаж (Х3)
1	2,1	42	18	3
2	2,6	39	18	9
3	2,9	48	15,5	11
4	3,08	45	17,5	4
5	2,9	45	18,5	2
6	3,1	45	22,74	3
7	2,6	43	18	5
8	2,894	45	17,5	17
9	2,75	44	17	8
10	2,33	45,7	18	16
11	2,24	33	12	9
12	2,19	35	14	7
13	3,15	50	18	7
14	3,1	48,5	18	9
15	2,69	38	19	8
16	3,62	50	18	5
17	2,65	40	16	10
18	3,55	43,1	22	7
19	3,09	45,2	24,2	11
20	3,1	44	19,1	7
21	2,5	33	16	8
22	2,4	43	17	2
23	2,659	52	17	21
24	2,6	46	17	4
25	3,05	45	16	4
26	3,4	47	17	5
27	3,1	43	11,9	10
28	2,8	44,5	16,3	3
29	2,9	40	27	1
30	2,95	47	18	9

Для решения задачи воспользуемся методом исключения факторов.

На первом шаге включим в модель все факторы. В качестве программного средства реализации анализа воспользуемся пакетом Анализ данных табличного процессора EXCEL, инструмент Регрессия. Результаты представлены в таблице 2.

Модель зависимости цены квартиры в Приволжском районе г.Казань от всех факторов имеет вид (формула 1.1):

Y(x) = 0,535 + 0,045x1 + 0,025x2 - 0,014x3 ,(1.1)

Проверку значимости уравнения регрессии осуществим на основе F-критерия Фишера. Расчетное значение (Fрасч) равно 5,65. Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности 0,95 и числе степеней свободы г1= k = 3 и г2 = n - k - 1 = 30 - 3 - 1 = 26 составляет 2,98.

Таблица 2

Вывод итогов инструмента «Регрессия» (множественная регрессия)

Регрессионная статистика
Множественный R	0,628368
R-квадрат	0,394846
Нормированный R-квадрат	0,32502
Стандартная ошибка	0,310959
Наблюдения	30
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия	3	1,640367	0,546789	5,654753
Остаток	26	2,514082	0,096695
Итого	29	4,154449
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	0,534808	0,598374	0,893769	0,379645
Переменная X 1	0,04468	0,013034	3,427862	0,002036
Переменная X 2	0,025427	0,019786	1,285092	0,210091
Переменная X 3	-0,01387	0,013261	-1,04615	0,305122

Поскольку Fрасч > F табл, уравнение регрессии следует признать адекватным.

Множественный коэффициент корреляции R, равный 0,628, свидетельствует о заметной связи между признаками.

Множественный коэффициент детерминации RІ, равный 0,395, показывает, что около 39,5% вариации зависимой переменной обусловлено влиянием включенных в модель факторов и на 60,5% ? другими факторами, не учтенными в модели.

Значимость коэффициентов регрессии оценим с помощью t - критерия Стьюдента.

Расчетные значения критерия Стьюдента следующие: ta1 = 3,428, ta2 = 1,285, ta3 = -1,046. Табличное значение критерия при уровне значимости б = 0,05 и числе степеней свободы г = n - k - 1 = 26 равно 2,056. Значит, выполняется следующее неравенство:¦ ta2, ta3 ¦< tтабл. Таким образом, коэффициенты регрессии a2, a3 незначимы и из модели следует исключить факторные признаки x2, x3.

На втором шаге построим модель зависимости цены вторичных однокомнатных квартир в Приволжском районе г.Казань от площади квартиры. Расчеты представлены в таблице 3.

Таблица 3. Вывод итогов инструмента «Регрессия» (парная регрессия)

Регрессионная статистика
Множественный R	0,555294
R-квадрат	0,308352
Нормированный R-квадрат	0,28365
Стандартная ошибка	0,320347
Наблюдения	30
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия	1	1,281031	1,281031	12,483
Остаток	28	2,873418	0,102622
Итого	29	4,154449
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	0,85548	0,562784	1,520087	0,139702
Переменная X 1	0,045324	0,012828	3,533128	0,001446

Величина коэффициента корреляции (ryx = 0,555) свидетельствует о заметной связи между признаками.

Парный коэффициент детерминации (rІyx = 0,308) показывает, что на 30,8% изменение зависимой переменной объясняется изменениями факторного признака.

Значимость коэффициента корреляции проверим с помощью t-критерия Стьюдента по формуле 1.2:

tрасч = ryx = 3,530 = 6,361, (1.2)

Табличное значение t-критерия Стьюдента при доверительной вероятности 0,05 и числе степеней свободы г = (n - k - 1) = 28 составляет 2,048.

Так как tрасч > tтабл, то значение коэффициента корреляции признается значимым и делается вывод о том, что между признаками есть статистическая взаимосвязь.

Коэффициент регрессии a1 =0,045 показывает, что с увеличением общей площади на 1 м² цена возрастает на 0,045 млн. руб.

Уравнение парной регрессии имеет вид формула 1.3:

= 0,855 + 0,045x1,(1.3)

Табличное значение t-критерия с г = (n - k - 1) = 28 степенями свободы при доверительной вероятности 0,95 (б = 0,05) равно 2,048. Расчетные значения критерия равны ta0= 1,520, ta1 = 3,533.

Значит, имеем следующие результаты:

ta0 < tтабл параметр a0 незначим;

ta1 > tтабл параметр a1 значим.

Для проверки значимости уравнения регрессии в целом воспользуемся F-критерием Фишера. Табличное значение воспользуемся F-критерия с г1 = k = 1 и г2 = n - k - 1 = 28 степенями свободы и при доверительной вероятности 0,95 (б = 0,05) равно 4,2. Расчетное значение критерия составляет 12,48.

Так как Fрасч > Fтабл, уравнение парной линейной регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое.

Рассчитаем коэффициент эластичности по формуле 1.4:

Эi = ai Ч ,(1.4)

где ai -коэффициент регрессии при i-м факторе;

-среднее значение i-го фактора;

-среднее значение результативного признака.

Эi = ai Ч = 0,045 Ч = 0,693%.

Коэффициент эластичности показывает, что на 0,693% в среднем изменится результативный признак при изменении факторного признака на 1м².

Для изучения состава и структуры выборочной совокупности квартир построим статистический ряд распределения по признаку «площадь квартиры». Расположим значения признака х1 в порядке возрастания с помощью табличного процессора EXCEL, инструмент Данные, сортировка. Результаты представлены в таблице 4.

Таблица 4. Разработанная таблица для построения ряда распределения

X1	Y	X1	Y	X1	Y
33	2,24	43	3,1	45,2	3,09
33	2,5	43,1	3,55	45,7	2,33
35	2,19	44	2,75	46	2,6
38	2,69	44	3,1	47	3,4
39	2,6	44,5	2,8	47	2,95
40	2,65	45	3,08	48	2,9
40	2,9	45	2,9	48,5	3,1
42	2,1	45	3,1	50	3,15
43	2,6	45	2,894	50	3,62
43	2,4	45	3,05	52	2,659

Число групп n определим по формуле Стерджесса (1.5):

n = 1 + 3,22lgN = 1 + 3,322lg30 ? 6 групп,(1.5)

Величину интервала группировки рассчитаем по формуле 1.6:

h = = (52-33) : 6 = 3,17 м²,(1.6)

Значения границ интервалов ряда распределения при h = 3,17 м² приведены в таблице 5.

Таблица 5 Расчет интервальных границ группировки

№ группы	Граница, м2
	нижняя	верхняя
1	33	36,17
2	36,17	39,34
3	39,34	42,51
4	42,51	45,68
5	45,68	48,85
6	48,85	52,02

На основе данных таблиц 4 и 5 составим таблицу 6, в которой представлен ряд распределения коттеджей по общей площади.

Таблица 6 Распределение коттеджей по общей площади (структурная группировка)

№ группы	Группы вторичных однокомнатных квартир по площади, м2	Число квартир	Накопленная частота	Накопленная частность, %
		всего	В% к итогу
А	Б	1	2	3	4
1	33-36,17	3	10,0	3	10,0
2	36,17-39,34	2	6,7	5	16,7
3	39,34-42,51	3	10,0	8	26,7
4	42,51-45,68	13	43,3	21	70,0
5	45,68-48,85	6	20,0	27	90,0
6	48,85 и более	3	10,0	30	100,0
	Итого	30	100,0

Графически ряд распределения изображается с помощью гистограммы и кумуляты. В качестве программного средства графического изображения ряда распределения воспользуемся табличным процессором EXCEL, инструмент Мастер диаграмм. Результаты представлены на рис. 1.

Рисунок 1. Гистограмма распределения вторичных однокомнатных квартир в Приволжском районе г.Казань по общей площади.

На рис. 1 показано нахождение значения моды. Конкретное значение моды для интервального ряда распределения определяется по формуле

,(1.7)

где -нижняя граница модального интервала;

-величина модального интервала;

-частота модального интервала;

-частота интервала, предшествующего модальному интервалу

- частота интервала, следующего за модальным интервалом.

Модальным интервалом является интервал 134-168 м², так ему соответствует наибольшая частота (=15, таблица 6).

м²

Таким образом, в выборочной совокупности чаще всего встречаются квартиры со средней общей площадью 44, 375 .

Для нахождения значения медианы строится кумулята (рис.2).

Накопленные частоты

Рисунок 2. Кумулята распределения коттеджей по общей площади.

Конкретное значение медианы для интервального ряда распределения определяется по формуле:

,(1.8)

где - нижняя граница медианного интервала;

- величина медианного интервала;

-частота медианного интервала;

-накопленная частота интервалов, предшествующих медианному интервалу;

- сумма частот.

Согласно данным таблицы 6 медианным интервалом является интервал 42,51-45,68, так как в этом интервале сумма накопленных частот превышает величину , равную половине численности единиц совокупности =15).

²

В выборочной совокупности половина квартир имеют в среднем общую площадь не более 44,21 м², другая половина - не менее 44,21м².

Для расчета характеристик ряда распределения построим вспомогательную таблицу 7.

Расчет средней арифметической взвешенной:

м²

Расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения:

м²

Среднее квадратическое отклонение в ту или иную сторону в среднем составляет 4,311 м².

Таблица 7 Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения

№ группы	Группы вторичных однокомнатных квартир по площади, м2	Число квартир (	Середина интервала, (
А	Б	1	2	3	4	5	6
1	33-36,17	3	34,585	103,755	-9,048	81,866	245,598
2	36,17-39,34	2	37,755	75,51	-5,878	34,551	69,102
3	39,34-42,51	3	40,925	122,775	-2,708	7,333	21,999
4	42,51-45,68	13	44,095	573,235	0,462	0,213	2,769
5	45,68-48,85	6	47,265	283,59	3,632	13,191	79,146
6	48,85 и более	3	50,435	151,305	6,802	46,267	138,801
	Итого	30	255,06	1310,17	-6,738	183,421	557,415

Расчет коэффициента вариации:

%

На основе проведенных расчетов можно сделать выводы о том, что средняя общая площадь квартир в данной совокупности равен 43,672 м², отклонение от среднего значения в ту или иную сторону составляет в среднем 4,311 м², вариация общей площади в рассматриваемой совокупности квартир незначительна ( V= 9,871% <33%) и совокупность по данному признаку качественно однородна.

Таблица 8 Выход итогов инструмента «Описательная статистика»

Цена вторичных однокомнатных квартир в Приволжском районе г.Казань	Площадь квартир
Среднее	2,858379	Среднее	43,68966
Стандартная ошибка	0,06657	Стандартная ошибка	0,874408
Продолжение таблицы 8
Цена вторичных однокомнатных квартир в Приволжском районе г.Казань	Площадь квартир
Медиана	2,9	Медиана	45
Мода	3,1	Мода	45
Стандартное отклонение	0,358493	Стандартное отклонение	4,708832
Дисперсия выборки	0,128517	Дисперсия выборки	22,1731
Эксцесс	-0,18533	Эксцесс	0,506895
Асимметричность	0,120089	Асимметричность	-0,77592
Интервал	1,43	Интервал	19
Минимум	2,19	Минимум	33
Максимум	3,62	Максимум	52
Сумма	82,893	Сумма	1267
Счет	29	Счет	29
Уровень надежности (95,0%)	0,136363	Уровень надежности (95,0%)	1,791144

Значения таблицы 8 несущественно расходятся с приведенными ранее расчетами, так как они определены по фактическим несгруппированным данным, тогда как значения показателей, полученные на основе данных таблица 7, определялись по серединам интервалов, взятым в качестве значений признака. На основе данных таблицы 4 построим аналитическую группировку (таблица 9).

Таблица 9 Зависимость суммы цены коттеджей от общей площади (аналитическая группировка)

№ группы	Группы вторичных однокомнатных квартир по площади,м2	Число квартир	Цена вторичных однокомнатных квартир в Приволжском районе г.Казань,млн.руб.
			всего	За среднюю площадь квартиры
А	Б	1	2	3
1	33-36,17	3	6,93	2,31
2	36,17-39,34	2	5,29	2,645
3	39,34-42,51	3	7,65	2,55
4	42,51-45,68	13	38,414	2,955
5	45,68-48,85	6	17,28	2,88
6	48,85 и более	3	9,429	3,143
	Итого	30	84,993	16,483

Построенная группировка не дает представления о направлении связи между признаками (с ростом значений факторного признака не наблюдается рост или снижение среднего значения результативного признака).

Для измерения тесноты связи между признаками рассчитываются эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение по формуле 1.9:

(1.9)

где - общая дисперсия признака Y;

межгрупповая дисперсия признака Y.

Общая дисперсия вычисляется по формуле 1.10.

(1.10)

Для расчета общей дисперсии воспользуемся табличным процессором EXCEL, инструмент Мастер функций, статистическая функция ДИСПР. Расчетное значение дисперсии равно .

Межгрупповая дисперсия определяется по формуле 1.11

,(1.11)

Для расчета межгрупповой дисперсии составим таблица 10.

Таблица 10 Расчет межгрупповой дисперсии

№ группы	Группы вторичных однокомнатных квартир по площади,м2	Число квартир,	Групповая средняя
А	Б	1	2	3	4
1	33-36,17	3	2,31	-0,52	0,27
2	36,17-39,34	2	2,645	-0,185	0,005
3	39,34-42,51	3	2,55	-0,28	0,06
4	42,51-45,68	13	2,955	0,125	0,04
5	45,68-48,85	6	2,88	0,05	0,0002
6	48,85 и более	3	3,143	0,313	0,083
	Итого	30	2,83		0,458

Межгрупповая дисперсия равна:

.

Эмпирический коэффициент детерминации равен:

Эмпирическое корреляционное отношение составляет:

=0,65=65%

Полученное значение эмпирического корреляционного отношения подтверждает наличие заметной связи между рассматриваемыми признаками. Эмпирический коэффициент детерминации показывает, что 65% общей вариации изучаемого признака (цена вторичных однокомнатных квартир в Приволжском районе г. Казань) обусловлено вариацией группировочного признака (общей площади), а 35% влияют все остальные факторы (площадь кухни, этаж).

2 Раздел. Ряды динамики

В данном разделе студент самостоятельно определяет показатели динамического ряда с 2011 по 2015 годы на основании статистических данных Госкомстата РФ и РТ. По типовому примеру с решением студентом рассчитываются основные статистические показатели динамического ряда и представляются графическое изображение(тренд) тенденции изучаемого показателя.

Типовой пример. Уровень заработной платы в Санкт-Петербурге за период 2011-2015 гг. характеризуется следующим рядом динамики.

Таблица 1

Год	2011	2012	2013	2014	2015
Средний уровень заработной платы в Санкт-Петербурге, тыс.руб	23,4	26,6	29,8	32,6	32,0

Вычислить: абсолютные, относительные, средние изменения и их темпы базисным и цепным способами. Проверить ряд на наличие в нем линейного тренда, на основе которого рассчитать интервальный прогноз на 2016 год с вероятностью 95%.

Решение. Любое изменение уровней ряда динамики определяется базисным (сравнение с первым уровнем) и цепным (сравнение с предыдущим уровнем) способами. Оно может быть абсолютным (разность уровней ряда) и относительным (соотношение уровней).

Базисное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и первого уровней ряда (2.1), а цепное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и предыдущего уровней ряда (2.2).

(2.1)(2.2)

По знаку абсолютного изменения делается вывод о характере развития явления: при > 0 -- рост, при < 0 -- спад, при = 0 -- стабильность.

В нашей задаче эти изменения определены в 3-м и 4-м столбцах таблицы 2. Для проверки правильности расчетов применяется правило, согласно которому сумма цепных абсолютных изменений равняется последнему базисному. В нашей задаче это правило выполняется: =8,6 и = 8,6.

Базисное относительное изменение представляет собой соотношение конкретного и первого уровней ряда (2.3), а цепное относительное изменение представляет собой соотношение конкретного и предыдущего уровней ряда (2.4).

(2.3)(2.4)

Относительные изменения уровней -- это по существу индексы динамики, критериальным значением которых служит 1. Если они больше ее, имеет место рост явления, меньше ее -- спад, а при равенстве единице наблюдается стабильность явления.

В задаче эти изменения определены в 5-м и 6-м столбцах таблицы 2.

Вычитая единицу из относительных изменений, получают темп изменения уровней, критериальным значением которого служит 0. При положительном темпе изменения имеет место рост явления, при отрицательном -- спад, а при нулевом темпе изменения наблюдается стабильность явления. В нашей задаче темпы изменения определены в 7-м и 9-м столбцах таблицы 2, а в 8-м и 10-м сделан вывод о характере развития изучаемого явления.

Таблица 2Вспомогательные расчеты для решения задачи

Год	Y						Хар-р		Хар-р
2010	23,4
2011	26,6	3,2	3,2	1,13	1,13	0,13	рост	0,13	рост
2012	29,8	6,4	3,2	1,27	1,12	0,27	рост	0,12	рост
2013	32,6	9,2	2,8	1,39	1,09	0,39	рост	0,09	рост
2014	32,0	8,6	-0,6	1,36	0,98	0,36	рост	-0,02	спад
Итого	144,4		8,6		1,36

Обобщенной характеристикой ряда динамики является средний уровень ряда . Способ расчета зависит от того, моментный ряд или интервальный (см. рис.2.1):

Рис.2.1. Методы расчета среднего уровня ряда динамики.

В нашей задаче ряд динамики моментный, значит, применяем формулу средней хронологической простой: =29,175 (тыс.руб.). То есть за период 2011-2015 в РФ средний уровень заработных плат составил 29,175 тыс.руб.

Кроме среднего уровня в рядах динамики рассчитываются и другие средние показатели - среднее изменение уровней ряда (базисным и цепным способами), средний темп изменения.

Базисное среднее абсолютное изменение - это частное от деления последнего базисного абсолютного изменения на количество изменений уровней (2.5). Цепное среднее абсолютное изменение уровней ряда - это частное от деления суммы всех цепных абсолютных изменений на количество изменений (2.6).

^Б =(2.5)^Ц=(2.6)

По знаку средних абсолютных изменений также судят о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность. Из правила контроля базисных и цепных абсолютных изменений следует, что базисное и цепное среднее изменение должны быть равными. В нашей задаче = 29,175, то есть на период с 2011 по 2015 года средняя заработная пллата составляла 29,175 т.р.

Наряду со средним абсолютным изменением рассчитывается и среднее относительное. Базисное среднее относительное изменение определяется по формуле (2.7), а цепное среднее относительное изменение - по формуле (2.8):

^Б== (2.7)^Ц=(2.8)

Естественно, базисное и цепное среднее относительное изменения должны быть одинаковыми и сравнением их с критериальным значением 1 делается вывод о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность. В нашей задаче = = 1,06, то есть ежегодно в среднем уровень заработной платы увеличивается на 1,06 т.р.

Вычитанием 1 из среднего относительного изменения образуется соответствующий средний темп изменения, по знаку которого также можно судить о характере изменения изучаемого явления, отраженного данным рядом динамики. В нашей задаче = 1,06- 1 = 0,06, то есть ежегодно уровень заработной платы увеличивается на 6%.

Проверка ряда динамики на наличие в нем тренда (тенденции развития ряда) возможна несколькими способами (метод средних, Фостера и Стюарта, Валлиса и Мура и пр.), но наиболее простым является графическая модель, где на графике по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат - уровни ряда. Соединив полученные точки линиями, в большинстве случаев можно выявить тренд визуально. Тренд может представлять собой прямую линию, параболу, гиперболу и т.п. В итоге приходим к трендовой модели вида (2.9):

,(2.9)

где - математическая функция развития;

- случайное или циклическое отклонение от функции;

t - время в виде номера периода (уровня ряда).

Цель такого метода - выбор теоретической зависимости в качестве одной из функций:

- прямая линия; - гипербола; - парабола;- степенная; - ряд Фурье.

Для выявления тренда (тенденции развития ряда) в нашей задаче построим график Y(t) (рис.2.2):



Рис.2.2. График динамики Уровня заработных плат в РФ в т.р

Из данного графика видно, что есть все основания принять уравнение тренда в виде линейной функции.

Определение параметров в этих функциях может вестись несколькими способами, но самые незначительные отклонения аналитических (теоретических) уровней ( - читается как «игрек, выравненный по t») от фактических () дает метод наименьших квадратов - МНК. При этом методе учитываются все эмпирические уровни и должна обеспечиваться минимальная сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней от теоретических уровней (2.10):

,(2.10)

В нашей задаче при выравнивании по прямой вида параметры и отыскиваются по МНК следующим образом. В формуле ,(2.9) вместо записываем его конкретное выражение . Тогда . Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум, т.е. к определению того, при каком значении и функция двух переменных S может достигнуть минимума. Как известно, для этого надо найти частные производные S по и , приравнять их к нулю и после элементарных преобразований решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.

В соответствии с вышеизложенным найдем частные производные (2.11):

,(2.11)

Сократив каждое уравнение на 2, раскрыв скобки и перенеся члены с y в правую сторону, а остальные - оставив в левой, получим систему нормальных уравнений (2.12):

,(2.12)

где n - количество уровней ряда; t - порядковый номер в условном обозначении периода или момента времени; y - уровни эмпирического ряда.

Эта система и, соответственно, расчет параметров и упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда. Например, при нечетном числе уровней серединная точка (год, месяц) принимается за нуль. Тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно -1, -2, -3 и т.д., а следующие за средним (центральным) - соответственно 1, 2, 3 и т.д. При четном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначают -1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала: , , и т.д.

При таком порядке отсчета времени (от середины ряда) = 0, поэтому, система нормальных уравнений упрощается до следующих двух уравнений, каждое из которых решается самостоятельно (2.13):

,(2.13)

Как видим, при такой нумерации периодов параметр представляет собой средний уровень ряда. Определим по формуле ,(2.13) параметры уравнения прямой, для чего исходные данные и все расчеты необходимых сумм представим в таблице 3.

Таблица 3. Вспомогательные расчеты для решения задачи

Год	y	t	t2	yt		(y -)2	(-)2	(y - )2
2011	23,4	-2	4	-46,8	33,52	102,41	21,52	30,03
2012	26,6	-1	1	-26,6	31,2	21,16	5,38	5,19
2013	29,8	0	0	0	28,88	0,8464	0	0,84
2014	32,6	1	1	32,6	26,56	36,48	5,38	13,83
2015	32,0	2	4	64	24,24	60,21	21,52	9,73
	144,4	0	10	23,2	144,4	221,1	53,8	59,62

Из таблицы получаем, что = 144,4/5 = 28,88 и = 23,2/10 = 2,32. Отсюда искомое уравнение тренда = 28,88 - 2,32 t. В 6-м столбце таблицы 3 приведены трендовые уровни, рассчитанные по этому уравнению. Для иллюстрации построим график эмпирических (маркеры-кружочки) и трендовых уровней (рис.2.3).



Рис.2.3. График эмпирических и трендовых уровней заработной платы в РФ.

По полученной модели для каждого периода (каждой даты) определяются теоретические уровни тренда () и оценивается надежность (адекватность) выбранной модели тренда. Оценку надежности проводят с помощью критерия Фишера, сравнивая его расчетное значение F_р с теоретическими значениями F_Т (приложение 1). При этом расчетный критерий Фишера определяется по формуле 2.14:

,(2.14)

где k - число параметров (членов) выбранного уравнения тренда;

Д_А - аналитическая дисперсия, определяемая по формуле (2.16);

Д_о - остаточная дисперсия (2.17), определяемая как разность фактической дисперсии ;

Д_Ф-(2.15) и аналитической дисперсии:

,(2.15)

, (2.16)

,(2.17)

Сравнение расчетного и теоретического значений критерия Фишера ведется обычно при уровне значимости с учетом степеней свободы и . Уровень значимости связан с вероятностью следующей формулой . При условии F_р > F_Т считается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд.

Проверим тренд в нашей задаче на адекватность по формуле ,(2.14), для чего в 7-м столбце таблицы 6 рассчитан числитель остаточной дисперсии, а в 8-м столбце - числитель аналитической дисперсии. В формуле (2.14) можно использовать их числители, так как оба они делятся на число уровней n (n сократятся): F_Р =118846,97*5/(1659,98*1) = 357,977 > F_Т, значит, модель адекватна и ее можно использовать для прогнозирования (F_Т = 7,71 находим по приложению 1 в 1-ом столбце [= k - 1 = 1] и 8-й строке [= n - k = 8]).

При составлении прогнозов уровней социально-экономических явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза. Границы интервалов определяются по формуле (2.18)

,(2.18)

где - точечный прогноз, рассчитанный по модели тренда;

- коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы =n-1 (приложение 2);

- ошибка аппроксимации, определяемая по формуле ,(2.19):

,(2.19)

где и - соответственно фактические и теоретические (трендовые) значения уровней ряда динамики;

n - число уровней ряда;

k - число параметров (членов) в уравнении тренда.

Определим доверительный интервал в нашей задаче на 2015 год с уровнем значимости = (1-0,95) = 0,05. Для этого найдем ошибку аппроксимации по формуле (2.19) == 7,43. Коэффициент доверия по распределению Стьюдента = 2,7764 при = 5- 1=4.

Прогноз на 2015 с вероятностью 95% осуществим по формуле (2.18):

Y₂₀₁₅=285,72,7764*171,9 или 113,8 < Y₂₀₁₅< 457,6(ед.).

Размещено на Allbest.ru

...