Изучение математических методов в экономике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа по математическим методам в экономике для студентов очно-заочной (вечерней) и заочной форм обучения

Задача №1. В пространстве трех товаров рассмотреть бюджетное множество при векторе цен и доходе . Описать его и его границу с помощью обычных и векторных неравенств и равенств, изобразить бюджетное множество и его границу графически. Вычислите объем бюджетного множества. Данные соответствующие вашему варианту брать в таблице:

Вариант			Вариант			Вариант
1.		42	2.		24	3.		60
4.		60	5.		120	6.		36
7.		120	8.		48	9.		90
10.		48

Задача №2. Даны вектор , непроизводственного потребления и матрица , межотраслевого баланса. Найти вектор валового выпуска, обеспечивающий данный вектор потребления.

Вариант	С	А	Вариант	С	А
1.			2.
3.			4.
5.			6.
7.			8.
9.			10.

Задача №3. Решить графическим методом задачи с двумя переменными. Данные, соответствующие вашему варианту брать в таблице:

Вариант	Задача	Вариант	Задача
1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.

Задача №4. На двух базах находится однородный товар в количестве тонн соответственно. Товар требуется развести по трем магазинам . Потребность каждого магазина в товаре составляет тонн соответственно. Затраты на перевозку товара с -й базы в -й магазин заданы матрицей тарифов . Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной. Данные соответствующие вашему варианту брать в таблице:

вариант						С
1.	200	300	150	250	100
2.	250	450	300	150	250
3.	450	150	100	350	150
4.	250	250	150	300	50
5.	250	300	150	50	350
6.	300	170	150	70	250
7.	220	140	70	100	190
8.	340	210	110	240	200
9.	340	120	70	90	300
10.	260	310	170	150	250

Предмет изучения дисциплины «Экономико-математические методы и модели»

Предметом изучения дисциплины «Экономико-математические методы и модели» являются количественные характеристики экономических процессов, имеющих место в промышленном производстве, изучение их взаимосвязей.

Основным понятием курса является понятие математической модели. Математическая модель - это система математических уравнений, неравенств, формул и различных математических выражений, описывающих реальный объект, составляющие его характеристики и взаимосвязи между ними. Процесс построения математической модели называется математическим моделированием. Моделирование и построение математической модели экономического объекта позволяют свести экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных решений.

Так как в данном курсе рассматриваются экономические задачи, то строятся экономико-математические модели включающие в себя:

· выбор некоторого числа переменных величин для формализации модели объекта;

· информационную базу данных объекта;

· выражение взаимосвязей, характеризующих объект, в виде уравнений и неравенств;

· выбор критерия эффективности и выражение его в виде математического соотношения - целевой функции.

Для принятия эффективных решений в планировании и управлении производством необходимо экономическую сущность исследуемого экономического объекта формализовать экономико-математической моделью, т.е. экономическую задачу представить в виде математической задачи, которая может быть решена математическими методами.

Содержанием любой экономико-математической модели является выраженная в формально-математических соотношениях экономическая сущность условий задачи и поставленной цели. В модели экономическая величина представляется математическим соотношением, однако не всегда математическое соотношение имеет экономический смысл. Описание экономических условий математическими соотношениями - результат того, что модель устанавливает связи и зависимости между экономическими параметрами или величинами.

По содержанию различают экономико-математические и экономико-статистические модели. Они различаются по характеру функциональных зависимостей, связывающих их величины. Экономико-статистические модели связаны с показателями, сгруппированными различными способами. Статистические модели устанавливают зависимость между показателями и определяющими их факторами в виде линейной или нелинейной функции. Экономико-математические модели включают в себя систему ограничений, целевую функцию.

Система ограничений состоит из отдельных математических уравнений или неравенств, которые называются балансовыми уравнениями или неравенствами.

Целевая функция связывает между собой различные величины модели. Целевая функция - функция многих переменных величин.

Критерий оптимальности - экономический показатель, выражающийся при помощи целевой функции через другие экономические показатели. Одному и тому же критерию оптимальности могут соответствовать несколько разных, но эквивалентных целевых функций. Модели с одной и той же системой ограничений могут иметь различные критерии оптимальности и различные целевые функции.

Решением экономико-математической модели, или допустимым планом называется набор значений неизвестных, который удовлетворяет ее системе ограничений. Модель может иметь множество решений, или множество допустимых планов, среди которых нужно выделить единственный, удовлетворяющий и системе ограничений, и целевой функции. Такой допустимый план называется оптимальным. Среди всех допустимых планов, удовлетворяющих целевой функции, как правило имеется единственный план, для которого целевая функция и критерий оптимальности имеют максимальное или минимальное значение. Если модель задачи имеет множество оптимальных планов, то для каждого из них значение целевой функции одинаково.

Таким образом, для принятия оптимального решения любой экономической задачи необходимо построить ее экономико-математическую модель, по структуре включающую в себе систему ограничений, целевую функцию, критерий оптимальности и решение.

Методика построения экономико-математической модели состоит в том, чтобы экономическую сущность задачи представить математически, используя различные символы, переменные и постоянные величины, индексы и другие обозначения.

Все условия задачи необходимо записать в виде уравнений или неравенств. Поэтому сначала необходимо определить систему переменных величин, которые для конкретной задачи могут обозначать искомый объем производства продукции на предприятии, количество перевозимого груза поставщиками конкретным потребителям и т.д.

Ограничения модели должны отражать все условия, формирующие оптимальный план. Однако практически учесть все условия задачи для достижения цели невозможно, достаточно учесть основные условия. Конечно, полученная модель будет упрощенной по сравнению с реальной, которая отражала бы все условия поставленной задачи.

В упрощенном виде экономико-математическая модель представляет собой:

· систему ограничений - равенства или неравенства;

· условия неотрицательности переменных, исходя из экономической или физической сущности переменных;

· целевую функцию.

Например, построим модель оптимального планирования.

Пусть предприятие из m видов ресурсов производит n видов продукции. Допустим, что для производства одной единицы -го вида продукции расходуется единиц -го вида ресурса. Матрица с элементами называется технологической матрицей или матрицей норм расхода.

Пусть есть величина удельной прибыли от реализации одной единицы -й продукции, они образуют вектор-матрицу . Тогда произведение является величиной прибыли, полученной при реализации единиц продукции.

Пусть - количество единиц -го ресурса , имеющегося на складе, эти величины образуют вектор-матрицу . Тогда неравенство означает необходимость учитывать ограниченность запасов ресурсов. Если это неравенство выполняется, то план является реальным или допустимым.

Рассмотрим следующую задачу оптимального планирования: найти такой план производства , который бы был допустимым и обеспечивал наибольшую прибыль из всех допустимых планов. Эту задачу называют линейной моделью оптимального планирования и записывают следующим образом:

,

где - прибыль.

В математике подобная задача называется задачей линейного программирования. Множество значений переменных, удовлетворяющих линейным ограничениям задачи, называется допустимым множеством. Линейная функция называется целевой функцией.

Задача линейного программирования

В общем случае задача линейного программирования записывается так, что ограничениями могут быть как уравнения, так и неравенства, а переменные могут быть как неотрицательными, так и произвольными. Если все ограничения являются уравнениями, а все переменные неотрицательны, то задачу линейного программирования называют канонической.

Каноническая задача линейного программирования в координатной форме имеет вид

Каноническая задача линейного программирования в векторной форме имеет вид

.

Так как в большинстве методов решения задач линейного программирования предполагается, что система ограничений состоит из уравнений и естественных условий неотрицательности переменных, а при составлении математических моделей экономических задач ограничения формируются в основном в системы неравенств, необходимо выполнить переход от системы неравенств к системе уравнений. Это можно проделать следующим образом.

К левой части неравенства прибавляют некоторую величину такую, чтобы неравенство превратилось в равенство , здесь . Переменная величина называется дополнительной переменной.

Дополнительные переменные вводятся в целевую функцию с нулевыми коэффициентами и поэтому не влияют на ее значение.

Если возникает необходимость перейти в задаче от нахождения минимума к нахождению максимума и наоборот, достаточно изменить знаки всех коэффициентов целевой функции на противоположные.

Наиболее известными методами решения задачи линейного программирования является графический метод и симплекс-метод. Теоретической основой линейного программирования являются две теоремы:

Теорема №1. Задача линейного программирования имеет оптимальное решение тогда и только тогда, когда целевая функция ограничена на допустимом множестве в направлении экстремума.

Теорема №2. Если экстремум целевой функции в задаче линейного программирования достигается, то он достигается в некоторой угловой точке допустимого множества.

Графический метод решения задач линейного программирования

Рассмотрим задачу линейного программирования:



Решение: На плоскости двух переменных построим допустимое множество , ограниченное линиями

Прямая АВ задается уравнением , а прямая ВС уравнением . Допустимое множество является четырехугольником АВСО. По теореме №2 максимальное значение целевая функция достигает в одной из вершин четырехугольника: О(0,0), А(0,3), С(2,0). Координаты вершины В находим из системы уравнений:

.

Вычислим значение целевой функции в этих точках , , . Максимальное значение равно и достигается он при и .

Однако чаще данную задачу решают следующим способом. Целевая функция при фиксированных значениях является уравнением прямой линии . Построим прямую , она пройдет через начало координат. Все остальные прямые будут параллельны данной прямой, они называются линиями уровня.

Из курса аналитической геометрии известно, что коэффициенты при переменных в уравнении прямой являются координатами нормального вектора к этой прямой. Значит, нормальный вектор линий уровня в данном случае имеет координаты . Нормальный вектор показывает направление, в котором значения целевой функции возрастают. Поэтому в поисках максимума нужно двигать линию уровня в направлении нормального вектора.

Для данного случая, последней точкой в которой линия уровня коснется области допустимых решений будет точка . Значит, максимум функции

.

Если в задаче нужно было найти минимум линейной функции, то линию уровня надо было двигать в сторону, противоположную направлению нормального вектора.

Линия уровня, имеющая общие точки с областью допустимых решений и расположенная так, что область допустимых решений целиком находится по одну сторону от данной линии, называется опорной прямой.

Из курса математического анализа следует, что если допустимое множество в задаче линейного программирования ограничено, то целевая функция имеет на нем и минимум и максимум. Если же допустимое множество неограниченно, то экстремума может и не быть, тогда задача линейного программирования не имеет решения.

Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Симплекс-метод является аналитическим методом решения задач линейного программирования. Пусть система ограничений задается системой линейных уравнений

среди неотрицательных решений этой системы надо найти такие, которые максимизировали (минимизировали) линейную функцию . Найдем ранг данной системы, пусть ранг равен . Выразим переменные через остальные переменные:

где , , …, .

Переменные называются базисными, а остальные переменные называются свободными. Подставляя в целевую функцию вместо базисных переменных их выражения через свободные переменные получим . Пологая, что все свободные переменные равны нулю, найдем значения базисных переменных: , ,…., . Полученное решение является допустимым - оно называется базисным. Для полученного базисного решения значение целевой функции . От полученного базиса можно перейти к другому базису с таким расчетом, чтобы значение не увеличивалось.

Рассмотрим пример: решить задачу линейного программирования



,

.

Перепишем систему линейных ограничений в виде

,

введя новые балансовые переменные . Найдем ранги основной и расширенной матрицы системы . Ранги совпадают и равны двум, следовательно система совместна и две базисные переменные (например ) можно выразить через три свободные (): . Целевую функцию также выразим через свободные переменные , тогда при , , найдем значения базисных переменных , . Таким образом найдено допустимое решение системы . При данном допустимом решении целевая функция .

Выясним, можно ли увеличить значение ; увеличение приведет к уменьшению целевой функции т.к. перед переменной стоит знак минус, а увеличение приведет к увеличению целевой функции. Поэтому увеличим так, чтобы базисные переменные не стали отрицательными, оставив равными нулю. Из уравнения следует, что можно увеличить до двух, в результате получим новые значения переменных , , , , или .

Примем за свободные переменные и выразим через них . Из уравнения получим . Подставим это выражение для в уравнение , получим . Значение целевой функции при новом допустимом решении найдем подставив выражение для в , получим , при новом допустимом решении

так как свободные переменные входят в целевую функцию с отрицательными знаками, дальнейшее увеличение невозможно. Значит, решение является оптимальным и .

Симплексные таблицы

Пусть система ограничений приведена к единичному базису:

,

целевая функция приведена к виду

.

Представим эти данные в виде таблицы:

Базисные переменные

Свободные члены

…

…

…

…

1

…

0

…

0

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

0

…

1

…

0

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

0

…

0

…

1

…

…

0

…

0

…

0

…

…

Выберем разрешающий столбец из условия: и хотя бы один из элементов . Затем выберем разрешающую -ю строку из условия для . Произведем пересчет элементов разрешающей -й строки по формуле

,

где . Элементы всех остальных строк вычисляем по формуле

где .

Если после проделанных действий:

1. найдется хотя бы одно отрицательное значение и в каждом столбце с таким значением окажется хотя бы один положительный элемент, то можно улучшить решение, проделав еще одну итерацию;

2. найдется хотя бы одно отрицательное значение , столбец которого не содержит положительных элементов, тогда целевая функция не ограничена в области допустимых решений т.е. ;

3. все значения , тогда получено оптимальное решение.

Целочисленное программирование

При решении задач финансового менеджмента и бизнеса возникает необходимость получения целочисленного решения. Такие задачи называются целочисленными задачами линейного программирования.

Задача целочисленного программирования математически записывается следующим образом

.

Для решения задач целочисленного программирования разработаны специальные методы, к ним относится , например, метод Гомори.

Смысл метода Гомори заключается в следующем. Сначала находится решение задачи без условия целочисленности. Если в результате получен целочисленный план, то задача считается решенной. В противном случае к линейным ограничениям задачи добавляется еще одно ограничение, которое строится следующим способом. Выбирается -е уравнение из последней симплексной таблицы, содержащей оптимальное решение,

.

Выразим из уравнения :

,

числа и заменим их суммами их целых и дробных частей

,

здесь и - целые части, а и - дробные части чисел и .

Предположим, что все - целые числа, тогда и разность является целым числом. Чтобы целым числом стало и необходимо, чтобы целым числом оказалась разность

.

Допустим, что разность больше нуля, тогда т.к. , и указанная разность не может быть целым числом.

Следовательно, условие целочисленности может быть обеспечено только выполнением неравенства

.

Данное условие и будет добавочным ограничением в задаче линейного программирования. Для его использования в симплекс-методе введем дополнительную переменную , после чего неравенство станет уравнением

.

Чаще это неравенство переписывают в виде

.

Последовательно добавляя новые ограничения к решению задачи, получаем целочисленные координаты оптимального плана, если только не выяснится в какой-либо момент, что задача решения не имеет. В этом случае исходная задача целочисленного решения не имеет.

Общие понятия балансового метода.

Балансовые модели, как статические, так и динамические, широко применяются при экономико-математическом моделировании экономических систем и процессов, в том числе и при решении маркетинговых задач. В основе создания таких моделей лежит балансовый метод, т. е. взаимное сопоставление имеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них.

Основу информационного обеспечения балансовых моделей в экономике составляет матрица коэффициентов затрат ресурсов по конкретным направлениям их использования. Например, в модели межотраслевого баланса такую роль играет так называемая технологическая матрица, т. е. таблица межотраслевого баланса, составленная из коэффициентов (нормативов) прямых затрат на производство единицы продукции в натуральном выражении. По многим причинам исходные данные реальных хозяйственных объектов не могут быть использованы в балансовых моделях непосредственно, поэтому подготовка информации для ввода в модель является весьма серьезной проблемой.

Так, при построении модели межотраслевого баланса используется специфическое понятие чистой (или технологической) отрасли» т. е. условной отрасли, объединяющей все производство данного продукта независимо от ведомственной (административной) подчиненности и форм собственности предприятий и фирм.

Балансовые модели относятся к тому типу экономике - математических моделей, которые называются матричными. В матричных моделях балансовый метод получает строгое математическое выражение. Эти модели объединяет не только общий формальный (матричный) принцип построения и единство системы расчетов, ной аналогичность ряда экономических характеристик. Это позволяет рассматривать структуру, содержание и основные зависимости матричных моделей на примере одной из них, а именно на примере межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве. Данный баланс отражает производство и распределение общественного продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.

Схема межотраслевого баланса (МОБ).

Рассмотрим схему МОБ в разрезе его крупных составных частей. Выделяются четыре части, имеющие различное экономическое содержание; они называются квадрантами баланса и на схеме обозначены римскими цифрами.

Первый квадрант МОБ - это шахматная таблица межотраслевых материальных связей. Показатели, помещенные на пересечениях строк и столбцов, представляют собой величины межотраслевых потоков продукции и в общем виде обозначаются Хij где i и j - соответственно номера отраслей производящих и потребляющих. Таким образом, первый квадрант по форме представляет собой квадратную матрицу порядка n, сумма всех элементов которой равняется годовому фонду возмещения затрат средств производства в материальной сфере. межотраслевой баланс затрата транспортный

Во втором квадранте представлена конечная продукция всех отраслей материального производства. При этом, под конечной, понимается продукция выходящая из сферы производства в область конечного использования (на потребление и накопление). В таблице этот раздел дан, укрупнено, в виде одного столбца величин Yi. В развернутой схеме баланса конечный продукт каждой отрасли показан дифференцированно по направлениям использования. Итак, второй квадрант характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода, а в развернутом виде характеризует также распределение национального дохода на фонд накопления и фонд потребления, структуру потребления и накопления по отраслям производства и потребителям.

Третий квадрант МОБ также характеризует национальный доход, но со стороны его стоимостного состава как сумму чистой продукции и амортизации; чистая продукция понимается при этом как сумма оплаты труда и чистого дохода отраслей. Сумму амортизации (сi) и чистой продукции (vj + тj) некоторой j-ой отрасли будем называть условно-чистой продукцией этой отрасли и обозначать в дальнейшем Zj.

Четвертый квадрант баланса находится на пересечении столбцов второго квадранта (конечной продукции) и строк третьего квадранта (условно-чистой продукции). Этим определяется содержание квадранта; он отражает конечное распределение и использование национального дохода. В результате перераспределения первоначально созданного национального дохода образуются конечные доходы населения, государства. Данные четвертого квадранта важны для отражения в межотраслевой модели баланса доходов и расходов населения, текущих затрат непроизводственной сферы, для анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей. Общий итог четвертого квадранта, так же как второго и третьего, должен быть равен созданному за год национальному доходу.

Таким образом, в целом межотраслевой баланс в рамках единой модели объединяет балансы отраслей материального производства, баланс совокупного общественного продукта, балансы национального дохода, финансовый, доходов и расходов населения. Следует особо отметить, что валовая продукция отраслей, хотя она и не входит в рассмотренные выше четыре квадранта, представлена на принципиальной схеме МОБ в двух местах: в виде столбца, расположенного справа от второго квадранта, и в виде строки ниже третьего квадранта. Эти столбец и строка валовой продукции замыкают схему МОБ и играют важную роль как для проверки правильности заполнения квадрантов (т. е. проверки самого баланса), так и для разработки экономико-математической модели межотраслевого баланса. Если, как показано на схеме, обозначить валовой продукт некоторой отрасли буквой X с нижним индексом, равным номеру данной отрасли, то можно записать два важнейших соотношения, отражающих сущность МОБ и являющихся основой его экономико-математической модели.

Во-первых, рассматривая схему баланса по столбцам, можно сделать очевидный вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно-чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде следующего соотношения:

Напомним, что величина условно-чистой продукции Zj равна сумме амортизации, оплаты труда и чистого дохода j-ой отрасли. Соотношение (3.1) охватывает систему из п уравнений, отражающих стоимостной состав продукции всех отраслей материальной сферы.

Во-вторых, рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли;

Формула (3.2) описывает систему из п уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.

Просуммируем по всем отраслям уравнения (3.1), в результате получим

Аналогичное суммирование уравнений (3.2) дает:

Левые части обоих равенств равны между собой, так как представляют собой весь валовой общественный продукт. Первые слагаемые правых частей этих равенств также равны между собой, их величина равна итогу первого квадранта. Следовательно, должно соблюдаться соотношение:

Левая часть уравнения (3.3) есть сумма третьего квадранта, а правая часть - итог второго квадранта. В целом же это уравнение показывает, что в межотраслевом балансе соблюдается важнейший принцип единства материального и стоимостного состава национального дохода.

Экономико-математическая модель межотраслевого баланса.

Основу информационного обеспечения модели межотраслевого баланса составляет технологическая матрица, содержащая коэффициенты прямых материальных затрат на производство единицы продукции. Эта матрица является также основой экономико-математической модели межотраслевого баланса. Предполагается, что для производства единицы продукции в j-й отрасли требуется определенное количество затрат промежуточной продукции i-й отрасли, равное aij. Оно не зависит от объема производства ву j-й отрасли и является довольно стабильной величиной во времени.

Величины aij называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:

aij =

i,j = 1,2,…,n

Определение 1. Коэффициент прямых материальных затрат аij - показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.

С учетом формулы (3.4) систему уравнений баланса (3.2) можно переписать в виде

i=1,2,…,n

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат A = (aij), вектор-столбец валовой продукции X и вектор-столбец конечной продукции Y:

то система уравнений (3.5) в матричной форме примет вид:

X= AX+Y

Система уравнений (3.5), или в матричной форме (3.6) называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью В.Леонтьева) или моделью «затраты - выпуск».

1) задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Xi), можно определить объем конечной продукции каждой отрасли (Yj):

Y = (E-A)X

2) задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi)

X = (E-A)-1Y

3) задав для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых; в этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели (3.6), а системой линейных уравнений (3.5).

В формулах (3.7) и (3.8) E обозначает единичную матрицу n-го порядка, а (Е - А)-1 обозначает матрицу, обратную к матрице (Е - А). Если определитель матрицы (Е - А) не равен нулю, т. е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через:

B = (E-A)-1

тогда систему уравнений в матричной форме (3.8) можно записать в виде:

X=BY

Элементы матрицы В будем обозначать через bij, тогда из матричного уравнения (3.8') для любой i-й отрасли можно получить следующее соотношение:

i =1, 2,…,n

Из соотношений (3.9) следует, что валовая продукция выступает как взвешенная сумма величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты bij, которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли. В отличие от коэффициентов прямых затрат аij коэффициенты bij| называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств - производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

Определение 2. Определение коэффициента полных затрат - коэффициент полных материальных затрат bij показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

Коэффициентами полных материальных затрат можно пользоваться, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей:

i=1,2,…,n

где и - изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции соответственно.

Модель Неймана.

Модель Неймана считается более общей. Рассмотрим экономику, описываемую парой (C, K), где С пространство товаров, а K -- множество производственных процессов, перерабатывающих некоторые количества товаров и другие количества тех же товаров. Под товаром (продуктом), понимается как первичные факторы производства (земля, труд) и сырье (нефть, усоли), так и конечные продукты производства, услуги и т.п.

Пусть товаров всего п, тогда С есть неотрицательный ортант n-мерного пространства. Множество K производственных процессов имеет в своей основе конечное число процессов (Q1, …,Qm), которые называются базисными. Каждый базисный процесс представляет собой пару векторов Qj = (Аj, Вj) из С. (Векторы Аj , Вj -- это векторы-столбцы, но векторы-столбцы мы из типографских соображений будем записывать строками.) Содержательный смысл процесса Qj таков: он затрачивает вектор Аj = (аij) и выпускает вектор Bj=(bij), т.е. перерабатывает вектор Аj в вектор Bj. По смыслу все векторы Аj, Вj неотрицательны. Обозначив A=(A1 ..., Аm), В= (B1...... Bm), получаем, что технология нашей модели задается парой неотрицательных матриц А, В; матрица А называется матрицей затрат, В - матрицей, выпуска,

Комбинируя базисные процессы, можно получить новые процессы. Так, возьмем неотрицательные числа zi, i=1.....т и определим новый производственный процесс

ziQ1+…+zmQm

в котором затраты есть вектор , а выпуск есть вектор; полученный производственный процесс кратко обозначим (АZ, ВZ). Вектор-столбец Z= (zi) называется вектором интенсивностей. Получившееся более широкое множество процессов и обозначим К.

Можно заметить, что в то время как базисные процессы Q1 ..., Qт соответствуют: реальным отраслям, заводам, фабрикам, каждый элемент (X, У), это есть некоторый фиктивный процесс, описывающий определенный режим совместной работы этих отраслей, заводов, фабрик. При этом X есть вектор затрат, Y-- вектор выпуска.

Рассмотренная ранее модель Леонтьева действительно есть частный случай модели Неймана при п = т, В=Е. Основное отличие модели Неймана состоит в том, что всякий базисный процесс может выпускать не один продукт. Ясно также, что модель Неймана линейна.

Коэффициенты прямых и полных затрат, связь между ними.

Переходя к анализу модели межотраслевого баланса, необходимо прежде всего рассмотреть основные свойства матрицы Коэффициентов прямых материальных затрат А. Коэффициенты прямых затрат по определению являются неотрицательными, следовательно, матрица А в целом может быть названа неотрицательной: А > 0. Так как процесс воспроизводства нельзя было бы осуществлять, если бы для собственного воспроизводства в отрасли затрачивалось большее количество продукта, чем создавалось, то очевидно, что диагональные элементы матрицы А меньше единицы: aii< 1;

Система уравнений межотраслевого баланса является отражением реальных экономических процессов, в которых содержательный смысл могут иметь лишь неотрицательные значения валовых выпусков. Вектор валовой продукции состоит из неотрицательных компонент и называется неотрицательным: .

Встает вопрос: при каких условиях экономическая система способна обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо ввести понятие продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат.

Будем называть неотрицательную матрицу А продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор что Х>АХ.

Очевидно, что условие (3.11) означает существование положительного вектора конечной продукции Y > 0 для модели межотраслевого баланса (3.6).

Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

· Матрица (Е -А) неотрицательно обратима, т. е. существует обратная матрица (Е -А)-1 > 0.

· Матричный ряд Е+ А +А2+А +...= сходится, причем его сумма равна обратной матрице (Е -А)-1.

· Наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, т. е. решение характеристического уравнения:

|Е-А|=0,

строго меньше единицы.

· Все главные миноры матрицы (Е -А), т. е. определители матриц, образованных элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до n, положительны.

Более простым, но только достаточным признаком продуктивности матрицы А является ограничение на величину ее нормы, т. е. величину наибольшей из сумм элементов матрицы А в каждом столбце. Если норма матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна; повторим, что данное условие является только достаточным, и матрица А может оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы.

Если обозначить наибольший по модулю корень характеристического уравнения, приведенного в условии 3 продуктивности матрицы А, через , то он может служить оценкой общего уровня коэффициентов прямых материальных затрат, а следовательно, величина (1 - ) характеризует остаток после затрат, т. е. продуктивность. Чем больше (1 -), тем больше возможности достижения других целей, кроме текущего производственного потребления. Другими словами, чем выше общий уровень коэффициентов матрицы А, тем больше наибольшее по модулю собственное значение и ниже уровень продуктивности, и наоборот, чем ниже общий уровень коэффициентов матрицы А, тем меньше наибольшее по модулю собственное значение и выше продуктивность.

Перейдем к анализу матрицы коэффициентов полных материальных затрат, т. е. матрицы В = (Е - А)-1. Согласно определению 2, данному в предыдущем разделе, коэффициент этой матрицы bij показывает, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли, чтобы получить единицу конечной продукции j-и отрасли.

Дадим другое определение коэффициента полных материальных затрат исходя из того, что кроме прямых затрат существуют косвенные затраты той или иной продукции при производстве продукции данной отрасли. Рассмотрим в качестве примера формирование затрат электроэнергии на выпуск стального проката, при этом ограничимся технологической цепочкой «руда - чугун - сталь - прокат». Затраты электроэнергии, при получении проката из стали будут называться прямыми затратами. Те же затраты при получении стали из чугуна будут называться косвенными затратами 1-го порядка, а затраты электроэнергии при получении чугуна из руды будут показываться косвенными затратами электроэнергии на выпуск стального проката 2-го порядка и т. д. В связи со сказанным выше имеет место определение 3; коэффициентом полных материальных затрат Сij называется сумма прямых затрат и косвенных затрат продукции i-й отрасли для производства единицы продукции j-й отрасли через все промежуточные продукты на всех предшествующих стадиях производства. Если коэффициент косвенных материальных затрат А-го порядка обозначить через akij, то справедливо равенство

Cij=aij+aij(1)+aij(2)+…+aij(k)+…,

а если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов полных материальных затрат С = (сij) и матрицы коэффициентов косвенных материальных затрат различных порядков А(k) = (aij(k)), то поэлементную формулу (3.12) можно записать в более общем матричном виде:

C=A+A(1)+A(2)+…+A(k)+…

Исходя из содержательного смысла коэффициентов косвенных материальных затрат, можно записать ряд матричных соотношений:

A(1)=AA=A2 A(k)=AA(k-1)=AAk+Ak+1

с использованием которых матричная формула (3.13) может быть переписана в следующем виде:

C=A+A2+A3+…=

Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат А является продуктивной, то по условию 2 продуктивности существует матрица В - (Е - А)-1, являющаяся суммой сходящегося матричного ряда

В=(Е-А)-1=Е+А+А2+ …=

Сопоставление соотношений (3.14) и (3.15) устанавливает следующую связь между двумя матрицами коэффициентов полных материальных затрат:

В = Е + С, или в поэлементной записи:

bij=

Данная связь определяет экономический смысл различия между коэффициентами матриц В и С: в отличие от коэффициентов матрицы С, учитывающих только затраты на производство продукции, коэффициенты матрицы В включают в себя кроме затрат также саму единицу конечной продукции, которая выходит за сферу производства.

Перейдем теперь к вычислительным аспектам решения задач на основе модели межотраслевого баланса. Основной объем расчетов по этой модели связан с вычислением матрицы коэффициентов полных материальных затрат В. Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат А задана и является продуктивной, то матрицу В можно находить либо по формулам обращения матриц, приводимым в курсе алгебры, либо приближенным способом, используя разложение в матричный ряд(3.15).

Рассмотрим первый способ нахождения матрицы В. При этом способе предварительно находят матрицу (Е - А), а затем, применяя один из прямых методов обращения невырожденных матриц, вычисляют матрицу (Е -А)-1. Одним из наиболее употребительных методов обращения матриц является метод Жордана. Часто применяется также метод, основанный на применении формулы;

B=(E-A)-1=

где в числителе стоит матрица, присоединенная к матрице (Е - А), элементы которой представляют собой алгебраические дополнения для элементов транспонированной матрицы (Е-А}', а в знаменателе стоит определитель матрицы (Е -А). Алгебраические дополнения в свою очередь, для элемента с индексами i и j получаются путем умножения множителя (-1)j+j на минор, получаемый после вычеркивания из матрицы i-й строки и j-го столбца.

При втором способе вычисления матрицы коэффициентов полных материальных затрат используется формула (3.15). При этом обязательным условием корректности расчетов является условие продуктивности матрицы А, и при расчетах ограничиваются учетом косвенных материальных затрат до некоторого порядка включительно, например до 2-го, 3-го порядков, В этом способе используется процедура умножения квадратных матриц с их последующим сложением, и коэффициенты полных материальных затрат получаются с известным приближением (с недостатком).

Методы расчета

1.Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции:

Найти коэффициенты полных материальных затрат и век тор валовой продукции; заполнить схему межотраслевого материального баланса.

1. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат по второму (приближенному) способу, учитывая косвенные материальные затраты до 2-го порядка включительно. Матрица коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка равна

A(1)=A2=

Матрица коэффициентов косвенных затрат 2-го порядка равна

A(2)=AA(1)=

Таким образом, матрица коэффициентов полных материальных затрат приближенно равна

B

2.Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц(1-й способ)

· находим матрицу (E - A):

(E-A)=

· вычисляем определитель этой матрицы:

· транспонируем матрицу (E-A):

(E-A)'=

· находим алгебраические дополнения для элементов матрицы (Е- А)':

A11=(-1)2

A12=(-1)3

A13=(-1)4

A21=(-1)3

A22=(-1)4

A23=(-1)5

A31=(-1)4

A32=(-1)5

A33=(-1)6

Таким образом, присоединенная к матрице (Е -А) матрица имеет вид:

используя формулу (3.16), находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:

B=(E-A)-1=

Как отмечалось ранее, элементы матрицы B, рассчитанные по точным формулам обращения матриц, больше соответствующих элементов этой матрицы, рассчитанной по второму приближенному способу без учета косвенных материальных затрат порядка выше 2-го.

3. Найдем величины валовой продукции трех отраслей (вектор X), используя формулу:

X=BY=

4. Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса в нашей задаче воспользуемся формулой, вытекающей из формулы (3.4);

Из этой формулы следует, что для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на величину

X1 =775,3; элементы второго столбца матрицы А умножить на Х2 = 510,1; элементы третьего столбца матрицы А умножить на Х3 = 729,6.

Составляющие третьего квадранта (условно-чистая продукция) находится с учетом формулы (3.1) как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

Четвертый квадрант в нашей задаче состоит из одного показателя и служит, в частности, для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта.

Результаты расчета:

Межотраслевой баланс производства и распределения продукции

Потребляющие отрасли Производящие отрасли	1	2	3	Конечная продукция	Валовая продукция
1	232,6	51,0	291,8	200,0	775,3
2	151,1	255,0	0,0	100,0	510,1
3	232,6	51,0	145,9	300,0	729,6
условно-чистая продукция	155.0	153,1	291,9	600,0	-
валовая продукция	775,3	510,1	729,6	-	2015,0

2.Решим стандартную задачу на модель Леонтьева.

Даны вектор непроизводственного потребления С= и матрица А = мсжотраслевого баланса. Найти вектор валового выпуска, обеспечивающий данный вектор потребления.

Решение. Известно, что Х= (Е-А)-1С. Следовательно, надо найти матрицу, обратную к (Е - А). Для этого можно воспользоваться методом, например с помощью миноров

Получаем:

(E-A)-1= и, значит, X=

Решим стандартную задачу на модель Неймана.

Даны матрицы A= и B= технологических процессов, вектор цен P=(1,5) и вектор начальных запасов .S = . Найдем интенсивности технологических процессов, максимизирующие стоимость выпуска продукции за один производственный цикл, и эту самое максимальную стоимость.

Решение. Пусть Z=- вектор-столбец искомых интенсивностей, тогда для их нахождения имеем задачу линейного программирования:

PBZ или (в развернутой форме)

30z1+80z2

AZ 5z1+2z2

4z1+10z2

Решим эту задачу графическим методом. Точка максимума (0; 2,8) и

Пример №3 (транспортная задача).

На двух складах А и В находится по 90 т. горючего. Перевозка одной тонны горючего со склада А в пункты 1, 2, 3 соответственно стоит 1, 3 и 5 у.е., а перевозка одной тонны со склада В в те же пункты - соответственно 2, 5 и 4 у.е. В каждый пункт надо доставить по одинаковому количеству тонн горючего.

Составить такой план перевозки горючего, при котором транспортные расходы будут наименьшими.

Решение:

Запишем исходные данные в таблице №1:

	1-60т.	2-60т.	3-60т.
А-90т.	60т.	1у.е.	30т.	3 у.е.		5 у.е.
В-90т.		2 у.е.	30т.	5 у.е.	60т.	4 у.е.

Заполнение таблицы начинам с ячейки с минимальной стоимостью, это ячейка , первый столбец закрыт т.к. целиком удовлетворена потребность пункта №1 в горючем. Выбираем минимальную стоимость ячейки во втором и третьем столбце - это ячейка . Потребность пункта №2 в горючем составляет 60 т., но на складе А осталось всего 30 т., а еще 30 т. придется доставлять со склада В, заполняя ячейку . Потребность в горючем пункта №3 можно удовлетворить только доставкой оставшегося горючего со склада В. Таблица заполнена, она дает исходное опорное решение. Данному решению соответствуют затраты в количестве

у.е.

Получив исходное опорное решение, перейдем к построению новых опорных решений, улучшающих друг друга: для этого применим метод потенциалов.

После построения исходного опорного решения все переменные разбиты на две группы: базисные - (, , , ) и свободные - (, ). Назовем потенциалом пункта отправления (А,В) величину , а потенциалом пункта доставки (1, 2, 3) - величину . Свяжем эти величины равенством

,

где - стоимость перевозки одной тонны груза из пункта в пункт . Совокупность уравнений , составленных для всех базисных переменных, составляют совместную систему линейных уравнений, причем значение одной из переменных можно задавать произвольно, и тогда значения остальных переменных находятся из системы однозначно. Обозначим через величины условно называемые косвенной стоимостью. Если все разности , найденные для свободных клеток неотрицательные, то исходное решение является оптимальным. Если хотя бы одна из этих разностей отрицательна переходим к новому опорному плану, который строят следующим образом. Выбирают какую-нибудь свободную переменную, для которой сумма потенциалов строго больше соответствующей стоимости. Для выбранной переменной находят соответствующий ей цикл пересчета и производят сдвиг по этому циклу. В результате этого получают новое исходное решение. Эти операции выполняют до тех пор, пока не получат оптимальный базис т.е. неотрицательные коэффициенты при свободных переменных.

Для нашей задачи имеем:

, , , .

Пусть , тогда , , . Вычислим косвенные стоимости , . Подсчитаем разности :

Исходное решение не является оптимальным, поэтому строим новый опорный план - улучшенный для этого пересчитываем коэффициенты первоначальной таблицы по следующему циклу пересчета.

	1-60т.	2-60т.	3-60т.
А-90т.	60т.-30т.	1у.е.	30т.+30т.	3 у.е.		5 у.е.
В-90т.	+30т.	2 у.е.	30т.-30т.	5 у.е.	60т.	4 у.е.

Получаем новый опорный план улучшенный:

	1-60т.	2-60т.	3-60т.
А-90т.	30т.	1у.е.	60т.	3 у.е.		5 у.е.
В-90т.	30т.	2 у.е.		5 у.е.	60т.	4 у.е.

Данному плану соответствуют затраты в количестве

у.е.

Найдем потенциалы , , , . Пусть , тогда , , . Вычислим косвенные стоимости , . Подсчитаем разности :

;

.

Так как все разности являются неотрицательными второй исходный план является оптимальным, соответствующая ему сумма затрат 510 у.е.

Ответ: 510 у.е.

Размещено на Allbest.ru

...