Эконометрические модели

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Эконометрические модели прогнозирования

2. Метод экстраполяции

3. Корреляционно-регрессивный анализ

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Эконометрия прикладная экономико-математическая дисциплина, изучающая динамику реальных микро- и макроэкономических явлений и процессов для количественного и качественного анализа и прогнозирования результатов развития экономических систем, процессов и явлений.

Эконометрические модели представляют собой системы взаимосвязанных уравнений и используются для количественных оценок параметров экономических процессов и явлений.

В условиях, когда решения принимаются на основе анализа стохастической, неполной информации, использование методов экономико-математического моделирования и анализа не только оправданно, но и необходимо.

При переходе к рыночным отношениям применение эконометрических моделей в целях прогнозирования сложных статистических совокупностей становится актуальным, поскольку инструмент, применяемый для анализа, адекватен анализируемому объекту рыночной экономике. Критический анализ методик и результатов эконометрических исследований показал, что остаются нерешенными многие проблемы как методологического, так и практического характера. Основные проблемы, возникающие в процессе разработки эконометрической модели: качество статистических данных; использование дефляторов для перевода показателей в неизменные цены; возможность включения в модель условных переменных.

Эконометрика посвящена развитию и применению статистических методов в экономике.

В эконометрике, как дисциплине на стыке экономики и статистического анализа, выделяют три вида научной и прикладной деятельности:

а) разработка и изучение методов прикладной статистики с учетом специфики экономических данных;

б) разработка и изучение эконометрических моделей в соответствии с конкретными потребностями экономической науки и практики;

в) применение эконометрических методов для статистического анализа конкретных экономических данных.

Анализ экономических данных и прикладная статистика

Для анализа экономических данных могут применяться все разделы прикладной статистики:

- статистика случайных величин;

- многомерный статистический анализ;

- статистика временных рядов и случайных процессов;

- статистика интервальных данных.

Применение статистики позволяет решить следующие задачи:

- описание данных (в том числе усреднение);

- оценивание;

- проверка гипотез;

- восстановление зависимостей;

- классификация объектов и признаков;

- прогнозирование;

- принятие решений и др.

Особенностью использования статистических методов является то, что многие экономические показатели неотрицательны. Следовательно, их необходимо описывать неотрицательными случайными величинами, имеющими логарифмически нормальное распределение, гамма-распределение или распределение Парето и др.

Экономические процессы развиваются во времени, поэтому важное место в эконометрике занимают вопросы анализа и прогнозирования временных рядов, в том числе многомерных. При этом в одних задачах больше внимания уделяют изучению трендов (средних значений, математических ожиданий), например, при анализе динамики цен.

В других же важны отклонения от средней тенденции.

Количество изучаемых объектов в экономическом исследовании часто ограничено, поэтому обоснование вероятностных моделей в ряде случаев невозможно. В эконометрике часто применяются детерминированные методы анализа данных.

Статистические методы и объекты исследования

Существуют два подхода к изучению поведения организаций и людей. Согласно первому из них, вполне допустимо описывать действия человека в вероятностных терминах, например, считать его ответ на заданный вопрос случайной величиной.

Второй подход предполагает, что поведение человека или организации является детерминированным, определяется теми или иными причинами, а случайность при анализе выборки возникает лишь из-за случайности при отборе лиц для опроса.

Специфика эконометрики проявляется не в перечне статистических методов, а в частоте их использования.

Для приведения экономических величин к одному моменту времени (к сопоставимым ценам) используются индексы инфляции (дефляторы).

Рассчитывают их с помощью тех или иных потребительских корзин.

В статистике интервальных данных элементами выборки являются не числа, а интервалы.

Статистические модели экономических явлений и процессов определяются спецификой той или иной области экономических исследований. Например, в экономике качества модели, на которых основаны статистические методы сертификации и управления качеством - статистический контроль, контрольные карты, планирование эксперимента, оценка и контроль надежности и другие - используют как технические, так и экономические характеристики, а потому относятся к эконометрике, равно как и многие модели теории массового обслуживания.

Экономический эффект только от использования статистического контроля доказан во многих экономически развитых странах.

На основе подходов статистики объектов нечисловой природы предложен метод проверки независимости двух альтернативных признаков. Метод применяется в задачах статистического контроля качества продукции. Проверка независимости проводится по совокупности малых выборок, то есть в асимптотике А.Н. Колмогорова, когда число неизвестных параметров распределения растет пропорционально объему данных.

Чем выше достигнутый уровень качества, тем больше необходимый объем контроля.

эконометрический планирование корреляционный экстраполяция

1. Экспертные оценки и прогнозирование

Важный раздел эконометрики - теория и практика экспертных оценок. Экспертные оценки используют для решения ряда экономических задач, например, выбора оптимального направления инвестиций, или наилучшего образца определенного вида продукции для организации массового выпуска, или при прогнозировании развития экономической ситуации. Следовательно, используемые в теории экспертных оценок модели являются эконометрическими [1].

Также известны в теоретических и учебных публикациях эконометрические модели, предназначенные для прогнозирования макроэкономических показателей [2]. Это модели прогнозирования многомерного временного ряда, в которых оценивают как структуру модели, то есть вид зависимости между значениями известных координат вектора в прежние моменты времени и их значениями в прогнозируемый момент, так и коэффициенты, входящие в эту зависимость. Структура такой модели - объект нечисловой природы, что и объясняет сложность соответствующей теории.

Эконометрические методы в различных сферах экономики

Каждой области экономических исследований, связанной с анализом эмпирических данных, как правило, соответствуют свои эконометрические модели. Например, для моделирования процессов налогообложения с целью оценки результатов применения управляющих воздействий на процессы налогообложения должен быть разработан комплекс эконометрических моделей. Кроме системы уравнений, описывающей динамику системы налогообложения под влиянием общей экономической ситуации, управляющих воздействий и случайных отклонений, необходим блок экспертных оценок.

Эконометрические методы нужны для оценки параметров экономико-математических моделей логистики (управления запасами). Ярким примером применения эконометрических методов является анализ динамики цен и уровня жизни.

Практически любая область экономики имеет дело со статистическим анализом эмпирических данных, а потому имеет те или иные эконометрические методы в своем инструментарии.

С помощью эконометрических методов следует оценивать различные величины и зависимости, используемые при построении имитационных моделей процессов налогообложения, в частности, функции распределения предприятий по различным параметрам налоговой базы. При анализе потоков платежей необходимо использовать эконометрические модели инфляционных процессов, чтобы установить реальное соотношение авансовых и итоговых платежей.

Прогнозирование сбора налогов будет осуществляться с помощью системы временных рядов.

Вначале по каждому одномерному параметру отдельно, а затем - с помощью эконометрической системы уравнений, дающей возможность прогнозировать векторный параметр с учетом связей между координатами.

Эконометрические методы - эффективный инструмент в работе менеджера и инженера, занимающегося конкретными проблемами, предназначенные для анализа статистических данных и построения эконометрических моделей конкретных экономических и технико-экономических явлений и процессов.

1. Эконометрические модели

За вклад в развитие эконометрических моделей и методов 1969 Нобелевскую премию получили Р. Фриш и Я. Тинберген. 1980 за создание экономических моделей и применение их к анализу экономических колебаний и экономической политики Нобелевскую премию получил Л. Юияйн. За объяснение фундаментальных основ эконометрики с помощью теории вероятностей и за анализ одновременных экономических структур Нобелевским лауреатом 1989 стал Т. Хаавельмо, наконец, 2000г. Нобелевскую премию получили Д. Хекман и Д. Мак-Фадден "за разработку микроэконометрии и методов статистического анализа ".

Эконометрические модели в Узбекистане, в частности, могут исследовать такие проблемы.

· Анализировать влияние основных макроэкономических показателей на объемы ВВП (инфляция, безработица, индекс потребительских цен и т.п.).

· Прогнозировать основные макроэкономические показатели на последующие периоды (реальный и номинальный ВВП, уровне занятости и безработицы, индексы цен).

· Анализировать и прогнозировать перспективы развития банковской системы, при этом учитывать ее основные показатели (баланс, уставный фонд, прибыль, депозиты, кредиты и т.д.).

· Исследовать влияние основных макроэкономических показателей на объемы капиталовложений, поскольку рост капиталовложений является одним из элементов подъема в экономике.

В условиях рыночной экономики, учитывая действие законов спроса и предложения, социальную направленность современной экономики, анализировать и прогнозировать частные потребления и сбережения с учетом следующих факторов: заработная плата, трансфертные выплаты, уровень инфляции, потребления продовольственных и непродовольственных товаров, курсы иностранных валют , покупка валюты и ценных бумаг и тому подобное.

Исследовать денежный рынок на основе равновесной модели денежного рынка с определением единой процентной ставки. Учитывать показатели денежных агрегатов, денежного предложения, денежной базы.

Анализировать и прогнозировать развитие украинской экономики в рамках мирового хозяйства с учетом факторов влияния на курс национальной валюты, торгового и платежного балансов, тарифных и нетарифных методов торговой политики.

Прогнозирование это научно обоснованное выявление возможных тенденций развития исследуемых процессов. Необходимость прогнозирования связана с НТП и бурным развитием экономико-социальных процессов. Процесс, прогнозируется, должен иметь ряд альтернатив развития и быть инерционным, то есть сохранять в перспективе свои основные черты и закономерности.

В зависимости от продолжительности периода различают три вида прогнозов:

· краткосрочные (период прогнозирования не более одного года)

· среднесрочные (от одного до пяти лет), долгосрочные (свыше пяти лет).

Разработки в сфере экономического прогнозирования в зарубежных странах появились в последней четверти XIX в. и были связаны с попытками исследователей выявить будущие тенденции производства основных продуктов на основе анализа динамики статистических данных, которые имеются в их распоряжении. Главными методами прогнозирования в то время были экспертные оценки (на основе анализа рядов) и простая экстраполяция (перенос прошлых тенденций на будущее).

В начале XX в. сделаны первые попытки выявления экономических индикаторов. 1911 Дж. Брукмайер попытался использовать дляпрогнования три хронологических ряда следующих показателей: индекс банковских кредитов, индекс цен акций, индекс общей экономической активности. Дальнейшее развитие этот подход получил в 20-е годы в исследованиях Гарвардского университета. За основу были взяты "гарвардские кривые": индекс стоимости ценных бумаг на бирже, величина депозитов в банках, норма процента. Толчком в дальнейшем развитии прогнозирования и планирования в мире стал мировой экономический кризис 1929 1933 pp. В 30-е годы за рубежом возникает планирования на макроуровне. Наибольшую известность получила Гарвардская школа экономических барометров (барометров развития), которая должна была предвидеть будущую конъюнктуру, то есть прогнозировать динамику товарного и денежного рынков. Учредителями эконометрики считают Р. Фриша, Я. Тинбергена, Е. Шумпетера. Сейчас в мире сформировалось три ведущие системы планирования и регулирования: Северо-Американские (США, Канада), азиатская (Япония и Южная Корея), европейская (Франция и Швеция). Лидерами прогнозировании являются США. Прогнозирование в США считается одной из важнейших форм регулирования экономики.

Для прогнозирования применяют методы экспертных оценок, методы статистического прогнозирования и смешанные методы (сочетание первых двух). Из известных экспертных методов чаще всего используют методы "Дельфи" и "мозговой атаки". По методу "Дельфи" формируют группы, состоящие из одного или более экспертов. Каждая группа получает перечень вопросов по перспективному развитию систем и отвечает на них самостоятельно, независимо от других групп. На основании ответов экспертов строится прогноз. Далее начинается согласование прогноза до тех пор, пока мнения всех экспертов совпадут или будут близкими. Заносом "мозговой атаки" все эксперты собираются за "круглым столом". Каждый выражает свой прогноз по развитию исследуемой системы. Все мнения экспертов обсуждаются, анализируются и из них выбирается наиболее приемлемая.

Макроэкономическое моделирование уже несколько десятилетий используется как орудие анализа, имитации и прогнозирования экономических процессов в государственных и негосударственных учреждениях многих стран.

Прикладные эконометрические модели Франции и США

Макроэкономическая модель Франции была разработана в 60-е годы и называлась FIFI. Она содержала 2000 уравнений, характеризующие поведение субъектов хозяйствования и элементы финансового моделирования. Впоследствии появились более универсальные статические модели STAR и ZOGOL. 1978 был разработан динамическую многосекторные модель DMS, которая насчитывала 1300 уравнений и охватывала 13 отраслей экономики. Следующей была модель METRIC, которая использовалась для диагностики конъюнктуры, бюджетного планирования и контроля. Наконец, модели DMS (3200 уравнений), Mini DMS1 (45 уравнений), Mini DMS2 (400 уравнений.

Для моделирования финансовых потоков были разработаны модели MEFISTO и BAF, для исследования международной конъюнктуры MOSAIQUE и MIMOZA. Всем моделям сначала было свойственно осложнения, затем переход к упрощенным и удобных в пользовании моделей.

В настоящее время в учреждениях Франции используют пять современных макроэкономических моделей: две модели Министерства экономики, финансов и промышленности Франции AMADEUS и METRIC, модель Банка Франции BAF, две модели OFCE и Парижской палаты торговли и промышленности MOSAIQUE и HERMES.

Общим признаком всех моделей является неокейнсианский подход.

Большинство макроэконометрических моделей США основывается на кейнсианскому подходе к определению дохода или ВВП и его основных компонентов.

Модели используют по трем направлениям: структурного анализа (определение мультипликаторов), прогнозирование объемов и темпов изменения ВВП, оценки эффективности экономической политики (анализ эффективности государственных расходов или изменений уровня налогообложения).

Чаще всего в моделях используют переменные: потребление, инвестиции, правительственные расходы, чистые иностранные инвестиции, доходы,цена, заработная плата, процентные ставки, занятость, безработица, производство, активы.

В макроеконометричних моделях США чаще всего имеют место следующие функциональные зависимости:

где Ср объем частного потребления; Y объем ВВП; Ее, Ei переменные, характеризующие влияние случайных факторов на объемы частного потребления и объемы инвестиций; И объем инвестиций; Cg объем государственного потребления; NX объем чистого экспорта. Первое уравнение характеризует функциональную зависимость между объемом потребления, величинами национального дохода и факторами стохастической природы. Второе уравнение описывает взаимосвязь между объемом инвестиций, текущим и предыдущим национальным доходом и влиянием случайных факторов. Третье уравнение основная макроэкономическая тождество.

Экзогенными переменными в модели есть Cg, NX, Эндогенными Ср, и, Y, макроэкономические модели США состоят из пяти основных: Клейна, Клейна-Гольдбергера, Уартон, MPS, DRI.

1. Модель Клейна ( "межвоенная модель") служила для аналитического исследования функционирования экономики США за период между первой и второй мировыми войнами (1921-1941).

Особенности модели. Экзогенными переменными выступают переменные, характеризующие государственную экономическую политику в сфере расходов, заработной платы и налогов: государственные расходы (кроме расходов на заработную плату госслужащим), заработная плата госслужащим, налоги на бизнес, время. Эндогенные переменные: выпуск частный (негосударственный) национальный продукт в рыночных ценах, потребление, чистые инвестиции, заработная плата работников, занятых в негосударственном секторе, прибыль, капитальные запасы на конец года. Сейчас эта модель практически не используется.

2. Модель Клейна-Гольдбергера разработана для изучения економикиСША за период с 1921 по 1952 за исключением военных 1942-1945 pp.Початкова версия построена на годовом наблюдениях, характеризуется фиксированной величиной налогов, содержит 20 уравнений, с яких15 есть вохастичнимы, 5 тождества.

Эта модель стала основой версий эконометрических моделей для прогнозирования уровня экономического развития США. Экзогенные переменные модели: государственные расходы, прямые и косвенные налоги, численность населения и рабочей силы, количество отработанных часов, избыточные резервы, уровень цен импортных закупок. Эндогенные переменные: совокупный доход, потребление, валовые частные инвестиции, величина амортизации, объем импорта, общие сбережения, количество частных работников, прибыль, объем капитальных запасов, величина ликвидных активов, уровень цен, уровень процентных ставок.

Модель теоретически основывается на кейнсианской теории, а именно непотребительская спросе. Преимущество модели способность адекватно воспроизводить и прогнозировать колебания экономической активности в США.

3. Модель Уартон является производной модели Клейна-Гольдбергера. Особенности модели. Чаще всего рассчитывается на основе квартальных показателей. Предназначена для составления краткосрочных прогнозов. Высокая точность статистического учета. Целостное представление монетарного блока модели. Состоит из 76 уравнений, из которых 47 стохастические, 29 макроэкономические тождества. Преимущества: лучше Заречный модели воспроизводит колебания деловой активности. Приспособлена для изучения краткосрочного периода макроэкономических процессов. В модели рассматриваются эконометрические зависимости, например, кривая Филлипса, которая графически отображает связь между уровнем заработной платы и агрегированным уровнем безработицы. Параметры модельных уравнений оцениваются с помощью метода наименьших квадратов. Последняя версия модели называется "Модель Марк-9", которая содержит субмоделей "затраты-выпуск", блок торговли и использует предельные величины.

4. Модель MPS общая эконометрическая разработка Федерального резервного бюро, Министерства внешней торговли США и Пенсильванского университета. Предназначена для ежеквартальной оценки экономического влияния альтернативных вариантов монетарной политики. Состоит из 33 стохастических уравнений и тождеств. Блок-сектора модели: блок реального сектора, блок сектора потребления и доходов населения, блок государственного сектора, блок внешнеэкономического сектора, блок денежно-кредитного сектора.

Рисунок №1 Система методов прогнозирования и планирования

2. Метод экстраполяции

При формировании прогнозов с помощью экстраполяции обычно исходят из статистически складывающихся тенденций изменения тех или иных количественных характеристик объекта. Экстраполируются оценочные функциональные системные и структурные характеристики. Экстраполяционные методы являются одними из самых распространенных и наиболее разработанных среди всей совокупности методов прогнозирования.

Рисунок №2 Методы прогнозирования

С помощью этих методов экстраполируются количественные параметры больших систем, количественные характеристики экономического, научного, производственного потенциала, данные о результативности научно-технического прогресса, характеристики соотношения отдельных подсистем, блоков, элементов в системе показателей сложных систем и др.

Однако степень реальности такого рода прогнозов и соответственно мера доверия к ним в значительной мере обусловливаются аргументированностью выбора пределов экстраполяции и стабильностью соответствия "измерителей" по отношению к сущности рассматриваемого явления. Следует обратить внимание на то, что сложные объекты, как правило, не могут быть охарактеризованы одним параметром.

В связи с этим можно сделать некоторое представление о последовательности действий при статистическом анализе тенденций и экстраполировании, которое состоит в следующем:

- во-первых, должно быть четкое определение задачи, выдвижение гипотез о возможном развитии прогнозируемого объекта, обсуждение факторов, стимулирующих и препятствующих развитию данного объекта, определение необходимой экстраполяции и её допустимой дальности;

- во-вторых, выбор системы параметров, унификация различных единиц измерения, относящихся к каждому параметру в отдельности;

- в-третьих, сбор и систематизация данных. Перед сведением их в соответствующие таблицы еще раз проверяется однородность данных и их сопоставимость: одни данные относятся к серийным изделиям, а другие могут характеризовать лишь конструируемые объекты;

- в-четвертых, когда вышеперечисленные требования выполнены, задача состоит в том, чтобы в ходе статистического анализа и непосредственной экстраполяции данных выявить тенденции или симптомы изменения изучаемых величин. В экстраполяционных прогнозах особо важным является не столько предсказание конкретных значений изучаемого объекта или параметра в таком-то году, сколько своевременное фиксирование объективно намечающихся сдвигов, лежащих в зародыше назревающих тенденций.

Для повышения точности экстраполяции используются различные приемы. Один из них состоит, например, в том, чтобы экстраполируемую часть общей кривой развития (тренда) корректировать с учетом реального опыта развития отрасли-аналога исследований или объекта, опережающих в своем развитии прогнозируемый объект.

Под трендом понимается характеристика основной закономерности движения во времени, в некоторой мере свободной от случайных воздействий. Тренд - это длительная тенденция изменения экономических показателей. При разработке моделей прогнозирования тренд оказывается основной составляющей прогнозируемого временного ряда, на которую уже накладываются другие составляющие. Результат при этом связывается исключительно с ходом времени. Предполагается, что через время можно выразить влияние всех основных факторов.

Под тенденцией развития понимают некоторое его общее направление, долговременную эволюцию. Обычно тенденцию стремятся представить в виде более или менее гладкой траектории.

Анализ показывает, что ни один из существующих методов не может дать достаточной точности прогнозов на 20-25 лет. Применяемый в прогнозировании метод экстраполяции не дает точных результатов на длительный срок прогноза, потому что данный метод исходит из прошлого и настоящего, и тем самым погрешность накапливается. Этот метод дает положительные результаты на ближайшую перспективу прогнозирования тех или иных объектов не более 5 лет.

Для нахождения параметров приближенных зависимостей между двумя или несколькими прогнозируемыми величинами по их эмпирическим значениям применяется метод наименьших квадратов. Его сущность состоит в минимизации суммы квадратов отклонений между наблюдаемыми (фактическими) величинами и соответствующими оценками (расчетными величинами), вычисленными по подобранному уравнению связи.

Этот метод лучше других соответствует идее усреднения как единичного влияния учтенных факторов, так и общего влияния неучтенных.

Рассмотрим простейшие приемы экстраполяции. Операцию экстраполяции в общем виде можно представить в виде определения значения функции:

,

где- экстраполируемое значение уровня; L - период упреждения; У_t - уровень, принятый за базу экстраполяции.

Под периодом упреждения при прогнозировании понимается отрезок времени от момента, для которого имеются последние статистические данные об изучаемом объекте, до момента, к которому относится прогноз.

Экстраполяция на основе среднего значения временного ряда. В самом простом случае при предположении о том, что средний уровень ряда не имеет тенденции к изменению или если это изменение незначительно, можно принятьт.е. прогнозируемый уровень равен среднему значению уровней в прошлом.

Доверительные границы для средней при небольшом числе наблюдений определяются следующим образом:

где t_a - табличное значение t - статистики Стьюдента с n-1 степенями и уровнем вероятности p; S_p - средняя квадратическая ошибка средней величины. Значение ее определяется по формуле. В свою очередь, среднее квадратическое отклонение для выборки равно:

где y_t - фактические значения показателя.

Доверительный интервал, полученный как t_a S_p, учитывает неопределенность, которая связана с оценкой средней величины.

Общая дисперсия, связанная как с колеблемостью выборочной средней, так и с варьированием ндивидуальных значений вокруг средней, составит величину S²+S²/n. Таким образом, доверительные интервалы для прогностической оценки равны:

Экстраполяция по скользящей и экспоненциальной средней. Для краткосрочного прогнозирования наряду с другими приемами могут быть применены адаптивная или экспоненциальная скользящие средние. Если прогнозирование ведется на один шаг вперед, тоили, где М_t - адаптивная скользящая средняя; N_t - экспоненциальная средняя. Здесь доверительный интервал для скользящей средней можно определить по формуле (4), в которой число наблюдений обозначено символом n. Поскольку при расчете скользящей средней через m обозначалось число членов ряда, участвующих в расчете средней, то заменим в этой формуле n на m, равным нечетным числам.

При экспоненциальном сглаживании дисперсия экспоненциальной средней равна, где S -среднее квадратическое отклонение, вместо величиныв формуле (2.10) при исчислении доверительного интервала прогноза следует взять величинуили. Здесь a- коэффициент экспоненциального сглаживания, изменяется от 0 до 1. Если 0<a<0,5, то при расчете прогноза учитываются прошлые значения временного ряда, а при 0,5<a<1 - значения, близкие к периоду упреждения.

Примерное значение коэффициента сглаживания определяют по формуле Р.Брауна:



где m - число уровней временного ряда, входящих в интервал сглаживания.

Экстраполяция на основе среднего темпа. Если в основу прогностического расчета положен средний темп роста, то экстраполируемое значение уровня можно получить с помощью формулы: , где - средний темп роста, У_t - уровень, принятый за базу для экстраполяции. Здесь принят только один путь развития - развитие по геометрической прогрессии, или по экспонентной кривой. Во многих же случаях фактическое развитие явления следует иному закону, и экстраполяция по среднему темпу нарушает основное допущение, принимаемое при экстраполяции, - допущение о том, что развитие будет следовать основной тенденции - тренду, наблюдавшемуся в прошлом. Чем больше фактический тренд отличается от экспоненты, тем больше данные, получаемые при экстраполяции тренда, будут отличаться от экстраполяции на основе среднего темпа.

Средний темп или определяется на основе изучения прошлого, или оценивается каким-либо другим путем (например, подбор вариантов для различных ситуаций). В качестве исходного (базового) уровня для экстраполяции представляется естественным взять последний уровень ряда, поскольку будущее развитие начинается именно с этого уровня.

Статистическая надежность вышеприведенных методов оценивается с помощью коэффициента вариации:

где- среднее квадратическое отклонение;

- среднее значение временного ряда.

Метод считается статистически надежным и может быть использован для прогнозирования, если значение коэффициента вариации не превышает 10%.

Однофакторные прогнозирующие функции

Это такие функции, в которых прогнозируемый показатель зависит только от одного факториального признака.

В научно-техническом и экономическом прогнозировании в качестве главного фактора аргумента обычно используют время. Вполне очевидно, что не ход времени определяет величины прогнозируемого показателя, а действие многочисленных влияющих на него факторов. Однако каждому моменту времени соответствуют определенные характеристики всех этих факториальных признаков, которые со временем в той или иной мере изменяются. Таким образом, время можно рассматривать как интегральный показатель суммарного воздействия всех факториальных признаков.

В качестве фактора-аргумента в однофакторной прогнозирующей функции можно использовать не только время, но и другие факторы, если известна их количественная оценка на перспективу.

Наиболее простым из методов прогнозирования является экстраполяция тренда явления (процесса) за истекший период. Тренд (или вековая тенденция) характеризует процесс изменения показателя за длительное время, исключая случайные колебания. Тренд явления находят путем аппроксимации фактических уровней временного ряда на основе выбранной функции. Наиболее часто применяемые при прогнозировании функции показаны в табл.1. В них фактор-аргумент обозначен символом t.

Таблица 1 Однофакторные прогнозирующие функции

Наименования функции	Вид функции
Степенной полином	y = a0 + a1t + a2t2 +…antn
Парабола	y=a0+a1t+a2t2
Линейная функция	у = а0+а1t
Экспоненциальная (показательная)	,
Степенная
Логарифмическая	у = а0+а1lnt
Комбинация линейной и логарифмической функций	у = а0+a1t+а2lnt
Функция Конюса
Функция Торнквиста
Логистическая (сигмоидальная)
Частный случай логистической функции
Гипербола	,
Комбинация линейной функции и гиперболы	у = а0+а1t +

При прогнозировании колебательных (циклических) процессов применяют тригонометрические функции, ряды Фурье.

Степенной полином может описать любые процессы изменения показателя y в зависимости от значений t. Корреляционное отношение для степенного полинома, служащее мерой тесноты корреляционной связи в нелинейных моделях, приближается к единице по мере увеличения числа степеней полинома до числа уровней временного ряда. Одновременно линия регрессии приближается к фактическим уровням показателя за прошедшее время, что не позволяет установить его тренд и экстраполировать его на перспективу. Поэтому для прогнозирования обычно не применяют полином выше третьей степени. Таким образом, в качестве прогнозирующей функции целесообразно использовать лишь три частных случая степенного полинома: линейную модель, параболу и полином третьего порядка.

Однофакторная линейная модель отражает постоянный ежегодный абсолютный прирост в размере a₁, т.е. арифметическую прогрессию. Парабола (степенной полином) второго порядка описывает случаи увеличения абсолютного ежегодного прироста на постоянную величину 2a₂, а третьего порядка - S - образную кривую с двумя точками изгибов.

Экспонента первого порядка (показательная функция) предусматривает постоянный ежегодный темп роста, равный процентов (т.е. геометрическую прогрессию), а второго порядка - постоянное увеличение ежегодных темпов роста враз. Степенная функция соответствует случаю ускоряющегося при а1>1 или замедляющегося при а1<1 роста абсолютного ежегодного прироста. Логарифмическая функция выражает случай сокращения абсолютного ежегодного прироста, а функции Торнквиста и Конюса, комбинация линейной функции с логарифмической - затухающий рост абсолютного ежегодного прироста. Логистическая (сигмоидальная) кривая представляет собой модифицированную геометрическую прогрессию, в которой возрастание затухает по мере приближения к определенному пределу. Наконец, гиперболы характерны для тех случаев, когда в начальной стадии абсолютные уровни показателя резко сокращаются, а на последующих этапах этот процесс сокращения постепенно затухает

Коэффициенты в однофакторных прогнозирующих функциях а₀ и а₁ определяются с помощью метода наименьших квадратов, сущность которого заключается в минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений от расчетных:

где- вид исследуемой функции

Пусть временной ряд может быть описан линейной функцией:

.

Подставим это выражение в формулу (2.13), получим:

.

Возьмем частные производные по а₀ и а₁:

,

.

В результате алгебраических преобразований данной системы: (сокращений, раскрытия скобок, переноса известных величин вправо, а неизвестных влево) - получим систему нормальных уравнений:

Из первого уравнения найдем а₀, из второго - а₁.

Формулы расчета а₀ и а₁ имею вид:

или

Прогнозируемые значения показателя у определяется по формуле:

=а₀+а₁(t+L), где L=1,2,…,

если фактором-аргументом является время t. В случае, когда фактор-аргумент - независимая переменная (любой показатель х) то необходимо найти его прогнозируемые значения. Тогда:

=а₀+а₁х_t+L, где L=1,2,…

Для оценки качества и надежности анализа регрессии используются следующие показатели: корреляционное отношение (з), коэффициент парной корреляции (r), коэффициент детерминации (r²), средняя ошибка предвидения (S_с), средняя ошибка коэффициента регрессии (S_аj, j=0, 1,2, …).

Корреляционное отношение (з) указывает на степень взаимозависимости между у и х. Принимает значения между 0 и 1:

Коэффициент парной корреляции может быть определен по формуле:

где S₁₁, S₂₂, S₁₂ - соответственно остаточные дисперсии для функции, фактора-аргумента и их произведения: определяются по формулам:

;

;

.

Коэффициент корреляции, рассчитывается по формуле (12) и принимает значения от -1 до +1. Чем ближе значения коэффициента к единице, тем большая связь существует между функцией и аргументом.

Для проверки гипотезы о наличии связи определим критерий Стьюдента:

Если t_r>t_табл, то принимаем гипотезу о наличии связи, в противном случае - она отсутствует.

Коэффициент детерминации (r²) показывает, насколько уравнение регрессии подходит к значениям временного ряда или какой процент составляют учтенные факторы в уравнении регрессии.

Точность регрессионной модели определяется с помощью средней ошибки предвидения или среднего отклонения по формуле:

Средняя ошибка коэффициентов регрессии определяется по формуле:

или,

где j=1, 2, … , m; m - число факторов;

t=1, 2, … , n; n - число данных.

Оценка Стьюдента (t_аj) показывает удельный вес фактора-аргумента х при объяснении у. Она вычисляется делением коэффициентов a_j на их средние ошибки S_aj:

Оценка Стьюдента показывает, во сколько раз значения j-го коэффициента превосходят его среднюю ошибку. Любое значение t_aj больше 2 или меньше -2 считается приемлемым. Чем больше величина t_aj, тем больше значимость коэффициентов регрессии, тем надежнее уравнение регрессии.

Статистическая надежность аппроксимирующей функции или коэффициента парной корреляции устанавливается также с помощью критерия Стьюдента (17).

С вероятностью ошибки р и с (n-2) степенями свободы выбранная функция признается статистически надежной, если рассчитанное значение критерия t_r превышает табличное.

Ошибкой прогноза называется отклонение предсказанного значения от наблюдаемого (фактического). Для оценки совокупной ошибки прогноза используются два показателя: средняя абсолютная ошибка () и средняя относительная ошибка (), которые определяются по формулам:

С помощью метода наименьших квадратов могут быть определены а₀ и а₁ во всех однофакторных прогнозирующих функциях, если эти функции предварительно линеаризовать, т.е. преобразовать в линейную модель. Линеаризация достигается логарифмированием или получением обратных значений функции, а также заменой переменных, представляющих собой преобразованные значения показателей у и t.

Многофакторные прогнозирующие функции

Каждый прогнозируемый показатель у_t (t=1,2…,n) можно рассматривать не только как функцию одного фактора-аргумента, но и от нескольких:

- в виде линейной многофакторной модели:

у_t=а₀+а₁х_1t+а₂х_2t+…+а_jх_jt+…+а_mх_mt

где а₀, а_j - коэффициенты модели при j=1, 2, … , k;

х_jt - факторы-аргументы, влияющие на прогнозируемый показатель у_t, при j=1, 2, … , m; t=1,2,…, n;

- в виде нелинейной многофакторной модели (степенного типа):

которая путем логарифмирования преобразуется в линейную. Более сложные виды нелинейных многофакторных моделей редко используются в практике прогнозирования и планирования.

Коэффициенты а₀, а_j в моделях типа (19) и (20) определяются с помощью метода наименьших квадратов из системы нормальных уравнений, представляющих собой частные производные по а₀, а_j равные нулю:



В результате решения данной системы уравнений находятся такие а₀ и а_j, при которых стремится к нулю.

Факторы-аргументы должны отвечать следующим условиям: во-первых, иметь количественное измерение и отражаться в отчетах или, по крайней мере, определяться на основе специального анализа отчетных данных; во-вторых, иметь перспективные оценки значений на прогнозируемый период; в-третьих, число включаемых в модель факторов должно быть меньше числа данных ряда в три раза; в-четвертых, быть линейно независимыми.

Факторы считаются зависимыми (мультиколлинеарными), если линейный (парный) коэффициент корреляции двух факторов более 0,8. Из них в модели оставляют тот, который имеет больший коэффициент корреляции с функцией у.

Оптимальное количество факторов-аргументов можно установить с помощью так называемого метода исключений. Сущность его заключается в следующем.

В модель типа включают все возможные факторы, удовлетворяющие указанным выше условиям и строят эту модель. Для каждого j-го фактора-аргумента по формуле находят оценки Стьюдента. Выбирают наименьшую величину оценки min t_a1 и сравнивают с табличным значением - t_p при (n-k-1) - степенях свободы и выбранном уровне значимости р (обычно принимают р=0,05 или 5%). Если минимальная из рассчитанных оценок t_a>t_p, то модель оставляют в полученном виде. Если же t_ap, то фактор а₁ исключается из модели как незначимый. Затем с оставшимися факторами строят новую модель, определяют новое значение оценок Стьюдента, находят минимальную из них и т.д. до тех пор, пока в модели останутся все значимые факторы.

Тесноту связей между функцией и факторами-аргументами можно установить с помощью квадрата коэффициента множественной корреляции:

Квадрат коэффициента множественной корреляции показывает, какая часть общего рассеяния зависимой переменной может быть объяснена функцией вида (2.25) или вида (2.26).

Статистическая надежность многофакторной регрессионной модели (или коэффициента детерминации) устанавливается с помощью критерия Фишера:

где n - число данных;

m - число факторов-аргументов в модели;

R² - квадрат коэффициента множественной корреляции.

Если расчетное значение критерия Фишера превышает табличное при (n-m) и (m-1) степенях свободы и принятом р - уровне значимости то модель признается статистически надежной и значимой. Многофакторная регрессионная модель может быть использована для прогнозирования не более трехлетнего периода упреждения. Ошибки прогноза определяются по формулам.

Метод экспоненциального сглаживания

Сущность этого метода заключается в том, что прогноз ожидаемых величин (объемов, продаж и т.д.) определяется путем взвешенных средних величин текущего периода и сглаженных значений, сделанных в предшествующий. Такой процесс продолжается назад к началу временного ряда и представляет собой простую экспоненциальную модель для временных рядов с устойчивым трендом и малыми (независимыми) периодическими колебаниями.

Для многих временных рядов (показателей) наблюдается очевидная картина периодичности и случайности. Поэтому простая экспоненциальная модель расширяется с включением в нее двух последних компонент.

а) С устойчивым трендом

Пусть глаженное значение в момент времени t определяется по рекуррентной формуле:

где у_t - фактическое значение в момент времени t;;

а - параметр сглаживания, определяется по формуле

Тогда сглаженное значение в момент времени (t-1) равно:

Подставив в выражение, получим:

Продолжая этот процесс, прогноз может быть выражен в величинах прошлых значений временного ряда, т.е.:

,

где L - период предсказания, но не более трех-пяти лет.

При t=1,2,…, n сглаженные значения в момент времени t определяются по формуле. Для этого же периода времени определяется среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации, чтобы оценить точность выбранного параметра сглаживания. При t=1

.

В случае если коэффициент вариации превышает 10%, то необходимо изменить интервал сглаживания, а следовательно, и параметр сглаживания .

При,…, n прогнозы в момент времени t определяются по формуле для оценки точности предсказания по среднему квадратическому отклонению и коэффициенту вариации.

При t=n+1, n+2, … определяются соответственно прогнозы данного показателя, в предположении, что текущее значение в момент времени t=n+1 совпадает с прогнозным в момент времени t=n.

б) С периодической компонентой

Пусть- сглаженное значение в момент времени t с учетом периодической компоненты. Периодичность совпадает с периодом предсказания. На практике обычно рассматриваются годовые или месячные изменения. Тогда оценка сглаженного значения запишется так:

.

где f_t-T - оценка периодической компоненты в предшествующем периоде; Т - длина периода.

В момент времени t периодическая компонента определяется по формуле:

.

Весовые параметры б и в подбираются либо с учетом текущих значений, либо с учетом прошлых значений. Оптимальные их значения устанавливаются по минимуму среднего квадратического отклонения.

Прогноз ожидаемых значений для оценки выбранных параметров б и в может быть определен мультипликативным образом по формуле:

.

При t=n+1, n+2,…, N определяются собственно прогнозы по формуле:

где- прогноз сглаженного значения определяемый по формуле.

в) С периодической и случайной компонентами

Пусть оценка сглаженного значения с учетом периодической и случайной компоненты имеет вид:



где е_t-1 - оценка случайной компоненты в момент времени (t-1), текущее значение е_t определяется по формуле:

где г - параметр сглаживания для случайной компоненты,.

Прогноз ожидаемых значений для оценки выбранных параметров б, в и г может быть получен по формуле:

где Т - период предсказания, Т=1, 2, …, 5;

,…, n.

При t=n+1, n+2, …, N определяются собственно прогнозы по формуле:

где - прогноз сглаженного значения, определяется по формуле.

Метод авторегрессионного преобразования

Сущность его заключается в построении модели по отклонениям значений временного ряда от выравненных по тренду значений. Пусть эти отклонения представляют собой случайные колебания временного ряда в каждый момент времени t:

Тогда для случайной величины е_t можно построить модель авторегрессии, т.е. регрессионную модель линейного вида для остатков значений временного ряда. Эти случайные переменные распределены со средним значением 0 и конечным рассеиванием (дисперсией) и подчиняются закону стохастического линейного разностного уровня 1-го порядка с постоянными коэффициентами (процесс Маркова), то есть:

где е_t-1 - временной ряд случайной компоненты, сдвинутый на один шаг, t=1, 2, …, n.

По формулам вида (2.14) определим b₀ и b₁, получим:

;

гдеи- соответственно средние значения по данному временному ряду и сдвинутому на один шаг.

Прогнозируемые значения случайной компоненты определяются по формуле:

L=1, 2, …

При L=1 ,при L=2, 3, … справедлива формула.

Определяем коэффициент автокорреляции r² по формуле парного коэффициента корреляции (см. формулу 2.18). Тогда коэффициент автокорреляции для авторегрессионной модели 1-го порядка равен:

Затем строим авторегрессионную модель 2-го порядка:

где е_t-2 - временный ряд случайной компоненты, сдвинутой на два шага, при t=1, 2, …, n.

Коэффициенты b₀, b₁, b₂ находятся с помощью метода наименьших квадратов из системы нормальных уравнений.

Находим:

Если, то случайная компонента следует закону линейного разностного уравнения 1-го порядка, а прогнозы определяются по формуле. Если же, то строится линейное разностное уравнение 3-го порядка рассчитываетсяи т.д. Эти расчеты продолжаются до тех пор, пока, при ф=1,2,…, n/2. Выбирается авторегрессионная модель (ф-1) порядка. Оценка точности и надежности авторегрессионной модели определяется по среднему квадратическому отклонению и коэффициенту вариации.

3. Корреляционно-регрессивный анализ

Данный метод содержит две свои составляющие части -- корреляционный анализ и регрессионный анализ.

Корреляционный анализ -- это количественный метод определения тесноты и направления взаимосвязи между выборочными переменными величинами.

Регрессионный анализ -- это количественный метод определения вида математической функции в причинно-следственной зависимости между переменными величинами.

Для оценки силы связи в теории корреляции применяется шкала английского статистика Чеддока:

слабая -- от 0,1 до 0,3;

умеренная -- от 0,3 до 0,5;

заметная -- от 0,5 до 0,7;

высокая -- от 0,7 до 0,9;

весьма высокая (сильная) -- от 0,9 до 1,0.

Линейная корреляция

Данная корреляция характеризует линейную взаимосвязь в вариациях переменных. Она может быть парной (две коррелирующие переменные) или множественной (более двух переменных), прямой или обратной -- положительной или отрицательной, когда переменные варьируют соответственно в одинаковых или разных направлениях.

Если переменные -- количественные и равноценные в своих независимых наблюдениях при их общем количестве , то важнейшими эмпирическими мерами тесноты их линейной взаимосвязи являются коэффициент прямой корреляции знаков австрийского психолога Г.Т.Фехнера (1801-1887) и коэффициенты парной, чистой (частной) и множественной (совокупной) корреляции английского статистика-биометрика К.Пирсона (1857-1936).

Коэффициент парной корреляции знаков Фехнера определяет согласованность направлений в индивидуальных отклонениях переменных и от своих средних и . Он равен отношению разности сумм совпадающих () и несовпадающих () пар знаков в отклонениях и к сумме этих сумм:

Величина Кф изменяется от -1 до +1. Суммирование в (1) производится по наблюдениям, которые не указаны в суммах ради упрощения. Если какое-то одно отклонение или , то оно не входит в расчет. Если же сразу оба отклонения нулевые: , то такой случай считается совпадающим по знакам и входит в состав .

Таблица №1 Данные для расчета коэффициента Фехнера.

Магазин k	Число работников, тыс. чел.	Товарооборот, у.е. Yk	Отклонение от средних и	Сравнение знаков и
					совпадение (Ск)	несовпадение (Нк)
1	0,2	3,1	+0,0	-0,9	0	1
2	0,1	3,1	-0,1	-0,9	1	0
3	0,4	5,0	+0,2	+1,0	1	0
4	0,2	4,4	+0,0	+0,4	1	0
5	0,1	4,4	-0,1	+0,4	0	1
Итого	1,0	20,0	-	-	3	2

К_ф = (3 -- 2)/(3 + 2) = 0,20. Направление взаимосвязи в вариациях

Средняя численность работников, численности работников и объема товарооборота -- положительное (прямолинейное): знаки в отклонениях и и в своем большинстве (в 3 случаях из 5) совпадают между собой. Теснота взаимосвязи переменных по шкале Чеддока -- слабая.

Коэффициенты парной, чистой (частной) и множественной (совокупной) линейной корреляции Пирсона, в отличие от коэффициента Фехнера, учитывают не только знаки, но и величины отклонений переменных. Для их расчета используют разные методы. Так, согласно методу прямого счета по несгруппированным данным, коэффициент парной корреляции Пирсона имеет вид:

Этот коэффициент также изменяется от -1 до +1. При наличии нескольких переменных рассчитывается коэффициент множественной (совокупной) линейной корреляции Пирсона. Для трех переменных x, y, z он имеет вид

Этот коэффициент изменяется от 0 до 1. Если элиминировать (совсем исключить или зафиксировать на постоянном уровне) влияние на и , то их "общая" связь превратится в "чистую", образуя чистый (частный) коэффициент линейной корреляции Пирсона:

Этот коэффициент изменяется от -1 до +1. Квадраты коэффициентов корреляции (2)-(4) называются коэффициентами (индексами) детерминации -- соответственно парной, чистой (частной), множественной (совокупной):

Каждый из коэффициентов детерминации изменяется от 0 до 1 и оценивает степень вариационной определенности в линейной взаимосвязи переменных, показывая долю вариации одной переменной (y), обусловленную вариацией другой (других) -- x и y. Многомерный случай наличия более трех переменных здесь не рассматривается.

Согласно разработкам английского статистика Р.Э. Фишера (1890-1962), статистическая значимость парного и чистого (частного) коэффициентов корреляции Пирсона проверяется в случае нормальности их распределения, на основании -распределения английского статистика В.С. Госсета (псевдоним "Стьюдент"; 1876-1937) с заданным уровнем вероятностной значимости и имеющейся степени свободы , где -- число связей (факторных переменных). Для парного коэффициента имеем его среднеквадратическую ошибку и фактическое значение -критерия Стьюдента:

...