Основы эконометрики

Размещено на http://www.allbest.ru/

НОУ ВПО «РОССИЙСКИЙ НОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Санкт-Петербургский филиал

ЭКОНОМЕТРИКА

АЛЕКСЕЕВ Г.В.

Санкт-Петербург

2010



Содержание

Введение

1. Экономико-математическое моделирование

1.1 Понятие экономико-математической модели и моделирования

1.2 Классификация моделей и этапы моделирования

2. Методы и модели изучения и прогнозирования спроса

2.1 Виды спроса, методы его изучения и прогнозирования

2.2 Основы экономико-математического моделирования спроса

2.3 Построение и оценка моделей спроса

3. Модели управления товарными запасами

3.1 Экономико-математическая постановка задачи

3.2 Модели анализа и прогноза товарных запасов

4. Системы и модели массового обслуживания в торговле

4.1 Классификация систем массового обслуживания

4.2 Постановка задачи и модели ее решения



Введение

экономический моделирование спрос торговля

Использование современных методов математической статистики началось в биологии. В последней четверти ХIX века английский биолог К.Пирсон положил начало современной математической статистике изучением кривых распределения числовых характеристик человеческого организма. Затем он и его школа перешли к изучению корреляций в биологии и построению линейных функций регрессии.

Первые работы по эконометрике появились в конце XIX - начале XX века. В 1897 году появилась работа одного из основателей математической школы в экономической теории В. Парето, посвященная статистическому изучению доходов населения в разных странах. Была предложена кривая Парето у=А(х-а)-, где х - величина дохода; у - численность лиц, имеющих доход больший х; а - минимальный доход; А и -параметры зависимости получаемые статистическими методами.

В самом начале ХХ века вышло несколько работ английского статистика Гукера, в которых он применил корреляционно-регрессионные методы, разработанные Пирсоном и его школой, для изучения взаимосвязей экономических показателей, в частности - влияния числа банкротств на товарной бирже на цену зерна. В работах Гукера содержалась идея временного лага между экономическими переменными, а также идея корреляционного анализа не самих величин, а их приращений. В дальнейшем появилось огромное число работ как по развитию теории математической статистики и ее прикладных элементов, так и по практическому приложению этих методов в экономическом анализе. К первой группе могут быть отнесены работы Р.Фишера по дисперсионному анализу, ко второй - работы по оценке и исследованию производственных функций, в частности - классическая работа Кобба-Дугласа 1928 г.

Эконометрические модели и методы это не только мощный инструментарий для получения новых знаний в экономике, но и широко применяемый аппарат для принятия практических решений и прогнозирования в хозяйственной деятельности.



1. Экономико-математическое моделирование

1.1 Понятие экономико-математической модели и моделирования

В общении с природой в процессе деятельности человек воспринимает окружающие его явления и формирует о них свое представление. Свои восприятия он отражает в виде описания, рисунка, результатов исследования, функции и связи явления - в виде уравнений, формул.

Давно отмечено математическое сходство различных явлений. Например, система двух линейных уравнений с двумя неизвестными может одновременно описывать и процессы загрузки станков, и условия рационального питания, и условия реализации товаров. Все зависит от того, что подразумевают под неизвестными величинами и каковы коэффициенты.

Математический аппарат позволяет имитировать поведение объекта в сложных, недоступных для эксперимента условиях, создавать и перебирать варианты дорогостоящих процессов без затрат материальных и трудовых ресурсов, выбирать наилучшие результаты, «проигрывая» ситуации.

Как правило для успешного управления процессом или объектом надо изучить их: установить структуру, определить характеристику функций, описать внешние и внутренние связи, исследовать закономерности поведения. Совокупность познаний об объекте необходимо представить в целостном образе, который должен отражать его основные характеристики и быть пригодным для исследования.

Одной из наиболее распространенных пригодных для анализа является числовая форма описания объектов, которая легко может быть переведена в алгебраическую форму. Это открывает широкие возможности для количественного анализа структуры и тенденций развития изучаемого объекта или процесса с использованием самых современных методов высшей математики.

Условный образ, характеризующийся комплексом элементов, определенным образом взаимосвязанных и отражающих функционирование и развитие данного объекта называется его моделью.

Модель может быть представлена различными средствами. Можно, например, представить форму объекта с помощью физической модели (макета), информационные связи характеризует информационная модель, а функциональные связи, выраженные математическим аппаратом - математическая модель. Используемые в последнем случае символы и их последовательности описывают изучаемые свойства объекта и являются средствами изображения модели.

Процесс разработки модели объекта или явления и исследование объектов на их моделях называют моделированием.

Всю совокупность моделей по средствам моделирования можно подразделить на материальные и абстрактные.

1.2 Классификация моделей и этапы моделирования

В особую группу выделяют модели, основанные на графоаналитических и статистических методах.

Математические модели имеют большую аналитическую способность описания, анализа и прогнозирования наблюдаемого процесса или объекта, но не всегда наглядны. Стремление преодолеть это свойство модели привело к использованию различного рода графических изображений (например, графики Ганта).

Д.Кениг впервые объединил схематическое изображение из совокупности точек и линий с термином «граф» и стал рассматривать граф как самостоятельный математический объект. Это положило начало «теории графов», которые широко используются в моделировании человеческой деятельности.

На основе теории графов наиболее часто строят древовидные и сетевые модели.

Древовидная модель (дерево) - это неориентированный связный граф с числом вершин не менее двух, не содержащий петель и циклов.

Частным случаем древовидной модели является сетевая модель, которая изображается конечным графом G(x,y) без циклов и петель, ориентированным в одном общем направлении.

Сетевые модели эффективно используются в планировании и управлении комплексом последовательно выполняемых работ. Их строят во временной или стоимостной оценке и называют: временная или стоимостная сетевая модель.

Исследование влияния целого ряда факторов на величину того или иного признака с помощью статистического аппарата проводят с помощью корреляционно-регрессионных моделей, которые отражают объективную обусловленность и зависимость отдельных факторов. Связь между ними носит корреляционный, соотносительный, неполный характер в отличие от связей функциональных (полных, жестких), которые используются в математических моделях.



2. Методы и модели изучения и прогнозирования спроса

2.1 Виды спроса, методы его изучения и прогнозирования

Для обеспечения нормального процесса обращения товаров на рынке должно существовать определенное динамичное соответствие спроса и предложения, так как они отражают взаимосвязь между производством, обменом и потреблением.

Товарное предложение представляет собой массу товаров определенного качества, предназначенную для реализации. Товарное предложение включает товарные ресурсы и товарные запасы.

Изучение и прогнозирование спроса являются составными частями процесса управления производством и реализацией товаров. Они позволяют получать информацию отражающую количественную и качественную характеристику процессов формирования, развития и удовлетворения потребностей населения в конкретных товарах. Основными задачами изучения спроса, таким образом, являются:

выявление закономерностей и тенденций развития его общего объема и по отдельным группам и видам товаров;

определение внутригрупповой ассортиментной структуры спроса;

учет сезонных колебаний спроса на отдельные виды товаров;

оценка степени удовлетворения спроса на отдельные товары.

Для принятия управленческих решений менеджеру нужна различная информация о спросе по всем товарам и формирующим его факторам.

Следует иметь в виду, что решение задач спроса проводится в пространстве и во времени.

Во времени, в частности, происходит развитие спроса от зарождения через становление к отмиранию. Поэтому для объективной оценки спроса населения на товары необходимо знать значения соответствующих показателей за ряд предыдущих лет, после чего можно дать правильную оценку явления и определить направление его развития.

Рис.1 Использование модели спроса

Для изучения спроса населения важное значение имеет разделение спроса на различные виды по отдельным признакам.

По степени удовлетворения потребностей принято выделяь: действительный, реализованный и неудовлетворенный спрос.

Под действительным спросом населения Sд понимается весь фактически предъявляемый спрос на товары, размер которого определяется суммой денежных средств, которые население может предъявить для покупки товаров и оплаты услуг, при условии, что их ассортимент и качество полностью соответствуют предъявляемым требованиям.

Под реализованным спросом Sр понимается спрос, который фактически реализуется при покупке товаров и оплате услуг.

Под неудовлетворенным спросом Sн понимается спрос, оставшийся нереализованным ввиду отсутствия товаров в продаже или несоответствия их ассортимента и качества требованиям потребителей.

В свою очередь неудовлетворенный спрос подразделяется на явный и скрытый.

Явный неудовлетворенный спрос Sня проявляется в виде определенной суммы денежных средств, скапливающихся на руках у населения из-за отсутствия нужных товаров или услуг и несоответствия их ассортимента и качества запросу потребителей.

Скрытый неудовлетворенный спрос Sнс деньгами не представлен и реализуется в покупке других товаров, которые приобретают взамен отсутствующих.

Для изучения каждого вида спроса исходная статистическая база различна.

Источниками информации в решении задач изучения и прогнозирования спроса являются данные торговой статистики о динамике и структуре реализации товаров. Источниками дополнительной информации могут быть статистика денежных доходов населения, демографическая статистика, статистика розничных цен и др.

Для оценки объема спроса нередко используют различные методы экспертных оценок. Их сущность заключается с сборе и анализе мнений представительного числа компетентных специалистов.

Одним из важнейших методов выявления и фиксации мнений и явлений, характеризующих процессы формирования и развития спроса являются опросы. Если опрос проводится в виде постановки конкретных вопросов, то такой опрос принято называть анкетированием.

Прогнозирование спроса населения заключается в проведении специального научного исследования, предметом которого являются перспективы развития спроса. Прогноз спроса является поисковым и заключается в определении вероятностного описания возможных состояний спроса в будущем. В методическом плане основным инструментом любого прогноза является экстраполяция. Формальная экстраполяция базируется на предположении о сохранении в будущем прошлых и настоящих тенденций развития спроса. Основой ее является изучение временных рядов динамики развития спроса (ретроспективный анализ), затем подбор по ним апроксимирующей

функции. Составление прогноза по построенной модели заключается в вычислении значений спроса по заданным значениям факторов влияния и времени.

2.2 Основы экономико-математического моделирования спроса

Моделирование спроса населения включает следующие основные этапы:

выбор показателя спроса;

сбор исходной статистической информации ее систематизацию и оценку;

отбор существенных факторов, которые необходимо учитывать при построении моделей изучения и прогнозирования спроса;

построение диаграмм рассеивания подбор математических форм связи между величиной спроса и влияющими на него факторами;

расчет параметров и построение экономико-математической модели изучения или прогнозирования спроса;

оценку полученной модели математико-статистическими методами;

проведение вычислений по модели;

экономическую интерпретацию модели и разработку рекомендаций по ее применению.

Факторы принято разделять на экзогенные, т.е. внешние по отношению к моделируемому объекту, и эндогенные, т.е. внутренние присущие моделируемому процессу.

К экзогенным относится практически вся совокупность воздействующих на спрос факторов. К эндогенным относится общая тенденция развития спроса на конкретный товар.

В модель эндогенный фактор вводится в виде специального фактора-тренда t.

Поскольку на спрос влияет большое количество факторов, задачу моделирования приходится упрощать путем выделения несущественных и существенных факторов, последние из которых и включаются в модель.

Для моделирования спроса населения применяются методы и модели корреляционно-регрессионного анализа. При этом экономико-математические модели спроса строят в виде уравнений регрессии - одно- или много факторных, в которых

в качестве независимых переменных выступают формирующие спрос факторы, а в качестве зависимой переменной - спрос населения. В общем виде такая модель может быть представлена в виде S = f(x1,x2,x3,...xi,.... xm,t)

В общем случае модель спроса записывают в виде уравнения связи общего расхода So с суммой произведений количества (потребления) qi каждого товара на его цену pi. n

So=q1p1+q2p2+....+qnpn=qipi

При изучении спроса на отдельные товары и услуги в зависимости от изменений величины семейных доходов применяются кривые Энгеля, которые в обобщенной форме представляют собой однофакторные модели вида

qi = f(хд),

где qi - объем потребления i-го товара; хд - средний доход.

Конкретный вид математической формы описания определяется видом товара и величиной доходов.

Наиболее часто применяют следующие модели описания формы связи экономических показателей.



Рис.2 Виды моделей

При однофакторном анализе решается задача построения экономико-математической модели, описывающей связь спроса у и одного фактора х. Вначале для этой цели проводится сбор экспериментальных сведений путем многократного измерения величин у и хi , результаты которых представляются в виде таблицы. По этим результатам строится диаграмма рассеивания в корреляционном поле. Если последовательность точек диаграммы рассеивания группируется в виде некоторой линии, то можно сделать предположение о наличии корреляционной связи. Затем проводится выбор формы связи путем сравнения внешнего вида диаграммы рассеивания с имеющимися математическими моделями. Линия, которая описывает диаграмму рассеивания, называется линией регрессии, а описывающее ее уравнение называют уравнением регрессии. Процесс нахождения теоретической линии регрессии называют выравниванием эмпирической линии регрессии. После выбора математической формы связи определяют значения коэффициентов математической модели пользуясь методом наименьших квадратов.

Понятие о методе наименьших квадратов.

В том случае, когда вид эмпирической формулы выбран, ставится задача определения ее параметров так, чтобы эта формула наиболее соответствовала имеющимся данным.

Чаще всего при подборе параметров эмпирических формул пользуются методом наименьших квадратов (принципом Лежандра): из формул вида у= f(х) наиболее соответствующей опытным данным считается та, для которой сумма квадратов отклонений эмпирических данных от вычисленных является наименьшей.

Рассмотрим каким образом этот принцип применяется, например, для определения коэффициентов линейной модели.

Пусть пары значений (xi;yi ) представлены точками плоскости и лежат примерно на одной прямой, т.е. существует некоторая приближенная линейная зависимость

у = ах + b или ах - у + b = 0.

Если в записанное уравнение подставить координаты эмпирических точек, то в общем случае мы не получим тождества, т.к. точки только приблизительно лежат на прямой, а получим равенства типа ахi -уi + b = i, где числа i - означают отклонения по ординатам каждой из точек от аппроксимирующей их прямой.

Согласно методу наименьших квадратов наилучшей функцией вида у=ах+b служит та, для которой сумма квадратов отклонений

S = (1)2 + (2)2 + (3)2 +...+(n)2

является наименьшей. Если эта минимальная сумма квадратов окажется малой, то сами погрешности будут малыми по абсолютной величине.

Подставляя в последнее выражение значения i получим

n

S = (ахi-уi+b)2 = f(a,b)

i=1

Таким образом, S можно рассматривать как функцию двух переменных а и b, дифференцируемую на всей числовой плоскости. Для искомой прямой (при минимальном отклонении модели от данных) эта сумма должна быть наименьшей. Тогда в силу необходимого признака экстремума дифференцируемой функции f(a,b) должны соблюдаться условия S/a =0; S/b=0. Находя частные производные и приравнивая их нулю получим

ахi2+bxi=xiyi

axi+bn =yi

Эту систему называют нормальной системой уравнений для определения параметров а и b функции у=ах+b методом наименьших квадратов.

Для моделей параболического типа решают специальную систему нормальных уравнений, приведенную ниже в табл.1

Проще всего провести построение и оценку математической модели, имеющей линейную форму связи. Поэтому часто другие формы связи путем замены переменных приводят к линейной форме, как это показано в табл.2.

При наличии больших значений признака его уменьшают путем замены переменной, например при прогнозировании, вычитанием какой-либо постоянной величины t = to - 1980

В дальнейшем вычислительный процесс можно упростить путем отсчета от середины ряда измерений, в соответствии с которыми вводят новую переменную вида

n

х = х - х = х - (xi)/n

i=1

где х - среднее значение факторного признака; n - число измерений.

Лучше иметь нечетное число измерений. При этом алгебраическая сумма х становится равной 0 и, следовательно, количество членов в системах нормальных уравнений уменьшается, а вычисления сокращаются. При этом промежуточные результаты для удобства и наглядности располагают в виде таблицы. Решение систем нормальных уравнений довольно просто решаются с помощью ЭВМ.



Таблица 1

После определения значений коэффициентов записывают экономико-математическую модель, по которой проводят вычисления. По результатам этих вычислений строят график и для сравнения накладывают его на диаграмму рассеивания.

Построенную модель спроса оценивают на соответствие изучаемому процессу. Значимость модели определяется ее возможностью прогнозировать средние значения спроса по заданным значениям независимых переменных.

Таблица 2



Для оценки влияния на спрос какого-либо фактора пользуются также коэффициентами эластичности.

Прямой коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется спрос при изменении значения влияющего на него фактора на 1%.

Э1=у (х/y),

где у- производная модели спроса, у* = f(x).

Прямой коэффициент эластичности можно определить и по фактическим данным по формуле

Э1= (у1/ у1) : (х1/ х1),

где у1, у1 - изменение спроса и значение спроса (при х2 = const);

х1, х1 - изменение фактора и значение фактора.

Перекрестный коэффициент эластичности применяется для оценки изменения спроса на изучаемый товар в зависимости от изменения, например, цены на другой товар на 1%:

Э2= (у1/ у1) : (р2/ р2),

где у1, у1 - изменение спроса и значение спроса первого товара;

р2, р2 - изменение цены и цена другого товара.

Если построена модель спроса, то перекрестный коэффициент эластичности можно определить по формуле

Э2= (dу1/ dp2) * (р2/ y1).



Для линейных форм зависимостей спроса от формирующих его факторов в качестве показателя тесноты связи применяют линейный коэффициент парной корреляции

r=[(xy)*-x*y*]/xy

где x*- среднее значение факторного признака, х*=(хi)/n;

y*- среднее значение результативного признака;

(xy)*- среднее значение произведения признаков;

n - количество экспериментальных измерений.

Качественную оценку тесноты корреляционной связи между признаками проводят по таблице Чеддока.

Таблица 3

Если r=0, то связь между признаками отсутствует, если же r=1, то существует функциональная связь между признаками.

В качестве меры тесноты корреляционной связи между изучаемыми признаками, а также показателя степени близости математической формы связи к фактическим данным для линейных и нелинейных форм связи применяют корреляционное отношение

= [(y^i-y*)2/( yi-y*)2



где y^i - значение признака вычисленное по модели;

yi - экспериментальное значение результативного признака.

В качестве меры точности используют среднюю относительную ошибку аппроксимации

*=(1/n)|(yi-y*)/ yi| 100%

При подборе математической формы связи следует ориентироваться на такую, для которой больше корреляционное отношение и меньше средняя относительная ошибка.

Если *<(10...20)%, то модель называется достаточно адекватной реальной закономерности.

Поскольку показатели тесноты корреляционной связи исчислены по выборочным данным и являются случайными величинами, то необходимо установить значимость показателей корреляции и коэффициентов модели.

С этой целью определяют ошибку коэффициента корреляции по величине среднего квадратического отклонения

r=(1-r2)/n

Затем величина r сопоставляется с r через отношение tr=r/ r

Принято считать, что если tr=>2, то с вероятностью 0,95 можно говорить о значимости полученного коэффициента корреляции.

Для оценки надежности уравнения регрессии применяют F-критерий Фишера

Fр=у2/ост2

где у2 - дисперсия фактических значений спроса у2 =[( yi-y*)2]/(n-1);

ост2 - остаточная дисперсия ост2 =[(y^i-yi)2]/(n-1-p);

р - число коэффициентов в модели.

Показатели f1 = (n-p-1) и f2 = (n-1) называют числами степеней свободы. Полученное расчетное значение критерия Fр, сравнивается с табличным Fт, которое определяется по значениям f1 и f2 для заданного уровня значимости =0,05.

Если Fр > Fт, то уравнение считается надежным с вероятностью 95%.

Для оценки значимости коэффициентов линейных моделей сначала находят случайную ошибку для ао

mо= (ост xi2)/n[xi2-(xi) 2/n] ,

а затем случайную ошибку для а1

m1= (ост )/[xi2-(xi) 2/n] .

Далее находим фактические значения критерия tф для этих коэффициентов

tф0=| ао|/ mо tф1 =|а1|/ m1

Затем по заданной доверительной вероятности и соответствующим значениям числа степеней свободы f=(n-p) по таблице Стьюдента определяют критическое значение tT.

Если при сравнении выполняется неравенство tф > tТ, то коэффициенты признают значимыми, после чего определяют для них доверительные границы



(ао mо tТ); (а1 m1 tТ).

При использовании экономико-математических моделей расчетные значения могут не совпадать с фактическими, так как линия модели описывает взаимосвязь лишь в среднем и отдельные наблюдения рассеяны вокруг нее. Это происходит по причине воздействия ряда неучтенных факторов, случайных помех и ошибок измерений, поэтому уравнение можно представить в виде

ух = у^ ух

где ух - пределы для у^; ух - случайная переменная характеризующая отклонение.

Полагая, что отклонения фактических значений у от средних распределены по нормальному закону, для любого значения х можно определить доверительное отклонение по формуле

ух=(t,f ост/n)1+(xi-x*)2/x2

где t,f - значение параметра Стьюдента, определяемое по заданной доверительной вероятности и числу степеней свободы f.

Зону, в которую попадают все значения случайной величины можно приближенно вычислить из соображений приведенных на графике



Рис.3 Доверительная область модели

При проведении многофакторного анализа принципиально последовательность действий не меняется. В многофакторную модель включают только те факторы, которые линейно независимы и существенно влияют на изменение результативного признака. Из двух факторов, у которых коэффициент парной корреляции выше 0,8 включают только один. Число включаемых в модель факторов должно быть меньше числа наблюдений.

Пример: Построим модель для предсказания объема реализации продукции фирмы У от объясняющих параметров: Х1 - время; Х2 - расходы на рекламу; Х3 - цена товара; Х4 - средняя цена конкурентов; Х5 - индекс потребительских расходов.

Статистические данные по всем переменным приведены в таблице 1.

1. Построение системы показателей (факторов). Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции. Для выполнения этой части анализа воспользуемся инструментом Корреляция , для чего необходимо выполнить следующие действия:

данные для корреляционного анализа должны располагаться в смежных диапазонах ячеек;

выберем команду СервисАнализ данных;

в диалоговом окне Анализ данных выберем инструмент Корреляция и нажмем ОК;

в диалоговом окне Корреляция в поле «Входной интервал» введем диапазон ячеек, содержащих исходные данные. При выделенных заголовках столбцов установим флажок «Метки в первой строке»;

выберем параметры вывода, установим переключатель - «Новый рабочий лист»;

нажмем ОК, получим результат, изображенный в таблице 2.

Таблица 1

Y	X1	X2	X3	Х4	Х5
Объем реализ.	время	реклама	цена	цена конкурента	индекс потребит. расходов
126		4	15	17	100
137	1	4,8	14,8	17,3	98,4
148	2	3,8	15,2	16,8	101,2
191	3	8,7	15,5	16,2	103,5
274	4	8,2	15,5	16	104,1
370	5	9,7	16	18	107
432	6	14,7	18,1	20,2	107,4
445	7	18,7	13	15,8	108,5
367	8	19,8	15,8	18,2	108,3
367	9	10,6	16,9	16,8	109,2
321	10	8,6	16,3	17	110,1
307	11	6,5	16,1	18,3	110,7
331	12	12,6	15,4	16,4	110,3
345	13	6,5	15,7	16,2	111,8
364	14	5,8	16	17,7	112,3
384	15	5,7	15,1	16,2	112,9

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции (табл.2) показывает, что зависимая переменная, то есть объем реализации, имеет тесную связь с индексом потребительских расходов (r=0.816), с расходами на рекламу (r=0.646) и со временем (r=0.678). Однако факторы 1 и 5 тесно связаны между собой (r1,5=0.96), что свидетельствует о наличии мультиколлинеарности. Из этих двух факторов целесообразно оставить в модели Х5 - индекс потребительских расходов. Факторы 3 и 4 слабо влияют на объем реализации, так как соответствующие коэффициенты корреляции не достигают 0,3, поэтому их тоже можно не учитывать в модели.

2. Выбор вида модели и оценка ее параметров

Оценка параметров регрессии осуществляется по методу наименьших квадратов с использованием данных после исключения незначимых параметров. Для проведения анализа с использованием инструмента Регрессия выполняют следующие действия:

выбирают команду СервисАнализ данных;

в диалоговом окне «Анализ данных» выбирают инструмент Регрессия, после чего нажимают ОК;

в диалоговом окне Регрессия в поле «Входной интервал У» вводят адрес диапазона ячеек зависимой переменной, а в другое поле адрес диапазона для Х1 и Х2.

d) устанавливают флажок Метки в первой строке;

Таблица 2

	Объем реализации	Время	Реклама	Цена	Цена конкурента	Индек потр. расход
Объем реализации	1,000
Время	0,600	1,000
Реклама	0,646	-0,016	1,000
Цена	0,233	0,118	-0,003	1,000
Цена конкурента	0,226	-0,070	0,204	0,698	1,000
Индек потреб расход	0,816	0,952	0,273	0,235	0,031	1,000

устанавливают переключатель Новая рабочая книга;

в поле “Остатки” ставят необходимые флажки: Остатки и График остатков;

нажимают ОК. Полученные результаты приведены в таблице 3.

В разделе а) таблицы как R-квадрат обозначен коэффициент детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, находящегося под действием изучаемых факторов. В разделе б) этой же таблицы под Df- число степеней свободы, а F - критерий Фишера. В разделе в) во втором столбце приведены коэффициенты уравнения регрессии ao ,a1 ,a2 , а в четвертом - t-статистики, используемые для проверки значимости коэффициентов. Уравнение регрессии зависимости объема реализации от затрат на рекламу и индекса потребительских расходов получим, таким образом, в виде Y=-1471.314 + 9.568 Х1 + 15.754 Х2

Таблица 3 а)

Регрессионная статистика
Множественный R	0,926888
R-квадрат	0,859121
Нормированный R-квадрат	0,837447
Стандартная ошибка	41,47298
Наблюдения	16

б)

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	136358,3	68179,17	39,63887	2,93E-06
Остаток	13	22360,1	1720,008
Итого	15	158718,4

в)

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	-1471,31	259,766	-5,664
Реклама	9,568414	2,265936	4,222719
Индекс потребительских расходов	15,75287	2,466858	6,385804



Распределение остатков свидетельствует о независимости и их нормальном распределении, а следовательно о правильности выбора типа регрессионной модели.

Вычисленное значение критерия Фишера для доверительной вероятности 0,95 и степеней свободы числителя и знаменателя, соответственно,2 и13 свидетельствует об адекватности модели, поскольку оно больше табличного (4,81). Значение рассчитанного t- критерия при 5% уровне значимости и степени свободы 13 больше соответствующего табличного (1,77), что также говорит о существенности коэффициентов a1 ,a2



3. Модели управления товарными запасами

3.1 Экономико-математическая постановка задачи

Товары, которые находятся в сфере обращения с момента их производства до момента реализации, представляют собой товарные запасы. Наличие товарных запасов служит гарантией непрерывности товарного обращения при появлении случайных или непредвиденных факторов (изменение покупательского спроса, нарушение сроков поставки товаров и т.д.)

В целом управление товарными запасами включает задачи анализа, прогноза, планирования и нормирования. Перечисленные задачи можно решать с помощью методов и моделей теории управления запасами.

Целью теории является разработка методов и моделей выбора таких параметров управления, при которых достигается оптимум какого-либо критерия оптимальности, например минимум издержек обращения, максимум прибыли, минимум времени и т.д.

Состояние систем и объектов управления запасами должно быть при этом описано в любой момент времени с помощью различных методов и моделей, например теории массового обслуживания, теории игр, сетевого планирования и управления, математического программирования, теории корреляции и др.

Показатели и факторы, влияющие на товарные запасы. В зависимости от поставленной задачи величина товарного запаса определяется в натуральном или стоимостном выражении.

Товарные запасы связаны с целым рядом статей издержек обращения: расходами по транспортировке и хранению товаров, заработной плате, аренде и содержанию помещений, амортизации основных средств, их текущему ремонту и т.д. От размера товарных запасов и продолжительности их хранения зависят сумма процентов за кредит и, в некоторых случаях, величина естественной убыли. Товарные запасы, таким образом, прямо или косвенно влияют не только на издержки обращения, но и на доход предприятия, другие экономические показатели.

Важной задачей является изучение влияния различных факторов на товарные запасы, важнейшие из которых - соотношение спроса и предложения, объем товарооборота, потребительские свойства товаров, сложность ассортимента, организация завоза, состояние материально-технической базы, размещение торговой сети и др.

В процессе экономико-математического моделирования учитываются только количественно измеряемые параметры и факторы, которые могут быть формально представлены в модели. Остальные показатели учтитывают при проведении качественного анализа.

Выбор критериев оптимальности. Критерий оптимальности является интегрирующим показателем сформулированной цели управления. По нему оцениваются эффективность функционирования систем управления, а также результативность использования выделенных ресурсов.

В качестве одного из критериев оптимальности могут быть приняты затраты на формирование, хранение и управление запасами при известном ограничении - бесперебойности продажи товаров.

При решении других задач, связанных с управлением запасами (например, поиск оптимального ассортимента товаров, оптимальной формы товародвижения), критерием оптимальности может служить уровень товарного запаса.

Постановка задачи.

Обозначим количество товаров на складе в момент времени t через z(t). Предположим, что спрос на эту товарную группу на период времени Т представляет собой детерминированную величину, то есть известно достаточно точно, что S=Q и продажа

товаров в единицу времени осуществляется равномерно с известной интенсивностью

тыс.руб/день. С течением времени товарные запасы уменьшаются и, достигнув определенного уровня zз в момент времени tз называемой точкой заказа, сигнализируют в системе управления товарными запасами по цепи обратной связи о необходимости подачи заказа величиной S на пополнение запасов. Полагая, что время выполнения заявки заранее оговорено и известно з , поступление и прием товара на складе произойдет в момент времени ti , когда на складе останется лишь страховой запас zс. Положим также, что в начальный момент времени t=0 объем товарных запасов составлял величину zо, а продажа товаров за время t составит t.

Рис. 4 Изменение текущих товарных запасов во времени

3.2 Модели анализа и прогноза товарных запасов

Для анализа сформулированной выше модели выполним некоторые выкладки для вычисления вспомогательных параметров входящих в задачу. Время подачи заказа на пополнение запаса в этом случае составит

tз =( zо - zз)/



а за время выполнения заказа з будет продано товаров

з= zз - zс

В этом случае интервал поставок определяется уравнением

tп=tз + з = ( zо - zc)/ = s/

Задача управления товарными запасами состоит, таким образом, в выборе оптимальной величины заказов товаров sо , интервала между поставками tп, числа поставок за период Т и среднего запаса zo

Если в качестве критерия оптимальности принять суммарные издержки по управлению товарными запасами, то целевую функцию можно записать в виде:

С=(Сз+Сх)min или С=(с1Тs/2 + kQ/s) min,

где Сз - затраты на транспортировку;

Сх - затраты на хранение товара за период Т;

Q - общий объем поставок за период времени Т;

с1 - затраты на хранение одной единицы товара в течение года;

k - затраты на завоз одной партии товара;

s - размер одной партии поставки товара.

Дифференцируя полученную модель по параметру s и приравнивая производную нулю можно получить искомые оптимальные параметры:

размер одной партии поставки товаров so=2kQ/Tc1

средний запас текущего хранения zo= so/2

число поставок за период Т no=Q/ so

интервал между поставками tп=Т/ no

величина минимальных издержек Сo=2QkTc1.

Таким образом экономико-математические модели позволяют строить модели оптимального управления товарными запасами. Графическая иллюстрация связи издержек с размером одной поставки изображена на рисунке.

Рис. 5 Характер издержек от размера партии поставки

Основным выводом из проведенного анализа является то, что отклонение объема поставки от оптимального в любом случае приводит к увеличению издержек.

В реальных условиях для того, чтобы воспользоваться полученными соотношениями необходимо знать характер реальных зависимостей спроса на данную группу товаров от времени то есть =(t). В рыночных условиях эта величина зависит от значительного числа дополнительных параметров и может быть определена только после тщательного изучения соответствующего сегмента рынка.

Вместе с тем, выкладки аналогичные данным показывают необходимость моделирования при управлении товарными запасами, поскольку дают возможность влиять на величину издержек обращения.



4. Системы и модели массового обслуживания

4.1 Классификация систем массового обслуживания

Теория массового обслуживания изучает модели и методы обслуживания (обработки) некоторого объекта на основании заявки на обслуживание в процессе выполнения операций определенным каналом (узлом) обслуживания.

Заявки на обслуживание в силу массовости поступления образуют входящие потоки - до выполнения операций обслуживания при возможном ожидании начала обслуживания, то есть простои в очереди, потоки обслуживания в каналах, а затем выходящие потоки. В целом совокупность элементов входящего и выходящего потоков заявок, очередей, каналов обслуживания образуют простейшую одноканальную систему массового обслуживания (СМО). Ее структурная модель представлена на рис.

Рис. Структурная модель элементарной СМО

Поскольку моменты времени ti и интервалы времени поступления заявок t, продолжительность операции обслуживания tобс, простоя в очереди tоч, длина очереди lоч - случайные величины, то характеристики состояния систем массового обслуживания носят вероятностный характер, а для их описания следует применять методы и модели теории вероятностей.

Рассмотрим наиболее распространенные простейшие потоки заявок, обладающие свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствий.

Стационарность потока характеризуется тем, что вероятность поступления определенного количества требований в течение заданного промежутка времени зависит только от его продолжительности.

Ординарность потока определяется невозможностью одновременного появления двух или более заявок.

Отсутствие последствия заключается в том, что поступление в какой-либо момент заявки не зависит от того, когда и сколько заявок поступило до этого момента.

В этом случае вероятность того, что число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени продолжительностью t, равно k, определяется по закону

Пуассона

Pk (t)=[(t)ke-t]/k!

где - интенсивность потока заявок, то есть число заявок, поступающих в СМО в единицу времени

=1/ [чел/мин; руб/час; кг/час; т/год]

где - среднее значение интервала времени между двумя соседними заявками.

Для такого потока заявок время между двумя соседними заявками распределено экспоненциально с плотностью вероятности

f(t)=e-t

Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания тоже можно считать распределенным экспоненциально

f(tоч)=е-t

где - интенсивность движения очереди, то есть среднее число заявок, приходящихся на обслуживание в единицу времени, =1/tоч; tоч - время ожидания в очереди.

Выходной поток заявок связан с потоком обслуживания в канале, где длительность обслуживания tобс является случайной величиной и подчиняется во многих случаях показательному закону распределения с плотностью

f(tобс)=е-t

где - интенсивность потока обслуживания, то есть среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени,

=1/tобс [чел/мин; руб/час; кг/час; т/год].

Важной характеристикой СМО, объединяющей показатели и является интенсивность нагрузки



=

которая показывает степень согласования указанных потоков заявок.

Одной из наиболее характерных областей применения СМО является торговля.

Классификацию СМО проведем применительно к этой области экономики.

По числу каналов обслуживания n все СМО разделяются на одноканальные (n=1) и многоканальные (n>1). К одноканальным СМО можно отнести практически любой вариант локального обслуживания, например выполняемый одним продавцом, экономистом, торговым аппаратом.

В зависимости от взаимного расположения каналов системы подразделяются на СМО с параллельными и с последовательными каналами. В СМО с параллельными каналами входной поток заявок на обслуживание является общим и поэтому заявки в очереди могут обслуживаться любым свободным каналом. В таких СМО очередь на обслуживание можно рассматривать как общую. В многоканальной СМО с последо- вательным расположением каналов каждый канал может рассматриваться как отдельная одноканальная СМО, или фаза обслуживания. Очевидно, выходной поток обслуженных заявок одной СМО является входным потоком для последующей СМО.

В зависимости от характеристик каналов обслуживания многоканальные СМО подразделяются на СМО с однородными и неоднородными каналами. Отличие состоит в том, что в СМО с однородными каналами заявка может обслуживаться любым свободным каналом, а в СМО с неоднородными каналами отдельные заявки обслуживаются только специально для этой цели предназначенными каналами.

В зависимости от возможности образования очереди СМО подразделяются на два основных типа: СМО с отказами обслуживания и СМО с ожиданием (очередью) обслуживания. В СМО с отказами возможен отказ в обслуживании, если все каналы уже заняты обслуживанием, а образовывать очередь и ожидать обслуживания нельзя.

В СМО с ожиданием, если заявка находит все каналы обслуживания занятыми, то она ожидает, пока не освободится хотя бы один из каналов.

В зависимости от организации потока заявок СМО подразделяются на разомкнутые и замкнутые. В разомкнутых СМО выходной поток обслуженных заявок не связан с входным потоком заявок на обслуживание. В замкнутых СМО обслуженные заявки после некоторого перерыва снова поступают на вход СМО и источник заявок входит в состав СМО. Примером такой системы в торговле является система обслуживания бригадой механиков торгового оборудования, которое через некоторое после ремонта опять может прийти в неисправное состояние и поступает в виде заявки на обслуживание.

Существуют и другие типы СМО: с поступлением групповых заявок, с каналами разной производительности, со смешанным потоком заявок.

Совокупности СМО разных типов, объединенные последовательно и параллельно, образуют более сложные структуры СМО. Такое моделирование позволяет выявить существенные связи , применить методы и модели теории массового обслуживания в исследуемой экономической системе.

4.2 Постановка задачи и модели ее решения

Правильная экономико-математическая постановка задачи в значительной степени определяет эффективность рекомендаций по совершенствованию экономической системы. В связи с этим необходимо выявлять существенные связи проблемы, формировать цели и определять экономические критерии работы системы. В качестве общего интегрального критерия могут выступать материальные затраты, с одной стороны, и затраты времени на обслуживание, с другой стороны.

В процессе постановки задачи необходимо раскрыть взаимосвязи показателей эффективности СМО, которые по своей базовой принадлежности можно разделить на две группы.

Первая группа показателей связана с издержками обращения Сио, которые определяются числом занятых обслуживанием каналов, затратами на содержание СМО, интенсивностью обслуживания, степенью загрузки каналов, эффективностью их использования, пропускной способностью СМО и др.

Вторая группа показателей определяется издержками собственно заявок Сиз, поступающих на обслуживание, которые образуют входящий поток и связаны с такими показателями, как длина очереди, время ожидания обслуживания, вероятность отказа в обслуживании, время пребывания заявки в СМО и т.д.

Эти группы показателей противоречивы в том смысле, что улучшение показателей одной группы, например, сокращение длины очереди или времени ожидания в очереди, в частности путем увеличения каналов обслуживания, связано с ухудшением показателей другой группы, поскольку это может привести у увеличению времени простоя каналов обслуживания, затрат на их содержание и др. В связи с этим при формализации задач обслуживания естественно стремление построить СМО таким образом, чтобы достичь разумного компромисса между показателями собственно заявок и использованием возможностей системы. С этой целью необходимо выбрать обобщенный показатель эффективности СМО, включающий требования и возможности обеих групп. Таким показателем может быть критерий экономической эффективности, включающий как издержки обращения Сио, так и издержки заявок Сиз, которые будут иметь оптимальное значение при минимуме общих затрат С. На этом основании целевую функцию задачи можно записать так:

С = (Сио + Сиз) min

Поскольку издержки обращения включают затраты, связанные с эксплуатацией СМО (Сэкс) и простоем каналов обслуживания (Спр), а издержки заявок включают потери, связанные с уходом необслуженных заявок (Сиз) и с пребыванием в очереди (Соч), то целевую функцию можно переписать с учетом общих показателей СМО таким образом:

С={(Спр*Nсв+Сэкс*Nз) + [Соч*Робс*(Tоч+Tобс) +Сиз*Ротк*]} min

В зависимости от поставленной задачи управляемыми показателями могут быть: количество каналов обслуживания, организация каналов обслуживания (параллельно, последовательно, смешенным образом) и др. Часть показателей в задаче фигурирует в качестве неуправляемых, они обычно являются исходными данными. Следует заметить, что в качестве критерия эффективности в целевой функции может быть товарооборот торгового предприятия или, например, рентабельность.

После построения целевой функции необходимо определить условия решения задачи, то есть найти ограничения, установить исходные значения показателей, выделить неуправляемые показатели и построить совокупность моделей взаимосвязи всех показателей анализируемого типа СМО.

Использование пакета прикладных программ EXCEL

В некоторых случаях при решении экономических задач методами математического моделирования приходится решать системы линейных уравнений.

Рассмотрим возможности использования для этих целей современных информационных технологий, в частности пакета прикладных программ Excel.

1.Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Решение систем линейных уравнений этим методом использует известные формулы хi = |Ai| / |A|, где А - определитель системы, |Ai | - определитель полученный заменой соответствующего столбца столбцом свободных членов.

Пример: решим с помощью метода Крамера следующую систему уравнений

0,5 х1 -0,4х2 +0,8х3 - 0,1х4 = 1

0,8 х1 -0,1х2 +0,3х3 - 0,5х4 = 1,2

0,3 х1 +0,4х2 +0,2х3 +0,1х4 = 0,9

0,9 х1 -0,3х2 -0,2х3 - 0,3х4 = 0,1

Выполним следующую последовательность действий:

разместим коэффициенты системы по столбцам в ячейках с А1 по D4;

поместим курсор в ячейку А6, в которой наберем =МОПРЕД(А1:D4) - получим значение |A|, запишем это значение в В6;

заменим в столбце А1:А4 численные значения на столбец свободных членов и поместив курсор в ячейку А5 запишем значение ячейки А6 - получим |А1|;

повторим предыдущую операцию для 2-4 столбцов - получим |А2|, |А3|, |А4|;

поместим курсор в ячейку Е1, наберем Х1= ;

поместим курсор в ячейку F1, наберем = А5/B6, получим значение Х1;

повторив две предыдущих операции для ячеек Е2-Е4 и F2-F4, получим Х2-Х4.

A B C D E F

	-0,4	0,8	1	x1=	0,577473
0,8	-0,1	0,3	1,2	x2=	0,791418
0,3	0,4	0,2	0,9	x3=	1,438021
0,9	-0,3	-0,2	0,1	x4=	-0,87664
0,0969	0,1328	0,2413	-0,1471
-0,1471	0,1678				Иванов А.А.

В таблице изображены конечные результаты расчета. Поскольку каждый студент выполняет индивидуальное задание, то в ячейке F6 необходимо указать свою фамилию и инициалы.

2.Решение систем линейных уравнений матричным методом.

Решение систем линейных уравнений этим методом предполагает запись системы в матричном виде АХ=B, где А - матрица составленная из коэффициентов системы. Решение системы запишется в виде Х=А-1B

В качестве примера решим ту же систему уравнений, что и ранее.

Выполним следующую последовательность действий:

разместим коэффициенты системы по столбцам в ячейках с А1 по D4;

выделим диапазон для размещения обратной матрицы с Е1 по Н4;

в первой ячейке выделенного диапазона введем =мобр(А1:D4);

нажмем клавиши CTRL+SHIFT+ENTER, в выделенном диапазоне получим обратную матрицу;

введем в следующий столбец свободные члены сI1 по I4;

выделим диапазон для получения решения сJ1 по J4;

в первой ячейке выделенного диапазона введем {=МУМНОЖ(Е1:Н4,I1:I4)};

нажмем клавиши CTRL+SHIFT+ENTER, в выделенном диапазоне получим результат.

A B C D E F G H I J

0,500	-0,400	0,800	-0,100	0,244	-0,536	0,959	1,132	1,000	0,577
0,800	-0,100	0,300	-0,500	-0,846	0,882	1,311	-0,751	1,200	1,317
0,300	0,400	0,200	0,100	0,805	0,429	0,232	-0,906	0,900	1,438
0,900	-0,300	-0,200	-0,300	1,043	-2,777	1,412	1,418	0,100	-0,877
ИВАНОВ А.А.



3.Задача оптимального использования ресурсов (задача линейного программирования).

Пример: фабрика имеет в своем распоряжении определенное количество ресурсов: рабочую силу, сырье и оборудование в количестве, соответственно, 80(чел/дн)

480(кг) и 130(станко/час). Фабрика может выпускать ковры четырех видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого вида и доходах получаемых предприятием от единицы каждого вида товаров приведена в таблице.

Ресурсы	Норма расхода ресурса	Наличие ресурсов
	«Лужайка»	«Силуэт»	«Детский»	«Дымка»
Труд Сырье Оборудование	7 5 2	2 8 4	2 4 1	6 3 8	80 480 130
Цена(тыс.руб)	3	4	3	1

Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором будет максимальной общая стоимость продукции.

Обозначим Х1,Х2 ,Х3 ,Х4 - количество ковров каждого типа.

В рамках экономико-математической модели эта задача запишется в виде:

Целевая функция - выражение, которое необходимо максимизировать

f(x)= 3Х1+4Х2 +3Х3 +Х4

Ограничения по ресурсам

7Х1+2Х2 +2Х3 +6Х480

5Х1+8Х2 +4Х3 +3Х4480

2Х1+4Х2 +Х3 +8Х4130

Х1,Х2 ,Х3 ,Х40

Для решения задачи необходимо:

создать форму для ввода условий задачи;

указать адреса ячеек, в которые будет помещен результат решения (изменяемые ячейки);

ввести исходные данные;

ввести зависимость для целевой функции;

ввести зависимости для ограничений;

установить целевую ячейку;

ввести ограничения;

ввести параметры для решения задачи линейного программирования.

Размещено на Allbest.ru

...