Деформированные мартингалы и их свойства
Основные примеры деформированных мартингалов. Применение метода хааровских интерполяций к деформированным финансовым рынкам. Монотонное возрастание функции. Соотношение абсолютной непрерывности и деформаций. Деформированный мартингал первого рода.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.06.2017 |
| Размер файла | 107,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Деформированные мартингалы и их свойства
О.В. Назарько, И.В. Павлов
Настоящая работа посвящена изучению некоторых основополагающих свойств деформированных мартингалов 1-го и 2-го рода. Актуальность научного направления, в рамках которого выполнена работа, подробно обоснована во введении статьи [1], которая посвящена моделированию деформаций (см. также работы [2-3]). Приложения данной тематики продемонстрированы, например, в работах [4-5].
Пусть -- фильтрованное пространство с дискретным временем, где -- произвольное множество, а -- возрастающая последовательность -алгебр на нем (фильтрация). Для удобства мы введем также . Рассмотрим семейство вероятностных мер , определенных на . Семейство Q называется деформацией 1-го рода (D1), если при всех выполняется соотношение абсолютной непрерывности , и деформацией 2-го рода (D2), если выполняются обратные соотношения. Если выполняются и те, и другие соотношения, то деформация Q называется слабой (WD). D1 (соотв., D2) называется ограниченной -- BD1 (соотв., BD2), если -п.н. (соотв., -п.н.).
Основные свойства деформаций подробно изучены в [6].
Предположим, что при всех случайные величины (с.в.) интегрируемы по мере .
Определение 1. 1) Пусть Q - D1. Процесс будем называть деформированным мартингалом первого рода (DM1), если справедливо равенство
-п.н. (1)
2) Если Q есть D2, то процесс будем называть деформированным мартингалом 2-го рода (DM2) при выполнении равенства
-п.н. (2)
3) Предположим, что Q есть WD. Если процесс является одновременно DM1 и DM2, то его будем называть слабо деформированным мартингалом (WDM).
Замечание 1. 1) Предположим, что и являются представителями условного матожидания в равенстве (1). Ясно, что , однако может не равняться нулю. Поэтому некорректно требовать выполнение равенства (1) -п.н. Покажем корректность формулы (1). Если процесс Q-неотличим от процесса , то для всех -п.н. Известно, что -п.н. Также -п.н. -п.н. Из всего этого вытекает, что -п.н. Аналогичным образом обосновывается корректность формулы (2). Примеры деформированных мартингалов можно найти в [7].
Предложение 1. 1) Если есть DM1, то
2) Если есть DM2, то
Доказательство тривиально.
Определение 2. Процесс называется деформированным субмартингалом 1-го рода - DSubM1 (соотв., деформированным супермартингалом 1-го рода - DSupM1), если в формуле (1) знак “” поставить вместо знака “=” (соотв., знак “” поставить вместо знака “=”). По тому же принципу определяются деформированные субмартингалы и супермартингалы 2-го рода и слабо деформированные суб- и супермартингалы (DSubM2, DSupM2, SDSubM, SDSupM).
Предложение 2 (телескопическое свойство). Пусть Q есть D2 (соотв., BD2), а случайный процесс таков, что (соотв., ). Этот процесс является DM2 (соотв., DSubM2, DSupM2) если и только если справедливо равенство
-п.н.
(соотв., равенство
-п.н.
и
-п.н.
Доказательство опускается.
Предложение 3. Пусть - DSubM1 (соотв. DSubM2). Этот процесс является DM1 (соотв., DM2) в том и только в том случае, когда
(соотв., ).
Доказательство опускается.
Предложение 4. Пусть - некоторое семейство, состоящее из DSupM1 (соотв., DSupM2), где -- параметр. Определим , . Тогда процесс есть DSupM1 (соотв., DSupM2).
Доказательство. Имеем :
.
Нетрудно проверить, что если деформация Q есть D1 (то есть речь идет о DSupM1), то записанные равенства и неравенства понимаются -п.н. Если же деформация Q есть D2 (то есть речь идет о DSupM2), то эту цепочку соотношений можно понимать -п.н., что и требовалось доказать.
Предложение 5. Если есть деформированный мартингал 1-го или 2-го рода (соответственно, деформированный субмартингал 1-го или 2-го рода), а - выпуклая (соответственно, выпуклая возрастающая) функция на , удовлетворяющая условию , , то процесс - деформированный субмартингал того же рода, что и .
Доказательство. Обозначим . Если - DM, то
.
Если - DSubM, то в силу монотонного возрастания функции . В обоих случаях . Применяя неравенство Йенсена, получаем :
.
Легко видеть, что если - D1 и - DM1 (соотв., DSubM1), то все записанные в этом доказательстве соотношения можно понимать -п.н. Если же - D2 и - DM2 (соотв., DSubM2), то все соотношения можно понимать -п.н. Доказательство закончено.
В заключение отметим, что классические варианты доказанных в данной работе результатов можно найти в [8-9]. Применение метода хааровских интерполяций к деформированным финансовым рынкам продемонстрировано в [10].
деформированный мартингал интерполяция финансовый
Литература
1. Назарько О.В., Павлов И.В. Рекуррентный метод построения слабых деформаций по процессу плотностей в рамках модели стохастического базиса, снабженного специальной хааровской фильтрацией [Текст] // Вестник РГУПС, 2012. - №1. - С. 200-208.
2. Назарько О.В. (B,S)-рынки на деформированных стохастических базисах [Текст] // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2008. - Вып. 3. - С. 19-21.
3. Назарько О.В. Слабые деформации на бинарных финансовых рынках [Текст] // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2010. - Вып. 1. - С. 12-18.
4. Назарько О.В., Павлов И.В., Чернов А.В. Моделирование оптимальной полосы пропускания телекоммуникационных каналов при условии гарантированной и негарантированной доставки пакетов «Инженерный Вестник Дона», 2012, №1.
5. Назарько О.В., Павлов И.В., Чернов А.В. Деформации и деформированные стохастические базисы [Текст]// В сб.: «Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания: материалы региональной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава и молодых ученых РГЭУ (РИНХ)», 2012. - Ростов-на-Дону: Ростовский государственный экономический университет (РИНХ). - С. 37-53.
6. Назарько О.В., Павлов И.В. Два «классических» примера деформированных мартингалов 1-го рода [Текст] // Тезисы международной научно-практической конференции «Строительство 2012», 2012. - Ростов-на-Дону, РГСУ.
7. Neveu J. Discrete-Parameter Martingales [Текст] // North-Holland Pub. Company, Amsterdam, 1975. - 236 p.
8. Long R. Martingale Spaces and Inequalities [Текст] // Peking University Press, 1993. - 346 p.
9. Павлов И.В., Назарько О.В. Хааровские интерполяции финансовых рынков на деформированных стохастических базисах (Электронный ресурс) Тезисы докладов международной научной конференции «Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование», 2011. - ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, Волгодонск. - С. 155-156.
Размещено на Allbest.ur
...Подобные документы
Математические методы как инструмент анализа экономических явлений и процессов, построения теоретических моделей. Числовые функции и их свойства, практические примеры их использования в экономике. Производственные функции, функция спроса и предложения.
курсовая работа [974,5 K], добавлен 11.10.2014Производственная функция как экономико-математическое уравнение, связывающее переменные величины затрат (ресурсов) с величинами продукции (выпуска), ее практическое применение. Свойства функции предложения. Моделирование издержек и прибыли предприятия.
курсовая работа [707,1 K], добавлен 02.12.2009Применение метода равномерного расположения для оптимизации бизнес-процессов. Программное обеспечение Staffware Process Suit, суть его работы и преимущества. Разработка приложения-прототипа для автоматизации применения метода равномерного расположения.
дипломная работа [214,9 K], добавлен 21.08.2016Описание задачи линейного целочисленного программирования. Общий алгоритм решения задач с помощью метода границ и ветвей, его сущность и применение для задач календарного планирования. Пример использования метода при решении задачи трех станков.
курсовая работа [728,8 K], добавлен 11.05.2011Применение моделирования в научных исследованиях. Сущность балансового метода планирования. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики, примеры продуктивных моделей. Вектор полных затрат, модель равновесных цен и смысл распадения вектора на слагаемые.
контрольная работа [53,9 K], добавлен 21.06.2009Примеры решения задач линейного программирования в Mathcad и Excel. Нахождение минимума функции f(x1, x2) при помощи метода деформируемого многогранника. Построение многофакторного уравнения регрессии для решения экономико-статистической задачи.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 17.12.2011Применение метода равномерного расположения для оптимизации бизнес-процессов. Программное обеспечение Staffware Process Suit. Применение метода равномерного расположения для процессов планирования и принятия решений. Методы распределения ресурсов.
курсовая работа [492,4 K], добавлен 18.02.2017Линейное программирование как инструмент исследования линейных моделей. Основы симплекс-метода. Моделирование экономической ситуации в инструментальном цехе. Применение симплекс-метода для оптимизации плана производства. Применимость линейной модели.
курсовая работа [112,0 K], добавлен 09.12.2014Численность руководителей и других категорий работников, предполагаемый уровень заработной платы. Процентное соотношение входящих и исходящих звонков. Составление таблицы значений на заданном интервале для функции. Аппроксимация статистических данных.
контрольная работа [170,1 K], добавлен 08.04.2010Численные методы решения трансцедентных уравнений. Решение с помощью метода жордановых исключений системы линейных алгебраических уравнений. Симплексный метод решения задачи линейного программирования. Транспортная задача, применение метода потенциалов.
методичка [955,1 K], добавлен 19.06.2015Применение метода аналитической группировки при оценке показателей розничного товарооборота. Определение эмпирического корреляционного отношения, издержек обращения и товарооборота с помощью уравнения линейной регрессии метода математической статистики.
контрольная работа [316,4 K], добавлен 31.10.2009Главные требования к математическим моделям в САП. Применение принципа декомпозиции при математическом моделировании сложного технического объекта. Разработка приближенных моделей объектов на микроуровне. Сущность метода сеток, метода конечных элементов.
презентация [705,6 K], добавлен 09.02.2015Определение понятия производной функции. Рассмотрение геометрического смысла производной. Изучение дифференциала функции. Применение производной к исследованию функций. Маржинализм в современной экономической науке. Эластичность спроса и предложения.
контрольная работа [51,5 K], добавлен 02.03.2015Основные подходы к математическому моделированию систем, применение имитационных или эвристических моделей экономической системы. Использование графического метода решения задачи линейного программирования для оптимизации программы выпуска продукции.
курсовая работа [270,4 K], добавлен 15.12.2014Решение задачи линейного программирования графическим и симплекс-методом. Решение задачи двойственной к исходной. Определение оптимального плана закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации общего пробега автомобилей.
контрольная работа [398,2 K], добавлен 15.08.2012Применение математических методов в решении экономических задач. Понятие производственной функции, изокванты, взаимозаменяемость ресурсов. Определение малоэластичных, среднеэластичных и высокоэластичных товаров. Принципы оптимального управления запасами.
контрольная работа [83,3 K], добавлен 13.03.2010Определение, цели и задачи эконометрики. Этапы построения модели. Типы данных при моделировании экономических процессов. Примеры, формы и моделей. Эндогенные и экзогенные переменные. Построение спецификации неоклассической производственной функции.
презентация [1010,6 K], добавлен 18.03.2014Моделирование технических объектов, понятие и свойства моделей. Структурные и линейные модели. Свойства материала из которого сделана балка. Интегрированная система MathCad. Максимальный прогиб и угол поворота балки. Описание структуры Web-сайта.
курсовая работа [154,3 K], добавлен 11.12.2012Математическая формулировка задачи линейного программирования. Применение симплекс-метода решения задач. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования. Применение методов линейного программирования к экстремальным задачам экономики.
курсовая работа [106,0 K], добавлен 05.10.2014Основные причины универсальности математики, ее взаимосвязь с вычислительной техникой. Особенности экономических задач, решаемых математическими методами. Характеристика и анализ применения матричного метода и функции для решения экономических задач.
реферат [42,8 K], добавлен 07.04.2010
