В исследованиях, посвященных последовательным голосованиям с постепенным исключением кандидатов, как правило, рассматривается один следующих трех типов голосования: «слабое звено» (от англ. «the weakest link»), «исчерпывающее голосование» (от англ. «exhaustive ballot» или «ballot with exhaustion»), голосование с ранжированием кандидатов (от англ. «instant runoff voting» или «ranked choice voting»). Во всех трех типах голосований после каждого этапа, если на этом этапе не был выбран победитель всего голосования, отсеивается кандидат с наименьшим количеством голосов и затем процесс повторяется с перераспределением голосов.

Отличие между первыми двумя типами заключается в том, что в первом (the weakest link) отсеивание кандидатов продолжается до самого последнего этапа, пока в финале не останутся только двое претендентов на победу в голосовании и будет выбран один из них. Во втором (exhaustive ballot) голосование может прерваться на любом этапе (даже на самом первом) в случае, если один из кандидатов получит в этом этапе абсолютное большинство голосов (50%+1). Если это происходит, голосование прерывается на данном этапе и кандидат, получивший абсолютное большинство голосов, признается победителем голосования. Если ни на одном из этапов (до самого последнего, когда остается всего двое участников) этого не происходит, голосование продолжается до самого конца, как и в голосовании типа «слабое звено».

Голосования с ранжированием кандидатов отличаются от первых двух типов тем, что в первых двух типах участники голосования наблюдают за развитием событий на каждом этапе и могут между этапами скорректировать свою стратегию в соответствии с полученной в процессе голосования информацией. В голосованиях с ранжированием кандидатов избиратели ранжируют кандидатов в соответствии со своими предпочтениями до начала голосования и не имеют возможности изменить стратегию в ходе голосования. При выбытии кандидатов голоса перераспределяются в соответствии с ранжированными списками, составленными до начала голосования. Голосование продолжается до тех пор, пока один из кандидатов не получит абсолютное большинство голосов. В связи с этим в одном из недавних исследований [Burnett C. M., Kogan V., 2015], посвященных голосованию с ранжированием, поднимается вопрос о том, действительно ли при данном типе голосования победивший кандидат набирает абсолютное большинство голосов. Для ответа на данный вопрос авторы исследования анализируют четыре случая фактически состоявшихся выборов с голосованием данного типа (Oakland, 2010; Pierce County, 2008; San Francisco, 2011; San Leonardo, 2010). Анализ данных по данным голосованиям показал, что на самом деле во всех четырех случаях победивший кандидат набрал менее половины голосов (45.1%, 45.6%, 43.4%, 45.7% голосов соответственно). Этот удивительный на первый взгляд результат связан с особенностью такого типа голосования, заключающейся в следующем: избиратели упорядочивали в соответствии со своими предпочтениями в избирательных бланках не всех кандидатов, а только нескольких. В результате этого часть бланков, в которых все присутствующие избиратели были отсеяны на предыдущих этапах, не участвовали в дальнейших этапах голосования. Победитель получал абсолютное большинство голосов относительно оставшихся бланков, но это не было абсолютным большинством голосов при учете всех первоначально поступивших бланков.

Другое исследование данного правила голосования [Kimball D. C., Anthony J., 2016] сравнивает его с правилом относительного большинства, которое стали постепенно им заменять в Соединенных Штатах Америки. В исследовании сравниваются голосования, проведенные в одно и то же время в демографически похожих городах США с разными механизмами голосования, с целью оценить, влияет ли изменение механизма голосования на количество избирателей, участвующих в выборах, или качество сделанного выбора. Согласно результатам исследования, все показатели приблизительно одинаковы, за одним исключением - количество участников голосования с ранжированием кандидатов значительно превышает количество участников первичного голосования (primary election). Этот вывод действителен только для первичного голосования, что касается всеобщего голосования (general elections) - показатели для разных типов голосования схожи между собой.

В исследовании Бэга, Сабуриена и Винтера [Bag P. K., Sabourian H., Winter E., 2009] показано, что при определенном наборе условий победителем голосования с элиминацией (включает все перечисленные выше типы) становится победитель Кондорсе, если он существует, и один наиболее предпочитаемых кандидатов в соответствии с агрегированными предпочтениями группы, если победитель Кондорсе не существует. Этот вывод справедлив именно для последовательных голосований с элиминацией одного кандидата в каждом последующем раунде голосования. Также, что особенно примечательно, участники голосования должны действовать стратегически и обладать полной информацией о предпочтениях друг друга. Можно привести простой пример, доказывающий необходимость последнего условия. Допустим, в голосовании принимают участие три избирателя с предпочтениями , два избирателя с предпочтениями и три избирателя с предпочтениями . При попарном сравнении альтернатив получаем, что при выборе между и побеждает (5 голосов против 3), при выборе между и также побеждает (снова 5 голосов против 3), таким образом, - победитель Кондорсе. Если в начале голосования с элиминацией избиратели не знают предпочтения друг друга и голосуют в соответствии со своими истинными предпочтениями, кандидаты и получают по 3 голоса, в то время как получает 1 голос и выбывает в первом этапе голосования. Если бы избирателям были известны предпочтения друг друга, избиратели третьего типа (с предпочтениями ) вместо проголосовали бы за и победителем голосования бы стал победитель Кондорсе (благодаря стратегическому поведению игроков).

Со стратегическим поведением также связана работа Дэвиса [Davies J., Narodytska N., Walsh T., 2012]. В ней показано, что в большинстве случаев (хоть и не всегда) голосования с элиминацией кандидатов приводят к усложнению расчета манипулируемости правила голосования. В исследовании показано усложнение вычисления манипулируемости правила голосования и расчета того, как один избиратель может голосовать стратегически, чтобы изменить исход голосования, на примере версии с элиминацией кандидатов правила относительного большинства, версии голосования с правилом вето (также версия с элиминацией кандидатов) и ряда других правил.

Многие исследования последовательных правил голосования в том или ином контексте сравнивают схемы единовременных голосований с последовательными. Например, Пересс в своей статье [Peress M., 2008] сравнивает эти два класса голосований в контексте того, какие из них более успешны в выборе победителя Кондорсе в качестве победителя голосования. Исследование показывает для достаточно большого количества популярных в использовании правил голосования их способность или неспособность иметь равновесие, устойчивое по Кондорсе - начиная с правил относительного и абсолютного большинства и заканчивая последовательными голосованиями с ранжированием. Показано, что самые распространенные схемы голосования в основном характеризуются несколькими недоминируемыми равновесиями по Нэшу, что означает, что эти равновесия не являются устойчивыми по Кондорсе. Взамен этим правилам представлены два правила последовательного голосования, которые в равновесии выбирают победителем голосования победителя Кондорсе (устойчивый по Кондорсе результат).

Некоторые исследовательские работы посвящены включению в анализ ограниченности информации; мы уже видели, что количество доступной на момент принятия решения информации может значительно отразиться на результате. Один из примеров работ на эту тему - исследование Маккелвея и Ордешука [McKelvey R. D., Ordeshook P. C., 1985]. В статье моделируется голосование с неполной информацией: избиратели не знают текущих позиций программ кандидатов, кандидаты не располагают информацией о предпочтениях избирателей. Единственный источник информации, доступный на момент принятия решения - исторические данные по предыдущим голосованиям. Избиратели принимают решения на основе «вер», рассчитанных в соответствии с полученной исторической информацией. Авторы исследования показывают, что равновесие, полученное при использовании «вер», которые соотносятся с исторической информацией, называемое устойчивым равновесием рациональных ожиданий, совпадает с равновесием, которое было бы получено, если бы участники обладали полной информацией. Результаты, полученные аналитически с помощью модели, подтверждаются данными, полученными в ходе эспериментальной части исследования.

Другое, более раннее исследование [Morton R. B., Williams K. C., 1999] вводит в модель асимметрию информации о кандидатах. Модель представляет собой голосование с тремя кандидатами, один из которых - победитель Кондорсе, тем не менее, при полной информации существует «множественное» равновесие и любой из трех кандидатов может выиграть голосование. Авторы исследования сравнивают результаты голосования при асимметричной информации при разных типах голосования - единовременном и последовательном. При единовременном голосовании (теоретически) выигрывает наиболее известный кандидат (кандидат, о котором имеется больше информации, чем об остальных) независимо от того, является он победителем Кондорсе или нет. В случае последовательного голосования дополнительная информация поступает от участников, которые голосуют раньше (считает, что они голосуют информированно), участники, голосующие позже, полагаются на эту информацию, когда принимают решение о том, за кого голосовать. Победитель Кондорсе с большей вероятностью выиграет последовательное голосование, нежели единовременное. Последовательное голосование будет с большей вероятностью выиграно победителем Кондорсе, если избиратели, голосующие первыми, представляют собой репрезентативную выборку для общей популяции избирателей; если же выборка нерепрезентативная, с большей вероятностью выиграет кандидат, наиболее предпочитаемый этой нерепрезентативной группой.

Еще одна модель, имеющая дело с особенностями, связанными с информацией, - модель Феддерсена и Песендорфера [Feddersen T., Pesendorfer W., 1996]. Данная модель предсказывает так называемое «проклятие колеблющегося избирателя» - равновесие, в котором менее информированные избиратели предпочитают воздержаться от участия в голосовании, даже если само по себе участие не влечет за собой никаких издержек для избирателей. При данном равновесии значительная часть избирателей воздерживается от голосования даже в ситуации, когда все воздержавшиеся имеют одинаковые предпочтения относительно того, за кого из кандидатов голосовать.

Часть исследователей акцентирует внимание на понятии риска и всем, что с ним связано (вид функции полезности, избегание риска и т.д.). В качестве примеров можно привести одно исследование, изданное в прошлом столетии, и одно исследование, изданное в текущем году. Первое [Enelow J. M., Hinich M. J., 1983] моделирует влияние построения избирателями ожиданий относительно исхода голосования и показывает, что это построение ожиданий может отрицательно сказаться на стабильности равновесного результата. Авторы исследования показывают, что в модели политически информированных ожиданий избирателей необходимым и достаточным условием равновесия является функция полезности избирателей, отражающая негативное отношение к риску (рискофобия). Второе исследование [Attanasi G., Corazzini L., Passarelli F., 2017] представляет собой взгляд на голосование с точки зрения поведенческой экономики. Список параметров, используемых в модели в данном случае, включает право голоса (степень влияния в голосовании), отношение к риску и пессимизм (оптимизм) относительно того, как другие участники голосования будут голосовать. С помощью данных параметров моделью определяется желаемое для каждого (потенциального) участника голосования нижнее значение порога голосов «за» для принятия решения, которое он хотел бы установить для предстоящего голосования. Более высокие показатели склонности к риску, уровня влияния и/или оптимизма по отношению к решениям других участников голосования говорят о более низком желательном минимальном значении порога для голосования, и наоборот.

Огромное количество исследований посвящено такому явлению как «стадное» поведение при выборе из альтернатив. Во всех исследованиях такого рода встречается по крайней мере одно из трех следующих понятий: поддержка победившей стороны или «движущая сила» (англ. «bandwagon»), импульс или «моментум» (англ. «momentum»), информационные каскады (англ. «informational cascades»). Рассмотрим, чем эти три явления между собой отличаются. Согласно работе Каландера [Callander S.,2007], явления моментум и движущей силы происходят в разный период времени. О явлении моментум говорят с того момента, когда шансы кандидата на победу начинают улучшаться; о явлении движущей силы говорят, когда достигнут момент, после которого почти все избиратели, которые будут голосовать, будут голосовать за данного кандидата. В данном исследовании доказано, что в игре последовательного голосования существует такое равновесие, в котором вероятность возникновения наступления эффекта движущей силы равна 100%. Для возникновения такого явления должно образоваться сочетание двух вещей: веры в победу данного кандидата и желания голосовать за победителя.

Али и Картик [Ali N., Kartik N., 2006a] построили модель голосования, описывающую президентские выборы, с двумя кандидатами, в которой некоторые избиратели еще не определились с выбором, за кого они будут голосовать. Избирателям доступна вся историческая информация по предыдущим этапам выборов, также они получают частные сигналы. Авторы исследования отмечают, что данная теория отличается от теории информационных каскадов. Далее рассмотрим исследования по информационным каскадам, чтобы разобраться, в чем состоит отличие, и начнем с другого исследования тех же авторов [Ali N., Kartik N., 2006b]. В данной модели избиратели участвуют в последовательном голосовании с двумя кандидатами и сталкиваются с неопределенностью относительно того, какое состояние мира реализуется на практике. Избиратели голосуют по порядку и могут наблюдать всю историю голосования до момента, когда наступит их очередь. В равновесии каждый избиратель голосует за того кандидата, которого он сам считает наиболее подходящим, принимая во внимание информацию, полученную из предыдущих этапов голосования. Литературы на данную тему существует довольно много, все модели отличаются друг не очень сильно и приводят к похожим выводам [Banerjee A. V., 1992; Hirshleifer D. A., 1994; Strumpf K. S., 2002]. В одном из исследований [Irfanoglu B., Mago S. D., Sheremeta R. M., 2011] проведено экспериментальное исследование по данной теме, авторы вводят название еще одного эффекта (New Hampshire effect), который заключается в том, что победитель первого этапа с наибольшей вероятностью выигрывает все голосование.

Также хотелось бы отметить исследование Декеля [Dekel E., Piccione M., 2000], в котором рассматривается модель последовательного голосования в симметричной среде с двумя кандидатами. Авторы показывают, информированное симметричное равновесие в модели единовременного голосования также является равновесием в любой модели последовательного голосования; в голосованиях, в которых решение должно быть принято единогласно, получаемое равновесие аналогично равновесию во всех структурах последовательных голосований. Сравниваются модели одновременного и последовательного голосования в разнообразных контекстах. Также в исследование включены несколько примеров, показывающих, что последовательное голосование не всегда имеет преимущество перед единовременным в контексте агрегирования информации. Данная неспособность структуры последовательного голосования использовать дополнительную информацию для того, что принимать более информированные решения, отличается от случаев, описываемых в моделях со стадным поведением и информационными каскадами.

Математическая модель

Даная глава построена следующим образом. Сначала приведено описание типа последовательного голосования, для которого будет применима предложенная математическая модель, затем следует формулировка модели, используемой для математического описания предложенного типа голосования и предсказания его результатов. Далее следует формулировка выводов, полученных на основе данной модели с применением статистической информации по результатам голосований, используемых для выбора городов, в которых будут проходить (и ранее проходили) Олимпийские игры. Завершается глава перечислением возможных модификаций модели, которые могут сделаны в случае продолжения исследования по данному направлению, чтобы несколько приблизить модель к реальности.

Описание типа голосования

В данной исследовательской работе рассматривается последовательное голосование с выбыванием кандидатов после промежуточных этапов голосования. На каждом этапе каждый участник голосует за одну из альтернатив (участник должен отдать голос за одну из альтернатив, возможность воздержаться от голосования не рассматривается), «внутри» каждого этапа голосование происходит одновременно. После завершения каждого раунда голосования кандидат, набравший наименьшее количество голосов, выбывает, затем начинается новый раунд голосования. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет определен победитель.

Участникам голосования предоставлена информация о кандидатах, однако на момент начала голосования они не обладают информацией о предпочтениях других участников голосования. Таким образом, вся информация относительно предпочтений остальных избирателей, которой обладает участник, - агрегированная информация относительно голосования на предыдущих этапах.

Формулировка модели

Рассмотрим частный случай описанного выше голосования с четырьмя альтернативами, доступными на первом этапе голосования (случай с тремя альтернативами не представляет особого интереса, поскольку в отсутствие информации о предпочтениях других участников голосования у участников нет стимула к манипулированию и наилучшей стратегией является голосование за лучшую из альтернатив в соответствии со своими предпочтениями, следующий (второй) этап является последним, т.е. именно в нем и определяется победитель, поэтому наилучшей стратегией также является голосование в соответствии со своими истинными предпочтениями). После первого этапа голосования альтернатива, набравшая наименьшее количество голосов, выбывает. Для удобства проранжируем альтернативы в соответствии с количеством голосов, полученных на первом этапе. Для этого введем следующие обозначения. Пусть - количество голосов на первом этапе такое, что ; - альтернатива, набравшая наибольшее количество голосов на первом этапе; - альтернатива, набравшая наибольшее количество голосов на первом этапе, не считая ; - альтернатива, набравшая наименьшее количество голосов из оставшихся. Таким образом, за альтернативу было отдано голосов, за альтернативу - голосов, голосов было отдано за альтернативу и голосов было отдано за альтернативу, которая больше не участвует в голосовании.

Таблица 1

Результаты первого раунда голосования (источник: расчеты автора)

Альтернатива	Количество голосов в 1ом раунде	Количество голосов во 2ом раунде
X	a	?
Y	b
Z	c
…	d	-

Для удобства будем считать, что общее число голосов нечетное. Если , то участники, голосовавшие в первом раунде за альтернативу , во всех последующих раундах продолжают голосовать за альтернативу и альтернатива выигрывает голосование независимо от того, как будут голосовать все остальные. В таком случае в дальнейших вычислениях нет смысла. Таким образом, все дальнейшие вычисления относятся только к ситуации .

В решающем (третьем) раунде голосования каждый участник будет голосовать в соответствии со своими истинными предпочтениями, следовательно, исход голосования зависит от (1) агрегированных предпочтений всех участников голосования при попарном сравнении трех оставшихся альтернатив (неманипулируемый фактор) и (2) результата второго раунда голосования, т.е. от того какие две альтернативы останутся в третьем раунде или, другими словами, от того какая альтернатива наберет наименьшее количество голосов во втором раунде (манипулируемый фактор - при определенных условиях).

Относительно неманипулируемого фактора участники голосования составляют свое мнение (определяют свои «веры» в каждый из возможных исходов) за неимением лучшего источника информации на основе той информации, которая была получена в первом раунде голосования. Поскольку агрегированные предпочтения не обязательно будут транзитивными, т.е. может существовать парадокс Кондорсе Например, если , то при транзитивных предпочтениях , в ситуации с парадоксом Кондорсе: . [De Condorcet N., 2014], существует восемь возможных вариантов развития события (восемь «картин мира», которые воспринимаются участниками как заданный фактор, определенный «природой», на который нельзя повлиять и относительно которого строятся ожидания, «веры», на основе имеющейся информации), а именно:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Каждой «картине мира» соответствует вера участника голосования в то, что именно эта картина мира соответствует реальности. Данные веры определяются на основе уже имеющейся информации, т.е. по результатам первого раунда голосования. Поскольку мы не накладываем никаких ограничений на агрегированные предпочтения, будем исходить из того, что предпочтения относительно каждой пары альтернатив не зависят от предпочтений относительно других пар альтернатив. Это позволяет нам определить веру в каждое состояние мира как произведение вер в предпочтения относительно каждой пары альтернатив, характеризующих заданное состояние мира.

Введем следующие обозначения для данных вер В данных формулах - сочетание из r по s; r>s. В данных формулах квадратные скобки обозначают целую часть числа, стоящего в скобках.:

Таким образом, вера, относящаяся к первому состоянию мира равна , ко второму - и т. д. Также очевидно, что и .

Далее необходимо определить типы участников голосования и каким-либо образом оценить полезность, получаемую каждый типом участника. Пусть тип участника определяется его предпочтениями относительно всех трех оставшихся альтернатив. В отличие от агрегированных групповых предпочтений, индивидуальные обязаны быть транзитивными, поскольку мы ожидаем, что предпочтения игроков будут рациональными. Таким образом, у нас имеется 6 типов игроков. Полезность каждого игрока определяется тем, как соотносится фактический результат голосования с его предпочтениями. Определим функцию полезности -го игрока следующим образом:

Разделим ситуации в игре на два типа:

1. Решение игроков данного типа не влияет на результат голосования. В таком случае игрок получает одинаковую полезность, независимо от своего решения. Будем считать, что в таком случае он голосует за наилучшую для себя альтернативу.

2. Решение игрока влияет на результат голосования. В этом случае необходимо сравнить полезности, который игрок получает при каждом из трех вариантов его выбора.

Также введем в модель фактор, значение которого зависит от решения других игроков - это значение будет определяться в равновесии. Пусть - вероятность ситуации, в которой если игрок не меняет свое решение, на втором этапе отсеивается альтернатива, занимающая второе место в его предпочтениях, если же он меняет решение, отсеивается альтернатива, занимающая первое место в его предпочтениях. Аналогично, - вероятность ситуации, в которой если игрок не меняет свое решение, на втором этапе отсеивается альтернатива, занимающая последнее место в его предпочтениях, если же он меняет решение, отсеивается альтернатива, занимающая первое место в его предпочтениях. Так как мы рассматриваем здесь все ситуации, в которых решение игрока влияет на результат голосования, то - вероятность ситуации, в которой если игрок меняет свое решение, на втором этапе отсеивается альтернатива, за которую он не голосовал ни в одном из раундов, если же он не меняет решение, то отсеивается альтернатива, за которую он проголосовал бы, если бы поменял решение. Данные переменные следует воспринимать не как объективные вероятности событий, а скорее, как субъективную оценку участника голосования (его оптимизм/пессимизм) относительно возможных действий других игроков (таким образом мы вводим в модель человеческий фактор). Решение задачи оптимизации полезности, таким образом, включает два этапы:

1. На первом этапе происходит «сухой» расчет изменения полезности каждого из типов игроков при изменении выбора, перечисление возможных стратегий каждого из типов игроков.

2. Субъективная оценка того, какой выбор сделают те игроки, выбор которых также зависит от их субъективной оценки

Начнем с первого этапа.

Для первого типа игрока (с предпочтениями ) получаем следующие изменения полезности (рассчитано на основании таблицы 2): при изменении выбора с на , при изменении выбора с на .

Таблица 2

Изменения полезности игрока первого типа () при разных состояниях мира (источник: расчеты автора)

№	Агрегированные предпочтения (состояние мира)	Вера в данное состояние мира	Изменение полезности ?u (X->Y)	Изменение полезности ?u (X->Z)
1	X>Y, Y>Z, X>Z	mnk	-p-q	-p-q
2	X>Y, Y>Z, X<Z	m(1-n)k	2-p-3q	3p+q-2
3	X>Y, Y<Z, X>Z	mn(1-k)	-2p-2q	-2p-2q
4	X>Y, Y<Z, X<Z	m(1-n)(1-k)	2-2p-4q	2p-2
5	X<Y, Y>Z, X>Z	(1-m)nk	q-1	1-2p-q
6	X<Y, Y>Z, X<Z	(1-m)(1-n)k	1-q	2p+q-1
7	X<Y, Y<Z, X>Z	(1-m)n(1-k)	-1-p	1-3p-2q
8	X<Y, Y<Z, X<Z	(1-m)(1-n)(1-k)	1-p-2q	p-1

Для второго типа игрока (с предпочтениями ) получаем следующие изменения полезности (рассчитано на основании таблицы 3): при изменении выбора с на , при изменении выбора с на .

Для третьего типа игрока (с предпочтениями ) получаем следующие изменения полезности (рассчитано на основании таблицы 4): при изменении выбора с на , при изменении выбора с на .

Таблица 3

Изменения полезности игрока второго типа () при разных состояниях мира (источник: расчеты автора)

№	Агрегированные предпочтения (состояние мира)	Вера в данное состояние мира	Изменение полезности (X -> Z)	Изменение полезности (X -> Y)
1	X>Y, Y>Z, X>Z	mnk	-2p-2q	-2p-2q
2	X>Y, Y>Z, X<Z	m(1-n)k	-1-p	2-4p-3q
3	X>Y, Y<Z, X>Z	mn(1-k)	-p-q	-p-q
4	X>Y, Y<Z, X<Z	m(1-n)(1-k)	q-1	1-2p-q
5	X<Y, Y>Z, X>Z	(1-m)nk	2-2p-4q	2p-2
6	X<Y, Y>Z, X<Z	(1-m)(1-n)k	1-p-2q	p-1
7	X<Y, Y<Z, X>Z	(1-m)n(1-k)	2-p-3q	3p+q-2
8	X<Y, Y<Z, X<Z	(1-m)(1-n)(1-k)	1-q	2p+q-1

Таблица 4

Изменения полезности игрока третьего типа () при разных состояниях мира (источник: расчеты автора)

№	Агрегированные предпочтения (состояние мира)	Вера в данное состояние мира	Изменение полезности (Y -> X)	Изменение полезности (Y -> Z)
1	X>Y, Y>Z, X>Z	mnk	q-1	1-2p-q
2	X>Y, Y>Z, X<Z	m(1-n)k	-p-1	1-3p-2q
3	X>Y, Y<Z, X>Z	mn(1-k)	1-q	2p+q-1
4	X>Y, Y<Z, X<Z	m(1-n)(1-k)	1-p-2q	p-1
5	X<Y, Y>Z, X>Z	(1-m)nk	-p-q	-p-q
6	X<Y, Y>Z, X<Z	(1-m)(1-n)k	-2p-2q	-2p-2q
7	X<Y, Y<Z, X>Z	(1-m)n(1-k)	2-p-3q	3p+q-2
8	X<Y, Y<Z, X<Z	(1-m)(1-n)(1-k)	2-2p-4q	2p-2

Для четвертого типа игрока (с предпочтениями ) получаем следующие изменения полезности (рассчитано на основании таблицы 5): при изменении выбора с на , при изменении выбора с на .

Таблица 5

Изменения полезности игрока четвертого типа () при разных состояниях мира (источник: расчеты автора)

№	Агрегированные предпочтения (состояние мира)	Вера в данное состояние мира	Изменение полезности (Y -> Z)	Изменение полезности (Y -> X)
1	X>Y, Y>Z, X>Z	mnk	2-2p-4q	2p-2
2	X>Y, Y>Z, X<Z	m(1-n)k	2-p-3q	3p+q-2
3	X>Y, Y<Z, X>Z	mn(1-k)	1-p-2q	p-1
4	X>Y, Y<Z, X<Z	m(1-n)(1-k)	1-q	2p+q-1
5	X<Y, Y>Z, X>Z	(1-m)nk	-2p-2q	-2p-2q
6	X<Y, Y>Z, X<Z	(1-m)(1-n)k	-p-q	-p-q
7	X<Y, Y<Z, X>Z	(1-m)n(1-k)	-p-1	1-3p-2q
8	X<Y, Y<Z, X<Z	(1-m)(1-n)(1-k)	q-1	1-2p-q

Таблица 6

Изменения полезности игрока пятого типа () при разных состояниях мира (источник: расчеты автора)

№	Агрегированные предпочтения (состояние мира)	Вера в данное состояние мира	Изменение полезности (Z -> X)	Изменение полезности (Z -> Y)
1	X>Y, Y>Z, X>Z	mnk	1-q	2p+q-1
2	X>Y, Y>Z, X<Z	m(1-n)k	2-p-3q	3p+q-2
3	X>Y, Y<Z, X>Z	mn(1-k)	q-1	1-2p-q
4	X>Y, Y<Z, X<Z	m(1-n)(1-k)	-p-q	-p-q
5	X<Y, Y>Z, X>Z	(1-m)nk	1-p-2q	p-1
6	X<Y, Y>Z, X<Z	(1-m)(1-n)k	2-2p-4q	2p-2
7	X<Y, Y<Z, X>Z	(1-m)n(1-k)	-p-1	1-3p-2q
8	X<Y, Y<Z, X<Z	(1-m)(1-n)(1-k)	-2p-2q	-2p-2q

Для пятого типа игрока (с предпочтениями ) получаем следующие изменения полезности (рассчитано на основании таблицы 6): при изменении выбора с на , при изменении выбора с на .

Таблица 7

Изменения полезности игрока шестого типа () при разных состояниях мира (источник: расчеты автора)

№	Агрегированные предпочтения (состояние мира)	Вера в данное состояние мира	Изменение полезности (Z -> Y)	Изменение полезности (Z -> X)
1	X>Y, Y>Z, X>Z	mnk	1-p-2q	p-1
2	X>Y, Y>Z, X<Z	m(1-n)k	-p-1	1-3p-2q
3	X>Y, Y<Z, X>Z	mn(1-k)	2-2p-4q	2p-2
4	X>Y, Y<Z, X<Z	m(1-n)(1-k)	-2p-2q	-2p-2q
5	X<Y, Y>Z, X>Z	(1-m)nk	1-q	2p+q-1
6	X<Y, Y>Z, X<Z	(1-m)(1-n)k	q-1	1-2p-q
7	X<Y, Y<Z, X>Z	(1-m)n(1-k)	2-p-3q	3p+q-2
8	X<Y, Y<Z, X<Z	(1-m)(1-n)(1-k)	-p-q	-p-q

Для шестого типа игрока (с предпочтениями ) получаем следующие изменения полезности (рассчитано на основании таблицы 7): при изменении выбора с на , при изменении выбора с на .

Выводы модели

Однозначно определить результат голосования в общем виде не представляется возможным: хоть полученное выше описание изменений полезности и дает некоторое представление о том, как будут действовать игроки, в совокупности необходимо рассмотреть слишком много комбинаций решений игроков и соотношений типов игроков, чтобы вычленить все возможные равновесные результаты. Стоит также учесть, что нам неизвестно количество игроков каждого типа: мы можем только дать оценку верхней и нижней возможной границы (например, для игроков первого и второго типа верхняя граница составляет , нижняя граница составляет ). Также нельзя с уверенностью утверждать, что в игре присутствуют все шесть типов игроков (например, все игроки, для которых на первом месте в предпочтениях располагается альтернатива могут относиться только к первому типу, а игроки второго типа в таком случае не существуют). Обязаны существовать игроки хотя бы одного из типов 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6, поскольку количество голосов за каждую и трех оставшихся альтернатив больше 0.

Учитывая все вышесказанное, поиск всех равновесий в общем виде трудоемок и не имеет большого практического смысла. Тем не менее, с помощью данной модели можно находить равновесия в каждом из частных случаев, для этого необходимо подставить данные, полученные в ходе первого этапа конкретного голосования в модель. В данном анализе можно использовать данные следующих голосований: голосования, с помощью которых определяются города, принимающие Олимпийский игры в 1976 (зимние), 1994 и 2016 гг. (результаты голосований с выбором города, принимающего Олимпийские игры, приведены в Приложении 1).

Анализ с добавлением данных первого раунда голосования 1976 года показал, что в равновесии игроки первых четырех типов менять свой выбор не будут, игроки 5 и 6 не точно не будут голосовать за - они могут либо продолжить голосовать за , либо поменять свой выбор на . Фактически во втором раунде данного голосования количество голосов за не изменилось, количество голосов за увеличилось во втором раунде, количество голосов за уменьшилось по сравнению с первым раундом. Эти данные соотносятся с тем, что предсказывает модель. Таблицы с рассчитанными коэффициентами для всех трех случаев вынесены в Приложение 2.

Анализ с добавлением данных 1994 года показал, что игроки типов 1, 3, 5, 6 не будут менять свой выбор. Игроки второго типа могут поменять свой выбор в пользу альтернативы , если будут уверены в том, что в таком случае число голосов за альтернативу не станет наименьшим, либо продолжить голосовать за . Игроки третьего типа могут поменять свой выбор в пользу альтернативы , если будут уверены в том, что в таком случае число голосов за альтернативу не станет наименьшим, либо продолжить голосовать за . Фактически во втором раунде данного голосования количество голосов за увеличилось, количество голосов за значительно увеличилось во втором раунде, а количество голосов за уменьшилось на один голос по сравнению с первым раундом; во втором раунде наименьшей количество голосов получила альтернатива . Эти данные также соотносятся с тем, что предсказывает модель.

Анализ с добавлением данных 2016 года показал, что игроки всех типов могут иметь стимулы поменять свой выбор на альтернативу, которая занимает второе место в их предпочтениях, если будут иметь достаточную степени уверенности в том, что их наиболее предпочитаемая альтернатива также останется в игре, т.е. если будут ожидать, что значительная часть игроков, голосовавших в первом раунде за проигравшую альтернативу, во втором раунде будет голосовать за наиболее предпочитаемую для них, или ожидать, что часть остальных игроков изменит выбор в пользу наиболее предпочитаемой альтернативы как второй наилучшей для себя. Фактически во втором раунде данного голосования количество голосов за и увеличилось, количество голосов за уменьшилось на два голоса по сравнению с первым раундом.

Возможные дальнейшие модификации модели

Использование данной модели ограничено голосованиями типа «слабое звено», что касается модификации, в которой дополнительно присутствует правило абсолютного большинства (если на каком-либо из этапов игрок получает абсолютное большинство голосов, он признается победителем голосования), можно сопоставлять модель с данными, только если до самого последнего раунда победитель не был определен абсолютным большинством голосов (такой исход говорит о том, что стимулы перенести свой голос на наиболее предпочитаемую из альтернатив, набравших более высокое количество голосов, были невелики или отсутствовали типы игроков, у которых эти стимулы могли возникать, в обоих случаях усложнением модели можно пренебречь). Чтобы полноценно использовать модель для класса голосований, использующих этот тип голосования (в реальном мире именно этот тип голосования встречается чаще), необходимо модифицировать модель таким образом, чтобы она учитывала возможное наличие таких стимулов у игроков. Эту модификацию можно было бы использовать для анализа голосований, выбирающих город, принимающий Олимпийские игры в другие года, а также Чемпионат мира по футболу 2018 года Данное голосование было проанализировано в недавнем исследовании Карабекяна Д. С. [Карабекян, 2017]. (как пример).

Также возможно расширение модели для голосования с большим количеством кандидатов (5, 6 и т.д.). В этом случае увеличивается количество раундов голосования, в которых игроки будут голосовать стратегически, и чрезмерно возрастает сложность вычислений.

Еще один вариант модификации модели - рассмотрение эффектов (моментум, движущая сила, информационные каскады) из литературы, посвященной стадному поведению, применительно к данной модели. В модели уже присутствует одна из двух необходимых для возникновения таких явлений составляющих: веры игроков в состояния мира, в которых в голосовании побеждают кандидаты, набравшие наибольшее количество голосов, выше, чем веры в состояния мира, в которых победителем голосования становится кандидат с меньшим количеством голосов в первом этапе.



Заключение

В данной исследовательской работе была предложена модель, описывающая поведение участников последовательного голосования с поэтапным выбыванием кандидатов. В общем виде найти все равновесия в данной модели если и возможно, то довольно трудоемко и на практике не представляется очень полезным. Можно разве что определить несколько решений, которые точно никогда не состоятся. Тем не менее, применив данную модель для анализа фактически состоявшихся в реальном мире голосований (для анализа были выбраны голосования, определившие города, принимающие Олимпийские игры в 1976 (зимние игры), 1994, 2016 годах), мы убедились в том, что результаты, полученные с помощью данной модели при подстановке в нее результатов первого раунда конкретного голосования, совпадают с фактическим результатом голосования, что дает основания считать, что модель обладает хорошей предсказательной силой и может быть использована для оценки будущих голосований. Также были предложены варианты дальнейшего усложнения (модификации) модели с целью увеличить число голосований, для анализа которых можно применять данную модель.



Список литературы

1. Карабекян Д. С. Стратегическое поведение в голосовании на выбывание: что мы можем узнать из выборов стран--хозяек чемпионатов мира FIFA 2018 и 2022 гг.? //XVII Апрельская международная научная конференция по проблемам развития экономики и общества: в 4 кн. Издательский дом НИУ ВШЭ, 2017. С. 92-99.

2. Ali N., Kartik N. A theory of momentum in sequential voting. 2006.

3. Ali N., Kartik N., Welcome P. D. C. A Theory of Information Cascades in Sequential Voting. Working paper, University of California at San Diego, 2006.

4. Attanasi G., Corazzini L., Passarelli F. Voting as a Lottery //Journal of Public Economics. 2017. Т. 146. С. 129-137.

5. Bag P. K., Sabourian H., Winter E. Multi-stage voting, sequential elimination and Condorcet consistency //Journal of Economic Theory. 2009. Т. 144. №. 3. С. 1278-1299.

6. Banerjee A. V. A simple model of herd behavior //The Quarterly Journal of Economics. 1992. Т. 107. №. 3. С. 797-817.

7. Burnett C. M., Kogan V. Ballot (and voter)“exhaustion” under Instant Runoff Voting: An examination of four ranked-choice elections //Electoral Studies. 2015. Т. 37. С. 41-49.

8. Callander S. Bandwagons and momentum in sequential voting //The Review of Economic Studies. 2007. Т. 74. №. 3. С. 653-684.

9. Davies J., Narodytska N., Walsh T. Eliminating the weakest link: Making manipulation intractable? //arXiv preprint arXiv:1204.3918. 2012.

10. De Condorcet N. et al. Essai sur l'application de l'analyse а la probabilitй des dйcisions rendues а la pluralitй des voix. Cambridge University Press, 2014.

11. Dekel E., Piccione M. Sequential voting procedures in symmetric binary elections //Journal of political Economy. 2000. Т. 108. №. 1. С. 34-55.

12. Enelow J. M., Hinich M. J. Voter expectations in multi-stage voting systems: an equilibrium result //American Journal of Political Science. 1983. С. 820-827.

13. Feddersen T., Pesendorfer W. The swing voter's curse //The American economic review. 1996. С. 408-424.

14. Hirshleifer D. A. The blind leading the blind: social influence, fads and informational cascades. 1994.

15. Irfanoglu B., Mago S. D., Sheremeta R. M. Sequential versus simultaneous election contests: An experimental study. Working Paper, 2011.

16. Kimball D. C., Anthony J. Voter Participation with Ranked Choice Voting in the United States //annual meeting of the American Political Science Association, Philadelphia. 2016.

17. McKelvey R. D., Ordeshook P. C. Sequential elections with limited information //American Journal of Political Science. 1985. С. 480-512.

18. Morton R. B., Williams K. C. Information asymmetries and simultaneous versus sequential voting //American political science Review. 1999. Т. 93. №. 01. С. 51-67.

19. Peress M. Selecting the Condorcet winner: single-stage versus multi-stage voting rules //Public Choice. 2008. Т. 137. №. 1. С. 207-220.

20. Strumpf K. S. Strategic competition in sequential election contests //Public Choice. 2002. Т. 111. №. 3. С. 377-397.

21. http://www.aldaver.com/votes.html.

22. 

Приложения

Приложение 1 Результаты голосований с выбором города, принимающего Олимпийские игры

Таблица 8

Результаты голосований, выбирающих город, который будет принимать Олимпийские игры http://www.aldaver.com/votes.html

...

Season	Bid City	R1	R2	R3	R4	R5	R6
2020	Tokyo. Japan.	42		60	-	-	-
	Istanbul. Turkey	26	49	36
	Madrid. Spain.	26	45	-
2018, Winter	PyeongChang. South Korea.	63	-	-	-	-	-
	Munich. Germany.	25
	Annecy. France.	7
2016	Rio de Janeiro. Brazil.	26	46	66	-	-	-
	Madrid. Spain.	28	29	32
	Tokyo. Japan.	22	20	-
	Chicago. USA.	18	-	-
2014, Winter	Sochi. Russia.	34	51	-	-	-	-
	PyeongChang. South Korea.	36	47
	Salzburg. Austria.	25	-
2012	London. Great Britain.	22	27	39	54	-	-
	Paris. France.	21	25	33	50
	Madrid. Spain.	20	32	31	-
	New York. USA.	19	16	-	-
	Moscow. Russia.	15	-	-	-
2010, Winter	Vancouver. Canada.	40	56	-	-	-	-
	PyeongChang. South Korea.	51	53
	Salzburg. Austria.	16	-
2008	Beijing. PR of China	44	56	-	-	-	-
	Toronto. Canada	20	22
	Paris. France	15	18
	Istanbul. Turkey	17	9
	Osaka. Japan	6	-
2006, Winter	Turin. Italy	x	53	-	-	-	-
	Sion. Switzerland	x	36
	Helsinki. Finand	-	-
	Klagenfurt. Austria	-	-
	Poprad-Tatry. Slovakia	-	-
	Zakopane. Poland	-	-
2004	Athens. Greece	32		38	52	66	-
	Rome. Italy	23		28	35	41
	Cape Town. South Africa	16	62	22	20	-
	Stockholm. Sweden	20		19	-	-
	Buenos Aires. Argentina	16	44	-

дипломная работа "Модели последовательного голосования" скачать

Подобные документы

• Разработка математической модели по формированию производственной программы предприятия

  Роль экономико-математических методов в оптимизации экономических решений. Этапы построения математической модели и решение общей задачи симплекс-методом. Составление экономико-математической модели предприятия по производству хлебобулочных изделий.
  
  курсовая работа [1,3 M], добавлен 09.07.2015
  

• Разработка математической модели по формированию производственной программы

  Сущность экономико-математического моделирования. Понятия и типы моделей. Принцип работы симплекс-метода. Разработка математической модели по формированию производственной программы. Оптимизационные расчеты, связанные с выбором производственной программы.
  
  курсовая работа [1,3 M], добавлен 09.07.2015
  

• Моделирование экономических систем

  Сущность экономико-математической модели, ее идентификация и определение достаточной структуры для моделирования. Построение уравнения регрессии. Синтез и построение модели с учетом ее особенностей и математической спецификации. Верификация модели.
  
  контрольная работа [73,9 K], добавлен 23.01.2009
  

• Регрессионный анализ. Факторный эксперимент

  Построение уравнения регрессии, учитывающего взаимодействия факторов, проверка полученной модели на адекватность. Построение математической модели и нахождение численных значений параметров этой модели. Вычисление коэффициентов линейной модели.
  
  курсовая работа [1005,0 K], добавлен 07.08.2013
  

• Построение многофакторной модели. Прогнозирование по однофакторной модели

  Построение эконометрической модели, описывающей линейную зависимость результативного признака факторов, входящих в нее, методом матрицы. Проверка ее на адекватность по критерию Фишера. Определение дисперсии, ковариации, корреляции и детерминации.
  
  контрольная работа [180,5 K], добавлен 03.12.2014
  

• Запись математической модели в форме стандартной задачи линейного программирования

  Построение экономической модели по оптимизации прибыли производства. Разработка математической модели задачи по оптимизации производственного плана и её решение методами линейного программирования. Определение опорного и оптимального плана производства.
  
  дипломная работа [311,3 K], добавлен 17.01.2014
  

• Математические методы и модели в экономике

  Построение одноиндексной математической модели задачи линейного программирования, ее решение графическим методом. Разработка путей оптимизации сетевой модели по критерию "минимум исполнителей". Решение задачи управления запасами на производстве.
  
  контрольная работа [80,8 K], добавлен 13.12.2010
  

• Оптимальное непроизводственное потребления в односекторной модели экономического роста

  Разработка математической модели оптимизации потребления в односекторной модели экономического роста. Выявление факторов, влияющих на экономический рост. Разработка механизмов обеспечения стабилизации при возникновении кризисных ситуаций в экономике.
  
  дипломная работа [2,4 M], добавлен 27.03.2015
  

• Разработка математической модели и оптимального режима технологического процесса

  Разработка оптимального режима процесса получения максимального выхода химического вещества. Получение математической модели процесса с применением метода центральных композиционных ортогональных планов второго порядка. Исследование поверхности отклика.
  
  курсовая работа [104,3 K], добавлен 20.07.2012
  

• Математическая модель оптимальной расстановки игроков футбольной команды на поле

  Разработка математической модели оптимальной расстановки игроков футбольной команды на поле с учетом распределения игровых обязанностей между футболистами и индивидуальных особенностей каждого для достижения максимальной эффективности игры всей команды.
  
  курсовая работа [1,7 M], добавлен 04.08.2011
  

• Модели оптимального объема производства

  Определение оптимальных объемов производства по видам изделий за плановый период и построение их математической модели, обеспечивающей максимальную прибыль предприятию. Решение задачи по минимизации затрат на перевозку товаров средствами модели MS Excel.
  
  курсовая работа [3,4 M], добавлен 26.05.2013
  

• Математические модели в экономике

  Цель математического моделирования экономических систем: использование методов математики для эффективного решения задач в сфере экономики. Разработка или выбор программного обеспечения. Расчет экономико-математической модели межотраслевого баланса.
  
  курсовая работа [1,3 M], добавлен 02.10.2009
  

• Основные виды экономико-математический моделей и особенности их составления

  Составление экономико-математической модели плана производства продукции. Теория массового обслуживания. Модели управления запасами. Бездефицитная простейшая модель. Статические детерминированные модели с дефицитом. Корреляционно-регрессионный анализ.
  
  контрольная работа [185,7 K], добавлен 07.02.2013
  

• Процесс создания математической модели объекта

  Особенности управления состоянием сложных систем. Способы нахождения математической модели объекта (системы) методом площадей в виде звена 2-го и 3-го порядков. Формы определения устойчивости ЗСАУ. Нахождение переходной характеристики ЗСАУ и основных ПКР.
  
  курсовая работа [112,5 K], добавлен 04.02.2011
  

• Построение экономических моделей. Оптимизация и прогнозирование производства

  Определение оптимального выпуска товаров, обеспечивающего максимум прибыли. Построение модели, описывающей зависимость между факторами и объемом продажи. Нахождение нового объема продаж при измененных факторах. Вычисление неизвестных параметров модели.
  
  контрольная работа [279,8 K], добавлен 16.04.2013
  

• Разработка экономико-математической модели по оптимизации отраслевой структуры производства

  Решение экономико-математических задач методами линейного программирования. Геометрическая интерпретация и решение данных задач в случае двух переменных. Порядок разработки экономико-математической модели оптимизации отраслевой структуры производства.
  
  курсовая работа [116,4 K], добавлен 23.10.2011
  

• Разработка математической модели оценки платежеспособности корпоративного заемщика

  Сущность банка, его деятельность и риски. Особенности развития банковского бизнеса в России. Управление риском в процессе кредитования. Модели оценки кредитоспособности заемщика. Математический аппарат в их разработке и его практическое применение.
  
  дипломная работа [440,3 K], добавлен 30.05.2012
  

• Построение математической модели реактора полого типа для синтеза хлористого этила

  Определение значения температуры и объёма реактора, при которых выходная концентрация хлористого этила будет максимальной. Решение математической модели, включающей "идеальное смешение". Оптимизация объекта методом возможных направлений Зойтендейка.
  
  курсовая работа [1,2 M], добавлен 16.05.2013
  

• Системный анализ – основной метод теории систем

  Определение происхождения эффекта взаимодействия. Последовательность и приёмы системного анализа. Разработка максимального количества альтернатив. Разработка эмпирической модели. Основные типы шкал, используемых при спецификации переменных системы.
  
  презентация [253,7 K], добавлен 19.12.2013
  

• Определение оптимальных размеров и специализации фермерского хозяйства

  Разработка модели крестьянского (фермерского) хозяйства, определение его конкретных размеров. Информационно-экономическое обеспечение математической модели. Решение задачи на персональном компьютере по программе lpsar. Анализ двойственных оценок.
  
  курсовая работа [83,5 K], добавлен 07.10.2014
  

Другие документы, подобные "Модели последовательного голосования"

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам