Модели формирования политических структур

Размещено на http://www.Allbest.ru/

49

МГУ им. М.В. Ломоносова

Факультет ВМиК

А.А. Васин, Ю.В. Сосина,

1. Постановка проблемы

В настоящей работе рассматриваются модели политической самоорганизации населения. Такие модели изучаются в литературе в различных контекстах. Так, в работах Алесины, Сполаоре (1997), Вебера, Ле Бретона (2002), Вебера, Ле Бретона, Хаиманко (2002) обсуждаются модели формирования юрисдикций, то есть государственных образований или регионов, районов внутри страны. Граждане, распределенные по месту проживания в некотором пространстве, формируют юрисдикции, обеспечивающие их необходимыми общественными благами. Центры, предоставляющие эти блага, включают государственные учреждения, больницы, библиотеки и т.п. Такой центр размещается согласно определенному правилу внутри каждой юрисдикции. Функция выигрыша жителя зависит от двух факторов.

1) Постоянные издержки, связанные с производством общественных благ, делятся между жителями данной юрисдикции.

2) Индивидуальные (транспортные) издержки агента прямо зависят от расстояния между местом его проживания и центром юрисдикции.

В упомянутых работах формирование юрисдикций исследуется в рамках теории кооперативных игр, изучаются эффективные и устойчивые структуры, например, соответствующие элементам С-ядра данной игры. При этом допускаются побочные платежи, то есть перераспределение общих издержек между участниками проекта для компенсации транспортных издержек.

Однако, побочные платежи обычно не осуществимы на практике при формировании политических партий. Что касается игр такого рода без побочных платежей, то отдельные результаты относительно существования и структуры равновесий Нэша и коалиционных равновесий получены в работах Савватеева (2003,2005), Богомольной, Вебера и др. (2005) для игр с малым числом участников. В то же время с прикладной точки зрения наибольший интерес представляет исследование равновесий Нэша и коалиционных равновесий для моделей с большим числом игроков. Исследованию таких игр посвящена данная работа.

Игры с континуумом игроков рассматривались в работах Гомберга, Мархуэнды, Ортуно-Ортина (2001), Каплина, Налебаффа (1997), Ортуно-Ортина, Роемера (2000). Однако в указанных работах количество партий фиксировано (как правило, рассматривается случай с двумя партиями), а функция выигрыша избирателя зависит от расстояния между итоговой политической программой и идеальной точкой игрока и не учитывает размер партий. Таким образом, данные работы не исследуют вопрос влияния размера партии на выигрыш голосующего за нее избирателя и вопрос о возможном количестве партий в равновесии.

В настоящей работе рассматривается игра в нормальной форме, описывающая формирование политических партий как добровольное объединение избирателей. Цель исследования решить вопросы существования и вычисления равновесий Нэша, а также равновесий, устойчивых к коалиционным отклонениям, выяснить свойства этих решений, в частности, количество партий в равновесии в зависимости от параметров модели.

2. Описание модели

В рассматриваемой модели игроками являются политически активные избиратели, выбирающие партию для голосования с учетом своих политических предпочтений, которые задаются следующим образом.

Имеется одномерное политическое пространство . Предпочтения каждого избирателя определяются функцией

, ,

где непрерывная возрастающая функция.

Точку , в которой функция достигает максимума, будем называть идеальной точкой избирателя . Все множество избирателей описывается функцией распределения по идеальным точкам , плотность которой обозначим .

Любое непустое подмножество игроков будем называть коалицией. Для описания коалиции необходимо определить долю игроков с идеальной точкой , вошедших в коалицию, среди общего числа избирателей с идеальной точкой . Функция описывает распределение участников коалиции по идеальным точкам.

Поскольку исследуется взаимодействие большого числа избирателей, то формально предполагается, что мощность множества игроков ? континуум, хотя в реальной ситуации множество избирателей велико, но конечно. В этом случае разумно предположить, что справедливо следующее предположение о влиянии агентов.

Предположение A1. Каждый игрок в отдельности не может оказывать влияние на исход взаимодействия и, соответственно, выигрыш остальных игроков.

Далее будем рассматривать только такие коалиции, для которых ? кусочно-непрерывная на множестве функция. С учетом предположения A1 это не приведет к искажению результатов.

Задано конечное множество возможных партий . Стратегией избирателя является выбор партии, за которую он будет голосовать, либо отказ от участия в выборах (стратегия ""). Каждый игрок может проголосовать за любую партию. Таким образом, множество стратегий избирателя ? конечное множество , .

Множество сторонников партии представляет собой коалицию игроков, использующих одинаковую стратегию . Функция обозначает долю сторонников партии среди игроков с идеальной точкой (если никто из избирателей с идеальной точкой не выбрал партию , то ). Тогда ? доля избирателей с идеальной точкой , не участвующих в голосовании. Функции , , описывающие распределение игроков множества по стратегиям, полностью определяют ситуацию игры. Далее рассматриваются кусочно-непрерывные на множестве функции .

Множество партий, получивших сторонников среди избирателей, обозначим . Без ограничения общности можно считать, что сторонников приобрели первые партий, то есть . Для каждой партии определим множество политических программ ее сторонников: . Кроме того, каждая партия характеризуется размером и политической программой. Размер партии равен доле ее сторонников среди всех избирателей . Политическая программа (политика) партии представляет собой точку из множества и определяется предпочтениями избирателей, голосующих за партию. Каждая партия имеет единственную политическую программу. При этом предполагается, что правило выбора политики партии удовлетворяет Предположению A1, то есть смена стратегии одним игроком не может повлиять на политику партии.

Таким образом, в результате добровольной самоорганизации политически активного населения происходит эндогенное образование партийной структуры общества. Партийной структурой (сокращенно ? ПС) будем называть заданное функциями разбиение множества избирателей на партии вместе с указанием для каждой партии сопоставленной ей по определенному правилу политической программы .

Функция выигрыша избирателя с идеальной точкой , голосующего за некоторую партию, растет с увеличением размера этой партии и убывает с увеличением отклонения идеальной точки агента от политики партии, то есть

,

где - ,

кусочно-непрерывная возрастающая функция на множестве .

Доопределим выигрыш для агентов, не участвующих в голосовании: (то есть формально считаем, что игрок состоит в партии размера 0, политическая программа которой совпадает с его идеальной точкой).

Таким образом, мы описали процесс формирования партийной структуры в виде игры в нормальной форме с континуумом игроков, которыми являются избиратели. Стратегия игрока выбор партии, за которую он проголосует, либо отказ от участия в голосовании. Выигрыш агента зависит от удаленности его идеальной точки от политики партии, за которую он голосует, и от размера этой партии.

Приведем примеры возможных правил выбора политики партии.

Вариант 1. Программа партии равна медиане распределения по идеальным точкам сторонников партии, то есть

Такой способ определения программы партии используется в большинстве работ, рассматривающих модели политической самоорганизации населения, и отражает процедуру выбора большинством голосов, так как при сравнении с любой альтернативой медиана всегда будет иметь большее либо равное число сторонников. Кроме того, если функция выигрыша агента линейно зависит от расстояния между политикой партии и идеальной точкой агента, то такое правило выбора политики эффективно с точки зрения максимизации суммарного выигрыша сторонников партии.

Вариант 2

Пусть наименьший сегмент, содержащий множество . Политическая программа партии определяется как середина сегмента: . При таком выборе политики максимизируется минимальный из выигрышей сторонников партии.

Важно отметить, что если множество сторонников партии связно, а распределение сторонников партии по идеальным точкам равномерно, оба рассмотренных правила выбора программы партии дают одинаковый результат. Однако в общем случае разные правила выбора политики партии могут давать существенно отличающиеся результаты.

3. Равновесия Нэша

Предполагается, что избиратели действуют рационально, то есть каждый агент голосует за ту партию, от участия в которой он получает наибольший выигрыш (либо не участвует в голосовании, если эта стратегия дает ему наибольший выигрыш). Предположение о рациональном поведении агентов формально означает, что распределение по стратегиям является равновесием Нэша. Напомним, что равновесие Нэша это такая ситуация игры, что ни одному из игроков невыгодно отклоняться индивидуально при неизменном поведении остальных игроков (так как при неизменном поведении остальных участников это не увеличит его выигрыш).

Заметим, что в рассматриваемой модели ситуация игры, в которой , то есть все избиратели не участвуют в голосовании, является равновесной по Нэшу. Интерес представляет вопрос о существовании равновесных по Нэшу ситуаций игры, в которых . В этом случае будем называть партийную структуру (ПС) равновесной по Нэшу (сокращенно ? РН). Равновесной по Нэшу в рассматриваемой модели является такая ПС

,

что ,

Для любого подмножества обозначим наименьший сегмент, содержащий все точки множества , а множество внутренних точек . Следующая теорема дает возможность значительно сузить область поиска РН ПС.

Теорема 1. (Структура РН ПС).

1) В РН ПС

, и , .

2) Если выпуклая функция на , то в РН ПС

:

если , то ,(1)

если , то .

Из теоремы следует, что в РН ПС партии с совпадающими политическими программами имеют одинаковый размер. Если программы партий различны, то политические предпочтения их сторонников тоже различны, и найдется такая политическая программа, что идеальные точки сторонников одной партии правее, а идеальные точки сторонников другой партии ? левее этого значения.

3.1 Регулярные структуры и их связь с равновесиями Нэша

ПС будем называть регулярной, если 1) для каждой партии множество идеальных точек ее сторонников связное; 2) , то есть все агенты, идеальная точка которых является внутренней точкой множества , голосуют за партию .

Обозначим , левую и правую границы множества , . Игроков с идеальной точкой или будем называть граничными агентами партии. Партии в регулярной ПС будем называть соседними, если . При этом граничные агенты могут состоять как в партии , так и в партии (что не влияет на выигрыш остальных избирателей).

Далее будем считать, что партии в регулярной ПС упорядочены следующим образом: , если . На Рисунке 1 показан типичный вид регулярной ПС.

Рисунок 1

Утверждение 1. РН ПС является регулярной тогда и только тогда, когда выполняется условие (1).

Утверждение 2.

Условие "безразличия" граничных агентов

Если выпуклая функция на , то регулярная ПС является РН тогда и только тогда, когда выполняются "условия безразличия" граничных агентов:

, и если,

то ;

,

и если, то ;

,

и если, то .

На Рисунке 2 показан выигрыш избирателей в случае, когда регулярная ПС является РН.

Рисунок 2

равновесие нэш коалиционный политический

Далее будет показано, что в зависимости от вида функции выигрыша могут существовать различные РН ПС. Причем, в некоторых случаях РН ПС существуют для любого количества партий. Однако, не все равновесия Нэша устойчивы к образованию коалиций. Наша цель ? исследовать множество равновесий Нэша и определить, какие из них являются устойчивыми к отклонению коалиций игроков.

Как правило, в качестве усиления понятия равновесия Нэша используется понятие сильного равновесия. Напомним, что ситуация игры называется сильным равновесием, если не существует коалиции агентов, такой что всем членам данной коалиции выгодно одновременно изменить свои стратегии. Подобное понятие коалиционной устойчивости допускает применение участниками коалиции любых стратегий независимо от того, как это повлияет на выигрыш остальных игроков. Однако в случае образования ПС предположение о том, что коалиция игроков может присоединиться к некоторой партии без согласия ее сторонников, кажется сомнительным. Поэтому далее мы будем рассматривать более слабое понятие устойчивости, а именно ? введем понятие слабого коалиционного равновесия.

Ситуация игры называется слабым коалиционным равновесием (сокращенно ? СКР), если не существует коалиции агентов, такой что всем членам данной коалиции выгодно одновременно изменить свои стратегии. При этом коалиция может присоединиться к существующей партии, только если при этом не будет ухудшен выигрыш ее сторонников.

Очевидно, что любое сильное равновесие является СКР, а любое СКР в рассматриваемой модели с континуумом игроков является равновесием Нэша.

Теорема 2 (Структура СКР). Пусть выпуклая функция на . Тогда в любом СКР, в котором , ПС является регулярной.

5. Исследование модели

Приступим к исследованию модели. Далее предполагается, что выигрыш избирателя линейно зависит от размера партии и исследуются два варианта зависимости функции выигрыша от отклонения идеальной точки агента от политики партии:

Предположение L1: линейная зависимость ;

Предположение L2: квадратичная зависимость

5.1 Исследование модели в предположении L1

Пусть функция выигрыша избирателя имеет вид

Рассмотрим случай с монотонной кусочно-непрерывной функцией плотности распределения избирателей по идеальным точкам . Более подробно рассмотрим случай с невозрастающей функцией, так как для неубывающей функции результаты симметричны. Для любого сегмента обозначим усредненную плотность на множестве .

Как было отмечено ранее, ситуация игры, в которой , является равновесием Нэша. Рассмотрим вопрос о существовании равновесий Нэша, в которых , то есть образуется ПС. Причем, так как далее нас будет интересовать существование СКР, то будем рассматривать только регулярные ПС.

Теорема 3

(Существование РН ПС). Регулярная РН ПС существует тогда и только тогда, когда (где медиана распределения избирателей на множестве ) если политика партии определяется согласно Варианту 1, если политика партии определяется согласно Варианту 2.

Теорема 4

(Структура РН ПС).

В регулярной РН ПС , т.ч. на сегменте ,

1) (то есть чем "правее" партия располагается на политическом пространстве, тем больше у нее сторонников);

2) , где , ,

для Варианта 1 , , ;

для Варианта 2 , , .

Из Теорем 3 и 4 в частности следует, что при равномерном распределении избирателей на множестве РН ПС существуют при . Причем при РН ПС представляет собой разбиение множества на любое количество партий равного размера , а при любая регулярная ПС является РН.

Перейдем к исследованию устойчивости равновесий Нэша к отклонению коалиций.

Теорема5

(Существование и структура СКР)

1) ситуация игры, когда (никто не голосует) является СКР ;

2) ситуация игры, когда , (все голосуют за одну партию) является СКР ? для Варианта 1, для Варианта 2 (в обоих случаях такие значения );

3) СКР, в которых , существуют и и ? для Варианта 1, и ? для Варианта 2.

Из Теоремы 5 следует, что в Предположении L1 в общем случае СКР, состоящих из двух и более партий, не существует. Причем для Варианта 1 при некоторых значениях СКР вообще не существует.

5.2 Исследование модели в предположении L2

Пусть функция выигрыша избирателя имеет вид .

Рассмотрим случай равномерного распределения избирателей по идеальным точкам, то есть . В этом случае Варианты 1 и 2 выбора политики партии дают одинаковый результат.

Теорема 6 (существование и структура РН ПС)

1) ПС, состоящая из партий размера , является РН ;

2) ПС, состоящая из партий размера и партий размера , является РН .

Других РН ПС, кроме описанных в пунктах 1 и 2, не существует.

Теорема 7 (Существование и структура СКР).

1) ситуация игры, когда (никто не голосует) не является СКР;

2) ситуация игры, когда , (все голосуют за одну партию) является СКР ;

3) СКР, в которых , существуют .

5.3 Обсуждение результатов. Влияние параметров системы на количество партий в слабом коалиционном равновесии

Как следует из Теорем 5,7, параметр функции выигрыша влияет на существование СКР и допустимое количество партий в них. Обсудим значение данного параметра. В терминах теории потребления параметр является характеристикой предельной нормы замещения. Напомним, что предельная норма замещения (сокращенно ? MRS) определяет, насколько надо увеличить потребление одного блага для сохранения полезности потребителя на постоянном уровне, если потребление другого блага снижается. В рассматриваемой в работе модели MRS определяет, на сколько единиц должен увеличиться размер партии, чтобы выигрыш избирателя не изменился, если политика партии станет от него на единицу дальше. Для предположения L1 , для предположения L2 .

Таким образом, MRS постоянна для предположения L1 и линейна для предположения L2. Второй случай, когда чем больше удаляется политика партии от идеальной точки избирателя, тем быстрее должен расти размер партии, чтобы выигрыш агента не уменьшался, кажется более правдоподобным.

Данное исследование в некоторой степени служит этому подтверждением. Оно показало, что в случае постоянной MRS, партийная структура, состоящая из двух и более партий, в общем случае неустойчива к объединению партий.

В то же время в работе доказано, что в случае линейной MRS СКР существуют при любом значении . При этом допустимое количество партий в СКР увеличивается с ростом параметра .

На Рисунке 3 показано, при каких значениях параметра существуют СКР, состоящие из партий.

Рисунок 3

Таким образом, чем важнее для избирателя близость политической программы партии к его идеальной точке, тем больше в обществе дробление на партии. Подобному результату можно дать следующую интерпретацию. В "демократическом" обществе придается большое значение дифференциации предпочтений населения, что может приводить к увеличению числа партий. В случае "недемократического" общества образование новой партии может быть связано с большими расходами в силу препятствования со стороны Властей.

Подобный эффект может быть вызван также преобладанием в обществе конформистских настроений (что возможно, например, в случае существования некоторой внешней угрозы).

Размещено на Allbest.ru