Построение регрессионной математической модели с учетом взаимодействия факторов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образование и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Тихоокеанский государственный университет"

Кафедра «Технологической информатики и информационных систем»

Обработка результатов эксперимента

Курсовая работа

По дисциплине «Планирование и организация эксперимента»

Выполнил студент

Старцев Н.А.

Руководитель работы

Иванищев Ю. Г.

Хабаровск - 2017 г

Введение

Задание на проектирование. Вариант №17 (77-60)

1. По результатам экспериментальных исследований (табл.1) построить регрессионную математическую модель с учетом взаимодействия факторов (достроить план, учитывающий взаимодействие факторов).

Таблица 1 - Результаты эксперимента

№ опыта	Факторы	Отклик Yi
	х1	х2	x3	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5
1	-	-	-	4,29	4,47	4,44	4,37	4,38
2	+	-	-	-5,62	-5,46	-5,41	-5,44	-5,34
3	-	+	-	0,2	0,28	0,2	0,47	0,34
4	+	+	-	-1,9	-1,56	-1,83	-1,99	-1,53
5	-	-	+	-11,67	-11,32	-11,55	-11,47	-11,72
6	+	-	+	-6	-5,54	-5,77	-5,55	-5,61
7	-	+	+	4,32	4,13	4,24	4,39	4,36
8	+	+	+	18,69	18,22	18,57	18,52	18,57

Перед проведением регрессионного анализа проверить выборки: на однородность дисперсий, на стохастичность, на отсутствие грубых ошибок и определить точность оценки отклика в указанных опытах.

Факторы варьируются на пяти уровнях в пределах:

X1=0,1 … 0,4; X2=10 … 40; X3=150 … 750. эксперимента и результаты эксперимента латинского квадрата для r=5 приведены в таблице 2

Таблица 2 - Результаты эксперимента

	X11	X12	X13	X14	X15
X21	645,04	956,35	1330,1	1766,3	2265,1
X22	1425	2080,1	2860,1	3765	2270,1
X23	2455,1	3516,3	4765	2895,1	4050,1
X24	3735,1	5265,1	3270	4675	6330
X25	5265	3395,1	4987,6	6892,6	9110,1

Выбрать стратегию поиска оптимума в однофакторном пространстве: статическую - проведение опытов в каждой точке факторного пространства или последовательного поиска - по дискретным точкам при условии:

- количество дискретных точек - 30;

- необходимое число опытов для оценки отклика с заданной точностью при последовательном поиске m=4.

Указать одну из общих для обоих методов точек факторного пространства, в которой обязательно проводится эксперимент независимо от выбранной стратегии поиска оптимума.

1. Проверка статистических гипотез

До статистической обработки экспериментальных данных (результатов измерений отклика) необходимо:

- выяснить вопрос однородности выборочных дисперсий, т.е. их равенства дисперсии генеральной совокупности;

- проверить выборочные данные на стохастичность;

- проверить выборочные данные на отсутствие грубых ошибок;

- оценить точность измерения отклика.

1.1 Проверка однородности дисперсий

Однородность дисперсий проверяется по одному из критериев [1]:

- критерию Фишера Fк(p,m1,m2), когда выборки разного объема и их количество две или более;

- критерию Кохрена Gк(p,m,n), когда количество выборок n более 2-х и их объемы m одинаковы.

Именно второй критерий и должен использоваться для проверки однородности дисперсий, в соответствии с которым наблюдаемое значение критерия Кохрена Gн определяется по формуле:

.

Здесь - дисперсия воспроизводимости u-ой выборки

 - среднее значение u-ой выборки

.

Соответственно параметры первой выборки (среднее и дисперсия)

,

(4,29-4,39)2+(4,47-4,73)2+(4,44-4,39)2+(4,37-4,39)2+(4,38-4,392,5)2)=0,00485.

Значения параметров остальных выборок представлены в таблице 1, из которой следует, что максимальное значение дисперсии воспроизводимости соответствует второй выборке S2max= 0,04257, а сумма дисперсий всех выборок

=0,00485+0,01068+0,01272+0,04257+0,02563+0,03773+0,01097+0,03093=0,17608,

Таблица 1

№ опыта	Значения отклика	Среднее значение	дисперсия воспроизвод	Точность оценки отклика
	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5
1	4,31	4,09	4,05	4,21	4,06	4,39	0,00485	0,09
2	-5,66	-5,79	-5,31	-5,31	-5,4	-5,454	0,01068	0,04
3	0,7	0,53	0,2	0,33	0,52	0,298	0,01272	0,25
4	-1,57	-1,83	-1,54	-1,8	-1,51	-1,762	0,04257	0,74
5	-11,46	-11,6	-11,78	-11,69	-11,39	-11,546	0,02563	0,15
6	-5,67	-5,69	-5,78	-5,51	-5,86	-5,694	0,03773	0
7	4,2	4,33	4,08	4,05	4,31	4,288	0,01097	5,89
8	18,67	18,43	18,61	18,21	18,57	18,514	0,03093	449,27
среднее значение	0,37925	0,02201	57,05375
Максимальное значение	0,04257
Сумма	0,17608

Тогда наблюдаемое значение критерия Кохрена

Gн=S2max/ S2u=0,17608/0,17608=0,24177

Для оценки однородности дисперсии по автоматизированному справочнику [2] находим критическое значение критерия Кохрена для p=0,95, m=5 и n=8 Gк(p,m,n)=0,392. Так как Gн< Gк, то дисперсии однородны.

1.2 Проверка выборочных данных на стохастичность

Проверка выборочных данных на стохастичность производится по критерию последовательных разностей [3]. Наблюдаемое значение этого критерия нu для u-ой выборки

нu=Сu2/Su2,

где

Значение С12 для первой выборки

С12=(4,09-4,31)2+(4,05-4,09)2+(4,21-4,05)2+(4,06-4,21)2=0,00485

Значения дисперсий воспроизводимости всех рассматриваемых выборок приведены в таблице 1.

Наблюдаемое значение критерия последовательных разностей для первой выборки

н1=С12/S12=0,00485/4,39=0,456

Для остальных выборок расчетные значения наблюдаемого критерия последовательных разностей приведены в таблице 2, из которой следует, что минимальное значение критерия больше критического нmin> к

(0,456>0,369), следовательно, все выборки стохастичны.

Таблица 2

№ опыта	Yi+1-Yi	Cu2	нu
1	0,0324	0,0009	0,0049	1E-04	0,004787	0,987
2	0,0256	0,0025	0,0009	0,01	0,004875	0,456
3	0,0064	0,0064	0,0729	0,0169	0,012825	1,008
4	0,1156	0,0729	0,0256	0,2116	0,053213	1,250
5	0,1225	0,0529	0,0064	0,0625	0,030538	1,191
6	0,2116	0,0529	0,0484	0,0036	0,039563	1,049
7	0,0361	0,0121	0,0225	0,0009	0,00895	0,816
8	0,2209	0,1225	0,0025	0,0025	0,04355	1,408
минимальное значение	0,456

1.3 Проверка выборочных данных на отсутствие грубых ошибок

Проверка выборочных данных на отсутствие грубых ошибок производится по критерию к(p,m) [4]. Наблюдаемое значение нui i-го измерения u-ой выборки рассчитывается по формуле

.

Так, например, для первого элемента первой выборки, в соответствии с данными, приведенными в таблице 1, наблюдаемое значение критерия н11

н11=4,39-4,29 /0,00485 = 1,436

Для остальных элементов выборок расчетные значения наблюдаемых критериев приведены в таблице 3.

Таблица 3

№ опыта	н=/S	max н
1	1,436	1,436	1,436	1,436	1,436	1,436	1,436
2	1,606	1,606	1,606	1,606	1,606	1,606	1,606
3	0,869	0,869	0,869	0,869	0,869	0,869	0,869
4	0,669	0,669	0,669	0,669	0,669	0,669	0,669
5	0,775	0,775	0,775	0,775	0,775	0,775	0,775
6	1,575	1,575	1,575	1,575	1,575	1,575	1,575
7	0,306	0,306	0,306	0,306	0,306	0,306	0,306
8	1,001	1,001	1,001	1,001	1,001	1,001	1,001
					max н	1,606

Критическое значение критерия для p=0,95 и m=5 определяется по автоматизированному справочнику [2] и равно к(p,m)=2,345. В соответствии с данными таблицы 3 максимальное значение наблюдаемого критерия max ?н=1,606 меньше критического, следовательно, ни в одной из рассматриваемых выборок по результатам измерений грубых ошибок не обнаружено.

1.4 Оценка точности измерения отклика

Оценка точности измерения отклика при серии m экспериментов в одной u-ой точке факторного пространства определяется по формуле

.

В соответствии с данными таблицы 1 и значением tк(p,m)=2,803 оценка точности измерения отклика в первой точке факторного пространства

Оценка точности измерения отклика в других точках факторного пространства приведена в таблице 4.

Таблица 4

№ Опыта	дисперсия воспроизводимости	Точность оценки отклика u
1	0,00485	0,09
2	0,01068	0,04
3	0,01272	0,25
4	0,04257	0,74
5	0,02563	0,15
6	0,03773	0
7	0,01097	0
8	0,03093	0,1

2. Регрессионный анализ

Регрессионный анализ предназначен для определения вида и параметров модели. В данном случае предполагаем следующий вид регрессионной модели

Y=b0+b1X1+b2X2+b3X3+b12X1X2+b13X1X3+b23X2X3+b123X1X2X3

Для получения данного вида математической модели достраиваем план эксперимента с учетом указанного взаимодействия факторов.

Параметры регрессионной модели определяются по следующим зависимостям: статистический выборочный стохастичность дисперсионный

; ; ;

Аналогично рассчитаны остальные параметры модели

b2=4,96; b3=1; b12=2,02; b13=3,9978; b23=5,0553; b123=0,07375.

Значимость параметров модели определяется их сравнением с доверительным интервалом bi . Параметр значим, если bi bi.

= 0,04872

Сравнивая рассчитанные значения параметров регрессионной модели с доверительным интервалом bi, делаем вывод - все параметры значимы. Для дальнейшей статистической обработки принимаем

b0	b1	b2	b3	b12	b13	b23	b123
принятые параметры модели
0,4	1	5	1	2	4	5	0,07

тогда получаем нормализованную модель, по которой рассчитываются теоретические значения:

f=0,4+Х1+5Х2+ X3+2X1X2+4Х1Х3++Х2Х3+0,07Х1Х2Х3

Адекватность полученной модели проверяется с помощью статистического критерия Фишера, наблюдаемое значение которого Fн определяется по одной из зависимостей

если () или если (),

где =0,02201 , а дисперсия адекватности определяется по уравнению

= 0,02678

Ниже приведен расчет значения теоретической зависимости для первого опыта

f1=0,4-1-5-1+2+4+5-0,07=4,39

значения остальных fu приведены в таблице 6

Таблица 6

№ опыта	Значения отклика		fu	Yuj - fu
	у1	у2	у3	у4	у5
1	4,29	4,47	4,44	4,37	4,38	4,39	4,33	-0,04	0,14	0,11	0,04	0,05
2	-5,62	-5,46	-5,41	-5,44	-5,34	-5,454	-5,53	-0,09	0,07	0,12	0,09	0,19
3	0,2	0,28	0,2	0,47	0,34	0,298	0,47	-0,27	-0,19	-0,27	0	-0,13
4	-1,9	-1,56	-1,83	-1,99	-1,53	-1,762	-1,67	-0,23	0,11	-0,16	-0,32	0,14
5	-11,67	-11,32	-11,55	-11,47	-11,72	-11,546	-11,53	-0,14	0,21	-0,02	0,06	-0,19
6	-6	-5,54	-5,77	-5,55	-5,61	-5,694	-5,67	-0,33	0,13	-0,1	0,12	0,06
7	4,32	4,13	4,24	4,39	4,36	4,288	4,33	-0,01	-0,2	-0,09	0,06	0,03
8	18,69	18,22	18,57	18,52	18,57	18,514	18,47	0,22	-0,25	0,1	0,05	0,1

В этой же таблице приведены значения Yuj - fu, необходимые для расчета .

Так как , то наблюдаемое значение критерия фишера

=0,02678 / 0,02201=1,21674

Соответствующее критическое значение критерия Фишера при p=0,95; m1=20 и m2=5 Fк(p,m1,m2)=6,615 (определено по автоматизированному справочнику [2]).

Так как Fн< Fк, то модель адекватна.

3. Планирование эксперимента при дисперсионном анализе. Латинский Квадрат

Цель многофакторного дисперсионного анализа - выявление существенности влияния факторов на отклик. Для трехфакторной модели результаты наблюдения можно представить в виде суммы

где ? общая средняя; iv ? отклонение, вызванное влиянием первого фактора на i-м уровне при v-м дублировании; гjv ? отклонение, вызванное влиянием второго фактора на j-м уровне при v-м дублировании; kv ? отклонение, вызванное влиянием третьего фактора на k-м уровне при v-м дублировании; Zijkv ? отклонение, вызванное влиянием неконтролируемых факторов.

Для дисперсионного анализа трехфакторной модели используется план в виде латинского квадрата (таблица 7).

Таблица 7

	X11	X12	X13	X14	X15
X21	X31	X32	X33	X34	X35
X22	X32	X33	X34	X35	X31
X23	X33	X34	X35	X31	X32
X24	X34	X35	X31	X32	X33
X25	X35	X31	X32	X33	X34

С учетом изменений уровней факторов: первого - в диапазоне от 0,1 до 0,4; второго - в диапазоне от 10 до 40 и третьего - в диапазоне от 150 до 750 план эксперимента принимает вид (таблица 8).

Таблица 8

	100	125	150	175	200
5	20	25	30	35	40
10	25	30	35	40	20
15	30	35	40	20	25
20	35	40	20	25	30
25	40	20	25	30	35

Таблица 9

	X11	X12	X13	X14	X15
X21	-56,9	-111,5	-169,8	-222,9	-272,3
X22	6,8	-48,7	-95,6	-141,8	-526,2
X23	69,8	25,1	-17,6	-407,1	-447,4
X24	137,3	100	-284,9	-329,2	-364,8
X25	208,3	-168	-210,8	-244,9	-266,8

Отклики, указанные в таблице 9 соответствуют сочетаниям уровней факторов, указанных в таблице 10. Например, отклик Y234 соответствует эксперименту, проведенному при сочетании уровней факторов: первого на втором, второго на третьем, третьего на четвертом.

Таблица 10

	X11	X12	X13	X14	X15
X21	Y111	Y212	Y313	Y414	Y515
X22	Y122	Y223	Y324	Y425	Y521
X23	Y133	Y234	Y335	Y431	Y532
X24	Y144	Y245	Y341	Y442	Y543
X25	Y155	Y251	Y352	Y453	Y554

Для удобства обработки результатов эксперимента предварительно проводим кодировку значений отклика, вычитая из всех его значений одно и то же число - значения кода (таблица 11).

Таблица 11

наименование	обозначение	значение
Принятое значение кода		154
Сумма значений откликов после кодировки	Y	10,100
Квадрат суммы откликов		102,01

Значения отклика после кодировки представлены в таблице 12

Таблица 12

	X11	X12	X13	X14	X15
X21	97,1	42,5	-15,8	-68,9	-118,3
X22	160,8	105,3	58,4	12,2	-372,2
X23	223,8	179,1	136,4	-253,1	-293,4
X24	291,3	254	-130,9	-175,2	-210,8
X25	362,3	-14	-56,8	-90,9	-112,8

Сумма квадратов значений откликов, указанных в этой таблице

Далее из факторов приведены нижетании уровней факторов: первого на втором, второго на третьем, третьего на четпроизводится суммирование значений откликов по уровням каждого фактора. Результаты суммирования удобно сводить в таблицу 13.

Таблица 13

Фактор	Уровень фактора
	1	2	3	4	5
X1	Y11	Y12	Y13	Y14	Y15
X2	Y21	Y22	Y23	Y24	Y25
X3	Y31	Y32	Y33	Y34	Y35

Примеры расчета по первому уровню каждого из факторов приведены ниже

Y11= Y111+Y212+Y313+Y144+Y155 = 97,1+160+223,3+362,3=1135,3

Y21= Y111+Y212+Y313+Y414+Y515 =97,1+42,5-15,8-68,9-118,3=-63,4

-Y31= Y111+Y521+Y431+Y341+Y251 =97,1-372,2-253,1-130,9-14=-673,1

Дисперсию отклика, вызванную влиянием j-го фактора, вычисляют по формуле

Для первого фактора

Соответственно для второго и третьего факторов S2(X2) = 691,332; S2(X3) = 54774,8

Проверку значимости влияния фактора Х, производят при помощи критерия Фишера, наблюдаемое значение которого

где

Тогда наблюдаемые значения критерия Фишера для первого фактора

Соответственно Fн(X2)=4,35791; Fн(X3)=345,281.

Наблюдаемое значение критерия Фишера сравнивается с критическим Fк(p,m1,m2). Его значение находим по автоматизированному справочнику [2]. При доверительной вероятности p=0,95, m1=4 и m2=12 Fк=3,536.

Так как для всех факторов Fн< Fк, то все факторы значимы.

4. Выбор стратегии поиска оптимума

При выборе стратегии поиска оптимума исходим из минимального количества опытов для достижения цели эксперимента - определения оптимума за определенное количество опытов.

При статической стратегии поиска оптимума количество опытов определяется количеством k дискретных точек фактора, при которых проводится измерение отклика. Учитывая, что в одной из точек общих для двух стратегий поиска проводится серия из m экспериментов, необходимая для оценки отклика с заданной точностью при заданной доверительной вероятности, то при статической стратегии поиска количество экспериментов Nст определяется по зависимости

Nст=k+(m-1)=30+(4-1)=33,

где k - количество дискретных точек.

При последовательной стратегии поиска, если k дискретных точек равно

k=Fn+1-1,

то первые два опыта проводятся в точках Fn и Fn-1, откуда следует, что ориентировочное значение F*n+1 определяется из уравнения

F*n+1=k+1

Для данного случая

F*n+1=k+1=30+1.

Ближайшее большее число Фибоначчи Fn+1 = 34 соответствует n+1=8 (таблица 14).

Таблица 14

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Fn	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	134	243

Следовательно, первые две серии опытов должны быть проведены в точках Fn =21 (n=7) и Fn-1=13 (n=6), а всего возможных серий опытов n=7.

Исходя из того, что в каждой точке из 7 возможных проводится серия из 4-х опытов, то общее количество опытов при последовательной стратегии поиска определяется по формуле

Nпслд=n*m=7*4=28

Сравнивая две стратегии поиска, делаем вывод:

Наиболее предпочтительной является последовательная стратегия поиска, так как

Nпслд< Nст (28<33)

Общими точками, в которых проводятся опыты независимо от стратегии поиска это дискреты под номером 13 и 21.

Литература

1. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий. Методические указания к выполнению лабораторной работы по дисциплине "Планирование и организация эксперимента" для студентов направлений 221400.62 "Управление качеством", 221700.62 "Стандартизация и метрология" и специальности 151701.65 "Проектирование технологических машин и комплексов" всех форм обучения / Сост. Ю.Г. Иванищев, - Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2016, - 16 с.

2. Автоматизированный справочник по определению статистических критериев. Методические указания к выполнению лабораторной работы по дисциплине "Планирование и организация эксперимента" для студентов направлений 221400.62 "Управление качеством", 221700.62 "Стандартизация и метрология" и специальности 151701.65 "Проектирование технологических машин и комплексов" всех форм обучения / Сост. Ю.Г. Иванищев, Д.В. Картелев, А.Ю. Коношко, - Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2016, - 15 с.

3. Проверка на стохастичность. Методические указания к выполнению лабораторной работы по дисциплине "Планирование и организация эксперимента" для студентов направлений 221400.62 "Управление качеством", 221700.62 "Стандартизация и метрология" и специальности 151701.65 "Проектирование технологических машин и комплексов" всех форм обучения / Сост. Ю.Г. Иванищев, Д.В Картелев. - Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2016, - 16 с.

Размещено на Allbest.ru

...