Анализ теоретических моделей, анализирующих гипотезу эффективного рынка

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

В результате функционирования рынка имеет место эффективное распределение средств между занимателями (сберегателями) и заёмщиками (производителями). Рыночные агенты (индивидуумы или фирмы) могут иметь доступ к производственным инвестиционным возможностям с ожидаемой ставкой доходности, которая может превышать определенную рынком ставку заимствования, но не иметь достаточно средств для получения преимуществ от всех возможностей. Однако если существует рынок капитала, то они могут занять необходимые средства. Кредиторы, которые имеют избыточные средства и ставку доходности выше, чем заёмщики, будут желать одолжить избыток денежных средств, так как ставка по заимствованиям выше, чем они могут получить в ином случае. Таким образом, все агенты окажутся в преимуществе, если рынок распределит средства. Рынок является эффективным, когда цены определены из условия равенства предельных ставок доходностей для всех производителей и сберегателей. На эффективном рынке ограниченные сбережения распределяются на надежные инвестиции таким образом, что каждый участник рынка оказывается в выигрыше.

Чтобы описать эффективный рынок капитала, для начала может быть полезным сравнить его с идеальным рынком капитала. Для идеального рынка капитала характерны следующие свойства:

1) Отсутствуют транзакционные издержки и налоги, все активы непрерывно делимые и готовые к продаже, также отсутствуют барьеры по перемещению капитала;

2) Информация является бесплатной, и доступ к ней одновременно предоставляется всем агентам;

3) Все участники рынка являются ценополучателями;

4) Все агенты рациональны и максимизируют ожидаемую полезность.

На эффективном рынке капитала условия менее строгие по сравнению с идеальным рынком капитала. Рынок капитала является эффективным, если цена отражает всю доступную информацию. Ю.Ф. Фама (E.F. Fama,1970) предложил три формы рыночной эффективности, которые используются в настоящее время:

1. Слабая форма эффективности рынка, когда никакой инвестор не может получить избыточную доходность, опираясь на прошлую информацию, касающуюся данного актива;

2. Умеренная (средняя) форма эффективности, когда никакой инвестор не может получить избыточную доходность, опираясь на общедоступную публичную информацию, касающуюся данного актива;

3. Сильная форма эффективности, когда никакой инвестор не может получить избыточную доходность, опираясь на прошлую, публичную и внутреннюю информацию (инсайдерскую информацию), касающуюся данного актива.

1. Ожидаемая доходность, или модель “честной игры”

Из определения эффективного рынка следует, что цена в полной мере отражает всю имеющуюся доступную информацию. Определим более точно данное свойство, подробнее описав процесс ценообразования.

Большинство работ основано на предположении о том, что условия рыночного равновесия могут быть как - то сформулированы в терминах ожидаемой доходности. В теоретических моделях предполагается, что в равновесии ожидаемая доходность ценной бумаги зависит от ее ”риска”. И различные теории будут отличаться в первую очередь в том, как "риск" определяется.

Определим данную модель следующим образом:

(1)

Где E оператор математического ожидания, цена j-ого актива в момент времени t, доходность, выраженная в процентах, , - представляет собой общее обозначение для любого множества информации, которая "в полной мере отражена" в цене на момент времени t. В свою очередь и являются случайными величинами.

Значение равновесной ожидаемой доходности, проецируемой на , каждый раз будет определяться из конкретных условий. Условное математическое ожидание, в (1) предполагает, что применяется для определения равновесной ожидаемой доходности, в том смысле, что в отражена вся информация, использованная для формирования цены .

Предположения о том, что условия рыночного равновесия могут быть выражены в терминах ожидаемой доходности и что равновесное значение ожидаемой доходности формируется на основании информации, указанной в , имеют большой эмпирический смысл - они исключают возможность торговых систем, использующих информацию , получать ожидаемую прибыль или доходность выше, чем их равновесные значения. Итак, пусть:

(2)

Тогда:

(3)

Где по определению последовательность { является “справедливой игрой” по отношению к информационной последовательности { Или если ввести другое обозначение:

(4)

Тогда;

(5)

Где по определению последовательность { является “справедливой игрой” по отношению к информационной последовательности {

С экономической точки зрения представляет собой избыточную рыночную стоимость ценной бумаги в момент времени t+1: это разница между наблюдаемой ценой и ожидаемой ценой, которая была предсказана в момент времени t на основе информации . Аналогично, представляет собой избыточную рыночную доходность ценной бумаги в момент времени t+1.

Обозначим через любую торговую систему, основанную на , которая показывает инвестору сумму денежных средств, доступных на момент времени t, которые будут инвестированы в любые из n доступных ценных бумаг. Тогда избыточная стоимость в момент времени t+1, которая генерируется такой системой: , которая из свойства “честной игры” (5) принимает следующий вид:

Данная модель имеет и другие важные свойства, о которых мы поговорим при анализе эмпирических работ, а сейчас перейдем к моделям субмартингала и случайного блуждания.

2. Модель субмартингала

Данная модель применительно к финансовому рынку была рассмотрена в ряде известных статей, к примеру, (B. Mandelbrot, 1966), (S.F. LeRoy, 1989), (J.M. Harrison and D.M. Kreps, 1979). Однако в данной работе преимущественно будет использоваться основополагающий труд (E.F. Fama, 1970).

Предположим, что в уравнении (1) для всех и для всех t выполнено следующее условие:

, или . (6)

Тогда ценовая последовательность { для j-ой ценной бумаги является субмартингалом по отношению к информационной последовательности {}, где по прогнозам на основе информационной последовательности {} нельзя сказать ничего, кроме того, что ожидаемое значение цены следующего периода равно или превосходит текущую цену. Если условие (6) выполнено как равенство, то последовательность цен {является мартингалом по отношению к информационно последовательности {}.

Субмартингал в ценах имеет одно важное эмпирическое применение. Рассмотрим множество, состоящее из одной ценной бумаги и денежных средств, следующих традиционным правилам торговли, под которыми мы понимаем системы, концентрирующиеся на отдельных ценных бумагах и определяющих условия, при которых инвестор держит данную ценную бумагу на руках, встает в короткую позицию или держит на руках наличные в любое момент времени. Предположение (1.6) о том, что ожидаемая доходность, основанная на информации , неотрицательна, ставит под вопрос мнение о том, что правила торговли, опирающиеся на информацию , не могут обеспечить больший ожидаемый доход, чем стратегия долгосрочного инвестирования.

3. Модель случайного блуждания

В ранних подходах изучения модели эффективного рынка утверждение, что цена полностью отражает всю доступную имеющуюся информацию, подразумевало, что последовательные изменения цен (или чаще, последовательных однопериодных доходностей) являются независимыми. Кроме того, предполагалось, что они еще и одинаково распределены. Вместе эти две предпосылки составляют модель случайного блуждания, которая также была рассмотрена в ряде известных статей, к примеру, (S.S. Alexandex, 1964), (M.D. Godfrey, Granger and Morgenstern, 1964),а также в работах (A.W. Lo and A.C. MakKinlay, 1988 and 1999) и многих других. Однако данная работа опирается на оригинальную статью (E.F. Fama, 1970). Утверждается, что:

 (7)

В уравнении (7), по сути, говорится, что условные и предельные вероятности распределения случайных независимых величин одинаковые. Кроме того, функция плотности f должна быть одинаковой для всех t.

Выражение (7) является более общим, чем формула (1) в модели ожидаемой доходности. Например, если предположить, что в (1) ожидаемая доходность j-ой ценной бумаги ограничена по параметру времени, то получится, что:

(8)

Это говорит о том, что среднее значение распределения не зависит от информации, имеющейся в момент времени t, т.е. В то время как в модели случайного блуждания (7) обобщается это утверждение и считается, что полное распределение не зависит от .

Однако в модели случайного блуждания не подразумевается то, что информация о прошлом не имеет никакого значения при оценке распределения будущих доходностей. Действительно, так как распределение доходностей предполагается стационарным во времени, прошлые доходности являются лучшим источником такой информации. Модель случайного блуждания же, однако, говорит, что последовательность из прошлых доходностей не имеет никакого значения при оценке распределения будущих доходностей.

Поэтому утверждается, что лучше всего рассматривать модель случайного блуждания в качестве расширения модели ожидаемой доходности, или модели "честной игры" в смысле создания более подробной картины ситуации. В модели "справедливой игры" говорится, что условия рыночного равновесия могут быть сформулированы в терминах ожидаемой доходности, и, таким образом, это не дает достаточно информации о деталях стохастических процессов, генерирующих доходности. Случайное блуждание возникает в контексте такой модели, когда окружающая среда такова, что эволюции вкусов инвесторов и процессов, порождающих новую информацию, объединяются, чтобы сформировать равновесие, в котором распределение доходности повториться во времени.

Не вызывает удивления, что эмпирические тесты на проверку пригодности использования модели случайного блуждания сильнее в плане обоснования ее состоятельности, чем тесты на проверку предположения об абсолютной независимости доходностей.

4. Тесты для исследования эффективности рынка

Моделирование большого количество теоретических экономических и финансовых концепций, к примеру, гипотеза финансовой эффективности рынка, гипотеза рациональных ожиданий агентов или теория о сглаживании потребления агентов во времени, осуществляется с применением мартингалов или последовательности разностей мартингалов (MDS). Подробнее об использовании MDS для моделирования различных экономических и финансовых концепций раскрыто в работах Hall (1978), Lo (1997).

Для моделирования гипотезы финансовой эффективности используется так называемая гипотеза разностей мартингалов (MDH), которая утверждает, что наилучший прогноз будущих значений временного ряда при данном информационном множестве, в рамках минимальных среднеквадратических ошибок (MSE), является безусловное математическое ожидание. Более формально, при выполнении MDH, действительные значения стационарного временного ряда почти наверное, сходятся к безусловному математическому ожиданию.

,

Для удобства тестирования математическое представление гипотезы немного модифицируется и приобретает следующих вид: , где - информационное множество в момент времени , а - функция весов. В данном случае - представляет любое линейное или нелинейное преобразование прошлых значений временного ряда. В зависимости от выбора функции весов, тесты разделяются на линейные и нелинейные, которые соответственно проверяют временной ряд на линейную или нелинейную зависимость.

На данный момент существует большое количество тестов для проверки гипотезы эффективного рынка в слабой форме. Как было показано в предыдущем разделе, эффективный рынок может быть описан различными математическими моделями. Тесты, рассмотренные ниже, проверяют гипотезу эффективного рынка исходя из свойств, представленных моделей.

Тест Дикки - Фуллера (ADF).

Одним из стандартных подходов тестирования рынка на слабую гипотезу эффективности является проверка ряда доходностей на единичный корень. Основная идея состоит в том, что если ряд содержит единичный корень, то он соответственно не стационарен и следует случайному блужданию (Lim K.P. and Brooks R.D., 2011). Самым популярным тестом является тест Дикки - Фуллера (Dickey D.A. and Fuller W.A., 1979).

Тест Дикки - Фуллера был сконструирован таким образом, чтобы распознать содержит ли временной ряд единичный корень или нет, что в свою очередь указывает на стационарность: в первом случае ряд не стационарен, во-втором соответственно стационарен. Также этот тест часто используется для проверки слабой формы рыночной эффективности. Основная гипотеза Дикки - Фуллера заключается, в том что ряд не стационарен т.е. содержит единичный корень, если она не отвергается, то ряд характеризуется как случайное блуждание, и тем самым подтверждается наличие слабой формы эффективности рынка.

Следуя оригинальной статье Dickey and Fuller (1979) можно выделить три различных регрессионных модели для тестирования их на стационарность:

рыночный гипотеза транзакционный капитал

При тестировании проверки наличия слабой формы эффективности на финансовом рынке за берут разницу между доходностями акции текущего и предыдущего периода, - это свободный член или параметр дрейфа, - временной тренд и - ошибка. Регрессионная модель 1 - это базовая спецификация теста Дикки-Фуллера. Модель 2 дополнительно включает в себя параметр дрейфа, а 3-ая модель помимо всего перечисленного также учитывает временной тренд. Ключевым параметром во всех спецификациях является . Основная гипотеза H0 состоит в том, что , альтернативная - , если не отвергается H0, то временной ряд содержит единичный корень и является нестационарным, поэтому он характеризуется как случайное блуждание, что подтверждает наличие слабой формы эффективности на рынке.

Важной предпосылкой в тесте Дикки - Фуллера является отсутствие автокорреляции в ошибках. Для случая присутствия автокорреляции был разработан расширенный тест Дикки - Фуллера (Augmented Dickey-Fuller). Эта расширенная версия теста просто добавляет к изначальным регрессионным моделям достаточное количество лаговых переменных, т.е. фактически преобразует авторегрессию первого порядка в авторегрессию s - ого порядка, где s выбирается исходя из структуры данных с помощью модифицированного информационного критерия Акаике. Модель авторегрессии для расширенного теста выглядит следующим образом:

(9)

Как и ранее - это разница между текущим и прошлым значениями доходностей временного ряда, взятого с финансового рынка. Знак суммы показывает количество включенных лагированных переменных в первой разности для преодоления автокорреляции в ошибках. Как и в оригинальном тесте, ключевым параметром является . Нулевая гипотеза и выводы, соответствующие ей, полностью аналогичны оригинальному тесту. Однако статистика для проверки значимости результата, как в оригинальном, так и в расширенном тестах при выполнении H0, несмотря на схожесть подсчета со статистикой Стьюдента, следует не стандартному распределению, а распределению или Дикки - Фуллера, в честь авторов, его критические значения были подсчитаны в 1951 году James G. MakKinnon, и на данный момент доступны всем желающим.

На данный момент разработаны более искусные тесты на нахождение единичного корня. Тем не менее, как отмечается в работе (Rahman A. And Saadi S., 2008) наличие единичного корня не достаточно для доказательства слабой формы эффективности рынка. Помимо этого, тесты такого рода требуют, чтобы ряд не был серийно коррелирован.

Линейные тесты для проверки MDH.

Одним из самых распространенных тестов для проверки гипотезы разницы в мартингалах является VR. Во всех его модификациях используются линейные функции веса. Впервые он был представлен в работе Lo A.W. and MacKinlay A.C. (Lo A.W. and MacKinlay A.C. , 1988), в которой также было представлено асимптотическое распределение для статистики VR теста, а сама методология была разработана в статье Cochrane (1988). На сегодняшний день существует огромное количество его модификаций, некоторые из которых также будут описаны.

Общая идея всех VR тестов опирается на тестировании данных на соответствие модели случайного блуждания против альтернативы следования стационарным процессам. В основе теста лежит свойство линейности выборочных интервалов. Подробнее об этом будет сказано далее.

Тест Lo MacKinlay

Следует остановиться на работе Lo A.W. and MacKinlay A.C. (Lo A.W. and MacKinlay A.C. , 1988), по подробней. Этот тест направлен на проверку автокорреляции доходностей ценных бумаг. Если значимая корреляция обнаруживается, то это считается явным признаком, свидетельствующим против слабой гипотезы эффективного рынка (Lim K.P. and Brooks R.D., 2011). При тестировании обычно выделяют разную частотность (день, неделя, месяц). Чаще всего, чем короче период, тем вероятнее наличие корреляции (Lehmann B., 1990 and Jegadeesh N., 1990).

В статье Lo A.W. and MacKinlay A.C. 1988 года было представлено две статистики для проверки отдельных интервалов и , последняя является устойчивой к гетероскедастичности, что особенно важно при изменяющейся волатильности в финансовых рядах. Подробное описание этих статистик представлено ниже.

, (10)

(11)

Эта статистика построена таким образом, что является асимптотически стандартной нормальной. Для того чтобы понять ее смысл необходимо проследить логику авторов статьи. Их отправной точкой служит тот факт, что дисперсия приращений процесса случайного блуждания линейна по интервалам, по которым берутся данные. Это означает, что дисперсия превосходит дисперсию в k раз. Авторы обозначают за цену ценной бумаги в момент времени t. Далее определяют как случайное блуждание логарифма цен.

Отношение дисперсий определяется следующим образом:

(12)

В представленном соотношении является - ой дисперсии , а - дисперсия . Нулевая гипотеза заключается в том, что статистически не отличается от единицы. Для расчета и используются следующие формулы:

(13)

(14)

(15)

(16)

Нужно также уточнить, что - это последнее наблюдение временного ряда, а - первое. Всего наблюдений.

Для того чтобы рассчитать устойчивую к гетероскедастичности статистику , необходимо применить формулу:

 (17)

(18)

В свою очередьоценивается по формуле:

(19)

Приведенная статистика была применена Lo A.W. and MacKinlay A.C. (1988) к недельным значениям цен индекса CRSPNYSE-AMEX. В выборку было включено 1216 недельных значений с сентября 1962 по декабрь 1985 года. Гипотеза о случайном блуждании недельных доходностей индекса была отвергнута. Однако авторы отмечают, что наличие сериальной корреляции в доходностях не обязательно означает отсутствие слабой формы эффективности рынка.

Размещено на Allbest.ru