Статистическая важность коэффициентов регрессии и корреляции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Имеются данные об уровне механизации работ Х (%) и производительности труда У (т/ч) для 12 предприятий:

Xi	30	32	36	40	41	46	52	54	61	55	61	67
Yi	23	20	27	32	30	33	34	36	38	40	41	43

По данным, приведенным в таблице:

1) построить линейное уравнение парной регрессии у на х;

2) рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и оценить тесноту связи;

3) оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции, используя F-статистику, t-статистику Стьюдента и путем расчета доверительных интервалов для каждого из показателей;

4) вычислить прогнозное значение у при прогнозном значении х, составляющем 108% от среднего уровня;

5) оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал;

6) полученные результаты изобразить графически и привести экономическое обоснование.

Решение.

1. Линейная модель регрессии

Уравнение парной регрессии:

где а и b - параметры уравнения



;

Составим вспомогательную таблицу.

i	x	y	xy	x2	(xi-x)2	(yi-y)2	yx	yi-yx	(yi-yx)2
1	30	23	690	900	321,13	101,61	19,08	3,92	15,37
2	32	20	640	1024	253,45	171,09	17,39	2,61	6,81
3	36	27	972	1296	142,09	36,97	21,32	5,68	32,26
4	40	32	1280	1600	62,73	1,17	24,13	7,87	61,94
5	41	30	1230	1681	47,89	9,49	23,01	6,99	48,86
6	46	33	1518	2116	3,69	0,01	24,70	8,30	68,89
7	52	34	1768	2704	16,65	0,85	25,26	8,74	76,39
8	54	36	1944	2916	36,97	8,53	26,38	9,62	92,54
9	61	38	2318	3721	171,09	24,21	27,51	10,49	110,04
10	55	40	2200	3025	50,13	47,89	28,63	11,37	129,28
11	61	41	2501	3721	171,09	62,73	29,19	11,81	139,48
12	67	43	2881	4489	364,05	98,41	30,32	12,68	160,78
S	575,0	397,0	19942	29193	1640,96	562,96	-	-	942,64

;

;

;

Рассчитываем для каждого значения х значения ух. Заносим в таблицу.

2.Линейный коэффициент парной корреляции.

Если: умножить на , то получим:

,

Значит, коэффициент корреляции можно находить по формуле

;

r2 = 0,914

Найденное значение индекса детерминации говорит, что 91,4% вариации производительности труда (Y) объясняется вариацией фактора x - уровнем механизации работ.

Оценка статистической значимости параметров регрессии

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведём с помощью t-статистики Стьюдента и путём расчёта доверительных интервалов для каждого из показателей. Выдвинем гипотезу Но: о статистически незначимом отличии показателей от нуля, то есть Но : a = b = rxy = 0. По таблицам t-критерия Стьюдента при и числу степени свободы в данном случае равном : n - 2 = 12 - 2 = 10 находим tтабл = 2,23.



Фактические значенияt-критерия определяются по формулам:

?2.23

>2.23

>>2.23

Из выше найденных фактических значений ta, tb, tr, видим что кроме параметра а они больше ранее найденного табличного (критического) значения критерия Стьюдента (t = 2,23) следовательно гипотеза Но - отклоняется, то есть a, b и rxy не случайно отличны от нуля.

Найдем F-статистику для оценки значимости уравнения регрессии (n=12, m=1).

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=10, Fтабл= 4,96. Так как F > Fтабл, то уравнение парной регрессии признается статистически значимым и модель адекватной.

Доверительные интервалы для параметров уравнения регрессии:

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:



S2y = 4.81 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

Sy = 2.19 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

Sa - стандартное отклонение случайной величины a.

Sb - стандартное отклонение случайной величины b.

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:

(b - tкрит Sb; b + tкрит Sb)



(0.56 - 2.228 * 0.0542; 0.56 + 2.228 * 0.0542)

(0.44;0.68)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

(a - tкрит Sa; a + tкрит Sa)

(6.25 - 2.228 * 2.67; 6.25 + 2.228 * 2.67)

(0.29;12.2)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

4. Прогнозное значение у при прогнозном значении х, составляющем 108% от среднего уровня

Ч 1,08= 47,92 Ч 1,08 = 51,75

Прогнозное значение производительности труда при увеличенном на 8% уровне механизации труда равно:

усл.ед.

5. Оценка точности прогноза, расчет ошибки прогноза и его доверительного интервала.

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

.

Доверительный интервал прогноза.

(12,71; 57,73)

6. Графическое изображение результатов и экономическое обоснование.

Получим уравнение парной регрессии:

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = 0.56 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 0.56.

Коэффициент a = 6.24 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 - прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.

Задача 2

Используя данные приведенные в таблице:

1) построить линейное уравнение множественной регрессии;

2) рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной детерминации, сравнить их с линейными коэффициентами парной корреляции, пояснить различия между ними;

3) вычислить прогнозное значение у при уменьшении вектора х на 6% от максимального уровня, оценить ошибку прогноза и построить доверительный интервал прогноза

Номер предприятия	Прибыль, У (млн. руб.)	Выработка продукции на 1 работника Х1 (единицы)	Доля продукции производимой на экспорт Х2 (%)
1	3	13	4
2	1	9	2
3	3	12	4
4	2	11	2
5	8	18	11
6	7	15	11
7	5	13	6
8	4	12	5
9	6	15	7
10	7	16	10
11	3	9	4
12	8	18	10

Решение.

1.Уравнение множественной регрессии:

y = a0+ a1x1+ a2x2

Матрица Х значений объясняющих переменных (матрица плана) имеет вид:

Транспонированная матрицаимеет вид:



Найдем произведение матриц ХТХ:

Найдем обратную матрицу:

Найдем произведение матриц:

Найдем уравнение регрессии Y по Х1, Х2в форме y = a0+ a1x1+ a2x2методом наименьших квадратов путем умножения матрицы на матрицу:



Итак: a0 = - 1,764; a1 = 0,255; a2 = 0,489.

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

у = - 1,764 + 0,255 x1+ 0,489 x2.

2.Значимость параметров уравнения множественной регрессии

Составим расчетную таблицу:

i	у	у2	у(х)	у-у(х)	(у-у(х))2
1	3	9	3,503	-0,503	0,2529
2	1	1	1,506	-0,506	0,2563
3	3	9	3,248	-0,248	0,0616
4	2	4	2,016	-0,016	0,0002
5	8	64	8,199	-0,199	0,0397
6	7	49	7,435	-0,435	0,1894
7	5	25	4,481	0,519	0,2695
8	4	16	3,737	0,263	0,0690
9	6	36	5,479	0,521	0,2712
10	7	49	7,201	-0,201	0,0403
11	3	9	2,484	0,516	0,2660
12	8	64	7,710	0,290	0,0840
Сумма	57	335	-	-	1,8002

Стандартная ошибка рассчитывается по формуле:



где - диагональный элемент матрицы,

Отсюда:

Доверительные интервалы коэффициентов регрессии рассчитываются по формуле:

aj - t,n-k * saj аj aj + t,n-k * saj

t0,95; 9 = 2,2622.

Для коэффициента а0имеемt0,95;

9 * Sa0 = 2,2622 * 0.8722 = 1.973

тогда a0 - t0,95; 9 * Sa0 = - 1,764 - 1,973 = - 3,737;

А0 - t0,95; 9 * Sa0 = - 1,764 + 1,973 = 0,209

и доверительный интервал имеет вид (- 3,737; 0,209).

Для коэффициента а1имеемt0,95; 9 * Sa1 = 2,2622 * 0,0994 = 0,225

тогда a1 - t0,95; 9 * Sa1 = 0,255 - 0,225 = 0,030;

а1 - t0,95; 9 * Sa1 = 0,255 + 0,225 = 0,480

и доверительный интервал имеет вид (0,030; 0,480).

Для коэффициента а2имеемt0,95; 9 * Sa2 = 2,2622 * 0,0896 = 0,203

тогда a2 - t0,95; 9 * Sa2 = 0,489 - 0,203 = 0,286;

а2 - t0,95; 9 * Sa2 = 0,489 + 0,203 = 0,692

и доверительный интервал имеет вид (0,286; 0,692).

Коэффициенты корреляции и детерминации

Составим расчетную таблицу:

№	х1	(х1-х1ср)2	х2	(х2-х2ср)2	у	(у-уср)2	х1у	х2у	х1х2
1	13	0,1764	4	5,4289	3	3,0625	39	12	52
2	9	19,5364	2	18,7489	1	14,0625	9	2	18
3	12	2,0164	4	5,4289	3	3,0625	36	12	48
4	11	5,8564	2	18,7489	2	7,5625	22	4	22
5	18	20,9764	11	21,8089	8	10,5625	144	88	198
6	15	2,4964	11	21,8089	7	5,0625	105	77	165
7	13	0,1764	6	0,1089	5	0,0625	65	30	78
8	12	2,0164	5	1,7689	4	0,5625	48	20	60
9	15	2,4964	7	0,4489	6	1,5625	90	42	105
10	16	6,6564	10	13,4689	7	5,0625	112	70	160
11	9	19,5364	4	5,4289	3	3,0625	27	12	36
12	18	20,9764	10	13,4689	8	10,5625	144	80	180
Сумма	161	102,9168	76	126,6668	57	64,25	841	449	1122

; ;



; ;

Коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:

Уравнение регрессии значимо, если (критерий Фишера):



Отсюда F > Fтабл . Уравнение регрессии значимо.

4. Прогнозное значение у при уменьшении вектора х на 6% от максимального уровня

Уменьшаем вектор Х на 6% от максимального уровня:

Х1 max = 18; Х2 max = 10

Х*1 = 18 * 1,06 = 19,08; Х*2 = 10 * 1,06 = 10,6

По уравнению множественной регрессии находим прогнозное значение У:

Ур = - 1,764 + 0,255 * 19,08+ 0,489 * 10,6 = 8,28

Доверительный интервал прогноза:



Задача 3

Используя данные, представленные в таблице, проверить наличие гетероскедатичности, используя тест Голдфельда - Куандта.

Страна	Индекс человеческого развития, У	Расходы на конечное потребление в текущих ценах, % к ВВП, Х
Австрия	0,904	75,5
Австралия	0,922	78,5
Англия	0,918	84,4
Белоруссия	0,763	78,4
Бельгия	0,923	77,7
Германия	0,906	75,9
Дания	0,905	76,0
Индия	0,545	67,5
Испания	0,894	78,2
Италия	0900	78,1
Канада	0,932	78,6
Казахстан	0,740	84,0
Китай	0,701	59,2
Латвия	0,744	90,2
Нидерланды	0,921	72,8
Норвегия	0,927	67,7
Польша	0,802	82,6
Россия	0,747	74,4
США	0,927	83,3
Украина	0,721	83,7
Финляндия	0,913	73,8
Франция	0,918	79,2
Чехия	0,833	71,5
Швейцария	0,914	75,3
Швеция	0,923	79,0

Решение.

Проверим гипотезу о наличии гетероскедастичности с помощью теста Голдфельда-Куандта. Упорядочиваем выборку по возрастанию факторах



x	y
59,2	0,701
67,5	0,545
67,7	0,927
71,5	0,833
72,8	0,921
73,8	0,913
74,4	0,747
75,3	0,914
75,5	0,904
75,9	0,906
76	0,905
77,7	0,923
78,1	900
78,2	0,894
78,4	0,763
78,5	0,922
78,6	0,932
79	0,923
79,2	0,918
82,6	0,802
83,3	0,927
83,7	0,721
84	0,74
84,4	0,918
90,2	0,744

Полученную упорядоченную выборку делим на 3 примерно одинаковые части n/3 = 25 / 3 ?8,33. Тогда 8 первых наблюдений, соответствующих малым значениямх, и 8 последних, соответствующих большим значениямх, оставляем. А 9 центральных данных удаляем из рассмотрения.

Сформировались две подвыборки:

x	y		x	y
59,2	0,701		79	0,923
67,5	0,545		79,2	0,918
67,7	0,927		82,6	0,802
71,5	0,833		83,3	0,927
72,8	0,921		83,7	0,721
73,8	0,913		84	0,74
74,4	0,747		84,4	0,918
75,3	0,914		90,2	0,744

По известной процедуре МНК строим уравнения линейной парной регрессии для каждой из этих частей.

корреляция регрессия прогноз детерминация

где а и b - параметры уравнения

;

Для первой подвыборки:

i	x	y	xy	x2
1	59,2	0,701	41,4992	3504,64
2	67,5	0,545	36,7875	4556,25
3	67,7	0,927	62,7579	4583,29
4	71,5	0,833	59,5595	5112,25
5	72,8	0,921	67,0488	5299,84
6	73,8	0,913	67,3794	5446,44
7	74,4	0,747	55,5768	5535,36
8	75,3	0,914	68,8242	5670,09
S	562,2	6,501	459,4333	39708,16

;



;

;

Для второй подвыборки:

i	x	y	xy	x2
1	79	0,923	72,917	6241
2	79,2	0,918	72,7056	6272,64
3	82,6	0,802	66,2452	6822,76
4	83,3	0,927	77,2191	6938,89
5	83,7	0,721	60,3477	7005,69
6	84	0,74	62,16	7056
7	84,4	0,918	77,4792	7123,36
8	90,2	0,744	67,1088	8136,04
S	666,4	6,693	556,1826	55596,38

;

;



;

Находим остатки для каждого из этих уравнений, возводим их в квадрат и суммируем:

- первая подвыборка

x	y	ух	е = у-ух	е2
59,2	0,701	0,6804	0,0206	0,00042
67,5	0,545	0,78	-0,235	0,05523
67,7	0,927	0,7824	0,1446	0,02091
71,5	0,833	0,828	0,005	0,00003
72,8	0,921	0,8436	0,0774	0,00599
73,8	0,913	0,8556	0,0574	0,00329
74,4	0,747	0,8628	-0,1158	0,01341
75,3	0,914	0,8736	0,0404	0,00163
Сумма	0,10091

- вторая подвыборка

x	y	ух	е = у-ух	е2
79	0,923	0,919	0,004	0,00002
79,2	0,918	0,9152	0,0028	0,00001
82,6	0,802	0,8506	-0,0486	0,00236
83,3	0,927	0,8373	0,0897	0,00805
83,7	0,721	0,8297	-0,1087	0,01182
84	0,74	0,824	-0,084	0,00706
84,4	0,918	0,8164	0,1016	0,01032
90,2	0,744	0,7062	0,0378	0,00143
	0,04105

Находим отношение суммы квадратов остатков, оно подчиняется F-распределению Фишера

Сравниваем его с табличным значением F-критерия Фишера на уровне значимостиб = 0,05 с (k-1) и (k-1) степенями свободы, где k - объёмы оставшихся частей выборки.

На уровне значимостиб = 0,05 с 7 и 7 степенями свободы табличное значениеF0,05;7;7 = 3,79.

Т.к. наблюдаемое значение меньше табличного:Fн= 2,458 < Fт = 3,79, то гипотеза о наличии гетероскедастичности не отвергается.

Задача 4

По данным таблицы построить уравнение регрессии, выявить наличие автокорреляции остатков, используя критерий Дарбина - Уотсона и проанализировать пригодность полученного уравнения для построения прогнозов.

Год	Оборот розничной торговли, % к предыдущему месяцу, Х	Индекс потребительских цен, % к предыдущему месяцу, У
Январь	70,8	101,7
Февраль	98,7	101,1
Март	97,9	100,4
Апрель	99,6	100,1
Май	96,1	100,0
Июнь	103,4	100,1
Июль	95,5	100,0
Август	102,9	105,8
Сентябрь	77,6	145,0
Октябрь	102,3	99,8
Ноябрь	102,9	102,7
Декабрь	123,1	109,4
Январь	74,3	110,0
Февраль	92,9	106,4
Март	106,0	103,2

Решение.

Уравнение парной регрессии:

где а и b - параметры уравнения

;

Составим вспомогательную таблицу.

t	x	y	xy	x2
1	70,8	101,7	7200,36	5012,64
2	98,7	101,1	9978,57	9741,69
3	97,9	100,4	9829,16	9584,41
4	99,6	100,1	9969,96	9920,16
5	96,1	100	9610	9235,21
6	103,4	100,1	10350,34	10691,56
7	95,5	100	9550	9120,25
8	102,9	105,8	10886,82	10588,41
9	77,6	145	11252	6021,76
10	102,3	99,8	10209,54	10465,29
11	102,9	102,7	10567,83	10588,41
12	123,1	109,4	13467,14	15153,61
13	74,3	110	8173	5520,49
14	92,9	106,4	9884,56	8630,41
15	106	103,2	10939,2	11236
Сумма	1444,0	1585,7	151868,5	141510,3



;

;

;

Рассчитываем для каждого значения х значения ух. Заносим в таблицу.

Критерий Дарбина-Уотсона:

yi	yx	ei = y-yx	(ei - ei-1)2	ei 2
101,7	113,71	-12,01	-	144,24
101,1	104,95	-3,85	66,59	14,82
100,4	105,20	-4,80	0,90	23,04
100,1	104,66	-4,56	0,06	20,79
100	105,76	-5,76	1,44	33,18
100,1	103,47	-3,37	5,71	11,36
100	105,95	-5,95	6,66	35,40
105,8	103,63	2,17	65,93	4,71
145	111,57	33,43	977,19	1117,56
99,8	103,82	-4,02	1402,50	16,16
102,7	103,63	-0,93	9,55	0,86
109,4	97,29	12,11	170,04	146,65
110	112,61	-2,61	216,68	6,81
106,4	106,77	-0,37	5,02	0,14
Сумма	2929,09	1576,03



Так как значение критерия Дарбина-Уотсаона близко к 2,0, то можно считать что автокорреляция почти отсутствует.

Задача 5

В таблице приводятся данные о динамике выпуска продукции Финляндии (млн. долл.).

Задание:

1. Постройте график временного ряда

2. Найдите коэффициенты автокорреляции (для лагов r = 1; 2) данного ВР.

3. Дайте точечный и интервальный (с надежностью 0,95) прогнозы выпуска продукции на момент n+1

Год	yt, млн. долл.
1991	23085
1992	23980
1993	23444
1994	29657
1995	30570
1996	26800
1997	30100
1998	32560
1999	39020
2000	40012
2001	41010
2002	41250
2003	40200
2004	45680

Решение.

Построим график временного ряда

Год	t	yt, млн. долл.
1991	1	23085
1992	2	23980
1993	3	23444
1994	4	29657
1995	5	30570
1996	6	26800
1997	7	30100
1998	8	32560
1999	9	39020
2000	10	40012
2001	11	41010
2002	12	41250
2003	13	40200
2004	14	45680

Для обнаружения тенденции в данном ВР воспользуемся критерием «восходящих и нисходящих» серий.

1) Для исследуемого ВР определяется последовательность знаков, исходя из условий: (+) при yt+1-yt > 0, (-) при yt+1-yt < 0. При этом, если последующее наблюдение равно предыдущему, то учитывается только одно наблюдение.

2) Подсчитывается число серий н(n). Под серией понимается последовательность подряд расположенных плюсов или минусов, причем один плюс или один минус считается серией.

3) Определяется протяженность самой длинной серииlmax(n).

4) Значениеl(n)находят из следующей таблицы:

Длина ряда,n	n?26	26<n?153	153<n?170
Значениеl(n)	5	6	7

5) Если нарушается хотя бы одно из следующих неравенств, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается с доверительной вероятностью 0,95

Определим последовательность знаков:

t	Выпуск продукции, yt млн.долл.	д
1	23 298
2	26 570	+
3	23 080	-
4	29 800	+
5	28 440	-
6	29 658	+
7	39 573	+
8	38 435	-
9	39 002	+
10	39 020	+
11	40 012	+
12	41 005	+
13	39 080	-
14	42 680	+

Определим число серийн(n) = 9. Определим протяженность самой длинной серииlmax(n) = 4, l(n) = 5, так какn=14<26. Проверим выполнение неравенств:

Второе неравенство не выполняются, следовательно, тренд (тенденция) в динамике выпуска продукции имеется на уровне значимости 0,05.

Среднее значение млн.долл.

Среднее значение млн.долл.

Вычислим коэффициенты автокорреляции первого и второго порядков, то есть для лагов ф=1;2.Подготовим данные для вычисления коэффициентов автокорреляции первого и второго порядков. Дополним таблицу данных двумя столбцами Yt-1 и Yt-2.

t	Yt	Yt-1	Yt-2
1	23 298	-	-
2	26 570	23 298	-
3	23 080	26 570	23 298
4	29 800	23 080	26 570
5	28 440	29 800	23 080
6	29 658	28 440	29 800
7	39 573	29 658	28 440
8	38 435	39 573	29 658
9	39 002	38 435	39 573
10	39 020	39 002	38 435
11	40 012	39 020	39 002
12	41 005	40 012	39 020
13	39 080	41 005	40 012
14	42 680	39 080	41 005

r1 = 0,85188.

R2 = 0,8343.

Высокое значение коэффициента автокорреляции первого порядкаr1=0,85 свидетельствует об очень тесной зависимости между выпуском продукции текущего и непосредственно предшествующего годов, и, следовательно, о наличии в исследуемом временном рядесильной линейной тенденции.

Исследуемый ряд содержит только тенденцию, так как наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка (0,85>0,83).

Скользящие средние найдем по формуле:



,

здесь m=2p-1.

При m=3, p=1

Вычисляем:

и так далее.

Результаты вычислений занесем в таблицу и построим графики исходного и сглаженногорядов в одной координатной плоскости.

t
1	23 298
2	26 570	24 315,76
3	23 080	26 483,07
4	29 800	27 106,40
5	28 440	29 299,04
6	29 658	32 556,67
7	39 573	35 888,31
8	38 435	39 002,94
9	39 002	38 818,61
10	39 020	39 344,27
11	40 012	40 011,93
12	41 005	40 031,93
13	39 080	40 921,26
14	42 680

Параметры (коэффициенты) уравнения тренда.

Анализ данных таблицы дисперсионного анализа показывает, что получено статистически значимое уравнение, так как наблюдаемое значение F=52,785, превышает его табличное значение Fтаб(0,05;1;12)=4,75, tтаб(05;12)=2,1788.

Таким образом, параметры уравнения тренда статистически значимы на уровне б=0,05: уравнение тренда можно использовать для прогноза.

Сделаем точечный и интервальный (с надежностью 0,95) прогнозы среднего и индивидуального значений прогнозов на 2003 год.

Определим точечный прогноз:

млн.долл

Вычислим интервальный прогноз.

Так как тренд является прямой, то доверительный интервал можно представить в виде:

Здесь стандартная ошибка предсказания по линии тренда вычисляется по формуле:

Здесь величинаS является стандартной ошибкой регрессии, и ее значение находится в таблице Регрессионная статистика

t(0,05;12)=2,1788.

Итак, по условию задачи:tn+x=15, n=14

Для вычисления стандартной ошибки предсказания по линии тренданеобходимо вычислить и сумму.

t	yt
1	23 298	42,25
2	26 570	30,25
3	23 080	20,25
4	29 800	12,25
5	28 440	6,25
6	29 658	2,25
7	39 573	0,25
8	38 435	0,25
9	39 002	2,25
10	39 020	6,25
11	40 012	12,25
12	41 005	20,25
13	39 080	30,25
14	42 680	42,25
7,5	Сумма	227,5

(млн. долл.)

Максимальная ошибка прогноза будет равна:

(млн. долл.).

Нижняя граница прогноза имеет значение:

20111,2 - 4096 = 16014(млн. долл.)

Верхняя граница прогноза имеет значение:



20111,2 + 4096 =24707(млн. долл.)

Выв...