Использование афинных преобразований для имитационного моделирования токарной станочной системы

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Использование афинных преобразований для имитационного моделирования токарной станочной системы

Лапочкина Елена Васильевна, студентка отделения информационных технологий и энергетических систем кафедры автоматизации и управления

Набережночелнинский институт (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Аннотация

Данная статья раскрывает понятия: имитационного моделирования, аффинных преобразований и описывает способ упрощённого представления основных узлов токарного станка в виде геометрических фигур.

Ключевые слова: аффинные преобразования, имитационное моделирование, токарный станок

Имитационное моделирование - метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности, воспроизводится на ЭВМ. Такую модель можно протестировать во времени и для одного испытания, и для заданного их множества [7].

Имитационное моделирование применяется, когда исследования над реальным объектом дорого стоят и/или невозможны, занимают много времени. Таким образом, актуальность моделирования будет повышаться с течением времени.

Сфера применения имитационных моделей достаточна широка. Моделирование применяется в различных отраслях [6]:

· Информационная безопасность

· Динамика населения

· Боевые действия

· Экономика здравоохранения и т.д.

Имитационного моделирования стремительно улучшается с увеличением быстродействия и ОЗУ (оперативное запоминающее устройство), с усовершенствованием математического обеспечения, улучшением баз данных и периферийных устройств, для структурирования диалоговых систем моделирования.

Развивая имитационное моделирование получаем новейшие способы анализа и решения задач больших систем, в основу которых лежит организация имитационных исследований с их моделями [5]. Для расчёта токарной станочной системы необходимо сначала её смоделировать во избежание неправильной установки в результате получения лишних затрат на исправление ситуации. В этом нам помогут аффинные преобразования [4].

Аффинное преобразование -- отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, скрещивающиеся в скрещивающиеся, пересекающиеся в пересекающиеся

Аффимнное преобразование f : Rⁿ>Rⁿ есть преобразование вида

f(x) = M*x + v,

где M -- обратимая матрица (неособенный аффинор) и v ? Rⁿ

Другими словами, аффинное преобразование можно получить следующим образом:

Выбрать «новую» основу пространства с «новым» началом координат v

Каждой точке x пространства поставить в соответствие точку f(x), имеющую такие же координаты относительно «новой» системы координат, что и x в «старой».

Основными свойствами аффинными преобразованиями можно считать:

· преобразования подобия;

· движения.

При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.

Если размерность пространства n ? 2, то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в аксиоматическом построении аффинной геометрии

Афинные преобразования образуют группу относительно композиции. Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости. имитационный афинный станочный токарный

Типами аффинных преобразований являются:

· Эквиаффинное преобразование -- аффинное преобразование, которое сохраняет площадь (также, сохраняется аффинная длина).

· Центроаффинное преобразование -- аффинное преобразование, которое сохраняет начало координат.

Аффинное преобразование f(x) = M*x + v, как проективное, можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:

Матричное представление используется, например, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в DirectX; в OpenGL (где координаты представляются в виде матриц 1Ч4) она транспонирована.

В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле. Отображение между метрическими пространствами является аффинным, при условии переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации).

Аффинные преобразования пространства являются частным случаем проективных преобразований того же пространства и наоборот. Далее рассмотрим собственно для моделирования какой системы мы хотим применить аффинные преобразования (токарный станок).

Токарный станок -- станок для обработки резанием (точением) тел вращения. На нём выполняют обточку и расточку цилиндрических конических и фасонных поверхностей, нарезание наружной и внутренней резьбы, обточку торцов, подрезку, сверление, зенкерование и т.д.

Рисунок 1. 1 - передняя бабка с коробкой скоростей, 2 - гитара сменных колес, 3 - коробка подач, 4 - станина, 5 - фартук, 6 - суппорт, 7 - задняя бабка, 8 - шкаф с электрооборудованием

В обобщённом виде токарный станок можно представить, как совокупность трёхмерных геометрических фигур: станина 4 (Рисунок 1) -параллелепипед с двумя выступами, передняя бабка с коробкой 1 скоростей (Рисунок 1) - параллелепипед с выступом, суппорт 6 (Рисунок 1) - 5 параллелепипедов и конуса, задняя бабка 7 (Рисунок 1) - 2 параллелепипеда и конуса.

Основные узлы токарного станка можно, для упрощения понимания, представить в виде совокупности геометрических фигур, тем самым приходим к выводу, что для них применимы аффинные преобразования, их свойства (поворот, перенос и. т.д.)

Следовательно используя такой подход возможно сконструировать токарную станочную систему в виде геометрических фигур, что по сравнению с другими видами имитационного моделирования довольно просты и экономичны.

Библиографический список

1. Всё о токарных станках и токарной обработке // Основные части и узлы токарного станка;

2. Википедия // Афинные преобразования;

3. Balabanov I.P., Simonova L.A., Balabanova O.N. Systematization of accuracy indices variance when modelling the forming external cylindrical turning process / L.A. Simonova, I.P. Balabanov // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering 86 (2015) 012010 conference 1: pp 1-7, 2015.

4. Балабанов И.П. Анализ связей между функциональными и точностными показателями качества // Наука и практика. Диалоги нового века Материалы конференции. 2003. С. 13-14.

5. Балабанов И.П., Касьянов С.В., Сафаров Д.Т. Закономерности формирования отклонений показателей качества в технологических операциях обработки деталей штамповой оснастки // Кузнечно-штамповочное производство. Обработка материалов давлением, №8, 2009.

6. Чермянин А.А., Балабанов И.П. Анализ систем моделирования станочных систем // итоги 2015 года: идеи, достижения. Сборник материалов II Региональной студенческой научно-практической конференции с всероссийским участием. 2015 Издательство: КНИТУ-КАИ

7. Актуальные вопросы математического моделирования: идеи. методы. решения: монография / Балабанов И.П., Симонова Л.А., Зиятдинов Р.Р., Романовский Э.А., Браун В.С., Заморский В.В. // Под редакцией Балабанова И.П.. Курск: Из-во ЗАО «Университетская книга», -2016. 210 с.

Размещено на Allbest.ru