Размещено на http://allbest.ru

Введение

Ключевые процентные ставки центральных банков стран с разными валютными юрисдикциями оказывают существенное влияние на формирование обменных курсов. Процентные ставки служат инструментом центральных банков для осуществления своей денежно - кредитной политики, направленной на сглаживание экономических колебаний. Marc Labonte. Monetary policy and the Federal Reserve: Current policy and conditions. Washington; Congressional Research Service, 2008. P. 1 - 5. Это независимый случайный процесс, его невозможно диверсифицировать и который называется систематическим риском. Систематический (рыночный) риск - риск, возникающий из независимых событий, который влияет на рынок в целом. Систематический риск нельзя уменьшить, но можно оценить воздействие риска на доходность финансового инструмента. В качестве такой меры риска в CAPM используют показатель бета. Модель CAPM (Capital asset pricing model) - однофакторная равновесная модель, увязывающая цены финансовых активов с уровнем систематического риска, принимаемого инвесторами. Теплова Т.В. Инвестиции. Учебник для бакалавров. - М: 2011. С. 394 - 395. При бета равной единице динамика цены акции полностью копирует динамику рыночного индекса, если коэффициент бета больше единицы, то реакция ценной бумаги выше рыночной, систематический риск такого актива выше чем средний по рынку. И наоборот, если коэффициент бета ниже единицы, то актив является менее рисковым. В CAPM доходность финансового инструмента зависит от рыночной доходности и определяется безрисковой ставкой плюс вклад премии за риск, заложенной в рынок. Copeland T. E. Financial Theory and Corporate Policy. Third edition. LA;, Addison-Wesley. 1988. P. 193 - 201. Что, если предположить, что в отличии от CAPM наблюдаемая доходность торгуемого инструмента не целиком зависит от рынка, а у процесса, скорее всего, имеется собственная динамика или информация, которая заложена в конкретной акции или валютной паре и предложить восстановить «истинный» случайный ценовой процесс со всеми начальными и центральными моментами функции плотности вероятности, очищенный от влияния среды.

Рационально назвать независимый случайный процесс шумом и поставить задачу очистки сигнала от шума. Под шумом можно понимать разницу процентных ставок в США и Еврозоне, изменение денежных агрегатов, динамику фондового индекса и т.д.

Основная научная гипотеза. Предполагается, что у наблюдаемого ценового процесса финансового актива существует "истинная", непосредственно ненаблюдаемая динамика, при том, что эмпирические данные представляют ряд, искаженный влиянием внешнего независимого случайного процесса.

Тема исследования. Изучение способов выявления «истинной» динамики случайного ценового процесса без влияния внешней среды.

Цель исследования. Применить математический аппарат теории интегральных уравнений Фредгольма в прикладной задаче для прогнозирования валютного курса.

Объектом исследования являются некорректные задачи, решаемые методом обратной свертки.

Предметом исследования является решение уравнения Фредгольма первого рода как некорректную задачу с помощью преобразования интегрального оператора в матричный и обобщенного метода регуляризации Тихонова.

1. Свертка функции и фильтрация

1.1 Прямые и обратные задачи

С точки зрения методологии, прямыми задачами называют задачи, для которых известны причины, а искомые величины являются следствием. Для обратных задач известны следствия, неизвестны причины.

К классу прямых задач относятся корректные задачи. Они характеризуются необходимостью нахождения решения из уравнения с заданными коэффициентами и правой частью и дополнительных граничных и начальных условий. С точки зрения причинно - следственных связей граничные условия являются причинами, а решение краевой задачи - следствием.

Под обратными задачами понимаются задачи, не относящиеся к прямым, они зачастую связаны с необходимостью определения не только решения, но и некоторых недостающих коэффициентов или условий. Также есть необходимость в компенсации недостающей информации, поэтому в обратных задачах выделяют дополнительную информацию, с помощью которой рассчитывается возможность однозначного определения решения.

1.2 Уравнение свертки

В математике свертку функций понимают как операцию над двумя функциями, которая порождает третью.

Аналитический вид светки:

(1)

где y - неизвестный выходной сигнал, A - импульсная функция, x - входной регистрируемый сигнал.

Нахождение свертки интерпретируется как задача нахождения выходной реакции линейной системы с известной импульсной переходной функцией на заданное входное воздействие. Гетманов В.Г. Цифровая обработка сигналов. Издание 2.- М, 2010. С. 166. Любой входной сигнал изменяет свою форму на выходе.

Чтобы решить задачу свертки по нахождению выходного сигнала, необходимо решить интеграл свертки:

(2)

Данное выражение называется конволюция функции h(x) с импульсной функцией g(x). Smith S. W. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing. Second edition. California Technical Publishing. San Diego., 1999. P. 107 - 135.

Импульсная функция или импульсный ответ А в (1) называется по разному в зависимости от области применения. Если система рассматривается как фильтр, то импульсным ответом называется ядро фильтра, ядро конволюции или просто ядро. В обработке изображений импульсный ответ имеет другое название - функция рассеяния точки. Хотя эти названия отличаются, они все равно имеют одинаковый смысл. Импульсный ответ представляет собой дельта функцию на выходе линейной системы. Схема конволюции:

Рисунок 1. Конволюция.

x[n] - входной сигнал, y[n] - выходной сигнал, h[n] - импульсный ответ.

На рисунке 2 показана низкочастотная фильтрация сигнала:

Рисунок 2. Низкочастотная фильтрация.

На данном рисунке импульсный ответ представляет собой сглаживающую арку, которая изменяет входной сигнал, делая его плавным. Аналогично, при применении высокочастотной фильтрации выходной сигнал будет изменяться с высоким темпом относительно входного. Smith S. W. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing. Second edition. San Diego. California Technical Publishing. 1999. P. 107 - 135.

1.3 Деконволюция

Часто возникает необходимость восстановить сигнал или функцию после искажения какой - либо линейной системы. К примеру, после записи звука некачественным микрофоном появляется необходимость исправить записанный звук. Восстановление исходного сигнала по свернутому называется деконволюцией. Лукин А. Введение в цифровую обработку сигналов (математические основы). - М: 2007. С. 25 - 35.

Обратная свертка или деконволюция - в математике операция, обратная свертке сигналов. Целью деконволюции является поиск решения уравнения свертки вида:

(3)

y - регистрируемый сигнал, A - импульсная функция, x - сигнал, который требуется восстановить.

Другое определение: под деконволюцией или обратной сверткой понимают решение линейного уравнения Фредгольма первого рода с интегральным ядром преобразования. Задача деконволюции является основополагающей в теории линейных уравнений Фредгольма первого рода и она относится к классу обратных задач. Hansen Christian. Deconvolution and regularization with Toeplitz matrices . Lyngby; Department of Mathematical Modelling. Technical University of Denmark. 2000. P. 107 - 135.

Для решения обратной задачи в данной дипломной работе применяются методы, основанные на решении уравнение Фредгольма первого рода.

1.4 Интегральные уравнения

Интегральное уравнение - это уравнение с неизвестной функцией y(s) под знаком определенного интеграла. Если неизвестная функция y(s) в первой степени, то такое уравнение является линейным интегральным. Уравнение вида

(4)

называется интегральным уравнением Фредгольма первого рода, где - ядро интегрального оператора и - известная функция - образ.

Уравнение вида

(5)

называется интегральным уравнением Фредгольма второго рода. Параметр - числовой параметр, при котором интегральное уравнение не всегда имеет решение, но изменяя его, можно добиться решения уравнения Фредгольма второго рода. Этот параметр также вводится в левую часть уравнения Фредгольма первого рода. Если приравнять , то получается однородное уравнение

(6)

допускающее тривиальное решение. Однородное интегральное уравнение имеет нетривиальное решение, когда параметр - собственные значения ядра, а отвечающие им тривиальные решения являются собственными функциями. Если не является собственным значением ядра, то интегральное уравнение Фредгольма второго рода с регулярным ядром и непрерывным функцией нагрузки имеет единственное непрерывное решение, если же являются собственными значениями, то уравнение Фредгольма второго рода или не имеет решений, или имеет бесконечное множество.

Собственными значениями ядра называются такие значения, для которых однородное интегральное уравнение Фредгольма первого рода имеет отличные от нуля решения.

Часто в приложениях используют уравнение Фредгольма второго рода с симметричным ядром, т.е.. Симметричное ядро обладает свойствами:

1) Для любого симметричного ядра существует не меньше одного собственного значения;

2) У симметричного ядра все собственные значения действительные;

3) Собственные функции и симметричного ядра, при различных собственных значениях и (), ортогональны между собой на интервале (a;b) Демидович Б.П., Марон А.И., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций. Дифференциальные и интегральные уравнения. М: Издательство «Наука». 1967. С. 332-350:

(7)

1.5 Уравнение Фредгольма первого рода

Линейное интегральное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид:

(8)

где y(s) - неизвестная функция с областью определения , - непрерывное ядро интегрального уравнения, p(x) - некоторая известная функция. Ещё про функцию p(x) говорят, что она представлена истокообразно при помощи функции y(s) и ядра K(x,s). Если ядро замкнуто, то решение единственно.

Интегральное уравнение Фредгольма первого рода рассматривается как некорректно поставленная задача.

Задача является корректно поставленной, если:

1) Для любого элемента p € P существует решение y € Y.

2) Решение определяется однозначно.

3) Решение устойчиво.

Задачи, которые не удовлетворяют вышеперечисленным требованиям, называются некорректно поставленными. Уравнение Фредгольма первого рода некорректна по третьему условию. Малая погрешность в задании входных данных может сильно изменить решение, даже может вовсе его не существовать, решение неустойчиво. Именно поэтому некорректные задачи стали объектом интенсивного исследования.

Для решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода общепринято используют так называемый регуляризирующий алгоритм Тихонова, который позволяет найти функцию столь близкую к точному решению.

В отличие от интегрального уравнения Фредгольма первого рода интегральное уравнение Фредгольма второго рода является корректно поставленной задачей. Тихонов А.Б., Васильева А.Б. Интегральные уравнения. 2 - е издание. М:ФИЗМАТЛИТ. 2002. С. 120 - 125.

В данной работе проверяется гипотеза о возможности прогнозирования ценового процесса торгуемого инструмента на основе свойств динамики незашумленного процесса, без влияния внешней среды.

Ядро выступает в роли среды (источника шума), которое искажает некую случайную динамику . Наблюдаемый процесс - это то, что имеем на выходе линейной системы после воздействия ядра на неизвестную функцию. Задача - убрать воздействие среды, получить функцию плотности незашумленного процесса.

2. Методы получения решений обратных задач как деконволюция сигнала

Прежде чем приступить к поиску решения обратной задачи составим пошаговую инструкцию, чтобы понять логику. Опишем ход решения задачи очистки сигнала от шума методом преобразования интегрального оператора в матричный, нахождения обратной матрицы линейного оператора Фредгольма 1 рода. Назовем его алгоритмом №1.

Алгоритм №1

Алгоритм решения задачи по очистке случайного процесса от шума на основе теории интегрального преобразования Фредгольма первого рода:

1) Построение эволюций функций плотности вероятности (доходности валютной пары EUR/USD) p(x) и функции плотности вероятности - шума q(x) (разница процентных ставок LIBOR для евро и Federal Funds Rate) методом максимального правдоподобия;

2) По начальным моментам функции плотности вероятности - шума q(x) построение ортонормированного полиномиального базиса w(x) методом Гамбургера по матрицам Ганкеля;

3) Нахождение собственных значений интегрального оператора Фредгольма первого рода ;

4) Нахождение собственных функций оператора и разложение ядра интегрального оператора Фредгольма, построенного по теореме Мерсера, в собственном базисе w(x) для перехода от интегрального преобразования к матричному и получения обратной матрицы.

5) Получение вектора коэффициентов Фурье функции плотности вероятности - образа p(x) с последующей заменой в уравнении Фредгольма первого рода;

6) С помощью преобразования известного как «уловка ядра» находятся коэффициенты Фурье новой функции плотности;

7) Производится операция умножения вектора коэффициентов Фурье на вектор базисных функций интегрального оператора, получается новая функция плотности вероятности в виде полинома, очищенная от «шума»;

8) По моментам полученной функции плотности строится новая функция, удовлетворяющая условию нормировки случайного процесса, чтобы площадь под интегралом функции была равна единице.

Данный алгоритм работает в том случае, если обратная матрица, которую получаем «уловкой ядра», является невырожденной. В противном случае, если матрица вырожденная и определитель этой матрицы равен нулю, необходимо обратиться к общепринятому способу нахождения решения уравнения Фредгольма первого рода с помощью регуляризации Тихонова. Смысл заключается в поиске такой функции, которая служит решением функционала Тихонова:

(9)

Алгоритм №2

Алгоритм построения решения уравнения Фредгольма первого рода с помощью регуляризации Тихонова:

1) Построение эволюций функций плотности вероятности функции - образа (валютная пара EUR/USD) p(x) и функции - шума q(x) (разница процентных ставок LIBOR для евро и Federal Funds Rate) методом максимального правдоподобия;

2) По начальным моментам функции плотности вероятности - шума строится ортонормированный полиномиальный базис U(x) методом Гамбургера по матрицам Ганкеля;

3) Нахождение собственные значения интегрального оператора ;

4) Нахождение собственных функций оператора и разложение ядра интегрального оператора Фредгольма, построенного по теореме Мерсера, в собственном базисе w(x) для перехода от интегрального преобразования к матричному и получения обратной матрицы.

5) Решается вариационная задача регуляризации Тихонова как минимизация уклонения невязки функционала с помощью конечно - разностной схемы.

6) Решается система неоднородных линейных уравнений, находятся значения искомой функции в узлах решетки конечно - разностной схемы.

7) Приведение полученного результата к эскпоненциальной форме функции плотности.

Приступим к пошаговому исполнению вышеописанных алгоритмом. Первым разберем алгоритм №1.

Решение задачи вариационного исчисления методом составления функционала

Чтобы изучить свойства эмпирического распределения случайной величины, необходимо решить задачу вариационного исчисления и оценить параметры функции плотности вероятности на скользящем окне выборки. Тем самым, определить эволюцию функции плотности вероятности доходности торгуемого инструмента во времени.

Решение задачи вариационного исчисления

Решением задачи вариационного исчисления является нахождение функции, при которой заданный функционал достигает экстремума при определенных условиях. Будылин А. М. Вариационное исчисление. М.: 2001. С. 34

Функционал выглядит следующим способом:

(10)

Где - функция распределения вероятности случайной величины ,

- функция плотности вероятности случайной величины ,

- информационная энтропия по Шеннону

- первый начальный, второй, третий центральные моменты функции плотности вероятности, соответствуют математическому ожиданию, дисперсии и коэффициенту ассиметрии. По желанию можно включить четвертый момент, соответствующий коэффициенту эксцесса куртозиса распределения.

Нам необходимо найти функцию плотности вероятности из функционала , для этого воспользуемся уравнением Эйлера - Лагранжа: См.: Morin D. The Lagrangian Method. Официальный сайт Harvard University [Электронный ресурс]. - http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/chap6.pdf. (дата обращения: 25.04.2016);

(11)

Для начала возьмем первую производную по параметру :

(12)

Затем еще раз по и сделаем замену

(13)

Уравнение Эйлера - Лагранжа в нашем случае принимает вид:

(14)

Разделим переменные:

(15)

Проинтегрируем обе части уравнения:

(16)

В итоге получаем функцию плотности вероятности , с помощью решения уравнения Эйлера - Лагранжа:

(17)

или

Функция правдоподобия

Функция правдоподобия позволяет нам оценить неизвестные параметры функции плотности вероятности, основанные на известных результатах.

Допустим, у нас есть выборка , извлеченная из исследуемой генеральной совокупности. - совместная плотность распределения случайной величины , зависящая от неизвестного параметра . , где множество значений параметра, принадлежащее евклидову пространству. Для заданного набора значений их совместная плотность выглядит:

(18)

Функция задает вероятность получения именно наблюдений при извлечении из выборки объема . Чем больше значение , тем правдоподобнее система наблюдений , при заданном значении параметра . Отсюда и название функции правдоподобия. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. М: Финансы и статистика. 1983. С. 253-255

Часто вместо функции правдоподобия используют логарифмическую функцию правдоподобия Крянев А.В., Лукин Г.В. Математические методы обработки неопределенных данных. Москва: «ФИЗМАТЛИТ», 2003. С. 24.

(19)

Для того, чтобы найти максимальное значение функции правдоподобия мы должны найти экстремум функции путем взятия первых производных по параметрам, затем приравнять их к нулю

(20)

и найти значения параметров , которые максимизируют нашу функцию правдоподобия.

Оценка параметров распределения на скользящей выборке

Найдем параметры функции плотности вероятности p(x), которая была найдена решением задачи вариационного исчисления:

(21)

Для этого необходимо максимизировать логарифмическую функцию правдоподобия:

(22)

Задаётся ограничение:

(23)

где площадь под кривой должна равняться единице.

Как упоминалось выше, находим экстремум логарифмической функции правдоподобия путем взятия первых производных по параметрам и приравниваем их к нулю.

Мы нашли значения функции плотности вероятности, эволюционирующей во времени:

(24)

2.1 Построение системы ортонормированных полиномов по методу Гамбургера

Для любой невырожденной квадратной матрицы можно построить ортогональную матрицу. Для построения ортогональной матрицы применим метод моментов Гамбургера на определителях матриц Ганкеля.

После нахождения оценок функции плотности вероятности «шума» q(x) необходимо перейти к построению базисных функций на её степенных моментах. Базис придаёт функции плотности вероятности эволюцию во времени и представляет собой систему ортонормированных полиномов. Собственные функции интегрального оператора образуют ортогональную нормированную систему, будучи ортогональными (). Любую функцию подчиняющуюся этим условиям, можно разложить в ряд по собственным функциям.

Построим базис с помощью определителей матриц Ганкеля и по степенным моментам весовой функции плотности вероятности независимого случайного процесса (шума) q(x).

Набор степенных моментов функции плотности вероятности (весовой функции):

(25)

Получив начальные моменты функции плотности вероятности q(x) составляем определители матриц Ганкеля:

(26)

(27)

(28)

Необходимое и достаточно условие, чтобы определители были положительны и не равны нулю.

Заменяем последнюю строку определителя на вектор , получаем матрицу Ганкеля вида:

(29)

Ортонормированный полином базиса находится с помощью формулы: Frontini M., Tagliani A. Entropy - convergence, instability in Stieltjes and Hamburger moment problems. Milan; Politecnico di Milano. P. 1 - 12.

(30)

Система функций {} на отрезке [a,b] называется ортогональной с весом q(x), когда выполняется следующее условие:

(31)

при , и

 (32)

при .

Ортогональность помогает решать задачу наилучшего непрерывного квадратичного приближения функции посредством линейной комбинации ортогональных функций . Демидович Б.П., Марон А.И., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций. Дифференциальные и интегральные уравнения. М: Издательство «Наука». 1967. С. 63 - 64

С помощью базиса строится вырожденное ядро и находятся собственные значений и собственные функции интегрального оператора.

2.2 Собственные (характеристические) значения интегрального линейного оператора Фредгольма

Следующим шагом после построения ортонормированного базиса следует поиск собственных значений л.

Собственными значениями ядра называются такие значения л, для которых однородное интегральное уравнение имеет отличные от нуля решения. Все собственные значения ядра являются действительными. Они задают скорость и направление изменения коэффициентов разложения Фурье, тем самым и самой функции плотности неизвестного случайного процесса.

Предположим, что ядро удовлетворяет следующим свойствам:

1) - вещественная функция.

2) .

3) - непрерывная функция.

4) = - симметричное ядро.

5) Собственные значения ядра вещественнозначные и больше нуля. Если выполняются эти предположения, то коэффициенты Фурье и с помощью собственных функций ядра связаны формулой .

2.3 Вырожденное ядро и теорема Мерсера

Ядро называется вырожденным, представимое конечной суммой вида:

(32)

Если у ядра конечное число собственных значений и собственных функций, как в нашем случае, то оно непременно вырождается, в противном случае число собственных значений безгранично возрастает. Вырожденное ядро принимает следующий вид:

(33)

где - собственная функция ядра, построенная с помощью ортонормированного полиномиального базиса, помноженная на корень из весовой функции плотности случайного процесса (шума). Все собственные значения положительны и действительны, отсюда ядро является положительно определенным. Р. Курант, Д. Гильберт. Методы математической физики. Т.1. М: Высшая школа. 1966. С. 115 - 130.

Любую функцию, которая представима через ядро , можно разложить в ряд по собственным функциям :

(34)

где - вектор коэффициентов Фурье.

Этот результат для вырожденного ядра, однако он справедлив и для эрмитовых матриц, в случае если они непрерывны и имеют конечного число собственных значений одного знака. Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики. М: Атомиздат. 1972. С. 256.

После того, как был найден набор собственных функций, разложим ядро в собственном базисе, чтобы перевести задачу из математического анализа в линейную алгебру. Строим матрицу, состоящую из коэффициентов, найденных следующим способом:

(36)

где при правильном разложении ядра на главной диагонали матрицы А расположены аликвотные дроби с собственными значениями в знаменателе:

(37)

Тем самым мы заменили интегральный оператор на матричный, для того, чтобы в дальнейшем воспользоваться свойствами матрицы и взять от нее обратную.

2.4 Нахождение коэффициентов Фурье функции плотности - образа p(x)

Теорема Гильберта - Шмидта

Теорема разложения: всякая функция p(x), которую можно представить истокообразно в форме уравнения Фредгольма с помощью функции y(x), может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям ядра :

(38)

раскладывается в ряд

(39)

где есть коэффициенты Фурье. Ряд сходится абсолютно и равномерно на интервале [a;b] к p(x). Тихонов А.Б., Васильева А.Б. Интегральные уравнения. 2 - е издание. М:ФИЗМАТЛИТ. 2002. С. 50 - 52.

Аналогичным способом применяем данную теорему и для неизвестной функции y(x), которая служит решением уравнения Фредгольма первого рода:

(40)

2.5  «Уловка ядра»

Приступаем к решению задачи с помощью метода «kernel trick» или «уловки ядра». Заменив интегральный оператор на матричный и получив коэффициенты Фурье функции образа p(x), мы без труда находим коэффициенты новой функции плотности вероятности. Символьный вид уравнения:

(41)

где и - коэффициенты Фурье функции образа p(x) и функции истока y(x), л - собственные значения ядра преобразования.

Из курса линейной алгебры знаем, что если существует оператор со свойствами , то называется обратным оператором по отношению к A. Данное условие может удовлетворяться только в том случае, если A - квадратная матрица и ее детерминант не равен нулю. Интегральный линейный оператор представлен матрицей A. Линейная независимость базисных векторов обеспечивает невырожденность матрицы, поэтому она имеет обратную.

Из полученного выражения нетрудно найти коэффициенты Фурье новой функции y(x) путем умножения вектора коэффициентов функции - образа на обратную матрицу :

 (42)

Получив коэффициенты восстанавливаемой функции y(x) находим ее приближенное решение по теореме Гилберта - Шмидта:

(43)

2.6 Построение функции плотности вероятности случайного процесса с помощью Энтропии Шеннона по моментам распределения

Получив приближенное решение восстановленной функции плотности вероятности y(x) с применением обратной матрицы, пронормируем полученную функцию, чтобы выполнялось условие равенства интеграла от y(x) единице:

(44)

Для выполнения этой задачи прибегнем к формализму построения функции плотности на основе начальных моментов распределения функции y(x). Функция y(x) неубывающая, ограниченная, непрерывная. Определенной проблемой моментов является случай, когда для функции с заданными моментами существует единственное распределение, еще называют этот формализм проблемой моментов Гамбургера: Adamyan V.M., Tkachenko I.M., Urrea M. Solution of the Stieltjes Truncated Moment Problem. Valencia; Departament of applied mathematics. 2003. P. 1 - 5.

 (45)

Решаем систему неоднородных линейных уравнений вида:

(46)

Неизвестные коэффициенты легко находятся решением этой системы неоднородных линейных уравнений, например, методом Гаусса. Правая часть уравнений и сомножители в левой части известны. Frontini M., Tagliani A. Entropy - convergence, instability in Stieltjes and Hamburger moment problems. Milan; Politecnico di Milano. P. 1 - 12.

Возникает вопрос: какое количество уравнений необходимо решить для нахождения функции плотности случайной величины? Существует некая оптимальная сложность матрицы, которая ограничивается числом коэффициентов . Для этого воспользуемся определением числа обусловленности матрицы. Число обусловленности характеризует точность решения задачи и определяет чувствительность решения системы линейных уравнений к погрешностям исходных данных. Если число обусловленности матрицы мало, то оператор называется хорошо обусловленным, т.е. тем меньше погрешность решения будет относительно погрешности в условии. Дополнительные сведения о моментах распределения ухудшают «картину мира». Начиная с некоторого уровня размерности мы начинаем порождать эндогенную ошибку. Число обусловленности близкое к единице указывает на хорошо обусловленную матрицу.

Данная методика нахождения функции плотности распределения случайной величины позволяет отойти от привычного способа решения вариационной задачи с наложением различных ограничений с максимизацией функции правдоподобия, описанной выше.

После того, как нашли коэффициенты разложения, находим нормировочную постоянную по формуле:

(47)

Каноническая форма функции плотности вероятности принимает вид:

(48)

2.7 Регуляризация Тихонова (Вариационные методы)

Развитие методов решения некорректных задач породило общую теорию регуляризации А.Н. Тихонова. Вариационный метод регуляризации Тихонова базирован на идее о выравнивании отклонения значений теоретической кривой от эмпирической кривой при помощи дополнительного стабилизирующего функционала Щ(x). Это означает, что решается задача минимизации по параметрам неизвестной функции y(s) функционала Тихонова: Немцова О.М. Методы решения обратных задач, выраженных интегральными уравнениями Фредгольма первого рода. Ижевск: Физико - технический институт УрО РАН. 2005. С. 28-34

(49)

где б - регуляризующий параметр (б >0).

- стабилизатор - специально подобранный положительный функционал, обладающий свойствами нормы, который напоминает штрафную функцию.

Задача некорректна, а значит неустойчива по правой части уравнения Фредгольма. Существуют сколь угодно малые возмущения правой части p(x), которым соответствуют большие возмущения решения y(x), задача считается неустойчивой. Например, округления чисел в процессе счета на компьютере могут приводить к сильным изменениям функции y(x) и решение может быть не найдено.

Исследуем метод регуляризации Тихонова, чтобы найти функцию, сколь угодно близкую по точному решению уравнения Фредгольма первого рода. При решении задачи регуляризации с помощью вариационного метода приходится находить минимум функционала, либо краевую задачу для интегро - дифференциального уравнения Эйлера. Целесообразно применять разностный метод решения задачи. Это несложный численный метод, позволяющий получить решение задачи с хорошей точностью. За точность принимают количество узлов сетки, по которым будет восстановлена неизвестная функция.

С помощью метода квадратур избавимся от производных и интегралов в выражении. Метод квадратур - способ построения приближенного решения интегрального уравнения с помощью замены интегралов конечными суммами по определенной формуле:

(50)

Где узлы кавдратуры (абсциссы точек разбиения промежутка интегрирования [a:b]), - числовые коэффициенты, - ошибка формулы.

Для получения хорошей точности целесообразно выбирать квадратурные формулы высокого порядка точности, например Гаусса или Гаусса - Кристоффеля. Но в данном исследовании возьмем наиболее простые и часто используемые на практике формулы прямоугольников

(51)

формулу трапеций

(52)

и формулу Симпсона (парабол) Манжиров А.В., Полянин А.Д. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. М: Факториал Пресс. 2000. С. 40-42.

(53)

Введем на прямоугольнике , , сетку

, так, что , , , . Предположим, что имеем равномерные сетки ,

, сильную регуляризацию и единичные весовые функции . Вообще, весовые функции , выбирают исходя из дополнительных сведений о виде функции p(x) и величине погрешности , если дополнительных сведений нет, то обычно полагают равными единице.

Задача принимает следующий вид:

(54)

где есть невязка нерегуляризованной системы.

Приближаем интегралы и производную квадратурными формулами с использованием значений функций в узлах сетки. Получим алгебраическую задачу, обозначив разностное решение через :

(55)

где , , при и при , на минимизацию квадратичной формы. Получаем систему уравнений, линейных относительно , приравняв нулю производные от левой части по :

(56)

где

при

Матрица получается плотно заполненной, и систему уравнений можно решить методом исключений Гаусса. Отметим что точность аппроксимации имеет второй порядок . Калиткин Н.Н. Численные методы. СПб: БХВ - Петербург. 2011. С. 86 - 112..

2.8 Выбор параметра регуляризации б

При применении метода регуляризации возникают два вопроса: как найти неизвестную функцию y(x) и какой параметр регуляризации б подобрать для оптимального решения задачи.

Решая уравнение Фредгольма первого рода методом регуляризации Тихонова вида:

(57)

при фиксированном значении б неизвестная функция y(x) находится двумя способами:

1) минимизации функционала методом скорейшего спуска, методом сопряженных градиентов;

2) решением интегро - дифференциальной краевой задачи, определяющей экстремали функционала .

Задача по нахождению функционала решается приближенно с помощью конечно - разностной аппроксимации:

(56)

Если выбрать значение б слишком маленьким, то в выражении, минимизирующем , влияние регуляризующего слагаемого

 (57)

будет малым и решение окажется слишком «разболтанным». Если выбрать б слишком большим, то решение, наоборот, будет «заглаженным». Поэтому необходимо решить задачу минимизации функционала по б при уже найденной функции y(x).

Минимизируем функционал по параметру б:

(58)

Найденное значение б будет давать наименьшее отклонение невязки, т.е. при таком значении б функция y(x) реализует минимум функционала . Тихонов А.Б., Васильева А.Б. Интегральные уравнения. 2 - е издание. М:ФИЗМАТЛИТ. 2002. С. 127 - 130.

Проанализируем как восстанавливает метод реруляризации Тихонова функцию плотности вероятности. Для начала возьмем небольшую сетку 25*25. Найдем оптимальное значение б, как указывалось выше. Минимизировав функционал получили .

Посмотрим на рисунке 3 какую форму имеет восстановленная функция и соответствует ли условиям вида плотности распределения:



Рисунок 3. Восстановленная функция по узлам сетки.

Как видим на рисунке, функция имеет форму похожую на функцию плотности с двумя вершинами или модами, хвосты слегка не прижаты, но отнесем это к допущениям модели из - за невысокой точности при выборе небольшой сетки.

Для того, чтобы подтвердить на эмпирике оптимальность найденной б восстановим функцию при разных значениях параметра б (рисунок 4):

Рисунок 4. Выбор параметра регуляризации.

Синяя кривая при , красная при , зеленая при . Явно видно, что при большом б кривая недосглажена с толстыми хвостами, при кривая практически не изменяется, только слегка острее становятся экстремумы, можно считать, что кривая начинает «разбалтываться». При кривая приобретает оптимальную форму, наиболее близкую к решению.

Посмотрим на форму функции плотности вероятности валютного курса, которую очищали (рисунок 5):

Рисунок 5. Вид функции плотности p(x)

Функция p(x) имеет абсолютно нормальный вид функции плотности вероятности, это говорит о том, что мы нашли принципиально новую функцию плотности y(x) с другими системными свойствами, которые и будем использовать при построении торговых стратегий.

Для того, чтобы сравнить найденную функцию с той, которую мы очищаем, необходимо привести полученный числовой результат к соответствующему виду с условием нормировки и прижатых хвостов восстановленной функции.

После выполнения условий и, приблизив полученный результат к области определения функции - образа p(x), можем наглядно сравнить на рисунке 6:

Рисунок 6. Сравнение функций плотности вероятности p(x) и y(x)

где y(i,t) - очищенная функция с помощью регуляризации Тихонова, p(i,t) - функция плотности доходностей валютной пары, подлежащая очистке от «шума». На рисунке видно, как отличаются первый и центральные моменты функций плотности. Данное знание используем в прогнозировании валютного рынка.

3. Составление прогнозов валютной пары EUR/USD и построения торговых стратегий

3.1 Данные, использованные для исследования

В качестве исследуемых данных в модели используются дневные цены закрытия валютной пары евро/доллар за период с 04.10.2010 по 01.04.2016. Длина выборки составила 1487 значений. Начальная стоимость портфеля принята за единицу базовой валюты.

Данные по валютной паре EUR/USD для исследования были взяты из сети Интернет с сайта инвестиционной компании Финам См.: Официальный сайт инвестиционной компании Finam [Электронный ресурс]. - http://www.finam.ru/. (дата обращения: 25.04.2016);.

Данные по процентным ставкам представляли собой ставки LIBOR для евро и ставки по федеральным фондам США (овернайт). Выборка значений составила 1487 значений с 04.10.2010г. по 01.04.2014г. Источники данных: Federal Reserve Bank of St. Louis, Qundl См.: Официальный сайт Quandl [Электронный ресурс]. - https://www.quandl.com/. (дата обращения: 25.04.2016);. См.: Официальный сайт Federal Reserve Bank of St. Louis [Электронный ресурс]. - https://research.stlouisfed.org/. (дата обращения: 25.04.2016);

Моделирование математической модели производились в модульной среде Mathcad 15.

3.2 Построение и анализ торговых стратегий по алгоритму №1

Пытаемся исследовать валютную пару евро/доллар, на основе предположения о существовании собственной динамики валютной пары без влияния разницы процентных ставок в евро и долларовой зонах, построим прогнозы и имитацию торговли на рынке, с целью получения прибыли как итог исследования. От цен торгуемого инструмента переходим к значениям доходностей торгуемого инструмента:

(59)

(60)

(61)

Где - цена торгуемого актива в момент времени i,

N - кредитное плечо, равное 1:10,

- Лондонская межбанковская ставка предложения для евро (London Interbank Offered Rate),

- ставка по федеральным фондам (Federal Funds Rate).

На скользящем окне выборки из 20 значений оцениваются параметры функций плотности вероятности p(x) и q(x):

(62)

(63)

Пройдя все шаги алгоритма №1, зададимся задачей построения торговой стратегии, которая будет основана на извлечении системных свойств найденной функции плотности вероятности «истинного» ценового процесса.

Для построения торгового правила будем использовать первые начальные моменты функции плотности вероятности p(x), функции плотности вероятности разницы процентных ставок (шума) q(x) и восстановленной функции плотности вероятности y(x).

На рисунке 7 показаны все три функции плотности, полученные решением задачи алгоритмом №1:

Рисунок 7. Функции плотности вероятности

- функция плотности вероятности значений доходности EUR/USD

- функция плотности вероятности значений приростов разницы процентных ставок LIBOR и FFR

- восстановленная функция плотности вероятности значений доходности EUR/USD

Простейшее торговое правило основано на знаке первого начального момента восстановленной функции плотности вероятности y(x). Предполагаем рост рынка, если математическое ожидание y(x) имеет положительный знак и наоборот - занимаем «короткую» позицию.

Результат такой стратегии представлен на рисунке 8

Красная кривая описывает наивную стратегию «купить и держать», синяя - инвестиционный портфель. Доходность инвестиционного портфеля 300% против доходности наивной -201%. Процент угаданных сделок составляет 51,9%.



Рисунок 8. Динамика накопленной нарастающим итогом доходностей инвестиционного портфеля алгоритма №1 и рынка

Проведем статистическое исследование, применим критерий Стьюдента для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних значений в двух независимых выборках (). Нулевая гипотеза предполагает, что средние значения доходностей равны.

(63)

В знаменателе стандартная ошибка разности между средними значениями доходности портфеля и рынка, которая рассчитывается как:

 (65)

и - дисперсии оценок.

Получаем значение и сравниваем с , - гипотеза о равенстве средних значений доходностей инвестиционной стратегии и наивной отвергается.

Построим доверительный интервал для доходностей инвестиционного портфеля и рынка. Доверительный интервал задает границы для искомого параметра с заданной надежностью. Посмотрим в каких границах будут находиться средние значения доходностей и сравним их между собой.

Построим доверительный интервал по формуле:

(62)

где среднее значение выборки, - стандартное отклонение, - количество значений в выборке, - критическое значение t - распределения. James H. Stock., Mark W. Watson. Introduction to Econometrics. NY; Pearson Addison Wesley, 2010. P.81 Доверительный уровень выберем 95%.

Среднее значение доходности рынка или наивной стратегии «купить и держать» находится в интервале от 0.1219 до 0.2023 с вероятностью 95%. Среднее значение доходности инвестиционного портфеля находится в интервале от 2.4415 до 2.5568 с той же вероятностью. Тем самым, доверительные интервалы портфеля и рынка разнятся в пользу инвестиционной стратегии.

Следующее торговое правило основывается на разности математических ожиданий функции плотности истока y(x) и функции - образа p(x). Если ожидаемая доходность y(x) больше ожидаемой доходности p(x) то открываем сделку на покупку, если меньше - открываем на продажу. Результат торговли представлен на рисунке 9:

Рисунок 9. Динамика накопленной нарастающим итогом доходностей инвестиционного портфеля алгоритма №1 и рынка

Доходность портфеля составила 406% против наивной -201%. Процент угаданных сделок 0.525%.

Проверим гипотезу о равенстве средних значений доходностей портфеля и рынка применив тест Стьюдента. Получаем значение и сравниваем с , - гипотеза о равенстве средних значений доходности не подтверждается.

С вероятностью 0.95 среднее значение доходности инвестиционной стратегии находится в интервале . Доходность и точность этой незамысловатой стратегии выше предыдущей, но она может выглядеть еще привлекательнее если установить приказ, ограничивающий убытки Stop loss. В реальной торговле ни одна открытая позиция по торгуемому инструменты не остается «непокрытой». Stop loss - ордер, который выставляется трейдером через торговый терминал, чтобы держать убытки депозитного счета на определенном уровне. Ограничим риск в каждой сделке небольшой долей капитала, 4% от депозита.Elder A. Come Into My Trading Room. A complete guide to trading. NY; John Wiley and Sons Inc. 2002. P. 215 - 230.

Рисунок 10. Динамика накопленной нарастающим итогом доходностей инвестиционного портфеля алгоритма №1, с применением стоп - приказа и наивной стратегии

Доходность портфеля с применением приказа Stop loss (кривая SL) 540% против 406% без применения стоп приказа.

Значительно увеличить доходность можно за счет увеличения кредитного плеча, на данный момент плечо 1:10, что является консервативным для торговли на валютном рынке, которому свойственна высокая волатильность.

3.3 Построение и анализ торговых стратегий по алгоритму №2.

Построение инвестиционных стратегий по алгоритму №2 означает, что мы используем регуляризацию Тихонова как метод восстановления неизвестной функции плотности незушемленного процесса, с последующим использованием свойств функции для сигналов торговли.

Для построения торговой стратегии использовались те же входные данные, что и для алгоритма №1. Дополнительные данные вводятся для разностной сетки. В данном исследовании предложено использовать сетку размерностью 25*25 точек, так как вычисление больших сеток требует значительных вычислительных ресурсов персонального компьютера. Для сравнения на рисунке 11 представлены два решения вариационной задачи при сетке 25*25 и 150*150:

Рисунок 11. Восстановленные функции плотности вероятности при разных сетках

,

.

Как видим на графиках, визуально не найти отличий. Процессорное время для расчета сетки 25*25 составило чуть больше минуты, для сетки 150*150 порядка трех часов. Небольшой сетки достаточно для извлечения свойств найденной функции.

Чтобы не ухудшать качество исследования и не осуществлять подгонки для каждой стратегии применим те же торговые правила, что и для алгоритма №1, и посмотрим какие получатся результаты в сравнении.

Первое торговое правило будет основано на знаке первого начального момента восстановленной функции y(x). Открывается «длинная» позиция по валютной паре EUR/USD, если ожидаемая доходность больше нуля, наоборот - «короткая».

На рисунке 12 наблюдаем динамику доходностей наивной стратегии «купить и держать» и основанной на торговом правиле.

Рисунок 12. Динамика доходностей инвестиционного портфеля и наивной стратегии алгоритма №2

Доходность портфеля 94%. Процент угаданных сделок 51,9%, при этом совпадает с тем же значением в алгоритме №1, но доходность на порядок ниже. Связано это с тем, что в алгоритме №1 чаще угадывались сделки, приносящие большую доходность. С 95% уверенностью утверждаем, что среднее значение доходности инвестиционного портфеля находится в интервале значений против рыночной доходности, находящейся в интервале значений . Свойственна высокая волатильность и низкая доходность портфеля, по сравнению с алгоритмом №1.

Проверим гипотезу о равенстве средних значений доходностей портфеля и рынка применив тест Стьюдента. Получаем значение и сравниваем с , - гипотеза о равенстве средних значений доходностей не подтверждается.

Второе торговое правило как и в алгоритме №1, на разнице первых начальных моментов функций плотности y(x) и p(x) на рисунке 13:

Рисунок 13. Доходности инвестиционной стратегии и рынка алгоритма №2.

Доходность этой стратегии 261%. Процент угаданных сделок 52,8%, что выше чем у алгоритма №1, но доходность в итоге меньше. Среднее значение доходности инвестиционной стратегии находится в интервале против наивной стратегии .

Получаем значение критерия Стьюдента и сравниваем с , - гипотеза о равенстве средних значений доходностей отвергается.

Это торговое правило прибыльнее предыдущего, но также уступает алгоритму №1.

Таким образом, разработанные нами алгоритмы, базированные на теории интегральных уравнений Фредгольма первого рода, позволяют строить прибыльные торговые стратегии.

Заключение

В данной работе была исследована методология решения задачи обратной свертки и извлечение свойств очищенного случайного процесса. Мы смогли подтвердить гипотезу существования «истинной» динамики ценового процесса. Изучили проблематику решения задачи и возможные способы их преодоления. Построили торговые стратегии, изучили динамики портфелей инвестиционных стратегий.

В первой главе рассмотрели понятия прямых и обратных задач, уравнение свертки и деконволюции. Познакомились с основами теории интегральных уравнений Фредгольма перового рода.

Вторую главу начали с формулировки цели и постановки задачи, расписали подробный план решения уравнения Фредгольма первого рода двумя способами. Решили задачу вариационного исчисления для нахождения функции плотности эволюции ценового процесса. Оценили параметры распределения случайной величины. Решили задачу нахождения неизвестной функции под интегралом уравнения Фредгольма путем замены интегрального оператора матричным и взятия от нее обратной. Разобрали теорию регуляризацию Тихонова, как метод решения вариационной задачи на поиск минимума функционала. Получив решение, обосновали его логику и достоверность.

В третьей главе использовали полученные решения в построении инвестиционных стратегий. Исследовали свойства распределений ценового процесса и очищенного от шума. Сравнили между собой полученные результаты по выбору оптимальной стратегии. Рассмотрели возможные способы улучшения торговых результатов.

В данной работе мы использовали в качестве шума разницу процентных ставок в Еврозоне и США. Для дальнейшего исследования проблематики можно изучить степень влияния шума на поведение истинной динамики. Вместо разницы процентных ставок использовать другие возможные источники шума, например, разницу денежных агрегатов, если мы работаем с валютными парами или динамику фондового индекса, если пытаемся оценить «истинную» динамику ценового процесса акций. Увеличить количество узлов сетки, если решаем задачу регуляризации.

Список использованной литературы

уравнение деконволюция торговый стратегия

1. Теплова Т.В. Инвестиции. Учебник для бакалавров. - М: Издательство Юрайт. 2011. С. 394 - 395.

2. Гетманов В.Г. Цифровая обработка сигналов. Издание 2. - М: НИЯУ МИФИ, 2010.

3. Лукин А. Введение в цифровую обработку сигналов (математические основы). - М: Лаборатория компьютерной графики и мультимедиа МГУ. 2007, С. 25 - 35.

4. Демидович Б.П., Марон А.И., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций. Дифференциальные и интегральные уравнения. - М: Издательство «Наука». 1967. С. 332-350.

5. Тихонов А.Б., Васильева А.Б. Интегральные уравнения. 2 - е издание. - М:ФИЗМАТЛИТ. 2002. С. 120 - 125.

6. Будылин А. М. Вариационное исчисление. М.: 2001. С. 34.

7. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. - М: Финансы и статистика. 1983. С. 253-255.

8. Крянев А.В., Лукин Г.В. Математические методы обработки неопределенных данных. - М: «ФИЗМАТЛИТ», 2003. С. 24.

9. Р. Курант, Д. Гильберт. Методы математической физики. Т.1. - М: Высшая школа. 1966. С. 115 - 130.

10. Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики. - М: Атомиздат. 1972. С. 120-255.

11. Немцова О.М. Методы решения обратных задач, выраженных интегральными уравнениями Фредгольма первого рода. - Ижевск: Физико - технический институт УрО РАН. 2005. С. 28-34.

12. Манжиров А.В., Полянин А.Д. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. - М: Факториал Пресс. 2000. С. 40-42.

13. Калиткин Н.Н. Численные методы. - СПб: БХВ - Петербург. 2011. С. 86 - 112.

14. Smith S. W. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing. Second edition. San Diego.: California Technical Publishing. 1999. P. 107 - 135.

Размещено на Allbest.ru

...