Автоматизированное решение задачи линейного программирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Московский государственный университет путей сообщения» (МИИТ)

Институт Экономики и Финансов

Кафедра «Финансы и кредит»

Курсовая работа

По дисциплине «Макроэкономическое планирование и прогнозирование»

Москва 2016 г.



Содержание

экономический математический моделирование

Введение

1. Автоматизированное решение общей задачи линейного программирования

2. Автоматизированное решение транспортной задачи линейного программирования

3. Возможности использования теории игр для принятия оптимальных экономических решений в условиях рынка

Список литературы



Введение

Задачей данной курсовой работы является закрепление теоретических знаний и выбор практических навыков в сфере математического моделирования экономических процессов, а так же умение привлекать новые информационные технологии для решения оптимизации задач.

Курсовая работа состоит из трех разделов, которые связаны между собой.

В первом разделе нужно максимизировать прибыль некоторого предприятия, производящие различные виды продукции, используя для этого математическую модель общей задачи линейного программирования (ОЗЛП) и модуль “Поиск решений” программного продукта Microsoft Excel.

Второй раздел курсовой работы посвящён особенностям постановки и решения некоторой разновидности общей задачи линейного программирования, а именно, транспортной задаче (ТЗЛП).

В третьем разделе курсовой работы рассматриваются различные способы оптимизации портфеля заказов при реализации продукции всех филиалов предприятия через розничную торговую сеть с привлечением методов теории вероятности и игровых способов принятия решения.



1. Автоматизированное решение транспортной задачи линейного программирования

В первом разделе нужно максимизировать прибыль некоторого предприятия, для чего требуется сформулировать и решить общую задачу линейного программирования (ОЗЛП).

Переменными задачи Xi j является количество сырья, закупаемого филиалом предприятия у каждого из семи акционерных обществ, поставляющих сырье разного типа и качества для производства всех видов продукции данного предприятия.

Составление экономико-математической модели общей задачи линейного программирования начинается с формулирования целевой функции F, для чего используются нормы прибыли Ci j, получаемой от переработки единицы каждого вида сырья, поставляемого семью акционерными обществами. Нормы прибыли приводятся отдельно по каждому филиалу предприятия (номеру предприятия).

В соответствии с поставленной в задании задачей максимизации прибыли целевая функция должна стремиться к максимуму:

Далее следует приступить к составлению системы ограничений общей задачи линейного программирования.

Сформулируем систему ограничений общей задачи линейного программирования:



Полученная в (1) и (2) экономико-математическая модель ОЗЛП может быть решена известными методами; для этого будем использовать модуль “Поиск решений” Excel.

При использовании подпрограммы “Поиск решения” необходимо сообщить компьютеру адреса ячеек таблиц Excel, в которых находятся переменные задачи, а так же коэффициенты целевой функции и системы ограничений. Для того сначала введем их в форме таблиц Excel по образцу, показанному в таблице 1 для некоторого варианта заданий.

Таблица 1. Исходные данные для 1 раздела

Максимальный объем выпуска продукции
№№	Вид продукции
24	-	3,3	4,2	2,2	1,7

Таблица 2

Акционерное Общество (переработчики)
1	2	3	4	5	6	7
25	55	45	60	35	45	70

Таблица 3. Выход (из 1 тонны сырья) готового продукта, aij

Номер АО (j)	Вид продукции (i )
	i=1	i =2	i=3	i=4	i=5
1	0,2 (*)	0,2 (*)	0,1 (*)	0,1 (*)	0,1 (*)
2	0,1	0,2	0,15	0,15	0,1
3	0,15	0,15	0,1	0,2	0,1
4	0,2	0,1	0,25	0,1	0,1
5	0,25	0,1	0,1	0,15	0,1
6	0,1	0,2	0,15	0,2	0,1
7	0,3	0,1	0,1	0,1	0,1

(*) Остальная доля сырья идет в отход



Предприятие может выпускать до 5 видов продукции, причем каждый продукт имеет ограничение по объёму выпуска. Мы должны учесть это при составлении системы ограничений. То есть расчётный объём продукции не может превышать максимальный объём выпуска данного вида продукции. Также в системе ограничений мы должны учесть то, что объём закупаемого сырья не может быть отрицательным.

Для каждого продукта установлен норма выхода готовой продукции из одной тонны сырья.

Составим для нашей задачи систему ограничений и целевую функцию:

Для достижения поставленной цели и правильного решения задачи линейного программирования (ОЗЛП) необходимо:

Определить количество закупаемого заданным филиалом фирмы сырья у каждого АО, максимизируя прибыль филиала;

С помощью полученных в результате реализации модели отчетов сделать рекомендации филиалу фирмы по расширению программы выпуска ассортимента продукции.



Таблицы для ввода исходных данных ОЗЛП

Таким образом получается АО1=0, АО2=0, АО3=0, АО4=0, АО5=0, АО6=0, АО7=17.

Следовательно, филиалу предприятия выгодно закупать сырьё у предприятия АО7 в количестве 17 тонн. При этом максимум прибыли предприятия составит 1190 тыс. рублей и будут произведены следующие объемы продукции: продукт 2 - продукт 5 = 1,7 т.

Экономический анализ полученного оптимального решения производится с помощью отчетов по результатам, устойчивости и пределам, вызываемым через диалоговое окно «Результаты поиска решения».



Форма “Отчеты по результатам” модуля “Поиск решения”

В таблице «Ячейка целевой функции (Максимум)» приведены адрес, исходное и результатное значения целевой функции.

В таблице «Ячейки переменных» находятся адреса, идентификаторы и значения всех исходных переменных задачи.

В таблице «Ограничения» показаны результаты оптимального решения для граничных условий и ограничений задачи.

В графе «Формула» указаны зависимости, которые были введены в диалоговом окне «Поиск решения», в графе «Значения» приведены величины объемов отдельных видов продукции и значения искомых «переменных задачи». В графе «Допуск» показано количество не произведенной продукции. Если объем производства продукции данного типа равен максимально возможному, то в графе «Состояние» указывается «Привязка», при неполном производстве продукции в графе «Состояние» указывается «Без привязки», а в графе «Допуск» - остаток. Для граничных условий приводятся аналогичные величины.

Отчет по устойчивости содержит информацию о том, насколько целевая ячейка чувствительна к изменениям ограничений и переменных. Этот отчет имеет два раздела: один для изменяемых ячеек, а второй - для ограничений

Форма «Отчета по устойчивости модуля «Поиск решения»

Отчет об устойчивости содержит информацию о том, насколько целевая ячейка чувствительна к изменениям ограничений и переменных. Этот отчет имеет два раздела: один для ячеек переменных, другой - для ограничений.

В разделе для переменных ячеек графа «Приведенная стоимость» содержит значения дополнительных двойственных переменных, показывающих, как изменится целевая функция при принудительной закупке единицы сырья у данного акционерного общества. В нашей задаче при покупке одной тонны сырья у АО1, прибыль снизится на 45 тыс. руб., при закупке тонны сырья у АО2 - на 15 тыс. руб., у АО3 - на 25 тыс. руб и т.д.

Графа "Целевой коэффициент" показывает степень зависимости между изменяемой и целевой ячейками, те коэффициенты целевой функции

Графы «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение» показывают предельные значения приращения коэффициентов в целевой функции Сi, при которых сохраняется оптимальное решение. Пока норма прибыли изменяется в допустимых пределах, задачу заново решать не нужно - план остается оптимальным. В нашем примере норма прибыли филиалов АО1-АО6 может увеличиться на 45; 15; 25; 10; 35; 25 тыс. руб. соответственно. А уменьшиться может по АО7 на 10 тыс. руб.

Для ограничений в графе «Теневая цена» приведены двойственные оценки Z, которые показывают, как изменится целевая функция при изменении объема выпуска продукции на единицу. При увеличении выпуска продукта 5 на тонну, прибыль увеличится на 700 тыс.руб. соответственно.

В графах «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение» показаны размеры приращений объемов выпуска продукции bi, при которых сохраняется оптимальный набор переменных, входящих в оптимальное решение.

Форма отчета по пределам модуля «Поиск решений»

Отчет о пределах показывает, что объем закупаемого сырья, вошедший в оптимальное решение, при сохранении структуры оптимального решения, будет изменяться в пределах, указанных в вышеприведенном отчете.

В отчете указаны значения Xj в оптимальном решении и нижние пределы изменений значений Xj. Кроме этого, в отчете указаны значения целевой функции пи закупке данного типа сырья на нижнем пределе, а также верхние пределы изменений Xj и значения целевой функции при закупке сырья, вошедшего в оптимальное решение, на верхних пределах.

Рекомендации предприятию по расширению программы выпуска ассортимента продукции, сделанными на основе экономического анализа приведенных выше отчетов.

На основании «отчета по пределам» делаем вывод, что оптимальное количество закупаемого сырья составляет:

Сырье 7 = 17

Остальные закупать нерационально.

Максимальная прибыль предприятия равна 1190.

Прибыль сырья 7 = 0

Оптимальный объем выпуска продукции равен:

- продукт 2 = 1.7 т

- продукт 3 = 1.7 т

- продукт 4 = 1.7 т

- продукт 5 = 1,7 т

В результате проведенного анализа найден оптимальный план производства для предприятия. Предприятию необходимо закупать сырье у поставщика 7 в количестве 17 тонн соответственно, при этом максимум прибыли составит 1190 тысяч.

Анализируя «отчет по устойчивости», можно сделать вывод о том, что объём выпуска продукта 5 можно увеличить на 0,5 («допустимое увеличение»). Теневая цена 5 продукта 700. Т.к. теневая цена - это двойственная переменная, показывающая изменение целевой функции при изменении данного ресурса. Следовательно, при увеличении объёма выпуска продукта 5 прибыль увеличится на 0,5*700=350 тыс., и будет равна 1190+350=1540 тыс. Увеличение объема выпуска продукции 2,3,4, т.к. прибыль от реализации не увеличится.

Так же можно сделать вывод, что продукт 2, 3, 4 можно уменьшить до 1,6; 2,5; 0,5 соответственно («допустимое уменьшение»). Допустимое уменьшение следует применять при низком спросе на реализацию продукции. Например, если мы уменьшим выпуск продукции 4 на 0,5, прибыль не изменится, т.к. теневая цена=0. Если уменьшить выпуск продукции на 1,7, то прибыль также уменьшится.

2. Автоматизированное решение транспортной задачи линейного программирования

Второй раздел курсовой работы посвящён особенностям постановки и решения некоторой разновидности общей задачи линейного программирования, а именно, транспортной задаче (ТЗЛП). Постановка и модель ТЗЛП представлена ниже.

Пусть имеется m пунктов отправления:

A1, A2, … Am, в которых сосредоточены запасы некоторых однородных грузов (товаров) в количестве a1, a2, …, am.

Имеется n пунктов назначения:

B1, B2, …, Bn, имеющих заявки на b1,b2,…,bn единиц грузов.

Предполагается, что сумма всех заявок равна сумме всех запасов:

Известна стоимость (Cij) перевозки единицы товара от каждого пункта отправления Ai до каждого пункта назначения Bj.

Требуется составить такой план перевозок, при котором все заявки были бы выполнены, и общая стоимость перевозок была бы минимальная.

При такой постановке показателем эффективности плана является стоимость, поэтому задача называется транспортной по критерию стоимости.

Особенность задачи заключается в следующем:

Все коэффициенты при переменных в основных уравнениях задач равны 1.

А. Суммарное количество грузов должно быть равно запасу:

(2.1)

Б. Суммарное количество груза должно быть равно заявке:

(2.2)

В. суммарная стоимость всех перевозок должна быть минимальна:

(2.3)

Г. Искомые переменные должны быть неотрицательными:

Хij0 (2.4)

При выполнении второго раздела необходимо составить модель ТЗЛП.

Автоматизированное решение ТЗЛП производится с помощью модуля «Поиск решения», работа с которым описана в первом разделе. Остановимся на некоторых особенностях решения ТЗЛП. На этапе ввода исходных данных в рабочей книге программы Excel рекомендуется создать две матрицы - для области изменяемых ячеек Xij и для области удельных затрат на доставку сырья Cjk.

Клеткам матрицы изменяемых ячеек присваиваются единичные значения, данные для заполнения матрицы удельных затрат берутся из табл.4 приложения.

Таблица 4. Исходные данные для 2 раздела

Потребности филиалов в сырье
номер	Номер филиала
	1	2	3	4	5
24	17	16,2	28	16,4	18,4

Таблица 5. Удельные затраты на доставку сырья, Сjk

Номер АО (j) Номер филиала фирмы (к)
	к=1	к =2	к=3	к=4	к=5
1	1,2	2,3	3,1	1,6	2,7
2	3,1	1,1	4,2	3,8	1,6
3	0,8	3,1	1,5	2,1	4,5
4	4,0	2,9	3,7	4,3	2,8
5	3,1	4,0	3,6	5,2	2,6
6	3,4	2,8	4,1	3,0	3,7
7	4,8	5,6	6,7	4,2	5,8

Таблица 6

Объемы предложения сырья у АО, Аj, в тоннах
АО (j)
	J=1	J=2	J=3	J=4	J=5	j=6	J=7
Aj	7	4	11	16	8	5	45

При такой постановке показателем эффективности плана является стоимость, поэтому задача называется транспортной по критерию стоимости. Особенность задачи заключается в следующем: все коэффициенты при переменных в основных уравнениях задач равны 1.

При выполнении второго раздела курсовой работы следует составить модель ТЗЛП. Автоматизированное решение ТЗЛП производится с помощью модуля «Поиск решения».

Составим модель ТЗЛП

F(x)=17X1+16,2X2+28X3+16,4X4+18,4X5=96,0

F(x)=81,6X1+58,72X2+75,2X3+68,88X4+63,12X5=347,52

Для решения задачи требуется:

Определить оптимальные поставки сырья от АО до филиалов фирмы, (хjk), в тоннах;

Определить минимальные затраты фирмы на доставку сырья до ее филиалов.



Матрица для ввода исходных данных при решении ТЗЛП с помощью модуля “Поиск решения”

Таким образом, АО1 должно доставить сырье третьему филиалу в размере 7 тонн, АО2 -второму филиалу - 4 тонны, АО3 - третьему филиалу в размере 11 тонн, АО4 - третьему филиалу - 10 тонн, пятому филиалу - 6 тонн, АО5 должно доставить пятому филиалу 8 тонн сырья. АО6 должно совершить доставку второму филиалу в размере 5 тонн сырья. АО7 должно доставить сырье первому, второму, четвертому, пятому филиалам в размере 17; 7,2; 16,4; 4,4 тонны соответственно. При этом минимальные затраты фирмы на доставку сырье до ее филиалов составят 347,52 тыс. руб.

В результате произведенных расчетов, с использованием модуля «Поиск решений», был сформирован отчет о результатах, который необходим для анализа деятельности предприятия и решения поставленных задач.



Отчет о результатах

Ячейка целевой функции (Минимум)
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Окончательное значение
	$B$20	ЦФ покуп1	0	347,52
Ячейки переменных
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Окончательное значение	Целочисленное
	$B$2	пост1 покуп1	0	0	Продолжить
	$C$2	пост1 покуп2	0	0	Продолжить
	$D$2	пост1 покуп3	0	7	Продолжить
	$E$2	пост1 покуп4	0	0	Продолжить
	$F$2	пост1 покуп5	0	0	Продолжить
	$B$3	пост2 покуп1	0	0	Продолжить
	$C$3	пост2 покуп2	0	4	Продолжить
	$D$3	пост2 покуп3	0	0	Продолжить
	$E$3	пост2 покуп4	0	0	Продолжить
	$F$3	пост2 покуп5	0	0	Продолжить
	$B$4	пост3 покуп1	0	0	Продолжить
	$C$4	пост3 покуп2	0	0	Продолжить
	$D$4	пост3 покуп3	0	11	Продолжить
	$E$4	пост3 покуп4	0	0	Продолжить
	$F$4	пост3 покуп5	0	0	Продолжить
	$B$5	пост4 покуп1	0	0	Продолжить
	$C$5	пост4 покуп2	0	0	Продолжить
	$D$5	пост4 покуп3	0	10	Продолжить
	$E$5	пост4 покуп4	0	0	Продолжить
	$F$5	пост4 покуп5	0	6	Продолжить
	$B$6	пост5 покуп1	0	0	Продолжить
	$C$6	пост5 покуп2	0	0	Продолжить
	$D$6	пост5 покуп3	0	0	Продолжить
	$E$6	пост5 покуп4	0	0	Продолжить
	$F$6	пост5 покуп5	0	8	Продолжить
	$B$7	пост6 покуп1	0	0	Продолжить
	$C$7	пост6 покуп2	0	5	Продолжить
	$D$7	пост6 покуп3	0	0	Продолжить
	$E$7	пост6 покуп4	0	0	Продолжить
	$F$7	пост6 покуп5	0	0	Продолжить
	$B$8	пост7 покуп1	0	17	Продолжить
	$C$8	пост7 покуп2	0	7,2	Продолжить
	$D$8	пост7 покуп3	0	0	Продолжить
	$E$8	пост7 покуп4	0	16,4	Продолжить
	$F$8	пост7 покуп5	0	4,4	Продолжить
Ограничения
	Ячейка	Имя	Значение ячейки	Формула	Состояние	Допуск
	$B$9	контрольная сумма покуп1	17	$B$9=$B$10	Привязка	0
	$C$9	контрольная сумма покуп2	16,2	$C$9=$C$10	Привязка	0
	$D$9	контрольная сумма покуп3	28	$D$9=$D$10	Привязка	0
	$E$9	контрольная сумма покуп4	16,4	$E$9=$E$10	Привязка	0
	$F$9	контрольная сумма покуп5	18,4	$F$9=$F$10	Привязка	0
	$G$2	пост1 контрольная сумма	7	$G$2=$H$2	Привязка	0
	$G$3	пост2 контрольная сумма	4	$G$3=$H$3	Привязка	0
	$G$4	пост3 контрольная сумма	11	$G$4=$H$4	Привязка	0
	$G$5	пост4 контрольная сумма	16	$G$5=$H$5	Привязка	0
	$G$6	пост5 контрольная сумма	8	$G$6=$H$6	Привязка	0
	$G$7	пост6 контрольная сумма	5	$G$7=$H$7	Привязка	0
	$G$8	пост7 контрольная сумма	45	$G$8=$H$8	Привязка	0
	$B$2	пост1 покуп1	0	$B$2>=$I$2	Привязка	0
	$C$2	пост1 покуп2	0	$C$2>=$I$2	Привязка	0
	$D$2	пост1 покуп3	7	$D$2>=$I$2	Без привязки	7
	$E$2	пост1 покуп4	0	$E$2>=$I$2	Привязка	0
	$F$2	пост1 покуп5	0	$F$2>=$I$2	Привязка	0
	$B$3	пост2 покуп1	0	$B$3>=$I$2	Привязка	0
	$C$3	пост2 покуп2	4	$C$3>=$I$2	Без привязки	4
	$D$3	пост2 покуп3	0	$D$3>=$I$2	Привязка	0
	$E$3	пост2 покуп4	0	$E$3>=$I$2	Привязка	0
	$F$3	пост2 покуп5	0	$F$3>=$I$2	Привязка	0
	$B$4	пост3 покуп1	0	$B$4>=$I$2	Привязка	0
	$C$4	пост3 покуп2	0	$C$4>=$I$2	Привязка	0
	$D$4	пост3 покуп3	11	$D$4>=$I$2	Без привязки	11
	$E$4	пост3 покуп4	0	$E$4>=$I$2	Привязка	0
	$F$4	пост3 покуп5	0	$F$4>=$I$2	Привязка	0
	$B$5	пост4 покуп1	0	$B$5>=$I$2	Привязка	0
	$C$5	пост4 покуп2	0	$C$5>=$I$2	Привязка	0
	$D$5	пост4 покуп3	10	$D$5>=$I$2	Без привязки	10
	$E$5	пост4 покуп4	0	$E$5>=$I$2	Привязка	0
	$F$5	пост4 покуп5	6	$F$5>=$I$2	Без привязки	6
	$B$6	пост5 покуп1	0	$B$6>=$I$2	Привязка	0
	$C$6	пост5 покуп2	0	$C$6>=$I$2	Привязка	0
	$D$6	пост5 покуп3	0	$D$6>=$I$2	Привязка	0
	$E$6	пост5 покуп4	0	$E$6>=$I$2	Привязка	0
	$F$6	пост5 покуп5	8	$F$6>=$I$2	Без привязки	8
	$B$7	пост6 покуп1	0	$B$7>=$I$2	Привязка	0
	$C$7	пост6 покуп2	5	$C$7>=$I$2	Без привязки	5
	$D$7	пост6 покуп3	0	$D$7>=$I$2	Привязка	0
	$E$7	пост6 покуп4	0	$E$7>=$I$2	Привязка	0
	$F$7	пост6 покуп5	0	$F$7>=$I$2	Привязка	0
	$B$8	пост7 покуп1	17	$B$8>=$I$2	Без привязки	17
	$C$8	пост7 покуп2	7,2	$C$8>=$I$2	Без привязки	7,2
	$D$8	пост7 покуп3	0	$D$8>=$I$2	Привязка	0
	$E$8	пост7 покуп4	16,4	$E$8>=$I$2	Без привязки	16,4
	$F$8	пост7 покуп5	4,4	$F$8>=$I$2	Без привязки	4,4

3. Возможности использования теории игр для принятия оптимальных экономических решений в условиях рынка

Таблица 7

Спрос на продукцию
0,07	0,15	0,24	0,31	0,12	0,11

Таблица 8



В третьем разделе курсовой работы мы определяем оптимальную стратегию заказа в условиях риска, опираясь на методы теории вероятности и игровые способы принятия решений.

Выполнение раздела я начинаю с формирования платежной матрицы (таблица 9), т.е. матрицы того дохода, который продавец получит при закупке разного числа единиц товара. В моем случае, при спросе 6 партий, продавец должен закупить 6 партии товара - при этом он получает максимальный доход.

Расходы продавца - 26*6= 156

Выручка от спроса - 5,2*10*6 =312

Итого доход: 156

Если закупка продавца оказывается меньше спроса, он упускает прибыль из-за неправильно выбранной стратегии. Например, при спросе 3 партии продавец заказывает 2 партии товара:

Расходы продавца - 26*2 = 52

Выручка от продаж - 5,2*10*2 = 104

Итого доход: 52

В случае оптимального заказа доход мог бы составить 78 единиц (таблица 9).

Если закупка продавца превышает дневной спрос, то, по условию задачи, он должен сдать часть нереализованного товара обратно на склад за меньшую цену, доход продавца сокращается, а при значительной ошибке в выборе стратегии даже может привести к убыткам.

Предположим, при спросе 1 партии товара продавец приобрел 6 партий:

Расходы продавца - 26*6 = 156

Выручка от продаж - 5,2*10*1 = 52

При этом у продавца осталось 5 нереализованных партий товара, которые он сдает на склад;

Выручка от сдачи 5 партий на склад:

21*5 = 105

Итого доход:

(52+105)-156= 1, т.е. продавец не несет потери, но и почти не окупает затраты, т.е работает в холостую.

Таблица 9

Далее следует рассчитать матрицу потерь (табл. 10), которая формируется на основе платежной матрицы и показывает те потери, которые несет продавец, если формирует портфель заказов, отступая от оптимальной стратегии. Например, при заказе продавцом трех партий товара и спросе в 6 партии он имеет максимальный доход (табл. 9).

При заказе продавцом 2 партий товара, а спросе в 3 партии (табл. 10), его упущенная прибыль составит:78-52=26 единиц.

Таблица 10



При заказе продавцом 6 партий товара, а спросе в 1 партию (табл. 11) упущенная прибыль составит: 26-1= 25.

Данные рассчитанной матрицы потерь, а также сведения о вероятности дневного спроса на продукцию используются далее для вычисления вмененных издержек от занижения заказа (верхний «Треугольник» матрицы потерь) - табл. 11, вмененных издержек от завышения заказа (нижний «треугольник» матрицы потерь) - табл. 12, а также суммарных ожидаемых вмененных издержек - табл. 13.

Таблица 11. Расчет ожидаемых вмененных издержек от занижения заказа

Матрица потерь от занижения заказов	Вектор столбца вероятности спроса	Ожидаемые вмененные издержки
0	26	52	78	104	130	0,15	67,34
0	0	26	52	78	104	0,25	43,16
0	0	0	26	52	78	0,35	22,88
0	0	0	0	26	52	0,15	8,84
0	0	0	0	0	26	0,05	2,86
0	0	0	0	0	0	0,05	0

Величины ожидаемых вмененных издержек от занижения заказа получаются путем умножения соответствующей строки матрицы потерь на вектор столбца вероятности спроса, например для первой строки в таблице 11:

0*0,15+26*0,25+52*0,35+78*0,15+104*0,05+130*0,05 = 48,1.

Таблица 12. Расчет ожидаемых вмененных издержек от завышения заказа

Матрица потерь от занижения заказов	Вектор столбца вероятности спроса	Ожидаемые вмененные издержки
0	0	0	0	0	0	0,15	0
5	0	0	0	0	0	0,25	0,35
10	5	0	0	0	0	0,35	1,45
15	10	5	0	0	0	0,15	3,75
20	15	10	5	0	0	0,05	7,6
25	20	15	10	5	0	0,05	12,05

Аналогичным образом производится расчет столбца ожидаемых вмененных издержек от завышения заказа в таблице 10. Например, расчет последней строчки: 25*0,15+20*0,25+15*0,35+10*0,15+5*0,05+0*0,05=15,75

Таблица 13 объединяет правые столбцы таблиц 11 и 12 и позволяет найти суммарные ожидаемые вмененные издержки (правый столбец таблицы 13).

Стратегия заказа, соответствующая минимальному значению из чисел третьего столбца таблицы 13 - и есть оптимальная стратегия заказа с учетом вероятности дневного спроса на товары.

Таблица 13. Расчет суммарных издержек и определение оптимальной стратегии заказа

Данные таблицы 13 используются для построения графиков вмененных издержек от завышения заказа, занижения, а также суммарных вмененных издержек (с использованием программы Excel).



Оптимальная стратегия заказа формируется подобным способом при проведенных предварительно маркетинговых исследованиях, позволяющих определить распределение вероятности спроса на товары. При отсутствии таких данных выбор оптимальной стратегии можно проводить с привлечением различных критериев, предлагаемых теорией игр.

Критерий MAXIMAX используется азартным продавцом, если он настроен на максимальный выигрыш. Для определения этого критерия из каждой строки платежной матрицы выбирается максимальное значение, а затем из них находится наибольшее - это максимальный доход.

Данные для расчета максимального, гарантированного и упущенного доходов рекомендуется показать в таблице следующим образом (таблица 14)

Таблица 14. Расчет максимального, гарантированного и упущенного доходов



Критерий MAXIMIN используется «осторожным продавцом», который желает получить свой гарантированный доход - это максимизация минимума доходов. Для определения MAXIMINа из каждой строки платежной матрицы выбирается минимальное значение, из которых затем находится наибольшее.

Если продавец несет потери, и речь идет не о доходе, а хотя бы о минимизации убытков, выбирается критерий MINIMAX - это минимизация максимальных потерь.

Для определения MINIMAXа из каждой строки матрицы потерь выбираются максимальные значения, а затем из них - наименьшее - это упущенный доход.

Обобщенным MINIMAXным критерием является критерий Гурвица, расчет которого удобнее вести с помощью таблицы 15.

Таблица 15. Расчет критерия Гурвица

Первый и второй столбцы таблицы 15 представляют собой данные для расчета критериев Maximax и Maximin, которые берутся из платежной матрицы и уже были применены в таблице 14. Далее выбираем, в какой мере мы являемся игроком “азартным”,а в какой - “осторожным”. В нашем случае «азартным» на 60%, а «осторожным» на 40%. В этом случае все значения первого столбца таблицы 15 умножаются на 0,6 и записываются в третий столбец. Данные из второго столбца (критерий maximin) умножается на 0,4 и записывается в 4 столбец данной таблицы.

В 5 столбце суммируются значения 3 и 4 столбца, из них находится максимальное значение. Соответствующая ему стратегия и считается оптимальной по обобщенному минимаксному критерия Гурвица.

Так как критерий Гурвица является обобщенным MINIMAX-ным критерием, то соответственно по таблице 15 составим вывод. Согласно критерию оптимальной является стратегия 6, так как она дает максимальный доход, который равен 94 д.е.



Список литературы

1. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 2006. - 432 с.

2. Гармаш А.Н., Орлова И.В., Федосеев В.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов - 2-е изд. Переработанное и дополненное. Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям. Рекомендовано Учебно-методическим центром "Профессиональный учебник" в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям М.: ЮНИТИ-ДАНА. - 2005.

3. Дрогобыцкий И.Н. Экономико-математическое моделирование. Учебник для студентов ВУЗов. М..: Экзамен, 2006. - 832 с.

4. Мезенцев Ю.А. Экономико-математические методы. Новосибирск.: Изд-во НГТУ, 2004. - 212 с.

5. Стариков, А.В. Экономико-математическое и компьютерное моделирование: учеб. пособие / А.В. Стариков, И.С. Кущева; Фед. агентство по образованию, ГОУ ВПО «ВГЛТА». - Воронеж, 2008. ??132 с.

Размещено на Allbest.ru

...