Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Харківська національна академія міського господарства

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

з дисципліни “ЕКОНОМЕТРІЯ”

(для студентів 3 курсу, напряму 0305 - “Економіка і підприємництво”)

Б.Г. Скоков, К.А. Мамонов

Харків - ХНАМГ - 2008

Коспект лекцій з дисципліни “Економетрія” (для студентів 3 курсу, напряму 0305 "Економіка і підприємництво) / Укл.: Скоков Б.Г., Мамонов К.А. - Харків: ХНАМГ, 2008. - 59 с.

Автори: Б.Г. Скоков, К.А. Мамонов

Рецензент: В.В. Димченко (доцент кафедри "Облік і аудит")

Рекомендовано кафедрою обліку і аудиту,

протокол № 8 від 08.02.2008 р.

Зміст

• Вступ
• Лекція 1
• Тема 1. Предмет, методи і завдання дисципліни
• Лекція 2
• Тема 1. Методи побудування загальної лінійної моделі
• Лекція 3
• Тема 1. Мультиколінеарність та її вплив на оцінки параметрів моделі
• Тема 2. Узагальнений метод найменших квадратів
• Лекція 4
• Тема 1. Економетричні моделі динаміки
• Лекція 5
• Тема 1. Емпіричні моделі кількісного аналізу на основі статистичних рівнянь
• Лекція 6
• Тема 1. Побудова економетричної моделі з автокорельованими залишками
• 1.1 Визначення автокореляції залишків, її природа, причини виникнення і наслідки
• Лекція 7.
• Тема 1. Оцінювання параметрів економетричних моделей у разі наявності автокореляції залишків
• Тема 2. Методи інструментальних змінних
• Лекція 8
• Тема 1. Моделі розподіленого лага
• 1.1 Поняття лага та лагових моделей в економіці
• 2. Оцінювання параметрів дистрибутивно-лагових моделей
• Лекція 9
• Тема 1. Оцінювання параметрів авторегресійних моделей
• Тема 2. Економетричні моделі на основі системи структурних рівнянь
• 1. Структурна форма економетричної моделі
• 2. Повна економетрична модель
• 3. Зведена форма економетричної моделі
• Список літератури

Вступ

Трансформація економіки України до ринкових умов потребує вирішення складних теоретичних і практичних завдань, які вимагають створення пріоритетних умов розвитку як підприємств, так і держави в цілому.

Економічне зростання в будь-якій державі неможливе без реалізації нових інвестиційних і інноваційних проектів. Для забезпечення привабливості фінансово-економічного стану вітчизняних підприємств необхідно розробити ефективну систему управління економічними процесами. В цьому аспекті встановлення причинно-наслідкових зв'язків між економічними факторами, тенденції їх змін, обґрунтування прогнозних значень є тими кроками, завдяки яким можна розробити ефективну систему управління. Для вирішення цих завдань використовують методи економетричних досліджень.

Економетрія є однією з фундаментальних дисциплін у підготовці бакалаврів з економіки для всіх спеціальностей, побудована на основі математичних та економічних знань, і разом з такими дисциплінами як мікро - та макроекономіка утворює базис сучасної економічної освіти. Конструювання та дослідження економетричних моделей сприяє формуванню у студентів нового економіко-математичного мислення, спрямованого на підготовку фахівців-економістів нової формації.

Метою даного „Курсу лекцій” є надання методичної допомоги студентам усіх економічних спеціальностей, які навчаються в Харківській національній академії міського господарства за напрямом 0305 „Економіка і підприємництво”, у самостійному вивчені теоретичних засад дисципліни „Економетрія”. „Курс лекцій” містить повний виклад усіх тем, передбачених нормативною робочою програмою з дисципліни для освітньо-кваліфікаційного рівня „Бакалавр”.

Лекція 1

Тема 1. Предмет, методи і завдання дисципліни

В умовах розвитку економічних відносин спостерігається вибух інтересу до економетричних досліджень. Вони знаходять використання в самих різних галузях: - бізнесі, медицині, техниці і т. ін. Економетрія використовується там, де потрібно вирішувати завдання прогнозування, класифікації або управління.

В сучасних програмах підготовки спеціалістів з обліку й аудиту курс економетрії займає одно із ключових міст. Не знаючи досить добре цього предмету, не використовуючи його інструментарія, неможливо здійснити перевірку емпірических зв'язків, отримати нові залежності, а таким чином - представити нові теорії. Без економетричних методів неможливо побудувати прогноз, а таким чином - під питанням і успіх у банковській сфері, фінансах, бізнесу. Важливе значення, в цьому аспекті, набуває й розробка на підприємстві адаптивних механізмів управління для забезпечення сталого розвитку суб'єктів підприємницької діяльності. Тому курс економетрії входить в “ядро" учбових програм сучасного економічного вузу поряд з такими предметами, як мікроекономіка, макроекономіка, фінансовий аналіз, менеджмент і т. ін. Він, крім того, повинен бути тісно пов'язаний з цими курсами, представляючи не абстрактно-формальні, а прикладні знання.

Приклад 1. Щоб з'ясувати, чи доцільно інвестувати придбання нового обладнання (нової технології) потрібно не просто знати і розуміти, що це принесе додатковий прибуток, але й знати (і бажано якомога точніше) конкретно у чисельному вигляді - який додатковий прибуток буде отримано на кожну одиницю інвестицій.

Приклад 2. Досліджуючи попит, який формується на ринку на деякі конкретні товари, нам недостатньо знати на якісному рівні, що він залежить від таких факторів, як ціна, дохід і т. ін., нас цікавить конкретний вигляд зв'язку обсягу попиту з цими факторами, що дає можливість у числовому вигляді спрогнозувати попит при заданому рівні ціни, доходу і т. ін.

Можна навести ще багато прикладів, які показують, що ефективність прийняття рішень у підприємництві, виробництві, комерції, бізнесі та інших сферах суттєво залежить від того, на скільки особа, яка приймає рішення, використовує інформацію, що описує кількісний зв'язок між економічними показниками, що характеризують економічні явища і процеси.

Термін економетрія (економетрика) у буквальному перекладі означає вимірювання економіки, вимірювання в економіці.

Економетрія - це дисципліна, в якій досліджуються економічні процеси, встановлюються причинно-наслідкові зв'язки між економічними показниками і на основі яких розробляються ефективні управлінські рішення і економічні механізми діяльності підприємства.

Предметом курса є залежності та взаємозв'язки між економічними величинами.

Метою курса - надання знань про методи оцінювання параметрів залежностей, які характеризують кількісні взаємозв'язки між економічними величинами.

Завданням вивчення курсу є вивчення економетричних моделей, набуття вмінь використання їх у практиці управління економічними процесами на різних ієрархічних рівнях національної економіки.

Об'єктами економетрії є економічні процеси, які відбуваються на підприємстві.

Економетрія посідає одне з чільних місць серед дисциплін, які є основою сучасної економічної науки. Вона є однією з основних дисциплін фундаментальної підготовки бакалаврів з економічних спеціальностей і за загальною, компетентною думкою разом з такими дисциплінами як мікроекономіка і макроекономіка створює теоретичний базис для аналітичних досліджень в економіці. Таке місце економетрії визначається тією роллю, яку вона відіграє в сучасних економічних дослідженнях. За допомогою економетричних методів вирішують наступні важливі питання:

1) підтвердження або відхилення економічних гіпотез і законів;

2) емпіричний вивід економічних законів;

3) прогнозування різноманітних економічних показників;

4) економіко-математичний аналіз явища або процесу, що досліджується.

Економетрія як наукова дисципліна утворилася на основі економічної теорії, математичної економіки, економічної і математичної статистики. Таким чином, економетрія використовує основні базові поняття, термінологію і методи зазначених дисциплін. Але вона не є механічним поєднанням зазначених дисциплін, а є окремою, оскільки відрізняється від своїх складових.

Так, економічна теорія (мікроекономіка і макроекономіка) при вивченні економічних явищ і процесів робить наголос на якісних аспектах цих явищ, пропонуючи якісні твердження і гіпотези. Економетрія - навпаки: забезпечує кількісну сторону економічної теорії.

Математична економіка будує та аналізує математичні моделі економічних явищ і процесів без використання реальних чисельних значень економічних змінних, які входять до цих моделей. Економетрія ж навпаки - при побудові економетричних моделей спирається на реальні статистичні дані.

Однією з основних задач економічної статистики є збір, обробка і представлення економічних даних у спеціальній формі - у вигляді таблиць, графіків, діаграм тощо. Економетрія також користується цим інструментарієм, але йде далі, застосовуючи отримані статистичні дані для аналізу економічних взаємозв'язків і прогнозування.

Внаслідок того, що взаємозв'язки між економічними показниками носять стохастичний характер в економетрії широко застосовуються методи математичної статистики. Однак в силу специфіки отримання статистичних даних в економіці економетрія розробляє і використовує спеціальні методи і прийоми, які у математичній статистиці не зустрічаються.

Крім зазначених дисциплін економетрія також широко застосовує методи вищої математики і сучасні комп'ютерні технології. Оскільки економетричні дослідження пов'язані, як правило, з великим обсягом обчислень, вони потребують відповідної комп'ютерної підтримки. На даний час розроблена і використовується достатня кількість як спеціалізованих програмних продуктів, таких як Statistica, SPSS, Stata, StatGraphics, Econometric Views і т. ін., так і універсальні програмні продукти, які мають достатньо потужні можливості для проведення економетричного аналізу - MS Excel, MathCAD, Mathematica і т. інші.

Термін “Економетрія” вперше запропонував львівський вчений П. Чомпа, який опублікував у Львові в 1910 році книгу “Нариси економетрії і природної теорії бухгалтерії, яка ґрунтується на політичній економії”.

Як самостійна економіко-математична дисципліна і галузь науки, економетрія сформувалась у 20-30-х роках ХХ-го століття завдяки працям Г. Мура і Г. Шульца. До цього вже були спроби математичної формалізації економіко-статистичних даних у працях піонера економетрії В. Парето (рівняння гіперболи для опису розподілу прибутків населення в 1892р., працях Р. Хукера і А. Чупрова з кореляційного аналізу економічних процесів).

У перших працях Г. Мура і Г. Шульца в рамках економетрії були розроблені моделі попиту і пропозиції, які представляли собою окремі рівняння класичної лінійної регресії з параметрами, які оцінювалися за методом найменших квадратів.

У 1928р. з'явилася стаття американського математика Д. Кобба та економіста П. Дугласа “Теорія виробництва”, яка поклала початок теорії виробничих функцій - економетричних моделей, які описували залежність обсягів продукції від затрат праці і основного капіталу, які у подальшому були розвинуті та узагальнені в працях Р. Солоу.

Остаточно економетрія, як галузь науки, під такою назвою стала відома в 1930 році, коли було засноване “Економетричне товариство”, яке визнало себе як “Міжнародне товариство для розвитку економічної теорії і її зв'язку зі статистикою та математикою”. Засновниками економетрії вважаються Р. Фріш (Норвегія), Е. Шумпетер (Швейцарія), Я. Тінберген (Нідерланди).

Після застосування “Економетричного товариства”, починаючи з 30-х років ХХ-го століття відомими економістами Я. Тінбергеном (Нідерланди), Л. Клейном (США) та Р. Стоуном (США), почали розроблятися макроекономічні моделі, які описували статистичні зв'язки виробництва, кінцевого індивідуального і державного попиту, цін, податків, зовнішньої торгівлі, пропозиції робочої сили і т. ін. Такі моделі складалися вже з багатьох рівнянь, що дали поштовх для розробки нових методів оцінювання параметрів економетричних моделей. Цей напрямок було продовжено і після другої світової війни.

Особливі досягнення пов'язані з розвитком економетрії за останні 30 років. Про це свідчить той факт, що серед лауреатів Нобелівської премії в галузі економіки достатньо велика кількість економістів, які відзначились значним внеском в економетрію. Серед цих лауреатів:

· проф. Рагнар Фріш - 1969 р. (Норвегія);

· проф. Ян Тінберген - 1969 р. (Нідерланди);

· проф. Теллінг До Купманс - 1975 р. (США);

· проф. Лоуренс Р. Клейн - 1980 р. (США);

· проф. Трігве Хаавелмо - 1989 р. (Норвегія).

У 2000 році Дж. Хекман і Д. Макфеден отримали Нобелівську премію за розробку мікроеконометрії та методів статистичного аналізу.

До типових проблем сьогоднішньої економетрії відносять розробку і дослідження властивостей:

· виробничих функцій;

· функцій попиту різних груп споживачів та цільових функцій переваги споживачів;

· статичних і динамічних міжгалузевих моделей виробництва, розподілу та споживання продукції;

· моделей загальної рівноваги (наприклад між попитом на робочу силу та її пропозицією і т. ін.).

В аспекті економетричних досліджень виникає необхідність визначення моделей.

Математична модель - це опис об'єкта (явища), якого досліджують, за допомогою формальної мови математики (тобто у вигляді рівнянь, нерівностей, систем рівнянь і т. ін.).

Економіко-математична модель - це математична модель економічної системи, явища, процесу.

Економіко - математичним моделюванням економічних систем, явищ, процесів називають дослідження (вивчення) їх характеристик за допомогою математичних методів і економіко-математичних моделей.

Економіко-математичні моделі, які використовуються в економетрії, називаються економетричними моделями, а математичні методи їх побудови - відповідно економетричними методами.

Економетрична модель - це окрема функція чи система функцій (рівнянь), що описує кореляційно-регресійний зв'язок між економічними показниками, один чи декілька з яких є залежною змінною, а усі інші - незалежними.

Економетричні моделі представляють собою окремий клас економіко-математичних моделей і характеризуються наступними особливостями:

1) економетричні моделі - моделі функціональні;

2) економетричні моделі - моделі прикладні (емпіричні);

3) економетричні моделі - моделі дескриптивні;

4) економетричні моделі - моделі стохастичні.

У загальному вигляді економетрична модель у вигляді однієї функції (рівняння) має наступний вигляд:

(1.1)

де - залежна змінна; - незалежні змінні; - випадкова (стохастична) складова моделі. Прикладом такої моделі може бути відома виробнича функція Кобба-Дугласа:

, (1.2)

де - випуск продукції; К - основний капітал; L - затрати праці (людський капітал); і - параметри моделі.

Якщо економетрична модель представляє собою систему функцій (рівнянь), вона в загальному вигляді має наступний вигляд:

, (1.3)

де к - кількість рівнянь. Прикладом такої моделі може бути відома модель формування доходу Дж.М. Кейнса:

(1.4)

де - сукупне споживання, - національний дохід, І_{t -} інвестиції, - параметри моделі.

Незалежні змінні економетричних моделей , як і регресійних, називають пояснюючими змінними (або факторами, інколи регресорами). Залежні змінні називають пояснюваними змінними (або регресандами). Крім цього, усі змінні економетричних моделей, як і будь-якої економіко-математичної моделі, поділяють на екзогенні і ендогенні.

Екзогенними (зовнішніми) називають змінні, значення яких є наперед визначеними перед використанням моделі, а ендогенними (внутрішніми) - такі, значення яких визначають тільки із самої моделі.

Так, для моделі (8) змінні K і L є екзогенними змінними, а - ендогенною. Для моделі (10) тільки змінна І_t є екзогенною, а змінні і - ендогенними, при чому вони виступають одночасно як залежні так і незалежні змінні.

Випадкову складову економетричної моделі за аналогією з регресійною моделлю прийнято називати збуренням (похибкою, відхиленням) моделі, а для вибіркової моделі при означені оцінки цієї величини в основному використовується термін залишки.

Введення до економетричної моделі стохастичної складової має наступні підстави:

1) до будь-якої економетричної моделі включаються не всі фактори, які можуть впливати на залежну змінну, а тільки основні;

2) на залежну змінну при моделюванні таких складних об'єктів як економічні системи можуть впливати і численні випадкові фактори, які взагалі неможливо передбачити;

3) частина факторів не піддається квантифікації (тобто кількісному вимірюванню), а для тих, що вимірюються, можлива похибка вимірювання даних.

Стохастична складова моделі якраз і акумулює в собі всі відхилення фактичних спостережень залежної змінної від обчисленої згідно з рівнянням регресії за рахунок наведених вище обставин.

Усі економетричні моделі класифікують за наступними ознаками.

1. За рівнем моделювання на:

мікромоделі;

макромоделі.

2. Залежно від урахування фактора часу на:

статичні;

динамічні.

3. Залежно від числа рівнянь:

у вигляді одного рівняння;

у вигляді системи одночасних рівнянь (симультативні).

4. В залежності від виду рівнянь економетричні моделі поділяються на:

лінійні;

нелінійні.

5. Залежно від відповідності положенням класичного лінійного регресійного аналізу на:

класичні;

узагальнені.

Інформаційною базою для побудови економетричних моделей є статистичні вибірки. Особливістю цих статистичних вибірок є те, що дуже часто в економетричних дослідженнях приходиться мати справу з малими вибірками (n <30).

За способом формування статистичні вибірки, які використовуються для побудови економетричних моделей, поділяються на:

- годинні (динамічні);

- просторові (варіаційні);

- перехресні (просторово-годинні).

До статистичних вибірок постають наступні вимоги:

- однорідність спостережень (якісна і кількісна);

- точність.

Лекція 2

Тема 1. Методи побудування загальної лінійної моделі

Загальна лінійна економетрична модель - це регресійна модель, яка встановлює лінійну залежність між економічними показниками, один з яких є залежною (пояснюваною) змінною, а всі інші - незалежними (пояснюючими) змінними моделі.

Залежна змінна для такої моделі розглядається, як ендогенна змінна, а незалежні змінні - як екзогенні.

Теоретична (“канонічна”) загальна лінійна економетрична модель може бути специфікована в наступній формі:

, (2.1)

де

y - залежна (пояснювана) змінна моделі, x₁, x₂, …, x_m - незалежні (пояснюючі) змінні моделі або фактори, в₀, в₁, …., в_m - параметри моделі, е - стохастична складова моделі, m - кількість пояснюючих змінних моделі. Зазначимо, що параметри в₁, в₂, …, в_m ще прийнято називати коефіцієнтами регресії,

Теоретична модель (2.1) є гіпотетичною конструкцією і дійсна (як це відмічалося у попередній темі) для всієї генеральної сукупності спостережень за змінними моделі. Невідомі параметри цієї моделі є константами, а випадкова величина е - взагалі неспостережувана і ми можемо зробити тільки припущення щодо закону її розподілу.

Вибіркова (емпірична) загальна лінійна економетрична модель має наступний вигляд:

економетрія лінійна модель мультиколінеарність

, (2.2)

де y - залежна (пояснювана) змінна моделі, x₁, x₂, …, x_m - незалежні (пояснюючі) змінні моделі (фактори), b₀, b₁, b_m - параметри вибіркової моделі, e - залишки моделі.

Вибіркова модель (2.2) є реальною конструкцією і будується на основі певної статистичної вибірки з генеральної сукупності. На відміну від моделі (2.1) параметри вибіркової моделі b₀, b₁, …, b_m є оцінками (наближеними значеннями) параметрів в₀, в₁, в_m і випадковими величинами, а залишки "e" можна оцінити (розрахувати) на основі статистичних даних. Таким чином, вибіркова модель завжди є тільки оцінкою (вдалою або невдалою) реальної але невідомої теоретичної моделі.

Вибіркова (емпірична) функція регресії для загальної лінійної економетричної моделі має наступний вигляд:

, (2.3)

де

- оцінка математичного сподівання залежної (пояснюваної) змінної моделі, x₁, x₂, …, x_m - незалежні (пояснюючі) змінні моделі (фактори), b₀, b₁, b_m - параметри вибіркової регресії.

Для побудови і аналізу загальної лінійної економетричної моделі широко застосовується апарат матричної алгебри.

Тому для подальших викладок подамо загальну лінійну економетричну модель у матричній формі. Оскільки теоретична модель використовується для канонічного подання деякого економічного явища або процесу, а реально оперуємо в процесі дослідження цього явища (процесу) тільки вибірковою моделлю, саме вибіркову модель подамо в матричному вигляді:

, (2.4)

де

- вектор спостережень за залежною змінною моделі;

- матриця спостережень за пояснюючими змінними моделі, яку ще називають регресійною матрицею;

- вектор оцінок параметрів моделі (вектор параметрів вибіркової моделі);

- вектор залишків моделі.

Для всіх наведених вище форм представлення загальної лінійної моделі прийняті наступні загальні позначення, які будуть у подальшому постійно використовуватися:

n - розмір статистичної вибірки (кількість спостережень в статистичній вибірці);

m - число незалежних (пояснюючих) змінних моделі;

k = m + 1 - число параметрів моделі.

Найпростішою серед лінійних економетричних моделей є модель парної лінійної регресії (або проста лінійна модель), яка описує зв'язок всього між двома економічними змінними - показниками.

Економетричною моделлю парної лінійної регресії (простою лінійною моделлю) називається регресійна модель, яка описує лінійний зв'язок між двома економічними показниками, один з яких є залежною (пояснюваною), а другий - незалежною (пояснюючою) змінною.

Виходячи з вищерозглянутих позначень для простої лінійної регресії маємо:

теоретичну (“канонічну”) модель парної лінійної регресії

; (2.5)

вибіркову (емпіричну) модель парної лінійної регресії

; (2.6)

вибіркову функцію парної лінійної регресії

. (2.7)

Рівняння (2.7) представляє собою параметричне рівняння прямої, тому на площині x0y вибірковій функції парної лінійної регресії відповідає вибіркова (емпірична) пряма регресії. Графічно вибіркова функція регресії і пряма регресії для деякої вибірки представлені на рис.2.1

	x y x1 y1 x2 y2 … … xi yi … … … … xn yn

Рис.2.1 - Парна лінійна регресія

Параметри моделі парної лінійної регресії мають спеціальну назву. Параметр b₀ називається перетином, а b₁ - нахилом. Математична інтерпретація цих параметрів зрозуміла з наведеного рисунку.

Для побудови загальної лінійної моделі використовують статистичну інформацію щодо діяльності підприємства і здійснюють такі етапи: математико-статистичний аналіз, побудову лінійної регресійної моделі, перевірку побудованої моделі на адекватність, аналіз отриманих результатів.

На етапі математико-статистичного аналізу проводять перевірку основних припущень класичного регресійного аналізу, крім того, здійснють найважливішу процедуру багатофакторного аналізу - перевірку факторів на мультиколінеарність. Термін “мультиколінеарність” означає, що в багатофакторній регресійній моделі дві або більше незалежних змінних (факторів) пов'язані між собою лінійною залежністю або, іншими словами, мають високий ступінь кореляції (r_xixj 1, i j).

Для здійснення математико-статистичного аналізу будують матрицю коефіцієнтів парної кореляції. Потім аналізують коефіцієнти парної кореляції між факторами. Результатом етапу математико-статистичного аналізу є знаходження множини основних незалежних між собою факторів, що є базою для побудови регресійної моделі.

На другому етапі для побудови лінійної моделі широке використання отримали "покроковий" метод і метод “виключень”. Сутність "покрокового" методу полягає в тому, що фактори по черзі включаються в модель доти, доки вона не стане задовільною. Порядок включення вибирають за допомогою коефіцієнта кореляції як міри важливості факторів (незалежних змінних), які ще не включені в модель. Цей метод передбачає розрахунок часткових F-критеріїв для факторів, що здійснювали значний вплив на результативний показник. Далі визначають показники, які здійснювали найбільший вплив на результативний показник і значення часткових F-критеріїв перевищують нормативні значення.

Метод “виключень” полягає в тому, що вибирається низка факторів, які ймовірно можуть впливати на результативний показник. Потім, почерзі виключаються ті фактори, в яких найменший коефіцієнт кореляції (згідно з матрицею статистики), а значення часткових F-критеріїв не перевищують нормативні значення. Таким чином, залишаться лише ті змінні, які відповідають розглянутим вище умовам.

На наступному етапі аналізу перевіряється адекватність моделі з використанням F-критерію Фішера і t-критерію Стьюдента. Статистична оцінка надійності коефіцієнта регресії здійснюється за допомогою t-критерію Стьюдента. Він застосовується для оцінки тісноти зв'язку між незалежною змінною x і залежною у. При використанні цього критерію формулюється нульова гіпотеза. Потім отримане значення t-розподілу Стьюдента порівнюється з критичним. Якщо фактичне значення t-розподілу Стьюдента перевищує критичне, то спростовується нульова гіпотеза й зв'язок між змінними х і у вважається щільним. Якщо ні, то приймається нульова гіпотеза, а фактори моделі вважаються статистично неадекватними і виключаються з моделі при встановленому рівні значущості в 5% і 1%.

F-тест використовується для оцінки того, чи важливе пояснення, яке дає рівняння в цілому. Якщо фактичне значення F-критерію вище нормативного, то модель адекватна, а її фактори залишаються у рівнянні.

Для перевірки адекватності економетричної моделі використовується тест Дарбіна-Уотсона, який спрямований для перевірки кореляції між залишками використовується. Він включає такі етапи:

Розраховуються d-статистики для аналізованої вибірки даних. Як відомо з теорії, значення d-статистики лежать у межах від 0 до 4.

2. Порівнюються отримані d-статистики з табличними d-статистиками при рівні значущості = 0,05, кількості факторів k, що присутні в моделі, і кількості спостережень n. Якщо розраховане значення d-статистики знаходиться в проміжку від 0 до d_{L (}0 d d_L), то це свідчить про наявність позитивної автокореляції. Якщо значення d потрапляє в зону невизначеності, тобто набуває значення d_L d d_U, або 4 - d_U d 4 - d_L, то ми можемо зробити висновки ні про наявність, ні про відсутність автокореляції. Якщо 4 - d_L d 4, то маємо негативну автокореляцію. Нарешті, якщо d_U d 4 - d_U, то автокореляції немає.

Для оцінки адекватності моделі важливе значення має перевірка її на гомо або гетероскедастичність. Суть цього явища полягає в тому, що варіація кожної _і навколо її математичного сподівання не залежить від значення х. Дисперсія кожної _і зберігається сталою незалежно від малих чи великих значень факторів: ² не є функцією х_ij, тобто ² f (x_1i, x_2i,…, x_pi).

Якщо ² не є сталою, а її значення залежать від значень х, можемо записати ² = f (x_1i, x_2i,…, x_pi). У цьому разі маємо справу з гетероскедастичністю. Оцінка моделі на наявність гетероскедастичності полягає в тому, що на першому етапі здійснюється тестування моделі на наявність гетероскедастичності. І якщо підтверджується гіпотеза про її наявність, то на другому етапі модель виключається.

Тестування моделі на гетероскедастичність здійснюється на підставі тесту рангової кореляції Спірмена. Значущість отриманого коефіцієнта рангової кореляції Спірмена перевіряється за допомогою t-критерія Стьюдента при (n-2) кількості ступенів свободи.

Фактичне значення t-критерію Стьюдента зіставляється з t_кр. Якщо t_ф t_кр, то підтверджується гіпотеза про наявність гетероскедастичності. А коли t_ф t_кр, то приймається гіпотеза про гомоскедастичність.

На етапі аналізу отриманих результатів здійснюється економічна інтерпретація отриманої економетричної моделі. На цьому етапі обгрунтовується економічна доцільність отриманих результатів.

Лекція 3

Тема 1. Мультиколінеарність та її вплив на оцінки параметрів моделі

Мультиколінеарність - це поняття, яке використовується для опису проблеми, коли нестрога лінійна залежність між пояснювальними змінними призводить до отримання ненадійних оцінок регресії. Проте, така залежність зовсім необов'язково дає незадовільні оцінки. Якщо всі інші умови задовільні, тобто якщо кількість спостережень і вибіркові дисперсії пояснювальних змінних великі, а дисперсія випадкого члена - мала, то в результаті можно отримати досить позитивні оцінки.

Мультиколінеарність повинна виникати за рахунок сполучення нестрогої залежності однією (або більше) незадовільних умов, це - питання ступеня визначенності явища, а не його виду. Оцінки регресії будуть неадекватні від неї у відповідній мірі значущості. Розгляд цієї проблеми починається тільки тоді, коли вона досить суттєво впливає на результати оцінки регресії.

Ця проблема є звичною для регресії часових рядів, тобто коли значення показників складаються із рядів спостережень протягом визначеного періоду часу. Якщо дві або більше незалежних змінних мають часовий тренд, то між ними буде існувати кореляція, і це може призвести до мультиколінеарності.

Існують різні методи для зменшення мультиколінеарності. Вони діляться на дві категорії: до першої категорії відносяться методи, спрямовані на виконання умов, що забезпечують надійність оцінок регресії; до другої - відносяться використання зовнішньої інформації. Якщо з початку використовувати можливі значення показників, то, звичайно, було б важливим збільшити кількість спостережень. Якщо, наприклад, використовуються часові ряди, то це можна зробити шляхом скорочення терміну кожного періоду часу.

Якщо використовуються дані перехресної виборки і дослідник знаходиться на стадії планування дослідження, то можно збільшити точність оцінок регресії і послабити проблему мультиколінеарності за рахунок більших витрат коштів на збільшення розміру виборки та інші методи.

Найбільш поширеним способом виявлення мультиколінеарності є побудова матриці статистики, в якій відображені коефіцієнти кореляції. Незалежні показники, між якими коефіцієнт кореляції перевищує 0,8 або 80%, розглядають на наявність мультиколінеарності.

У випадку виявлення наявності мультиколінеарності існує декілька простих шляхів її усунення. Основними серед них є наступні.

1. Вилучення змінної (або змінних) з моделі. При цьому з моделі вилучається одна із змінних колінеарної пари. Слід зазначити, що таке вилучення змінних можливе тільки у випадку, коли це не суперечить логіці економічних зв'язків. У протилежному випадку це може призвести до помилки специфікації.

2. Зміна аналітичної форми економетричної моделі. Іноді заміна однієї функції регресії іншою (наприклад, лінійної нелінійною), якщо це не суперечить апріорній інформації, дає змогу уникнути явища мультиколінеарності.

3. Збільшення спостережень. З точки зору теорії, мультиколінеарність та невелика кількість спостережень у вибірці - це одна і та ж проблема. Тому збільшення спостережень у статистичній вибірці або використання іншої статистичної вибірки може усунути, або принаймні зменшити вплив мультиколінеарності.

4. Перетворення статистичних даних. Позбутися мультиколінеарності можна і шляхом наступних перетворень вихідних даних стосовно пояснюючих змінних:

а) замість самих даних узяти їхні відхилення від середніх;

б) замість абсолютних значень даних взяти відносні значення;

в) стандартизувати змінні.

5. Використання додаткової первинної інформації. Аналіз і використання первинної додаткової інформації інколи дозволяє зняти проблему мультиколінеарності.

Тема 2. Узагальнений метод найменших квадратів

Узагальнений метод найменших квадратів (УНК) враховує інформацію про неоднаковість дисперсії. Щоб проілюструвати це, розглянемо модель лінійної регресії:

Y=ХA+u. (4.1)

Де А - параметри (вектор) економетричної моделі;

Y - залежна змінна;

Х - незалежна змінна;

u - випадковий член.

Задача полягає в знаходженні оцінок елементів вектора A в моделі. Для цього використовується матриця S, за допомогою якої коригується вхідна інформація.

Оскільки S - додатно визначена матриця, то вона може бути зображена як добуток РР^Т, де матриця Р є невиродженою, тобто:

S=РР^Т, (4.2)

коли

P^-1S (P^-1) ^Т=E, (4.3), ( (P^-1) ^Т) - ¹=S^-1, (4.4)

Помноживши рівняння (4.1) ліворуч на матрицю Р^-1, дістанемо:

P^-1Y=P^-1 XA+ P^-1u. (4.5)

Позначимо У* = P^-1У; X*= P^-1X, u^*= P^-1u

Тоді модель матиме вигляд:

Y*=Х*A+u*. (4.6)

Використовуючи модель (4.6), неважко показати, що M (u^*u^*T) =? ²E, тобто модель (4.6) задовольняє умові, коли параметри моделі можна оцінити на основі МНК, яка може бути виражена:

= (X^*'X^*) - ¹X^*'Y^*= (X'S^-1X) - ¹X'S^-1Y. (4.7)

Ця оцінка є незміщеною лінійною оцінкою вектора A, який має найменшу дисперсію і матрицю коваріацій:

var () =s_u² (X^*ТX^*) - ¹=s_u² (X^ТS^-1X) - ¹. (4.8)

Незміщену оцінку для дисперсії s_e² можна знайти так:

(Y^*-X^*) ^T (Y*-X*) / (n-k-1) = (Y-X) ^TS^-1 (Y-X) / (n-k-1) = u^TS^-1u / (n-k-1). (4.9)

При заданій матриці S оцінку параметрів моделі можна обчислити згідно із моделлю (4.7), а стандартну помилку - згідно з (4.8). Тому можна сконструювати звичайні критерії значущості і довірчі інтервали для параметрів a.

Визначивши залишки u = Y - Х і помноживши ліворуч на матрицю P^-1, отримаємо:

P^-1Y - P^-1X = P^-1u; або u *=Y*-X*

Звідси Y* = Х*A + u *.

Тоді Y*^TY*= (X*+u*) ' (X*+u*).

Оскільки = (X*^TX*) - ¹X*'Y* = (X^TS^-1X) - ¹X^TS^-1Y, то

Y^TS^-1Y=^TX^TS^-1Y+uS^-1u. (4.10)

Отже, ми розбили загальну суму квадратів для Y* на суму квадратів регресії і залишкову. Згідно з цими даними дисперсійний аналіз буде виконаний для перетворених вхідних даних. Крім того, коли незалежна змінна Y* виміряна відносно початку відліку, а не у формі відхилення від середньої, то необхідно визначити її середнє значення і скористатись ним для корекції загальної суми квадратів і суми квадратів регресії.

Щоб оцінити параметри моделі, коли дисперсії залишків визначаються М (ии') = s²_uS, потрібно визначити матрицю S. Спинимось на визначенні матриці S.

Оскільки явище гетероскедастичності пов'язане лише з тим, що змінюються дисперсії залишків, а коваріація між ними відсутня, то матриця S має бути діагональною, а саме:

Щоб пояснити, чому саме такий вигляд має ця матриця, потрібно визначити: за наявності гетероскедастичності для певних вихідних даних одна (або кілька) пояснювальних змінних можуть різко змінюватись від одного спостереження до іншого, тоді як залежна змінна має такі самі коливання, як і для попередніх спостережень.

Але це означає, що дисперсія залишків, яка змінюватиметься від одного спостереження до іншого (чи для групи спостережень), може бути пропорційною до величини пояснювальної змінної Х (або до її квадрата), яка зумовлює гетероскедастичність, або пропорційною до квадрата залишків.

Звідси в матриці S значення l_i можна обчислити, користуючись гіпотезами:

1. M (uu') =s ²_u x_ij, тобто дисперсія залишків пропорційна до зміни пояснюючої змінної x_ij;

2. M (uu') =s ²_u x²_ij, тобто зміна дисперсії пропорційна до зміни квадрата пояснюючої змінної x²_ij;

3. M (uu') = s ²_u {IuI}², тобто дисперсія залишків пропорційна до зміни квадрата залишків за модулем.

Для першої гіпотези: l_i=1/ x_ij

Для другої гіпотези: l_i=1/ x²_ij

Для третьої гіпотези: l_i ={Iu_iI}², або l_i = (a₀-a₁x_ij) ², або l_i= (a₀-a₁x_{i -} ¹) ²

Оскільки матриця S - симетрична і додатно визначена, то при S = Р'Р, матриця Р має вигляд:

Лекція 4

Тема 1. Економетричні моделі динаміки

Для багатьох економічних процесів, які розвиваються у часі, типовим є той факт, що ефект впливу одного показника на інший виявляється не одразу (не миттєво), а поступово, через деякий період часу - тобто значення залежної змінної y змінюється через деякий проміжок часу після зміни значення деякого фактора x. Таке явище називається лагом (запізненням), а сам проміжок часу між зміною пояснюючої змінної і залежної змінної - часовим лагом.

Явище, при якому вплив зміни пояснюючих змінних економетричної моделі на зміну залежної змінної проявляється не миттєво, а з деяким часовим запізненням називається лагом (запізненням).

Проміжок часу між зміною значення деякої пояснюючої змінної і зміною значення залежної зміною моделі називається часовим лагом.

Неважко зрозуміти, що при кількісному вимірюванні зв'язку між такими показниками в якості пояснюючих змінних використовуються не тільки поточні значення змінних, але й деякі попередні за часом значення, а також і сам час. Моделі такого типу називаються динамічними. В свою чергу змінні, вплив яких на ендогенну змінну моделі характеризується деякими запізненнями називається лаговими змінними.

Економетричні моделі, в яких у якості пояснюючих змінних використовуються не тільки поточні значення змінних, але й деякі попередні за часом значення, а також і сам час, називаються економетричними моделями динаміки або динамічними моделями.

Змінні економетричної моделі, вплив яких на ендогенну змінну моделі характеризується деякими часовим запізненям, називаються лаговими змінними.

Динамічні моделі поділяються на 2 класи:

1. Моделі розподіленого лагу (дистрибутивно - лагові моделі);

2. Авторегресійні моделі.

Моделлю розподіленого лагу називається модель, яка в якості лагових змінних містить тільки незалежні (пояснюючі) змінні.

Моделі розподіленого лагу поділяються на 2 види:

а) моделі нескінченного розподіленого лагу;

б) моделі з кінцевим числом лагів.

У загальному випадку модель нескінченого розподіленого лагу для однієї лагової змінної має наступний вигляд:

(5.1)

або

, (5.2)

де - параметри моделі при лаговій змінній; - пояснююча лагова змінна; r - часовий лаг; - стохастична складова моделі.

Прикладами кількісного взаємозв'язку між економічними показниками, коли виникає необхідність врахування часових лагів є: взаємозв'язок між капітальними вкладеннями (або інвестиціями) і введенням основних фондів, між затратами виробничих ресурсів і обсягом виробництва, між доходом і витратами і т. ін.

Модель з кінцевим числом лагів у к - періодів у загальному випадку для однієї лагової змінної має наступний вигляд:

(5.3)

або

, (5.4)

де к - число часових лагів (періодів, на протязі яких здійснюється вплив пояснюючої лагової змінної - на ендогенну змінну ).

Коефіцієнти у виразах (5.1) - (5.4) називаються коефіцієнтами лагу, а послідовність - структурою лагу.

Коефіцієнти лагу відповідають наступним вимогам:

1) , для будь яких ;

2) ;

3) або , де - скінченне число;

4) ;

5) або (для кінцевого лагу).

Величини називаються нормованими (стандартизованими) коефіцієнтами лагу, а послідовність - нормованою (або стандартизованою) структурою лагу.

Коефіцієнт називається короткостроковим (або впливовим) мультиплікатором. Він характеризує зміну середнього значення залежної змінної y під впливом одиничної зміни пояснюючої лагової змінної x у той же самий момент часу. Сума коефіцієнтів (або) називається довгостроковим мультиплікатором. Він характеризує зміну середнього значення залежної змінної y під дією одиничної зміни лагової пояснюючої змінної x всі часові періоди, які входять до структури лагу. Сума коефіцієнтів (або ) називається проміжним мультиплікатором.

Зазначимо, що у більш загальному випадку до наведених вище дистрибутивно-лагових моделей (5.1) - (5.4) можуть входити більш ніж одна лагова змінна, а також поточні значення інших пояснюючих змінних, які можуть впливати на залежну змінну моделі. Такі дистрибутивно-лагові моделі прийнято називати узагальненими моделями розподіленого лагу. Оцінювання параметрів таких моделей є більш складним внаслідок необхідності врахування обмежень на коефіцієнти лагу в, які були розглянуті вище.

В цьому контексті слід розглядати і авторегресійні моделі. Авторегресійною моделлю - називається модель, яка в якості пояснюючих лагових змінних містить значення залежних змінних.

Прикладом авторегресійної моделі може бути наступна модель:

. (5.6)

Причин виникнення лагів в економіці є достатньо багато і серед них основними є наступні.

1. Психологічні причини. Ці причини пов'язані з інерцією в поведінці людей. Наприклад, люди не одразу змінюють свої споживацькі звички після зниження цін, або підвищення доходів.

2. Технологічні причини. Наприклад, винахід персональних комп'ютерів не привів до миттєвого витіснення ними великих ЕОМ внаслідок необхідності заміни необхідного програмного забезпечення, яка відбувалося протягом достатньо великого проміжку часу.

3. Інституціональні причини. Наприклад, контракти між фірмами, трудові договори і угоди, різні форми інших контрактів між юридичними і фізичними особами вимагають деякої постійності на протязі дії контракту, або угоди.

Лекція 5

Тема 1. Емпіричні моделі кількісного аналізу на основі статистичних рівнянь

В економетричних дослідженнях кількісний аналіз статистичних даних здійснюється на основі емпіричних критеріїв. Розглянемо найбільш важливі.

Коефіцієнт кореляції відображає ступінь взаємозв'язку між факторами. Коефіцієнт кореляції визначається грецькою буквою с, яка вимовляється як “ро" і відповідає латинській “r”. Для змінних х і у цей коефіцієнт визначається наступним чином:

(6.1)

дес_{х, у} - коефіцієнт кореляції змінних х і у;

у_{х, у} - середньоквадратичне відхилення змінних х і у.

Якщо х і у незалежні, то с дорівнює нулю. Якщо між змінними існує позитивна залежність, то у_{х, у}, а відповідно, і с_{х, у} будуть позитивними. Якщо існує строга позитивна лінійна залежність, то с_{х, у} має максимальне значення, яке дорівнює 1. Аналогічним чином при негативному зв'язку с_{х, у} буде від'ємним з мінімальним значенням - 1.

В економетричному аналізі для дослідження впливу факторів розраховуються коефіцієнти часткової кореляції:

, (6.2)

деr_xy,z - коефіцієнт часткової кореляції між х і у у випадку постійного впливу показника z;

r_xy, r_xz, r_yz - звичайні коефіцєнти кореляції між х і у, х і z, у і z

відповідно.

Іншим важливим показником, який використовується для оцінки значущості моделі є коефіцієнт детермінації. Він представляє собою міру тісноти зв'язку між факторами економетричної моделі. Коефіцієнт детермінації пов'язаний з коефіцінтом кореляції - як квадрат від останього:

...