Фазовый анализ для оценки цикличности временного ряда урожайности зерновых культур

Размещено на http://www.allbest.ru

Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации

УДК 519.21

08.00.00 Экономические науки

ФАЗОВЫЙ АНАЛИЗ ДЛЯ ОЦЕНКИ ЦИКЛИЧНОСТИ ВРЕМЕННОГО РЯДА УРОЖАЙНОСТИ ЗЕРНОВЫХ КУЛЬТУР

Темиров Астемир Алиевич

аспирант

E-mail: t-ast@mail.ru

Москва, Россия

В статье рассматривается алгоритм фазового анализа как один из методов нелинейной динамики для исследования временных рядов на цикличность. В настоящее время большой интерес для науки представляют методы нелинейной динамики. Особенно стало актуальным применение их в анализе временных рядов. Существующие в классической эконометрике методы оценки цикличности разработаны для случайных систем, динамика которых подчиняется нормальному закону распределения. Известно, что в природе также существуют и неслучайные системы, характеризующиеся трендами, периодическими и непериодическими циклами, называемыми квазициклами. В статье представляется вычислительный процесс выявления квазициклов, который иллюстрируется на примере временного ряда урожайности «зерновых всего» в России за последние 119 лет. Фазовый портрет рассматриваемого временного ряда представляется в пространстве размерности два и состоит из 22-х неустойчивых, в плане периодичности, квазициклов совокупность которых образует странный аттрактор. Статистика квазициклов представлена табличной и геометрической моделями, а так же в виде нечеткого множества. Квазициклы имеют количественную (длина), и качественную (конфигурация), характеристики. Совокупность этих двух характеристик определяют собой такое важное свойство временного ряда как «трендоустойчивость». В статье задействован математический аппарат теории нечеткого множества, на базе которой разработан и представлен алгоритм формирования нечеткого множества длин квазициклов. Фазовый анализ является сильной формой анализа временных рядов на цикличность и служит достаточно адекватным инструментом для предпрогнозного анализа

Ключевые слова: НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА, ВРЕМЕННОЙ РЯД, ФАЗОВЫЙ АНАЛИЗ, ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ, АТТРАКТОР, НЕЧЕТКОЕ МНОЖЕСТВО, КВАЗИЦИКЛИЧНОСТЬ

В экономической науке анализ временных рядов (ВР) занимает особое место. Исследование временной структуры данных в реальных экономических процессах позволяет адекватно отразить их в математических и экономических моделях. Исследуя временные ряды, по сути, происходит оценка экономических и социальных связей между переменными, что немаловажно для процесса принятия управленческих решений. Понимание и осознание этого факта всегда приводит к развитию различных методов анализа временных рядов.

В настоящее время большой интерес для науки представляют методы нелинейной динамики. Особенно стало актуальным применение их в анализе временных рядов. Это такие методы как: фрактальный анализ, фазовый анализ с применением теории нечеткого множества и теории детерминированного хаоса. Также стали популярными прогнозные модели на базе интеллектуальных систем: нейронные сети, клеточные автоматы, генетические алгоритмы, дающие хорошие прогнозы с достаточно приемлемой погрешностью [4,5,6,7,8]. Развитию методов нелинейной динамики предшествовало также наметившийся прогресс в компьютерных технологиях, когда стало возможным визуализировать на экране дисплея результаты моделирования достаточно сложных процессов и систем в виде графиков и диаграмм.

Анализ многочисленных публикаций [4,5,6,8] показывает, что свойство нелинейности характерно для многих социальных, экономических, природных и других процессов. Особенно большое количество научной литературы и статей посвящено исследованиям финансовых временных рядов методами нелинейной динамики [6]. Одним из преимуществ этих методов является то, что применение их в анализе временных рядов не требует подчинения исследуемых систем нормальному закону распределения, как это принято в классических моделях анализа и прогнозирования. цикличность временной квазицикл предпрогнозный

При построении прогнозной модели очень важно знать предпрогнозные характеристики исследуемой системы. Опираясь на них можно осуществить выбор адекватной прогнозной модели и вместе с тем и принятие правильного управленческого решения. Одной из таких задач является задача исследования экономического временного ряда на цикличность.

Проблема цикличности в экономических системах всегда волновала умы великих ученых из многих областей науки. Однако среди экономистов, признающих цикличность, нет единого мнения, относительно природы данного явления. Традиционно выделяют экзогенный и эндогенный подходы к объяснению этого явления. Основателем теории внешних факторов является английский экономист У.С. Джевонс, связавший экономический цикл с 11-летним циклом солнечной активности. Он связывал цикличность солнечной активности в основном с сельским хозяйством и торговлей, а его последователи распространили влияние солнечного цикла на всю экономику.

Существует классические методы выявления циклической компоненты в экономических временных рядах. Это известные в эконометрике автокорреляции различных порядков, также некоторые модели из серии ARIMA. Основная особенность этих моделей заключается в том, что поведение исследуемых временных рядов должно подчиняться нормальному закону распределения. Последнее не всегда верно для многих временных рядов [4,6,8].

Фазовый анализ (ФА) как один из инструментальных методов нелинейной динамики представляет интерес в исследовании цикличности в экономических временных рядах [5,6]. Анализ публикаций по теме исследования показывает, что существуют так называемые графические тесты хаоса Гилмора [1,7], которые выявляют неустойчивые квазипериодические конфигурации орбит, заключенные в странном аттракторе. Для определения таких орбит наиболее адекватным представляется метод «построения фазового портрета и его разложение на квазициклы» [5,6,7].

В настоящей статье предлагается следующий алгоритм фазового анализа, состоящий из 4-х этапов.

На первом этапе выбирается размерность фазового пространства . Второй этап заключается в построении фазового портрета изучаемой системы методом соединения соседних точек , либо отрезками, либо кривой. На третьем этапе фазовый портрет раскладывается на «квазициклы» и представляется в виде нечеткого множества.

Выше перечисленные этапы алгоритма фазового анализа проиллюстрируем на примере временного ряда урожайности «зерновых всего» в России за период с 1896 г. по 2014 г., графическое представление которого визуализируется на рис. 1.

Рисунок 1. Временной ряд урожайности зерновых культур в России за период 1896-2007гг

Введем обозначение этого ВР

, . (1)

Число наблюдений для ВР (1) составляет при этом каждое наблюдение приравнивается к одному году. Численные значения наблюдений определяют средний объем выхода урожайности зерновых на текущий год и измеряется в ц/га. Для различных экономических временных рядов достаточным является построение фазового портрета в фазовом пространстве размерности два, т.е. . В литературе [5] отмечено, что для конструирования истинного фазового пространства, необходимо знать все переменные, релевантные изучаемой системе. В случае временных рядов, мы имеем дело с одной лишь известной динамической переменной. Для восстановления фазового пространства по одной динамической переменной Паккард и Рюэль [4] предложили простой метод, который наполняет другие размерности посредством запаздывающих значений одной наблюдаемой переменной. Есть исходный временной ряд, уровни которого откладываются по оси абсцисс, и есть второй временной ряд, значения уровней которого откладываются по оси ординат, и являющийся той же реализацией, но с отставанием на один период. Математическое объяснение Паккарда такому механизму построения фазового портрета состоит в том, что нелинейные динамические системы являются детерминированными, и являются внутренне зависимыми системами. Это означает, что текущие величины каждой переменной есть результат воздействия на них прошлых величин [4,5].

Рассмотрим фазовый портрет исследуемого ВР (1), построенный по механизму Паккарда [4,5] и представленный на рис. 2 в виде траектории точек, в которой каждая соседняя пара соединена кривой. Визуализация этого фазового портрета свидетельствует о циклической природе рассматриваемого ВР . Для получения числовых и качественных характеристик этой цикличности разложим его на «квазициклы». Термин «квазицикл» в переводе с греческого языка означает «как бы цикл» и он близок к определению «цикла». Отличие квазицикла от цикла состоит в следующем:

- во-первых, квазицикл допускает точного несовпадения начала цикла с его концом;

- во-вторых, для квазицикла достаточно вхождение конечной его точки в область начальной точки;

- в-третьих, допускает самопересечение начального и конечного звеньев квазицикла, если это приводит к наименьшему расстоянию между точками начала и конца его.

Рисунок 2. Фазовый портрет временного ряда урожайности зерновых культур (1)

В целом фазовый портрет исследуемого ВР разложился на 22 последовательных неустойчивых в плане периодичности квазицикла , , совокупность которых демонстрирует странный аттрактор [7,8]. Квазициклы имеют количественную (длина), и качественную (конфигурация) характеристики. Число точек в квазицикле называется его длиной и обозначается через . Типичные квазициклы различных длин и конфигураций для временного ряда представлены на рис. 3.

а) б) в)

Рисунок 3. Типичные квазициклы в фазовом пространстве для ВР :

Литература

1. Gilmore C.G. A new test for chaos / C.G. Gilmore //Journal of economic behavior and organization, №22, 1993. - P. 209-237.

2. Бессонов В.А. Введение в анализ российской макроэкономической динамики переходного периода/ В.А. Бессонов. - М.: ЦЭМИ РАН, 2003. - 151 с.

3. Кофман А., Хил Алуха Х. Введение теории нечетких множеств в управлении предприятиями / А. Кофман, Х. Хил Алуха.- Минск: Высшая школа, 1992.

4. Перепелица В.А. Структурирование данных методами нелинейной динамики для двухуровневого моделирования /В.А. Перепелица, Ф.Б. Тебуева, Л.Г. Темирова - Ставрополь: Ставропольское книжное издательство, 2006. - 284 с.

5. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: Применение теории Хаоса в инвестициях и экономике / Э. Петерс - М.: Интернет-Трейдинг, 2004. - 304 с.

6. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка / Э. Петерс - М.: Мир, 2000. - 333 с.

7. Сергеева Л.Н. Моделирование поведения экономических систем методами нелинейной динамики (теории хаоса) / Л.Н. Сергеева - Запорожье: ЗГУ, 2002. - 227 с.

8. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение / Г. Шустер - М.: Мир, 1988. - 240 с.

Размещено на Allbest.ru