Оптимизационные экономико-математические модели. Методы получения оптимальных решений

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кафедра Экономико-математических методов и аналитических информационных систем

Контрольная работа

по дисциплине: Методы оптимальных решений

вариант №3

1. Задача 1

Постановка задачи:

Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный - 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный - 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

Решение задачи:

Введем следующие обозначения:

х₁ - количество обычных наборов удобрений;

х₂ - количество улучшенных наборов удобрений.

Целевая функция, которую необходимо минимизировать, имеет вид:

.

Ограничения задачи:

- по объему азотных удобрений

;

- по объему фосфорных удобрений

;

- по объему калийных удобрений

.

Прямая первого ограничения (по общему объему азотных удобрений)

проходит через две точки: (0; 5) и (3,33; 0). Область допустимых решений (ОДР) данного неравенства является верхняя полуплоскость.

Вторая прямая

проходит через точки: (0; 3,33) и (5; 0). ОДР этого неравенства является соответствующая верхняя полуплоскость.

Третье ограничение описывается прямой

,

которая проходит через точки: (0; 2,33) и (7; 0). ОДР этого неравенства является соответствующая верхняя полуплоскость.

В результате получим область допустимых решений, соответствующую многоугольнику ABCD (рис. 1).



Рис. 1. Заштрихована область допустимых решений функции

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент. Его координаты равны частным производным целевой функции:

.

Чтобы построить этот вектор, соединим точку (3;4) с началом координат. При минимизации целевой функции нужно двигаться в направлении, противоположном вектору-градиенту. В таком случае, исходя из графика, предельной точкой (точкой минимума) является точка В.

Определим ее координаты. Для этого составим систему из уравнений двух прямых, к которым принадлежит эта точка:

Тогда значение целевой функции в этой точке:

ден. ед.

Значит, решением исходной задачи линейного программирования будет: , который достигается при и .

В случае максимизации f(X) надо двигаться в направлении вектора-градиента. При этом, если прямая при своем движении не покидает допустимой области, то соответствующий максимум f(X) не существует.

2. Задача 2

Постановка задачи:

На сортировочную станцию прибывают составы с интенсивностью () 0,4 состава в час. Среднее время обслуживания одного состава () 0,6 часа. Определить показатели эффективности работы сортировочной станции: интенсивность потока обслуживаний, среднее число заявок в очереди, интенсивность нагрузки канала (трафик), вероятность, что канал свободен, вероятность, что канал занят, среднее число заявок в системе, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе.

Решение задачи:

Данная система массового обслуживания (СМО) является разомкнутого типа, т.е. источник поступления требований внешний и обладает потенциально бесконечным числом требований. Исходя из условия СМО одноканальная, без отказов (с ожиданием).

1) Определим интенсивность потока обслуживаний, для этого рассчитаем параметр

.

Так как параметр л (интенсивность поступления требований) меньше, чем интенсивность потока обслуживания (м), то система имеет устойчивое решение: заявки обслуживаются быстрее, чем поступают, очередь не вырастет до бесконечности.

2) Интенсивность нагрузки канала (трафик) определяется как отношение интенсивности поступления требований и интенсивности потока обслуживания, т.е.:

.

3) Среднее число заявок в очереди определим по формуле:

.

Таким образом, среднее число заявок в очереди составит:

состава.

Результат правдоподобен, так как время прибытия каждого следующего состава составляет 2,5 часа (0,4 состава в час), в то время как на обслуживание одного состава тратится только 0,6 часа.

4) Вероятность того, что определенное число каналов СМО свободно в общем виде определяется по формуле:

.

Так как в данном случае СМО одноканальная, то вероятность того, что канал свободен составит:

.

математический модель оценка стратегия

5) Так как возможно только два состояния системы (канал либо свободен, либо занят), то вероятность, что канал занят, определяется следующим образом:

.

6) Среднее число заявок в системе определим по формуле:

.

Их количество составит:

состава.

7) Среднее время пребывания заявки в очереди определяется по следующей формуле:

.

При заданных условиях, оно составит:

ч (или 11,4 минут).

8) Среднее время пребывания заявки в системе определяется по аналогии с предыдущим показателем:

ч или 47,4 мин.

Таким образом, загрузка СМО невысокая, при времени обслуживания 36 минут состав в среднем стоит в очереди на обслуживание 11,4 минут.

3. Задача 3

Постановка задачи:

Производится экспертная оценка по методу Дельфи. Результат четвертого тура оценки экономического параметра 12 экспертами представлены в таблице.

эксперт	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
оценка	19,1	20,4	21,5	20,9	18,9	16,5	18,9	20,5	22,3	21,8	19,4	20,7

Решение задачи:

Найдем точечный и интервальный прогнозы. Разложив результаты оценок в порядке возрастания, получим следующий ряд:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
16,5	18,9	18,9	19,1	19,4	20,4	20,5	20,7	20,9	21,5	21,8	22,3

Определим точечный прогноз путем определения медианы: средней, полученной путем выявления «центрального» значения в перечне данных. Определим, какому порядковому номеру будет соответствовать среднее значение по формуле (n - общее число значений):

.

Точечный прогноз находится между 6 и 7 значениями (между 20,4 и 20,5), т.е. медиана равна 20,45.

Для определения интервального прогноза определим значения первого и третьего квартиля:

- нижний (первый) квартиль - значение признака у единицы ранжированного ряда, делящей совокупность в отношении ј : ѕ (ему соответствует значение с порядковым номером [(n+1)/4]). В данном случае порядковое значение равно 3,25, значит нижний квартиль равен:

;

- верхний квартиль (третий) - значение признака у единицы ранжированного ряда, делящей совокупность в отношении ѕ : ј (ему соответствует значение с порядковым номером 3Ч[(n+1)/4]). В данном случае порядковое значение равно 9,75, значит, верхний квартиль равен:

.

Межквартильный размах -

21,35 - 18,95 = 2,4

включает 50% центральных значений. Второй квартиль представляет собой медиану.

Таким образом, точечный прогноз составил 20,45, а интервальный прогноз от 21,35 до 18,95 с межквартильным размахом 2,4.

4. Задача 4

Постановка задачи:

Имеются m = 7 факторов, влияющих на риск капиталовложений. Оценка относительной важности каждого фактора j (j = 1,2,…, m) (i = 1, 2, …, n). Результаты экспертных оценок приведены ниже в виде матрицы взаимосвязей.

эксперты	факторы
	1	2	3	4	5	6	7
1	2	3	2	4	7	3	5
2	1	3	1	6	3	5	4
3	5	5	2	4	2	5	3
4	4	2	6	6	4	7	2
5	1	1	4	4	5	7	3

Определить:

1) степень согласия всей группы экспертов;

2) степень согласия двух первых экспертов.

Решение задачи:

1) Определим степень согласия всей группы экспертов. Этот показатель служит свидетельством достоверности проведенной экспертизы, определяется на основе коэффициента конкордации (согласованности) Кендалла по формуле:

, ,

где N - количество экспертов;

m - количество ранжируемых (оцениваемых) элементов.

Коэффициент конкордации Кендалла меняется в пределах от 0 (наименьшая согласованность мнений) до 1 (абсолютная согласованность).

Величина N(m?1)W имеет распределение ч² с

н=m?1

степенями свободы. Для признания значимости коэффициента конкордации необходимо и достаточно, чтобы найденное N(m?1)W было больше табличного ч², определяемого числом степеней свободы и уровнем значимости б (вероятностью ошибки).

Для решения данной задачи примем б=0,05. Проведем промежуточные расчеты в MS Excel (табл. 4) и найдем коэффициент конкордации.

Таблица 4

эксперты	Ранг rji
	1	2	3	4	5	6	7
1	2	3	2	4	7	3	5
2	1	3	1	6	3	5	4
3	5	5	2	4	2	5	3
4	4	2	6	6	4	7	2
5	1	1	4	4	5	7	3
?rji	13	14	15	24	21	27	17
dj	-7	-6	-5	4	1	7	-3
dj2	49	36	25	16	1	49	9
R(d2)	185

Коэффициент конкордации составит:

.

Получим расчетное значение ч²:

.

При уровне значимости б=0,05 и для

н = m ? 1 = 7 - 1 = 6

степеней свободы находим табличное значение ч² с помощью функции =ХИ2ОБР, встроенной в MS Excel: ч²_табл = 12,59.

Так как , то степень согласованности мнений экспертов W=0,26 не только мала, но и незначима.

2) Теперь определим степень согласия первых двух экспертов. Мерой близости выставленных оценок двух экспертов может служить коэффициент ранговой корреляции Спирмена, который рассчитывается следующим образом:

, ,

где r_j1 и r_j2 - ранг, полученный j-м фактором соответственно от первого и второго эксперта.

Значение данного коэффициента может меняться в пределах от -1 (полностью противоположные мнения) до +1 (мнения полностью совпадают).

Оценим степень согласия первых двух экспертов:

;

.

Таким образом, можно сделать вывод, что между первыми двумя экспертами степень согласия средняя (согласованность их мнений заметна, но ее нельзя назвать сильной).

5. Задача 5

Постановка задачи:

Дана матрица последствий Q, в которой строки - возможные управленческие решения, а столбцы - исходы, соответствующие альтернативным вариантам реальной ситуации (состояниям внешней среды).

Выберите рациональную управленческую стратегию, применяя критерии (правила) максимакса, Вальда, Гурвица и Сэвиджа. Примите рекомендуемое значение б-критерия Гурвица б=0,7.

Решение задачи:

Для выбора рациональной управленческой стратегии будем использовать различные критерии, их расчет будем проводить в MS Excel, используя функции =МАКС() и =МИН().

1) Применим критерий максимакса - он является оптимистическим:

.

Результат расчета критерия в MS Excel приведен на рис. 2. По его результатам наилучшей стратегией является стратегия 2-го управленческого решения с внешними условиями 4 варианта. В итоге исход равен 12 (элемент матрицы а₂₄).

Рис. 2. Лучшая стратегия по критерию максимакса

2) Критерий Вальда (максиминная стратегия) - отражает пессимистическую стратегию:

.

Результат расчета критерия в MS Excel приведен на рис. 3. По его результатам наилучшей стратегией является 3-е управленческое решение с внешними условиями, соответствующими 3 столбцу. В итоге исход равен 3 (элемент матрицы а₃₃).

Рис. 3. Лучшая стратегия по критерию Вальда

3) Критерий Гурвица рекомендует стратегию, определяемую по формуле:

,

где б - степень оптимизма.

Результат расчета критерия в MS Excel приведен на рис. 4. По его результатам наилучшим исходом при степени оптимизма 0,7 будет 5,1. Максимально близко данному исходу соответствует 3-е управленческое решение с альтернативными внешними условиями, соответствующими 2 столбцу (элемент матрицы а₃₂).

Рис. 4. Лучшая стратегия по критерию Гурвица

4) Критерий Сэвиджа предполагает нахождение матрицы риска, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния внешней среды он не выберет наилучшей стратегии. Элементы такой матрицы находятся по формуле:

.

Здесь в отличие от предыдущих критериев необходимо найти максимальные элементы каждого столбца, а не строки.

Оптимальная стратегия определяется выражением:

.

Результат расчета критерия в MS Excel приведен на рис. 5. По его результатам наилучшим исходом будет 5. Этот вариант соответствует 3-му управленческому решению с альтернативными внешними условиями, соответствующими 3 столбцу (элемент начальной матрицы а₃₃ или элемент r₃₃ матрицы рисков).

Рис. 5. Лучшая стратегия по критерию Сэвиджа

Таким образом, два из четырех критериев указывают на один и тот же исход: элемент с координатами (3;3). Ему соответствует третье управленческое решение при третьем варианте реальной ситуации (состояния внешней среды).

Список использованной литературы

1. Орлова И. В., Половников В. А. - Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учебное пособие. - М.: Вузовский учебник, 2007. - 365 с.

2. Орлова И. В. - Экономико-математические модели и методы. Практическое пособие по решению задач. - Москва, 2003.

3. Математические методы в управлении: Учебное пособие. - М.: Вузовский учебник / Гармаш А. Н., Орлова И. В. - ИНФРА-М, 2012. - 272 с.

4. Экономико-математические методы и прикладные модели: Компьютерный практикум и руководство к выполнению лабораторной работы по теме "Оптимизационные экономико-математические модели. Методы получения оптимальных решений" / Гармаш А.Н., Гусарова О.М., Орлова И.В., Якушев А.А. - М.: ВЗФЭИ, 2002.

5. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ В. В. Федосеев, А. Н. Гармаш, Д. М. Дайитбегов и др.; Под редакцией В. В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 2001. - 391 с.

Размещено на Allbest.ru

...