Основы эконометрики

lnу = 2,5 + 0,2lnx + e, r² = 0,68.

^(6,19)

у = 1,1 + 0,8lnх + е, r² = 0,69.

^(6,2)

у = 3 + 1,5х + 0,1х² + е,r² = 0,701.

^(3,0)(2,65)

В скобках указаны фактические значения t-критерия.

Задания:

1. Определите коэффициент детерминации для 1-го уравнения.

2. Запишите функцию, характеризующую зависимость у от х во 2-м уравнении.

3. Определите коэффициенты эластичности для каждого из уравнений для х₀ = 2,5 тыс. шт.

Решение:

1. Чтобы определить коэффициент детерминации воспользуемся формулой (21).

Для уравнения парной линейной регрессии коэффициент детерминации r² = 0,70.

2. Уравнение 2 - это степенная функция, к которой применили преобразование. В качестве преобразования выполнили логарифмирование. Чтобы записать функцию проведем обратные преобразования.

lnу = 2,5 + 0,2lnx + e у = е^2,5 • х^0,2 у = 1,28х^0,2.

3. Чтобы рассчитать коэффициенты эластичности воспользуемся данными табл. 2. Результаты расчетов объединим в табл. 6.

Таблица 6

Вид функции	Коэффициент эластичности
Линейная у = 3 + 2х + е
Парабола у = 3 + 1,5х + 0,1х2 + е
Степенная у = 1,28х0,2	Э = 1,28
Полулогарифмическая у = 1,1 + 0,8lnx

Рассчитаем точечный коэффициент эластичности для значения х₀ = 2,5.

1. Для линейной модели у = 3 + 2х + е.

= 0,625.

2. Для параболы у = 3 + 1,5х + 0,1х² + е.

= 0,678.

3. Для степенной функции у = 1,28х^0,2.

Э = 1,28.

4. Для полулогарифмической функции у = 1,1 + 0,8lnx.

= 0,436.

Задача 3

По совокупности 30 предприятий торговли изучается линейная зависимость между ценой товара А (тыс. руб.) х и прибылью торгового предприятия (млн ру6.) у.

При оценке регрессионной модели были получены следующие промежуточные результаты:

= 39000,

= 120000.

Задания:

1. Поясните, какой показатель корреляции можно определить по вышеприведенным данным:

2. Постройте таблицу дисперсионного анализа для расчета значения F-критерия Фишера.

3. Сравните фактическое значение F-критерия с табличным. Сделайте выводы.

Решение:

1. Оценим исходные данные задачи. Величина называется остаточная сумма квадратов (Q_e), а полная сумма квадратов (Q). Исходя из условия задачи, можно рассчитать коэффициент детерминации по формуле (22), а затем индекс корреляции. Тогда,

= 0,675.

R = = 0,822

2. Для дисперсионного анализа воспользуемся табл. 1 и формулами (17), (18). Результаты расчетов приведем в табл. 7.

Таблица 7

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия на одну степень свободы	Fфакт
Объясненная	QR = 81000	m - 1 = 1	81000	58,15
Остаточная	Qe = 39000	n - m = 28	1392,86
Общая	Q = 120000	n - 1 = 29

3. По статистическим таблица представленным в приложении найдем F_0,05;1;28 = 4,20. Так как наблюдаемое значение статистики Фишера F_факт больше табличного (F_факт > F_0,05;1;28), то полученная модель является адекватной.

Задача 4

По 28 предприятиям концерна изучается зависимость дневной выработки (ед.) у от уровня механизации труда (%) х по следующим данным (табл. 8).

Таблица 8

i	x	y	i	x	y	i	x	y
1	15	5	11	55	22	21	76	33
2	24	6	12	60	23	22	80	42
3	42	6	13	61	23	23	82	41
4	46	9	14	62	24	24	87	44
5	48	15	15	63	24	25	90	53
6	48	14	16	64	25	26	93	55
7	50	17	17	66	25	27	95	57
8	52	17	18	70	27	28	99	62
9	53	22	19	72	31
10	54	21	20	75	33

Задания:

1. Проверьте гипотезу об отсутствии гетероскедастичности в линейной регрессии с помощью теста ранговой корреляции Спирмэна при вероятности 0,95.

2. С помощью теста Гольдфельда-Квандта исследуйте гетероскедастичность остатков.

Решение:

Тест ранговой корреляции Спирмэна

Проранжируем значения х_i и абсолютные величины остатков в порядке возрастания, расчеты занесем в табл. 9.

Найдем коэффициент ранговой корреляции Спирмэна:

= 0,108.

Таблица 9

N	X	Ei	Расчет ранговой корреляции
			Ранг Х	Ранг |Ei|	d	d^2
1	15	13,27	1	28	-27	729
2	24	7,61	2	26	-24	576
3	42	-5,71	3	23	-20	400
4	46	-5,67	4	22	-18	324
5	48	-1,15	5	6	-1	1
6	48	-2,15	6	9	-3	9
7	50	-0,63	7	3	4	16
8	52	-2,11	8	8	0	0
9	53	2,15	9	10	-1	1
10	54	0,41	10	2	8	64
11	55	0,67	11	4	7	49
12	60	-2,03	12	7	5	25
13	61	-2,77	13	13	0	0
14	62	-2,51	14	12	2	4
15	63	-3,25	15	17	-2	4
16	64	-2,99	16	15	1	1
17	66	-4,47	17	19	-2	4
18	70	-5,43	18	20	-2	4
19	72	-2,91	19	14	5	25
20	75	-3,13	20	16	4	16
21	76	-3,87	21	18	3	9
22	80	2,17	22	11	11	121
23	82	-0,31	23	1	22	484
24	87	-1,01	24	5	19	361
25	90	5,77	25	24	1	1
26	93	5,55	26	21	5	25
27	95	6,07	27	25	2	4
28	99	8,11	28	27	1	1
Сумма					0,00	3258

Найдем t-критерий для ранговой корреляции:

= 0,556.

Сравним полученное значение t с табличным значением t_{0,95; 26} = 2,06. Так как t < t_{0,95; 26}, то на уровне значимости 5% принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности.

Тест ГолфредаКвандта

Упорядочим п наблюдений по мере возрастания переменной х. Исключим из рассмотрения С = 6 центральных наблюдений (условие (п С)/2 = (28 - 6)/2 = 11 > р = 1 выполняется). Разделим совокупность из (п С) = (28 - 6) = 22 наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора х по 11 наблюдений) и определим по каждой из групп уравнения регрессии. Для первой группы оно составит = 3,70 + 0,39x. Для второй группы: = 1,16 + 53,11x. Определим остаточные суммы квадратов для первой (S₁) и второй (S₂) групп. Промежуточные расчеты занесем в табл. 10.

Таблица 10

N	X	Y	Yрег = -3,70 + 0,39Х	e=Y-Yрег	e^2
1	15	5	2,15	2,85	8,1225
2	24	6	5,66	0,34	0,1156
3	42	6	12,68	-6,68	44,6224
4	46	9	14,24	-5,24	27,4576
5	48	15	15,02	-0,02	0,0004
6	48	14	15,02	-1,02	1,0404
7	50	17	15,8	1,2	1,44
8	52	17	16,58	0,42	0,1764
9	53	22	16,97	5,03	25,3009
10	54	21	17,36	3,64	13,2496
				S1	121,5258
N	X	Y	Yрег = -53,11 + 1,16Х	e=Y-Yрег	e^2
17	66	25	23,45	1,55	2,4025
18	70	27	28,09	-1,09	1,1881
19	72	31	30,41	0,59	0,3481
20	75	33	33,89	-0,89	0,7921
21	76	33	35,05	-2,05	4,2025
22	80	42	39,69	2,31	5,3361
23	82	41	42,01	-1,01	1,0201
24	87	44	47,81	-3,81	14,5161
25	90	53	51,29	1,71	2,9241
26	93	55	54,77	0,23	0,0529
27	95	57	57,09	-0,09	0,0081
28	99	62	61,73	0,27	0,0729
				S2	32,8636

Найдем отношение R = S₁/S₂, где S₁ > S₂.

= 3,69.

Сравним эту величину с табличным значением F-критерия с числом степеней свободы 8 для каждой остаточной суммы квадратов F_0,05;8;8 = 3,44. Так как R > F_0,05;8,8, делаем вывод о наличие гетероскедастичности остатков.

Задача 5

Имеются данные среднегодовой стоимости основных фондов, (млн руб.) х₁, среднегодовой стоимости оборотных средств (млн руб.) х₂ и величины валового дохода за год (млн руб.) у по 25 предприятиям, которые представлены в табл. 11.

Таблица 11

i	у	х1	х2
1	45	17	54
2	48	20	78
3	50	80	100
4	52	65	114
5	56	124	42
6	45	100	38
7	63	28	56
8	69	36	59
9	75	98	46
10	80	114	65
11	88	102	56
12	90	96	50
13	99	102	87
14	75	116	54
15	113	50	63
16	118	60	75
17	65	56	28
18	111	87	56
19	121	112	45
20	160	115	88
21	176	120	74
22	186	110	90
23	192	111	102
24	203	118	105
25	237	154	106

Задания:

1. Построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.

2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности, а также стандартизированные коэффициенты регрессии; сделать вывод о силе связи результата и фактора.

3. Рассчитать парные, частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.

4. Проверить значимость уравнения регрессии на 5%-м уровне по F-критерию, проверить значимость коэффициентов регрессии по t-статистике.

Решение:

1. По данным табл. 11 найдем уравнение регрессии у по х₁, х₂. Расчеты произведем в Excel по формуле (32), промежуточные вычисления представим в табл. 12.

Система уравнений для расчета коэффициентов регрессии примет вид:

Таблица 12

i	х1	х2	у	yх1	yх2	х1^2	х2^2	x1x2	у^2
1	17	54	45	765	2430	289	2916	918	2025
2	20	78	48	960	3744	400	6084	1560	2304
3	80	100	50	4000	5000	6400	10000	8000	2500
4	65	114	52	3380	5928	4225	12996	7410	2704
5	124	42	56	6944	2352	15376	1764	5208	3136
6	100	38	45	4500	1710	10000	1444	3800	2025
7	28	56	63	1764	3528	784	3136	1568	3969
8	36	59	69	2484	4071	1296	3481	2124	4761
9	98	46	75	7350	3450	9604	2116	4508	5625
10	114	65	80	9120	5200	12996	4225	7410	6400
11	102	56	88	8976	4928	10404	3136	5712	7744
12	96	50	90	8640	4500	9216	2500	4800	8100
13	102	87	99	10098	8613	10404	7569	8874	9801
14	116	54	75	8700	4050	13456	2916	6264	5625
15	50	63	113	5650	7119	2500	3969	3150	12769
16	60	75	118	7080	8850	3600	5625	4500	13924
17	56	28	65	3640	1820	3136	784	1568	4225
18	87	56	111	9657	6216	7569	3136	4872	12321
19	112	45	121	13552	5445	12544	2025	5040	14641
20	115	88	160	18400	14080	13225	7744	10120	25600
21	120	74	176	21120	13024	14400	5476	8880	30976
22	110	90	186	20460	16740	12100	8100	9900	34596
23	111	102	192	21312	19584	12321	10404	11322	36864
24	118	105	203	23954	21315	13924	11025	12390	41209
25	154	106	237	36498	25122	23716	11236	16324	56169
Сумма	2191	1731	2617	259004	198819	223885	133807	156222	350013

Решив систему уравнений методом Гаусса, получили следующие значения коэффициентов регрессии b₀ = 34,121; b₁ = 0,788; b₂ = 1,008.

Уравнение множественной линейной регрессии примет вид:

у = 34,121 + 0,788х₁ + 1,008х₂.

Коэффициент регрессии b₁ показывает, что при увеличении на 1 млн руб. среднегодовой стоимости основных фондов (х₁) валовой доход (у) в среднем увеличится на 0,788 млн руб. при постоянном значении среднегодовой стоимости оборотных средств (х₂). Если же увеличится среднегодовая стоимость оборотных средств (х₂) на 1 млн руб., а стоимость основных фондов (х₁) в среднем не изменится, то валовой доход (у) увеличится в среднем на 1,008 млн руб.

2. Рассчитаем коэффициенты и E_j для рассматриваемого примера по формуле (33).

Предварительно найдем значения среднеквадратичного отклонения для переменных задачи, используя данные табл. 12.

= 35,702;

= 23,624;

= 55,160.

Тогда,

= 0,510= 0,432.

= 0,659= 0,667

С увеличением среднегодовой стоимости основных фондов на 1 % от среднего уровня годовой валовой доход возрастет на 65,9% от своего среднего уровня при фиксированном значении среднегодовой стоимости оборотных средств. С увеличением стоимости оборотных средств на 1 % от среднего уровня годовой валовой доход возрастет на 66,7% от своего среднего уровня при фиксированном значении стоимости основных фондов. Сила влияния стоимости оборотных средств (х₂) на доход несколько больше, чем сила влияния стоимости основных фондов (х₁).

3. Определим парные коэффициенты корреляции, используя формулу (12) и данные табл. 12.

= 0,602;

= 0,540;

= 0,214.

Парный коэффициент между доходом (у) и стоимостью основных средств (х₁) равен 0,602. Парный коэффициент между доходом (у) и стоимостью оборотных средств (х₂) равен 0,540. Связь между переменными довольно тесная.

Рассчитаем частные коэффициенты корреляции:

= 0,591;

= 0,527.

При сравнении коэффициентов парной и частной корреляции приходим к выводу, что из-за слабой зависимости между факторами (r_x1x2 = 0,214 - отсутствие мультиколлинеарности) коэффициенты парной и частной корреляции отличаются незначительно.

Рассчитаем коэффициент множественной корреляции по формуле

Коэффициент множественной корреляции больше значений парных коэффициентов корреляции. Совокупность факторов оказывает большее совместное влияние на результативный признак.

Для линейных моделей коэффициент множественной детерминации равен квадрату коэффициента множественной корреляции, тогда R² = 0,735² = 0,54.

4. Для оценки адекватность уравнения регрессии воспользуемся критерием Фишера. Для расчета F_набл воспользуемся формулой

= 12,92.

По таблицам F-критерия прил. 1 F_0,05;2;22 = 3,44. Так как F > F_0,05;2;17, то уравнение регрессии значимо.

Чтобы оценить значимость параметров регрессии b₁ и b₂ необходимо найти значения t-статистики. Используя предыдущие расчеты, найдем частные F-критерии Фишера.

= 12,394;

= 8,881.

Для линейных моделей частный F-критерий Фишера связан с t-критерием Стьюдента следующим соотношением:

.

Выполнив расчеты, получим

= 3,521;

= 2,980.

По таблицам t-распределения прил. 1 t_0,95;22 = 2,07. Тогда,

t₁ = 3,521 > t_0,95;47 = 2,07 - параметр b₁ адекватен;

t₂ = 2,980 > t_0,95;47 = 2,07 - параметр b₂ адекватен.

Задача 6

Имеются следующие результаты регрессионного анализа зависимости объема выпуска продукции (млн руб.) у от численности занятых на предприятии (чел.) х₁ и среднегодовой стоимости основных фондов (млн руб.) х₂ по 20 предприятиям отрасли:

Коэффициент детерминации0,81

Множественный коэффициент корреляции???

Уравнение регрессии ln y = ??? + 0,48 lnx₁ + 0,62 lnx₂

Стандартные ошибки параметров20,06???

t-критерий для параметров1,5???5

Задания:

1. Напишите уравнение регрессии, характеризующее зависимость у от х₁ и х₂.

2. Восстановите пропущенные характеристики.

3. Оцените адекватность полученной модели.

Решение:

1. Для данного уравнения примели преобразование, которое приводит модель нелинейную относительно оцениваемых параметров , к линейной модели: .

Чтобы написать уравнение регрессии сначала восстановим значение параметра а. Воспользуемся формулой (20), в которой отношение обозначим через стандартную ошибку параметра. Тогда

. (39)

Значение параметра а = b₀ будет равно а = b₀ = t • S_bj = 2 • 1,5 = 3.

Уравнение будет записано в виде: ln y = 3 + 0,48 lnx₁ + 0,62 lnx₂.

Проведем обратные преобразования и получим уравнение: .

2. Чтобы восстановить пропущенные значение стандартной ошибки коэффициента регрессии и t-критерия также воспользуемся формулой (38).

;

.

Так как коэффициент детерминации R² в линейных моделях равен квадрату множественного коэффициента корреляции R, то .

Запишем исходные данные с восстановленными характеристиками:

Коэффициент детерминации0,81

Множественный коэффициент корреляции0,9

Уравнение регрессии

Стандартные ошибки параметров20,060,124

t-критерий для параметров1,585

3. Для оценки адекватность параметров регрессии воспользуемся значениями t_набл. По таблицам t-распределения прил. 1 t_0,95;17 = 2,11. Тогда, t₁ = 8 > t_0,95;17 = 2,11 - параметр b₁ адекватен; t₂ = 5 > t_0,95;17 = 2,11 - параметр b₂ адекватен.

Для оценки адекватность уравнения регрессии воспользуемся критерием Фишера. Для расчета F_набл воспользуемся формулой

= 16,22.

По таблицам F-критерия прил. 1 F_0,05;2;17 = 3,59. Так как F > F_0,05;2;17, то уравнение регрессии значимо.

Задача 7

При изучении уровня потребления мяса (кг на душу населения) у в зависимости от дохода (руб. на одного члена семьи) х₁ и в соотношении с уровнем потребления рыбы (кг на душу населения) х₂ результаты оказались следующими (по 50 семьям):

Уравнение регрессии = 180 + 0,2х₁ 0,4х₂

Стандартные ошибки параметров20 0,01 0,25

Множественный коэффициент корреляции0,85

Задания:

1. Используя t-критерий Стьюдента, оцените значимость параметров уравнения.

2. Рассчитайте F-критерий Фишера.

3. Оцените по частным F-критериям Фишера целесообразность включения в модель:

а) фактора х₁ после фактора х₂;

б) фактора х₂ после фактора х₁.

Решение:

1. Чтобы найти t-критерий Стьюдента воспользуемся формулой (38).

= 9; = 20 = 1,6

Для оценки адекватность параметров регрессии воспользуемся значениями t_набл. По таблицам t-распределения прил. 1 t_0,95;47 = 2,01. Тогда,

t₀ = 9 > t_0,95;47 = 2,01 - параметр b₀ адекватен;

t₁ = 20 > t_0,95;47 = 2,01 - параметр b₁ адекватен;

t₂ = 1,6 < t_0,95;47 = 2,01 - параметр b₂ неадекватен.

2. Коэффициент детерминации R² в линейных моделях равен квадрату множественного коэффициента корреляции R.

Отсюда R² = 0,85² = 0,72.

Для оценки адекватность уравнения регрессии воспользуемся критерием Фишера. Для расчета F_набл воспользуемся формулой

= 21,86.

По таблицам F-критерия прил. 1 F_0,05;2;47 = 3,21. Так как F > F_0,05;2;47, то в целом уравнение регрессии значимо.

3. Чтобы оценить целесообразность включения в модель дополнительных переменных, необходимо найти частный F-критерий Фишера. Для линейных моделей частный F-критерий Фишера связан с t-критерием Стьюдента следующим соотношением:

.

Для целесообразности включения фактора х₁ после фактора х₂ рассчитаем F_x1:

= 20² = 400.

Так как F = 400 > F_0,05;2;47 = 3,21, то включение в модель фактора х₁ после фактора х₂ статистически оправдано.

Для целесообразности включения фактора х₂ после фактора х₁ рассчитаем F_x2:

= 1,6² = 2,56.

Так как F = 2,56 < F_0,05;2;47 = 3,21, то включение в модель фактора х₂ после фактора х₁ статистически не оправдано.

Задача 8

Пусть имеются следующие данные об урожайности озимой пшеницы y_t (ц/га) за 10 лет (табл. 13):

Таблица 13

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	16,3	20,2	17,1	7,7	15,3	16,3	19,9	14,4	18,7	20,7

Задания:

1. Построить линейную модель Y(t) = a₀ + a₁t, параметры которой оценить методом наименьших квадратов (МНК).

2. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

случайной остаточной компоненты по критерию пиков;

независимости уровней ряда остатков по d-критерию (d_н = 1,08 и d_в = 1,36) и по первому коэффициенту автокорреляции (r = 0,36);

нормальности распределения остаточной компоненты по RS-критерию (критические уровни 2,67 - 3,69).

3. Построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед (t = 1,12 для уровня вероятности 70% и n = 10).

4. Отобразить на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования.

Решение:

1. Расчеты коэффициентов модели будем проводить по формулам кривых роста оцененных МНК:

(40)

a₀ = a₁,(41)

где , средние значения уровней ряда и моментов наблюдения соответственно.

Промежуточные расчеты приведены в табл. 14.

Оценка параметров регрессии:

а₁ = 0,3224;

а₀ = 16,66 - 0,3224 5,5 14,8867.

Таблица 14

	t	yt	(t-tcp)	(t-tcp)^2	(y-ycp)	(t-tcp)*(y-ycp)
	1	16,3	-4,5	20,25	-0,36	1,62
	2	20,2	-3,5	12,25	3,54	-12,39
	3	17,1	-2,5	6,25	0,44	-1,1
	4	7,7	-1,5	2,25	-8,96	13,44
	5	15,3	-0,5	0,25	-1,36	0,68
	6	16,3	0,5	0,25	-0,36	-0,18
	7	19,9	1,5	2,25	3,24	4,86
	8	14,4	2,5	6,25	-2,26	-5,65
	9	18,7	3,5	12,25	2,04	7,14
	10	20,7	4,5	20,25	4,04	18,18
сумма	55	166,6	0	82,5	0	26,6
среднее	5,5	16,66

В результате ручного расчета получено линейное уравнение зависимости y_t (урожайности) от t (время) в виде:

Y(t) = 14,89 + 0,32t.

Оценка параметров модели средствами мастера диаграмм представлена на рис. 4.

Рис. 4. Корреляционное поле и тренд

2. Оценим качество построенной модели.

Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остатков близко или равно нулю, и если значения остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения;

Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков

Для этого найдем значения ряда остатков и произведем суммирование (табл. 15). В нашем случае 0, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

Таблица 15

	t	Урожайность	Yрег	Е
	1	16,3	15,20909	1,090909
	2	20,2	15,53152	4,668485
	3	17,1	15,85394	1,246061
	4	7,7	16,17636	-8,47636
	5	15,3	16,49879	-1,19879
	6	16,3	16,82121	-0,52121
	7	19,9	17,14364	2,756364
	8	14,4	17,46606	-3,06606
	9	18,7	17,78848	0,911515
	10	20,7	18,11091	2,589091
сумма	55	166,6		0

Модель по данному свойству адекватна.

Проверка независимости (отсутствие автокорреляции)

Данное свойство проверяют с помощью критерия Дарбина-Уотсона. Для этого находится статистика Дарбина-Уотсона (d-статистика):

.(42)

Для проверки используют два пороговых значения d_в и d_н, зависящие только от числа наблюдений, числа регрессоров и уровня значимости.

Графически результат теста Дарбина-Уотсона можно изобразить следующим образом (рис. 5).

Рис. 5. Тест Дарбина-Уотсона

Расчетное значение d равно: = 1,9224

Значение рассчитанного параметра d больше d_в и меньше 4d_в, поэтому принимаем гипотезу об отсутствии автокорреляции по критерию Дарбина-Уотсона.

Также для проверки наличия автокорреляции можно воспользоваться первым коэффициентом автокорреляции:

.(43)

Для принятия решения об отсутствии или наличие автокорреляции в исследуемом ряду расчетное значение r(1) сопоставляют с табличным (критическим) значением r для = 0,05. Если r(1) < r, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду может быть принята, иначе - делают вывод о наличии автокорреляции в ряду.

Вычислим r(1) для нашего примера:

r(1) = = 0,00662.

Рассчитанное значение меньше табличного. Это означает, что гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду урожайности может быть принята.

Модель по параметру независимости адекватна.

Проверка случайности возникновения отдельных отклонений от тренда

Используем критерий, основанный на поворотных точках. Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше (меньше) соседних с ним элементов. Если остатки случайны, то поворотная точка приходится примерно на каждые 1,5 наблюдения. Если их больше, то возмущения быстро колеблются, и это не может быть объяснено только случайностью. Если же их меньше, то последовательные значения случайного компонента положительно коррелированны.

Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить как

,(44)

где р фактическое количество поворотных точек в случайном ряду; 1,96 квантиль нормального распределения для 5%-го уровня значимости.

Квадратные скобки означают, что от результата вычисления следует взять целую часть (не путать с процедурой округления!).

Если неравенство не соблюдается, то ряд остатков нельзя считать случайным (т.е. он содержит регулярную компоненту), стало быть, модель не является адекватной. Построим график остатков (рис. 6).

Рис. 6. График остатков

Количество поворотных точек равно 4.

Значение = [2,9687] = 2.

Неравенство выполняется 4 > 2. Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по данному параметру адекватна.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения

Данное соответствие можно проверить с помощью RS-критерия:

,(45)

где _max, _min - соответственно максимальный и минимальный уровни ряда остатков; S среднеквадратическое отклонение ряда остатков.

Если расчетное значение RS попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается. В этом случае допустимо строить доверительный интервал прогноза.

Среднеквадратическое отклонение ряда остатков S = 3,6912.

RS = = 3,5611

Расчетное значение попадает в интервал [2,67-3,69], следовательно, выполняется свойство нормального распределения. Модель по этому параметру адекватна.

Если все пункты проверки дают положительный результат, то выбранная трендовая модель является адекватной реальному ряду экономической динамики, и, следовательно, ее можно использовать для построения прогнозных оценок. В противном случае модель надо улучшать.

3. Точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед.

Точечный прогноз - это прогноз, которым называется единственное значение прогнозируемого показателя. Это значение определяется подстановкой в полученное (рассчитанное) уравнение выбранной кривой роста величины времени t, соответствующей периоду упреждения: t = n + 1; t = n + 2 и т.д.

Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, характеризующих тенденцию, имеет малую вероятность. Возникновение соответствующих отклонений объясняется следующими причинами.

1. Выбранная для прогнозирования кривая не является единственно возможной для описания тенденции. Можно подобрать такую кривую, которая дает более точные результаты.

2. Прогноз осуществляется на основании ограниченного числа исходных данных. Кроме того, каждый исходный уровень обладает еще и случайной компонентой. Поэтому и кривая, по которой осуществляется экстраполяция, также будет содержать случайную компоненту.

3. Тенденция характеризует движение среднего уровня ряда динамики, поэтому отдельные наблюдения могут от него отклоняться. Если такие отклонения наблюдались в прошлом, то они будут наблюдаться и в будущем.

Интервальные прогнозы строятся на основе точечных прогнозов. Доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значение прогнозируемого показателя. Ширина интервала зависит от качества модели, т.е. степени ее близости к фактическим данным, числа наблюдений, горизонта прогнозирования и выбранного пользователем уровня вероятности.

При построении доверительного интервала прогноза рассчитывается величина U(k), которая для линейной модели имеет следующий вид

,(46)

где р - число факторных переменных; k - период прогнозирования; t табличное значение t-статистики Стьюдента при заданном уровне значимости и числе наблюдений (значение t можно получить с помощью встроенной функции Excel СТЬЮДРАСПОБР); стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение от модели).

Для других моделей величина U(k) рассчитывается аналогичным образом, но имеет более громоздкий вид. Как видно из формулы, величина U зависит прямо пропорционально от точности модели, коэффициента доверительной вероятности t, степени углубления в будущее на k шагов вперед, т.е. на момент t = n + k, и обратно пропорциональна объему наблюдений. Доверительный интервал прогноза будет иметь следующий вид:

U_y = U(k)(47)

Если построенная модель адекватна, то с выбранной пользователем вероятностью можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный верхней и нижней границей.

После получения прогнозных оценок необходимо убедиться в их разумности и непротиворечивости оценкам, полученным иным способом.

Построим прогнозы на два шага вперед (k = 1 и k = 2):

точечный

у₁₁ = 14,887 + 0,32211 18,39

у₁₂ = 14,887 + 0,32212 18,71

интервальный

Рассчитаем стандартную ошибку = 3,915

Тогда значение U(k) для расчета доверительного интервала будет равно:

U(1) = 3,915 1,108 = 5,254;

U(2) = 3,915 1,108 = 7,319.

Данные расчета верхних и нижних границ доверительного интервала приведены в табл. 8.

Таблица 16

n + k	U(k)	Прогноз	Верхняя граница	Нижняя граница
10 + 1	5,254	18,39	23,644	13,136
10 + 2	7,319	18,71	26,029	11,391

4. График фактических данных, результатов расчета и прогнозирования. Для построения графика прогнозирования воспользуемся инструментом Excel Мастер диаграмм.

Для этого необходимо:

1. Выделить диапазоны ячеек значений t, урожайности и оценки урожайности.

2. Запустить Мастер диаграмм, в диалоговом окне мастера выбрать тип диаграммы Точечный, на котором значения соединены отрезками. Далее в мастере установить необходимые настройки и параметры. Желательно для исходных значений у задать параметр, который обозначает фактические значения урожайности.

3. В диалоговом окне Исходные данные на вкладке Ряд добавить ряды для значений точечного и интервального прогноза. Для этого выбрать кнопку Добавить, в поле Имя указать название ряда, в поле Значение Х диапазон прогноза (11 и 12), в поле Значение Y диапазон либо точного, либо интервального прогнозов. Пример окна (рис. 7).

Рис. 7. Рабочее окно исходных данн...