Экономико-математическое моделирование систем массового обслуживания и экономических процессов

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНУНИВЕРСИТЕТ)

НОВОРОССИЙСКИЙ ФИЛИАЛ ФИНУНИВЕРСИТЕТА

Кафедра «Математика и информатика»

Контрольная работа

по дисциплине: «Методы оптимальных решений»

вариант №6

Содержание

Задание 1. Методы теории массового обслуживания

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Список использованной литературы

Задание 1. Методы теории массового обслуживания

В решении различных экономических задач часто встречаются моменты, когда исследуемая экономическая система представляет собой систему массового обслуживания (СМО) - систему, «в которой, с одной стороны, постоянно возникают запросы на выполнение каких-либо работ (услуг), а с другой - происходит постоянное удовлетворение этих запросов». [4, с. 95]

Соответственно, теория массового обслуживания - это теория, которая исследует такие системы.

СМО включает в себя четыре основных элемента:

- входящий поток, который представляет собой источник требований;

- очередь;

- обслуживающие устройства (каналы обслуживания);

- выходящий поток.

Также при изучении СМО необходимо иметь представление о следующих терминах:

- требование (заявка, клиент) - это каждый отдельный запрос на выполнение работы (оказание услуг);

- обслуживание - это выполнение работы по удовлетворению требования;

- время обслуживания - это период времени от начала обслуживания и до его завершения;

- время ожидания - это период времени от поступления требования до начала обслуживания;

- время пребывания требования в системе - это сумма времени ожидания и времени обслуживания.

Системы массового обслуживания можно классифицировать по нескольким признакам. Так, по числу каналов облуживания СМО могут быть одноканальными и многоканальными.

В зависимости от условий ожидания начала обслуживания различают СМО с потерями (отказами) и СМО с ожиданием. В первом случае, если требование поступает в тот момент, когда все каналы обслуживания заняты, то данное требование «теряется», т.е. в обслуживании отказывают. К примеру, если человек зашел в парикмахерскую и все мастера заняты, то клиент не встает в очередь, а просто отказывается от своего решения постричься. Во втором случае, требование встанет в очередь и будет ожидать, пока освободится какой-нибудь канал обслуживания.

Для СМО с отказами важной характеристикой будет вероятность отказа в обслуживании и среднее количество отказов, для СМО с ожиданием - средняя величина очереди и времени ожидания.

Есть СМО, которые нельзя отнести ни к одному, ни к другому типу - СМО с ограничениям. В такой системе допускается очередь, но только в определенных рамках: с ограниченным числом требований или ограниченной длиной очереди. Также существуют системы с ограниченным временем ожидания.

Также СМО классифицируются по месту нахождения источника требований. Система может быть разомкнутой или замкнутой. В первом случае источник находится вне системы, т.е. все требования поступают извне и потенциально бесконечны. Во втором случае источник требований находится непосредственно в самой системе и поток требований в таком случае ограничен (и чаще всего число требований постоянно).

К примеру, разомкнутой СМО может служить любой магазин или касса, а замкнутой СМО - компьютерный клуб, где источником конечного потока требований служит парк компьютеров, число которых практически не меняется.

Также СМО могут различаться по дисциплине обслуживания, в зависимости от того в каком порядке обслуживаются требования (по мере поступления, в зависимости от различных приоритетов или в случайном порядке). Наконец, СМО могут быть однофазные (все обслуживающие каналы однотипны и равнозначны) и многофазные (требования последовательно передаются от одного канала к другому).

Методы, применяемые в теории массового обслуживания, условно делят на два типа: аналитические и статистические (или имитационные).

Аналитические методы позволяют получить характеристики системы как некоторые функции параметров ее функционирования. Благодаря этому появляется возможность проводить качественный анализ влияния отдельных факторов на эффективность работы СМО. [4, с. 97]

Имитационные методы основаны на моделировании процессов массового обслуживания на ЭВМ и применяются, если невозможно применение аналитических моделей. [5, с. 316]

Так как экономические системы и в частности СМО являются довольно сложными, то при использовании аналитических методов принято делать некоторые допущения, которые упрощают расчеты и анализ результатов. Основным таким допущением является представление потока требований в качестве простейшего потока - пуассоновского. Это значит, что частота поступления требований в СМО подчиняется закону Пуассона:

, (1)

где л - параметр, интенсивность входящего потока требований;

t - рассматриваемый промежуток времени;

k - число требований.

Такой поток требований обладает следующими свойствами:

1. Ординарность - означает, что в единицу времени поступает только одно требование, а ситуация одновременного поступления нескольких требований практически невозможна. К примеру, в парикмахерскую не зайдет два клиента одновременно.

2. Стационарность - означает что интенсивность (или математическое ожидание) поступления требований в систему не меняется во времени. К примеру, если в парикмахерскую обычно заходит по одному клиенту в час, то не случится так, что зайдет два человек за час, а в какие-то часы клиентов совсем не будет.

3. Отсутствие последействия - означает, что число поступивших к определенному моменту требований, никак не влияет на будущее поступлений требований. К примеру, если в парикмахерской уже сидит в очереди пять человек (или наоборот, очередь пустая), то это никак не будет влиять на прирост очереди.

Кроме частоты потока требований, важной характеристикой СМО является также время обслуживания требования. Данное время также можно описать как случайную величину, чаще всего оно описывается показательным (экспоненциальным) законом распределения:

, (2)

где м - интенсивность обслуживания, параметр показательного закона времени обслуживания.

Параметр м рассчитывается как величина, обратная среднему времени обслуживания ():

. (3)

Теперь перейдем к рассмотрению основных характеристик СМО. Начнем с СМО с отказами. Прежде всего, введем дополнительную характеристику - нагрузка на систему массового обслуживания:

.

Впервые задача с такой системой была решена в начале 20 века.

Основные характеристики такой системы будут следующие:

- вероятность отказа в обслуживании:

, где ; (4)

- относительная пропускная способность или вероятность того, что заявка будет обслужена:

; (5)

- абсолютная пропускная способность:

; (6)

- среднее число занятых каналов:

. (7)

Примером решения задачи для СМО с отказами может служить задание 4 (стр. 20 - 22 данной контрольной работы).

Теперь перейдем к рассмотрению СМО с ожиданием. Вновь предположим, что в систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований с параметром л. При этом система имеет n каналов, и если все они заняты, то требование становится в очередь. Случайная величина «время обслуживания» подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром м.

Начнем рассмотрение характеристик разомкнутых систем массового обслуживания. Нормальная работа такой СМО обеспечивается следующим соотношением:

,

Где

. (8)

Параметр б определяется как нагрузка на систему, т.е. отношение частоты поступления требований в систему и среднего времени обслуживания одного требования. Фактически, данный параметр определяет, сколько именно каналов необходимо системе, чтобы все поступающие требования успевали обслужить (иначе, очередь ожидания будет только увеличиваться). Путем сравнения данного параметра с имеющимся числом каналов определяется, насколько работоспособна система.

К основным характеристикам разомкнутой СМО с ожиданием относят:

- вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны:

; (9)

- вероятность того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находящихся на обслуживании, не превосходит числа обслуживающих каналов:

при ; (10)

- вероятность того, что в системе находится k требований в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов:

при ; (11)

- вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:

; (12)

- средняя длина очереди:

; (13)

- среднее время ожидания требованием начала обслуживания:

; (14)

- среднее число свободных каналов:

; (15)

- коэффициент простоя каналов:

; (16)

- среднее число занятых обслуживанием каналов:

; (17)

- коэффициент загрузки каналов:

. (18)

Рассмотрим конкретный числовой пример для разомкнутой системы массового обслуживания с ожиданием.

Пример 1. В парикмахерской поток клиентов имеет интенсивность 1 человек в час, а продолжительность обслуживания - 20 минут на каждого клиента. Количество мастеров в парикмахерской - 3 человека. За единицу времени примем рабочий день - 8 часов. Определить основные характеристики системы (использовать формулы 3, 8, 9, 12-14).

Решение: Исходя из времени обслуживания, определим параметр м:

.

Параметр клиентов за день (1 клиент в час за 8 часов). Теперь определим параметр

.

Так как , то парикмахерская работает нормально - очередь не прирастает до бесконечности.

Вероятность того, что все мастера свободны составит:

.

Вероятность того, что все мастера заняты:

.

Это означает, что 80,8% времени заняты все три мастера.

Теперь определим среднюю длину очереди:

человек.

Среднее время ожидания начала обслуживания:

ч.

Теперь аналогично рассмотрим замкнутые СМО с ожиданием.

Количество требований в системе будет конечным (m), поэтому единственным случаем, при котором в СМО образуется очередь - это . Рассмотрим основные характеристики замкнутой СМО:

- вероятность того, что в системе находится k требований, при условии, что их число не превосходит числа обслуживающих каналов:

При

; (19)

- вероятность того, что в системе находится k требований при условии, когда их число больше числа обслуживающих каналов:

при

; (20)

- вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны:

; (21)

- средняя длина очереди:

; (22)

- коэффициент простоя обслуживаемого требования (объекта):

; (23)

- среднее число требований, находящихся в системе:

; (24)

- среднее число свободных обслуживающих каналов:

; (25)

- коэффициент простоя обслуживающих каналов:

; (26)

- среднее время простоя требования в очереди на обслуживание:

. (27)

Рассмотрим конкретный числовой пример для замкнутой системы массового обслуживания с ожиданием.

Пример 2. Рассмотрим ту же парикмахерскую, уборщик обслуживает рабочее место мастера. Поток поступающих требований на обслуживание пуассоновский с параметром места / ч. Обслуживание одного места занимает 6 минут, а время обслуживания подчинено показательному закону. Определить основные характеристики системы (использовать формулы 3, 8, 20-22).

Решение: Исходя из времени обслуживания, определим параметр м:

.

Теперь определим параметр

.

Определим вероятности всех возможных состояний (n=1; m=3):

- одно место ожидает уборки

;

- два места ожидают уборки

;

- все три места ожидают уборки

.

Так как

,

То

.

Отсюда вероятности составят:

;

.

Средняя длина очереди составит:

.

Наконец, рассмотрим имитационные методы. Они используются при изучении экономических систем, в которых параметры оцениваются не конкретными числами, а вероятностями. Чаще всего это касается принятия решений в условиях риска, в этих случаях применяют методы машинной имитации, т.е. имитационного моделирования.

Одним из широко распространенных методов имитации является метод статистического моделирования Монте-Карло, позволяющий воспроизводить на компьютере случайные величины с заданными законами распределения. Так как отдельные реализации этих случайных величин получены искусственно, то их (реализации) называют псевдослучайными числами. Процедуры получения псевдослучайных чисел называют датчиками псевдослучайных чисел. [1, с. 158]

При использовании метода Монте-Карло существенное значение имеет равномерный закон распределения, с помощью которого можно получить любое другое распределение.

Результаты расчетов по имитационным моделям небольшой размерности обычно представляют в виде таблиц, легко поддающихся количественному анализу.

Пример имитационного моделирования представлен в задании 5 данной контрольной работы (стр. 23-24).

Методы теории массового обслуживания широко применяются в экономике. Особенно удобно их использование в организации торговли, складского хозяйства, снабженческих организаций, а также при решении задач организации и нормирования труда, других социально-экономических проблем.

Задание 2

Постановка задачи. Решите графическим методом типовую задачу оптимизации. Осуществите проверку правильности решения с помощью средств MS Excel (надстройка Поиск решения).

Финансовый консультант фирмы «АВС» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25 000 долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси». Анализируются акции «Дикси - Е» и «Дикси - В». Цены на акции: «Дикси - Е» - 5 долл.; «Дикси - В» - 3 долл. за акцию. Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, но при этом акций одного вида должно быть не более 5000 штук.

По оценкам аналитика, прибыль от инвестиций в следующем году составит: по акции «Дикси - Е» - 1,1 долл., по акции «Дикси - В» - 0,9 долл.

Дайте рекомендации клиенту по оптимизации прибыли от инвестиций.

Постройте экономико-математическую модель задачи, дайте необходимые комментарии к ее элементам и получите решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

Решение:

Введем следующие обозначения:

х₁ - число акций «Дикси - Е»

х₂ - число акций «Дикси - В»

Целевая функция, которую необходимо максимизировать, имеет вид:

Ограничения задачи:

- по общей сумме инвестиций:

;

- по общему количеству акций:

массовый обслуживание модель оптимизация

;

- по количеству акций первого типа: ;

- по количеству акций второго типа: .

Первое ограничение по общей сумме инвестиций

.

Прямая

проходит через две точки: (0; 8333,3) и (5000; 0). Областью допустимых решений (ОДР) данного неравенства является нижняя полуплоскость.

Второе ограничение по общему числу акций. Прямая проходит через две точки: (0; 6000) и (6000; 0). ОДР этого неравенства является соответствующая нижняя полуплоскость.

Проведем две прямых на уровне 5000 по обеим осям, которые будут отражать ограничения по максимальному числу акций каждого типа: , .

В результате получим область допустимых решений, соответствующую замкнутому многоугольнику OABCD (рис. 1).

Рис. 1. Заштрихована область допустимых решений функции

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент. Его координаты равны частным производным целевой функции:

.

Для удобства построим вектор, пропорциональный вектору-градиенту - .

Построим линию уровня

для а=4950 (, ; , ). При движении этой прямой в направлении вектора-градиента предельной точкой (точкой максимума) является точка С. Определим ее координаты. Для этого составим систему из уравнений двух прямых, к которым принадлежит эта точка:

Тогда значение функции в этой точке:

.

Значит, решением исходной задачи линейного программирования будет: , который достигается при и .

В случае минимизации целевой функции движение перпендикуляра вектора-градиента будет происходить в противоположном направлении, тогда он покинет область допустимых решений в точке О(0;0). Это будет означать, что минимум целевой функции будет достигаться при

.

То есть прибыль от инвестиций будет минимальна, если она равна 0, а для этого необходимо вообще не покупать акций.

Проверим правильность решения при помощи MS Excel.

На рабочем листе MS Excel введем исходные данные задачи (рис. 2), для этого:

- в ячейки B2:C2 введем переменные, значение которых необходимо найти;

- в ячейки B4:C4 введем коэффициенты из целевой функции для каждой переменной соответственно;

- в ячейки B7:Е8 введем первые два ограничения задачи.

В ячейку D4 вставляем функцию СУММПРОИЗВ($В$3:$С$3;В4:С4). Дублируем формулу для ограничений.

Рис. 2. Ввод исходных данных задачи

Теперь приступаем к поиску оптимального решения. Для этого входим в меню Сервис > Поиск решения. В появившемся окне указываем:

- Установить целевую ячейку: $D$4 - это ячейка, в которой будет выведен максимум целевой функции;

- Равной: максимальному значению;

- Изменяя ячейки: $B$3:$С$3.

Затем необходимо добавить ограничения задачи (кроме двух имеющихся на листе ограничений необходимо задать ограничение по количеству акций одного типа).

Результаты решения задачи при помощи надстройки Поиск решения приведены на рис. 3.

Рис. 3. Результаты решения задачи

Как видно, и количество акций двух видов, и максимальная прибыль совпали, значит, задача была решена верно.

Ответ: клиенту рекомендуется приобрести 3500 акций «Дикси - Е» и 2500 акций «Дикси - В», тогда он получит максимальную прибыль в размере 6100 долл.

Задание 3

Постановка задачи. Рассчитайте параметры моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий.

Предприятие пищевой промышленности ежемесячно использует около 25 000 стеклянных банок объемом 1 л для производства фруктового сока. Месячная стоимость хранения одной банки - 10 коп. Компания работает в среднем 20 дней в месяц. Затраты на размещение заказа составляют 300 руб. Доставка заказа осуществляется в течение одного дня.

Определите:

а) оптимальный объем заказа;

б) годовые расходы на хранение запасов;

в) период поставок;

г) точку заказа.

Решение:

а) оптимальный объем заказа определим по формуле Уилсона:

,

где л - спрос за исследуемый интервал времени;

s - накладные расходы, связанные с размещением заказа и его поставкой, которые не зависят от объема партии;

T - период времени;

h - ежедневная стоимость хранения единицы товара.

Таким образом, если рассматривать промежуток времени в месяц (возьмем только рабочие дни - 20 дней), то спрос составит 25000 л, расходы на размещение заказа - 300 руб., ежедневная стоимость хранения единицы одной банки - 0,5 коп. (10 коп. / 20 дней) или 0,005 руб.

Оптимальный объем заказа составит:

л.

б) ежемесячные расходы на хранение запасов составят:

Учитывая, что фирма работает 12 месяцев в году, годовые расходы составят:

в) период поставок определим по следующей формуле:

суток.

г) точка заказа будет зависеть от показателя - время доставки (1 день):

.

Ответ: оптимальный объем заказа составит 12247 банок (или литров); годовые расходы на хранение запасов составят 14 696,88 руб.; период поставок составит 10 суток, а точка заказа - 1250 л (или банок).

Задание 4

Постановка задачи. В бухгалтерии организации в определенные дни непосредственно с сотрудниками работают два бухгалтера. Если сотрудник заходит в бухгалтерию для оформления документов (доверенностей, авансовых отчетов и пр.) в тот момент, когда оба бухгалтера заняты обслуживанием ранее обратившихся коллег, то он уходит из бухгалтерии, не ожидая обслуживания. Статистический анализ показал, что среднее число сотрудников, обращающихся в бухгалтерию в течение часа, равно л=12, а среднее время, которое затрачивает бухгалтер на оформление документа, -

Т_ср=1/м=10 мин.

Оцените основные характеристики работы данной бухгалтерии как СМО с отказами (указание руководства не допускать непроизводительных потерь рабочего времени). Определите, сколько бухгалтеров должно работать в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками, чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85%.

Указание: для исследования предлагаемой хозяйственной ситуации следует использовать методы теории массового обслуживания. При моделировании предполагается, что поток требований и на обслуживание является простейшим (пуассоновским), а продолжительность обслуживания распределена по экспоненциальному (показательному) закону. Задачу решить с помощью MS Excel.

Решение:

Данная система массового обслуживания является СМО с отказами, поэтому при решении используем формулы (4)-(7). Расчеты проведем в MS Excel. Результаты расчетов представлены на рис. 4.

Учитывая, что среднее время обслуживания - 1/6 часа, параметр м составит:

.

Далее определим нагрузку на СМО:

.

Так как необходимо определить число каналов (количество бухгалтеров), при котором вероятность обслуживания сотрудников была выше 85%, то рассчитаем характеристики СМО для числа каналов от 1 до 10 и выберем оптимальное количество. Во втором столбце таблицы вычислим следующее выражение:

.

Исходя из него можно определить вероятность (см. формулу (4)), а затем и вероятность отказа в обслуживании (см. формулу (5)). Также определим: относительную пропускную способность или вероятность того, что заявка будет обслужена (В); абсолютную пропускную способность (А) и среднее число занятых каналов (М).

Рис. 4. Расчет характеристик СМО

Как видно из расчетов, СМО является загруженной: 40% поступающих требований получают отказ; бухгалтерия успевает обслужить только 7,2 из 12 обратившихся человек; из двух бухгалтеров занято в среднем 1,2.

Теперь на основе вероятностей отказа в обслуживании построим график, чтобы определить, сколько необходимо бухгалтеров (см. рис. 5).

Рис. 5. График вероятности отказа в обслуживании

Чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85%, вероятность отказа должны быть ниже 15%. Как видно из графика, минимальное число каналов (бухгалтеров) должно соответствовать 4.

Ответ: при двух работающих бухгалтерах вероятность отказа в обслуживании ; вероятность того, что заявка будет обслужена, составляет ; абсолютная пропускная способность - человека, а среднее число занятых каналов - ;

чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85%, в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками должно работать 4 бухгалтера.

Задание 5

Постановка задачи. Статистический анализ показал, что случайная величина Х (длительность обслуживания клиента в парикмахерской) следует показательному закону распределения с параметром м=0,8, а число клиентов, поступающих в единицу времени (случайная величина Y), - закону Пуассона с параметром л=2,1.

Организуйте датчики псевдослучайных чисел для целей статистического моделирования (использования метода Монте-Карло).

Получите средствами MS Excel 15 реализаций случайной величины Х и 15 реализаций случайной величины Y.

Решение:

Результаты имитационного моделирования оформим в виде таблицы (см. рис. 6). Число испытаний N=15, случайные величины (P_i) с равномерным их распределением в интервале от 0 до 1 получены с помощью функции =СЛЧИС(). Эти числа содержатся в ячейках В6:В20.

Рис. 6. Табличное представление имитации

Пятнадцать реализаций случайной величины Х (длительности обслуживания клиента в парикмахерской) содержатся в ячейках C6:С20. Для их расчета был использован показательный закон распределения:

.

Так, в ячейке С6 была введена функция: = -(1/0,8)*LN(В6).

Для получения 15 реализаций случайной величины Y используем надстройку Пакет анализа - Генератор случайных чисел. Введем следующие параметры:

- число переменных - 1;

- число случайных чисел - 15;

- распределение - Пуассона;

- указать лямбда равной 2,1.

Список использованной литературы

1. Гармаш А.Н., Орлова И.В. Математические методы в управлении: Учебное пособие. - М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012. - 272 с.

2. Орлова И. В., Половников В. А. - Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учебное пособие. - М.: Вузовский учебник, 2007. - 365 с.

3. Орлова И. В. - Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде Excel / Практикум: Учебное пособие для вузов. - М.: ЗАО «Финстатинформ», 2000. - 136 с.

4. Экономико-математические методы в примерах и задачах: Учебное пособие / Гармаш А.Н., Орлова И.В., Концевая Н.В., Горбатенко Е.Н., Большаков В.А.; Под ред. А.Н. Гармаша. - М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2014. - 416 с.

5. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ В. В. Федосеев, А. Н. Гармаш, Д. М. Дайитбегов и др.; Под редакцией В. В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 2009. - 391 с.

Размещено на Allbest.ru

...