Проверка статистических гипотез о распределении случайных величин с использованием критерия Пирсона

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра автоматизации технологических процессов и производств

РЕФЕРАТ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ: «Планирование эксперимента и обработка результатов измерений»

НА ТЕМУ: «Проверка статистических гипотез о распределении случайных величин с использованием критерия Пирсона»

ВЫПОЛНИЛ: СТ. ГР. МАГ02з 16-01

АЗАМАТ ТЕМЕРОВИЧ МУРЗАБЕКОВ

УФА 2017

Содержание

закон распределение критерий пирсон

Введение

1. Критерий согласия Пирсона

2. Нормальный закон распределения

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Статистическая гипотеза является некоторым предположением о законе распределения случайной величины или о параметрах этого закона, формулируемого на основании выборки. Примеры статистических гипотез могуть быть представлены рядом предположений:

- генеральная совокупность распределяется в соответствии с экспоненциальным законом;

- математические ожидания двух выборок, распределенных в соответствии с экспоненциальным законом, являются тождественными.

Гипотезы, не допускающие никаких допущений относительно конкретного вида закона распределения, именуются непараметрическими, противоположные - параметрическими.

Гипотеза, утверждающая, что отличие сравниваемых характеристик отсутствует, а наличие наблюдаемых отклонений могут быть объяснены исключительно случайными колебаниями выборок, на основе которых происходит сравнение, именуется нулевой (основной) гипотезой (обозначение - Н₀₎.

Вместе с основной гипотезой имеется альтернативная (конкурирующая, противоречащая) ей гипотеза - Н₁.

В случае опровержения нулевой гипотезы можно утверждать о наличии альтернативной гипотезы.

Основной проверки гипотезы является вычисление некоторой случайной величины, представляющей собой критерий, результат точного или приближенного распределения которого является заранее известным.

С учетом ряда задач, которые решаются посредством применения критерия Пирсона, можно говорить об актуальности тематики представленной работы.

Цель работы - знакомство с процессом проверки статистических гипотез на основе использования критерия Пирсона.

Согласно поставленной цели можно выделить следующие задачи исследования:

- дать общую характеристику критерию Пирсона;

- изучить закон нормального распределения;

- сделать выводы по проведенной работе.

1. Критерий согласия Пирсона

Критерий согласия Пирсона (ч²) используется в целях проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения предполагаемому теоретическому распределению F(x) при большой выборке (n ? 100). Критерий может использоваться для всех типов функции F(x), даже если не известны значения их параметров, что, как правило, характерно для анализа итогов механических испытаний. Данный факт составляет его универсальность. [1]

Применением критерия ч² предусматривается процесс разбиения размаха варьирования выборки на интервалы и определения числа наблюдений (частоты) n_j для каждого интервала. [4] Для удобства оценивания параметров распределения применяются интервалы, характеризуемые равнозначной длиной.

Значение численности интервалов определяется объемом выборки.

Интервалы, которые включают в себя меньше пяти наблюдений, объединяются с соседними. Когда число таких интервалов составляет менее 20% от их общей численности, допускается брать интервалы, имеющие частоту n_j ? 2.

В статистике критерий Пирсона выражается следующим соотношением (1). [5]

(1)

Где:

p_j - вероятность попадания изучаемой случайной величины в j-и интервал, которая вычисляется согласно гипотетического закона распределения F(x).

В процессе вычисления вероятности p_j следует учитывать, что левая граница первого интервала и правая последнего должны соответствовать границам области вероятных значений случайной величины. [2]

Нулевую гипотезу относительно соответствия выборочного распределения теоретическому закону F(x) проверяют на основании сравнения вычисленной в соответствии с формулой (1) величиной и критического значения ч_2б, найденного в соответствии с таблицей значений Пирсона.

Если соблюдается неравенство (2), то нулевая гипотеза не опровержима. Если указанное неравенство не соблюдается, то принимается альтернативная гипотеза о принадлежности выборки неизвестному распределению.

ч2 ? ч2б (2)

Недостаток критерия согласия Пирсона определяется потерей части изначальной информации, связанной с потребностью группирования результатов наблюдений в интервалы и объединения определенных интервалов, включающих в себя малое число наблюдений.

В связи с указанным недостатком рекомендовано дополнять проверку соответствия распределений по критерию ч₂ прочими критериями. Особенная потребность в этом возникает при сравнительно небольшом объеме выборки (n ? 100). [5]

2. Нормальный закон распределения

К случайным явлениям, которые подчиняются нормальному закону распределения, можно отнести явления, представленные:

- ошибками измерений производственных параметров;

- распределением технологических погрешностей изготовления;

- ростом и весом большей части биологических объектов и т.д. [1]

Нормальное распределение является законом распределения вероятностей непрерывной случайной величины, описываемым посредством применения дифференциальной функциеи (3):

(3)

Где:

a - математическое ожидание случайной величины;

-среднее квадратичное отклонение нормального распределения.

График дифференциальной функции нормального распределения именуется нормальной кривой (кривая Гаусса) (рисунок 1). [3]

Рисунок 1 Кривая Гаусса

Совокупность свойств нормальной кривой (кривой Гаусса) можно описать посредством следующих постулатов:

- кривая является симметричной относительно прямой x = a;

- нормальная кривая располагается над осью X, т. е. при любом значении X функция f(x) является положительной;

- ось 0_x - горизонтальная асимптота графика;

- когда x = a функция f(x) имеет максимум, который выражается соотношением (4):

(4),

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, которая распределена нормально относительно ее математического ожидания, не превышает среднее квадратичное отклонение, равняется 0,6826.

Вероятность того, что значение абсолютной величины отклонения случайной величины, которая распределена нормально относительно ее математического ожидания, не превышает удвоенное среднее квадратичное отклонение, равняется 0,9544.

Вероятность того, что значение абсолютной величины отклонения случайной величины, распределенной нормально относительно ее математического ожидания, не превышает ее утроенное среднее квадратичное отклонение, равняется 0,9973. [1]

Совокупность указанных вероятностей именуется «правилом трех сигм».

Когда случайная величина распределена нормально, величина абсолютного ее отклонения относительно математического ожидания не превышает утроенное среднее квадратическое отклонение.

Изменение величины параметра a (математического ожидания случайной величины) не изменяет форму нормальной кривой, а приводит лишь к ее смещению вдоль оси X: вправо, если a возрастает, и влево, если a убывает. [4]

При a=0 нормальная кривая симметрична относительно оси ординат.

Нормальное распределение с произвольными параметрами б и в, т. е. описываемое дифференциальной функцией (5) именуют общим нормальным распределением.

(5)

Нормальное распределение с параметрами б = 0 и в = 1 называют нормированным распределением (рисунок 2). В нормированном распределении дифференциальная функция определяется соотношением (6):

(6)

Рисунок 2 Нормированная кривая

Интегральная функция общего нормального распределения определяется соотношением (7), интегральная функция нормированного распределения - (8). [5]

(7),

(8),

Где:

Заключение

Критерий ч2 применяют при необходимости достижения следующих целей:

- сопоставление эмпирического распределения признака теоретическому - равномерному, нормальному или иному;

- сопоставление двух, трех или более эмпирических распределений с одним и тем же признаком.

Посредством применения критерия ч₂ можно ответить на вопрос: одинакова ли частота встречи различных значений признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух и более эмпирических распределениях.

Преимущество метода определяется тем, что он представляет возможность сопоставления распределения признаков, которые представлены любой шкалой, начиная от шкалы наименований.

Чем больше величина расхождения двух сопоставляемых распределений, тем больше величина эмпирического значения ч2.

Список использованной литературы

1 Балдин, К.В. Общая теория статистики: Учебное пособие / К.В. Балдин, А.В. Рукосуев. М.: ИТК Дашков и К, 2015. 312 c.

2 Батракова, Л.Г. Теория статистики: Учебное пособие / Л.Г. Батракова. М.: КноРус, 2013. 528 c.

3 Громыко, Г.Л. Теория статистики: Практикум / Г.Л. Громыко.. М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. 238 c.

4 Малых, Н.И. Статистика. т.1 теория статистики: Учебник и практикум для академического бакалавриата / Н.И. Малых. Люберцы: Юрайт, 2016. 275 c.

5 Селищев, Н.В. Общая теория статистики (для бакалавров) / Н.В. Селищев. М.: КноРус, 2013. 432 c.

Размещено на Allbest.ru