Исследование динамических систем управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Что такое динамическая система

2. Применение динамических систем

2.1 Математическая модель управляемого судна

2.2 Появление эффекта фазового пятна - понижение управляемости и начальная неуправляемость

2.3 Стабилизация неустойчивости

Заключение

Литература

Введение

Проблема управляемости имеет длинную историю и продолжает оставаться одной из самых актуальных проблем теории управления. Точкой отсчета современного периода развития теории можно считать появление работ Калмана, в которых были получены условия управляемости систем, правые части которых являются линейными функциями по состояниям и управлениям. Вслед за этими работами появились многочисленные работы других авторов и за почти полувековой период получено много результатов по управляемости динамических систем. За последние годы были разработаны новые методы исследования управляемости динамических систем и выявлен ряд причин, обусловливающий управляемость или неуправляемость динамических систем.

Практически одновременно с исследованием управляемости линейных систем стала исследоваться управляемость нелинейных систем. Было сделано несколько попыток создания общей, или абстрактной теории систем (работы Калмана Р., Кухтенко А.И., Блкина В.И. и некоторые другие). Ряд интересных результатов получен благодаря применению методов обшей теории, однако большинство работ посвящено исследованию более частных вопросов. Много результатов получено при исследовании управляемости динамических систем, принадлежащих конкретным классам систем. Важным классом нелинейных систем является класс билинейных систем, т.е. систем, правые части которых являются билинейными функциями по состояниям и управлениям.

Линейные и билинейные системы являются простейшими моделями локального описания систем управления. А именно, линейная система является моделью системы управления в окрестности точки общего положения, билинейная система является моделью систем управления в окрестности точки покоя.

Значительные успехи в исследовании управляемости нелинейных систем были достигнуты благодаря применению геометрических и алгебраических методов исследования управляемости, в частности применению дифференциально-геометрических и теоретико-групповых методов. Это направление было актуальным на протяжении многих лет. Описание результатов, полученных применением дифференциально-геометрических и теоретико-групповых методов, можно найти в ряде обзоров, в частности в обзоре Андреева Ю.Н., в обзоре Аграчева A.A., Вахрамеева С.А., Гамкрелидзе Р.В. и в обзоре Вахрамеева С.А. и Сарычева A.В. В этих обзорах приводятся результаты по управляемости гладких динамических систем как абстрактных так и более конкретных классов. Некоторые новые результаты отражены в книге Аграчева А.А и Сачкова Ю.Л. Класс систем, линейных по управлению, представляется особенно важным, так как предполагается, что управление будет осуществляться достаточно малыми по величине воздействиями, что не приводит к существенному изменению динамики исходной системы. В рамках дифференциально-геометрического подхода был получен ряд результатов по управляемости систем, линейных по управлению. Следует отметить, что дифференциально-геометрические методы являются наиболее подходящими для исследования свойств локальной управляемости, в целом же проблема управляемости имеет глобальный характер, т.е. относится ко всему пространству состояний. С этой точки зрения интерес представляют нелинейные системы достаточно общего вида.

Однако, разграничение систем по признаку линейный или нелинейный представляется поверхностным и не раскрывает особенностей этих систем.

Действительно, если в линейной системе сделать замену переменных, т.е. рассмотреть ее в новой системе координат, то она станет нелинейной, но сущность ее при этом не изменится. Возможны и обратные замены переменных, превращающие нелинейные системы в линейные. Установить существование таких замен переменных является трудной задачей.

Более адекватным представляется деление систем на классы по характеру поведения (простое или сложное) их траекторий. Сходным, хотя и не тождественным, является деление систем на классы по принципу регулярности или хаотичности поведения их траекторий. Наиболее отчетливо свойства регулярного поведения проявляются у систем Морса-Смейла, а свойства хаотического поведения -- у гиперболических систем вблизи их аттракторов достаточно сложной структуры, которые иногда называют странными. Несколько огрубляя ситуацию, можно сказать, что эта разница поведения проявляется в том, что у систем с регулярным поведением близкие траектории не расходятся на протяжении достаточно большого промежутка времени, а у систем с хаотическим поведением траектории расходятся достаточно быстро. Отметим, что у систем, пограничных между этими классами, указанные свойства ослабляются, и с практической точки зрения отнести эти системы к каким-либо определенным классам иногда бывает затруднительно. В частности, некоторые системы Морса-Смейла с достаточно большим числом компактных инвариантных множеств могут демонстрировать весьма сложное поведение. Как известно, одним из сценариев возникновения хаоса является переход через границу класса систем Морса-Смейла.

Одним из факторов, влияющих на управляемость систем, является ее способность возвращаться в исходные состояния. Свойством возвращаемости могут обладать как системы с регулярным, так и хаотическим поведением.

Другим фактором, влияющих на управляемость систем, является соотношение исходных характеристик пространства состояний с характеристиками, индуцированными системой управления. Например, каким образом управляемость зависит от соотношения исходной топологии пространства состояний и топологии, индуцированной динамической системой управления. Другой пример показывает, что система управления с регулярным поведением индуцирует в пространстве состояний структуру специального клеточного комплекса, свойства которого обусловливают управляемость системы. На свойствах этого клеточного комплекса основан метод Болтянского В.Г. регулярного синтеза управлений. Исследуется вопрос о существовании клеточных комплексов специального вида для рассмотренных классов регулярных систем.

Опыт исследования систем с разными типами поведения показывает, что обычно оказывается невозможно управлять системами с регулярным и хаотическим поведением одними и теми же способами. Для систем с регулярным поведением успешно применяется метод регулярного синтеза управлений. Для систем с хаотическим поведением для управления часто используется существование всюду плотных траекторий. Таким образом, не существует универсального метода исследования управляемости произвольных динамических систем, кроме их численного моделирования. Численное моделирование имеет следующие недостатки. Во-первых, из-за того, что динамическая система имеет бесконечное множество состояний, часто не представляется возможным ее исчерпывающее исследование. Во-вторых, численное моделирование не дает обычно понимания причин управляемости или неуправляемости динамических систем. Эти обстоятельства являются побудительными мотивами для качественного исследования динамических систем управления, причем при исследовании учитываются особенности систем с регулярным или хаотическим поведением.

1. Что такое динамическая система?

Динамическая система представляет собой математическую модель некоторого объекта, процесса или явления.

Динамическая система также может быть представлена как система, обладающая состоянием. При таком подходе, динамическая система описывает (в целом) динамику некоторого процесса, а именно: процесс перехода системы из одного состояния в другое. Фазовое пространство системы -- совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояние в другое.

Различают системы с дискретным временем и системы с непрерывным временем.

В системах с дискретным временем, которые традиционно называются каскадами, поведение системы (или, что то же самое, траектория системы в фазовом пространстве) описывается последовательностью состояний. В системах с непрерывным временем, которые традиционно называются потоками, состояние системы определено для каждого момента времени на вещественной или комплексной оси. Каскады и потоки являются основным предметом рассмотрения в символической и топологической динамике.

Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) часто описывается автономной системой дифференциальных уравнений, заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые -- его периодическим решениям.

Основное содержание теории динамических систем -- это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репеллеры) множеств (многообразий). Важнейшие понятие теории динамических систем -- это устойчивость (способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубость (сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы; «грубая система -- это такая, качественный характер движений которой не меняется при достаточно малом изменении параметров»^[1]).

Привлечение вероятностно-статистических представлений в эргодической теории динамических систем приводит к понятию динамической системы с инвариантной мерой.

2. Применение динамических систем

Современная теория динамических систем является собирательным названием для исследований, где широко используются и эффективным образом сочетаются методы из различных разделов математики: топологии и алгебры, алгебраической геометрии и теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф.

Весьма тесно примыкает к таким современным разделам естествознания как неравновесная термодинамика, теория динамического хаоса, синергетика.

Задачей качественной теории динамических систем является нахождение стационарных решений - особых точек и предельных циклов, исследование их устойчивости, выделение областей притяжения устойчивых стационарных режимов в фазовом пространстве. Таким образом выясняется фазовый портрет системы при фиксированных значениях параметров.

Теория бифуркаций помогает в рассмотрении параметрического портрета системы, определяющего, как зависит от параметров расположение бифуркационных границ, на которых происходит изменение числа и типа стационарных решений, а значит, и изменение фазового портрета.

С позиций теории бифуркаций можно выделить две характерные группы систем. К первой отнесем системы, работающие в определенном стационарном режиме. Бифуркационная ситуация для таких систем аномальна, а опасные бифуркации представляют потенциально аварийные ситуации.

Для второй группы систем изменения фазовых портретов в результате бифуркаций - обычная штатная ситуация в процессе работы. Именно изменение числа возможных стационарных режимов делает работу системы эффективной в изменяющихся внешних условиях. Вместе с тем оказалось, что в таких системах могут возникать случаи необычного поведения, связанные с рождением области заторможенного движения в результате опасных бифуркаций.

Проиллюстрируем применения общих закономерностей, полученных при теоретическом исследовании поведения динамических систем в окрестности опасных бифуркационных границ, к решению прикладных задач в конкретных динамических системах второй группы.

Теоретическое исследование динамического поведения реального объекта требует создания его математической модели. Во многих случаях процедура разработки модели состоит в составлении математических уравнений на основе физических законов. Обычно эти законы формулируются на языке дифференциальных уравнений. В результате координаты состояния системы и ее параметры оказываются связанными между собой, что позволяет приступить к решению дифференциальных уравнений при различных начальных условиях и параметрах.

Вообще говоря, получение хорошей математической модели является искусством. Дело в том, что математическую модель динамической системы желательно максимально упростить. В то же время при упрощении уравнений не должно исчезнуть описание тех особенностей поведения, которые предстоит исследовать (недопустимо выплеснуть воду вместе с ребенком).

Главным критерием здесь является соответствие математической модели описываемым реальным процессам. Это определяется сравнением результатов теоретического расчета с результатами эксперимента на конкретном объекте. Модель заслуживает особого признания, если с ее помощью удается теоретически обнаружить новые особенности поведения, которые затем подтверждаются экспериментально. Может оказаться, что математическая модель разработана специалистами по прикладным наукам, а новые явления в поведении этой модели (и соответствующей реальной системы) обнаружены специалистами по теории динамических систем.

2.2 Математическая модель управляемого судна

Следуя общему правилу максимального упрощения модели, рассматривается поведение судна в горизонтальной плоскости, на тихой воде и при отсутствии ветра. Дополнительно полагают, что скорость судна постоянна. Второй закон динамики для поступательного движения устанавливает зависимость ускорения от суммы действующих на судно сил, а для вращательного движения вокруг вертикальной оси - зависимость углового ускорения от суммы действующих на судно моментов.

Силы и моменты связаны с инерционными свойствами судна и воды, обусловлены вязкостью воды, а также воздействием потока на корпус судна и руль. Наиболее удобными координатами состояния судна оказались координаты его центра тяжести x и y, угол курса y, угловая скорость вращения вокруг вертикальной оси и угол дрейфа в между направлением скорости судна v и его продольной осью симметрии (рис. 1, а).

Если судно идет прямолинейным курсом с неотклоненным рулем (u = 0), то его продольная ось совпадает с направлением скорости (в = 0). В силу симметрии корпуса поперечные силы и момент отсутствуют и, следовательно, угловая скорость w = 0. Этот стационарный режим будет устойчивым в том случае, если при возникновении незначительных w, а вслед за этим и угла в, то есть появлении несимметричного обтекания, возникающие силы и моменты заставляют судно возвращаться в исходное состояние.

Аналогичные рассуждения можно привести и для случая u ? 0. Здесь стационарным режимом будет движение по окружности (установившаяся циркуляция) с постоянными угловой скоростью w и углом дрейфа в. С ростом угла отклонения руля u радиус циркуляции уменьшается. Режим устойчив, если при случайных отклонениях от w, в возникающие момент и поперечная сила возвращают судно к исходному режиму циркуляции. Зависимость стационарных состояний w от параметра управления u (положения руля) для устойчивого судна приведена на рис. 1, б (кривая 1 ).

Эту зависимость называют диаграммой управляемости судна. Наиболее важный ее участок - окрестность начала координат. Наклон кривой здесь характеризует реакцию судна на незначительные отклонения руля при прямолинейном движении. Чем круче этот участок, тем выше управляемость (рис. 1, б, кривая 2 ). Как видно из рисунка, в случае устойчивого судна любому u соответствует единственное стационарное решение. На фазовой плоскости оно соответствует особой точке - устойчивому узлу (рис. 3, а).

Подчеркнем, что диаграмма управляемости представляет статическую характеристику. Определяемые с ее помощью значения w(u) достигаются в результате завершения переходного процесса. В обычном же режиме работы руль находится в отклоненном положении незначительное время, за которое величина w не достигает установившегося значения.

Поэтому необходимость значительного повышения маневренности потребовала еще большего изменения диаграммы управляемости (рис. 1, б, кривая 3). В результате движение судна на прямом курсе оказалось неустойчивым. Участок кривой 3 (рис. 1, б ), относящийся к неустойчивым стационарным режимам, изображен пунктиром. На фазовой плоскости он соответствует особой точке - седлу (рис. 4, а). Естественно, что в этом случае для удерживания судна в окрестности неустойчивого стационарного режима необходимо соответствующее воздействие управляющего органа u(ф).

Приведенные рассуждения об устойчивости и неустойчивости судна можно проиллюстрировать на примере простейшей механической системы, изображенной на рис. 2. Симметричная прозрачная ванна с крутыми боковыми стенками заполнена достаточно вязкой жидкостью, и в нее помещен шар. Случаю неотклоненного руля и устойчивой особой точки соответствует рис. 2, а. Здесь в случае отклонения шара от равновесного состояния произойдет восстановление исходной ситуации. При этом в движении к состоянию равновесия выделяются два этапа: сначала быстрое скатывание по боковой стенке, затем медленное перемещение вдоль дна ванны.

Неустойчивому на прямом курсе судну соответствует рис. 2, б, который иллюстрирует поведение системы в окрестности седла. При отклонении шара от равновесного состояния строго в поперечном направлении он будет стремиться вернуться в ту же точку. Эта особая траектория S соответствует сепаратрисе седла и является границей притяжения двух устойчивых равновесных состояний. Поэтому смещение шара в любом другом направлении приведет к дальнейшему его перемещению в одно из двух возможных устойчивых равновесных состояний. Отклонению руля в нашей интерпретации соответствует деформация нижней части ванны, нарушающая симметрию между левой и правой сторонами. Рис. 2, в отвечает случаю u > u_кр . Следует отметить существование пологого участка, на котором скорость движения падает. Он расположен между более крутыми участками.

Рассматриваемая математическая модель управляемого судна описывается системой пяти дифференциальных уравнений первого порядка. На первом этапе эти уравнения получают в физических переменных и параметрах, измеряемых в обычных единицах. Далее осуществляют преобразование к так называемым безразмерным переменным и параметрам. Путем специального выбора масштабов удается существенно упростить как сами уравнения (часть коэффициентов становятся равными единице), так и смысловую интерпретацию получаемых результатов.

С позиций качественной теории и теории бифуркаций динамических систем для наших целей оказывается достаточным исследовать уравнения (1), (2), то есть фазовые портреты в плоскости w, в. Координаты особых точек w, в являются корнями квадратного уравнения, получаемого после приравнивания нулю правых частей этих уравнений. Именно таким образом получают диаграмму управляемости.

В результате приходим к следующей математической задаче. Имеется нелинейная система с изменяющимся в процессе ее управляемого движения числом возможных стационарных режимов. При отсутствии управления (u = 0) наряду с неустойчивым стационарным решением (рабочий режим) существует еще пара устойчивых решений. С ростом сигнала управления при | u | = u_кр происходит слияние неустойчивого решения с одним из устойчивых и последующее их исчезновение (рис. 1, б). Таким образом, при | u | > u_кр в системе остается единственное устойчивое решение и, казалось бы, проблема управления решается элементарно.

Оказывается, однако, что разумная идея получения высокой управляемости объекта за счет неустойчивости основного режима при сигналах управления | u | < u_кр мстит за нарушение традиций и в случаях | u | > u_кр . Проявляет себя эффект бифуркационной памяти. Фазовые траектории пространства состояний "вспоминают" об опасной бифуркации, замедляя движение системы при прохождении участка, на котором умерла особая точка седло-узел.

2.2 Проявление эффекта фазового пятна - понижение управляемости и начальная неуправляемость

Особенности поведения системы, связанные с бифуркациями исчезновения или рождения седло-узловой особой точки, рассматривались в статье. На рис. 3 представлено изменение характера переходного процесса в зависимости от длительности движения в фазовом пятне. Чем ближе к центру пятна проходит фазовая траектории (рис. 3, а), тем положе соответствующий участок переходного процесса и дольше он преодолевается (рис. 3, б ).

Поэтому непосредственное и простое приложение результатов теории к проблеме управляемости судов заключается в целенаправленном просмотре фазовых портретов при отклонении руля, превышающем критическое значение, и построении фазовых пятен. Оказалось, что с увеличением угла перекладки руля размеры пятна не изменяются. Однако показатель заторможенности движения внутри него уменьшается. Поэтому самые общие рекомендации предотвращения пониженной управляемости состоят в том, чтобы при необходимости маневра в сложных условиях отклонение руля было не просто больше критического значения (как рекомендуют учебники и справочники по судовождению исходя из статической диаграммы управляемости), а превышало бы его в 2-4 раза.

Более сложной задачей является теоретическое прогнозирование конкретной аварийной ситуации, при которой система "забрасывается" в фазовое пятно и при этом угловая скорость судна оказывается нежелательного направления. В этом случае при правильном отклонении руля судно на какое-то время будет вращаться в противоположную сторону. Если подобная ситуация возникает вне фазового пятна (траектория 4 на рис. 3, а), то правильное управление быстро переведет систему в послушное состояние. Замедление реакции системы при ее попадании в область пятна (траектория из точки в₀) может привести к аварии.

Описанная ситуация возможна при внезапном исчезновении ветра. Дело в том, что учет ветрового воздействия добавляет в правые части уравнений (1), (2) слагаемые, зависящие от направления и скорости ветра. Стационарному прямолинейному движению судна при ветре соответствует состояние w = w₀ = 0, в = в₀ ? 0. Поэтому при резком спаде ветра указанное состояние должно быть принято в качестве начальных условий переходного процесса (рис. 3, а). Далее предполагается, что руль отклонен в нужную сторону на достаточно большой угол и исследуются соответствующие фазовые траектории. Для некоторых судов проявление начальной неуправляемости усугубляется тем, что забросу в потенциально аварийную область соответствуют быстрые движения, а выходу из нее - медленные.

Оказалось, что при некоторых начальных состояниях судна даже максимально возможная перекладка руля не спасает от начальной неуправляемости: угловая скорость, курсовой угол и отклонение траектории центра тяжести судна y(ф) от исходной прямолинейной траектории начнут изменяться в нужную сторону лишь по истечении некоторого времени (ф_w , ф_y , ф_y соответственно). При рассматриваемом явлении переходный процесс имеет необычный вид. Управляемая координата в начальной стадии отклоняется в противоположную сторону.

С позиций безопасности судоходства подобные ситуации являются потенциально аварийными. Время начальной неуправляемости зависит от конструкции судна, величины начальных значений w₀ , в₀ и отклонения руля. На рис. 3, в приведены типичные переходные процессы, иллюстрирующие проявление начальной неуправляемости. Обратим внимание, что угол курса y начнет изменяться в нужную сторону лишь через 7,3 единицы времени. При длине корпуса 100 м пройденный судном путь составит 730 м. Больше 1 км судну нужно пройти, чтобы исчезло боковое смещение y(ф) в нежелательном направлении.

2.3 Стабилизация неустойчивости

Мы рассмотрели, как существование области заторможенного движения (фазового пятна) может привести к потенциально аварийным ситуациям. Вместе с тем, располагая знаниями о расположении такой области в фазовом пространстве неустойчивого судна, целесообразно в определенных случаях преднамеренно планировать прохождение через нее фазовой траектории.

В следующем примере, относящемся к проблеме стабилизации неустойчивости, речь пойдет об удерживании неустойчивого судна на прямом курсе. Обычный подход к решению задачи такой. Информация о характере отклонения судна от курса поступает от специальных датчиков и преобразуется в соответствии с определенным алгоритмом. В результате вырабатывается значение так называемой ошибки управления z(ф). Эта функция, а также характеристика привода рулевого устройства и определяют угол отклонения руля u(z). Процедура проектирования подобных систем автоматического управления хорошо отработана.

Мы подойдем к решению задачи, опираясь на специфическую для судна бифуркационную картину. Случай потери устойчивости в симметричной системе сопровождается в силу симметрии рождением пары несимметричных устойчивых особых точек. В случае судна это левая и правая самопроизвольные циркуляции при неотклоненном руле. Естественно, что появляются две области притяжения устойчивых точек, разделенные некоторой границей S, которая совпадает с одной из сепаратрис седла (рис. 4, а).

Каковы могут быть переходные режимы в окрестности границы? Пусть два исходных состояния лежат сколь угодно близко друг к другу, но по разные стороны от границы S. В соответствии с теоремой о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных значений начинающиеся в рассматриваемых точках две фазовые траектории должны оставаться близкими в течение определенного времени. Следовательно, они должны приводить систему в окрестность седла. Напомним, что в малой окрестности особых точек фазовая скорость системы V может быть сколь угодно малой. Поэтому, чем ближе к седлу проходит траектория, тем более заторможенным становится движение. Область заторможенного движения (фазовое пятно) в окрестности седла находится совершенно аналогично случаю бифуркации седло-узел, рассмотренному в статье.

Выбирается фазовая траектория, начинающаяся в малой окрестности седла M₂ и заканчивающаяся в узле M₃ (рис. 4, а). Очевидно, что в конечной точке участка фазовой траектории M₂M₃ фазовая скорость V3 = 0. Следовательно, на этом участке должна быть точка (пусть M_b), фазовая скорость в которой V_b максимальна. Точка M_b расположена на границе пятна, а сама граница фазового пятна определяется как геометрическое место точек с такой же скоростью (рис. 4, а).

Зависимость характера переходного процесса неуправляемого судна (u = 0) от близости фазовой траектории к сепаратрисе изображена на рис. 4, б. Красным цветом выделена узкая полоса, соответствующая допустимому отклонению. Теперь мы можем сформулировать алгоритм эффективной стабилизации судна на курсе. Включать рулевое управление следует как обычно, когда характеризующие отклонение от курса координаты выходят за допустимые пределы. Убирать же руль в нейтральное положение нужно необычно, в момент, после которого состояние судна оказалось бы на сепаратрисе. Естественно, что при этом необходимо разработать алгоритм определения положения сепаратрисы. Описанный подход к созданию авторулевого позволил существенно понизить частоту перекладок руля при улучшении показателей качества управления.

Если использовать наглядный аналог неустойчивого судна (рис. 2, б, в), то удерживание шара в центре ванны сводится к управлению соответственно левой или правой сторонами дна. Эффективность стабилизации возрастет, если при перекатывании шара с одной стороны в другую сбрасывать управление (рис. 2, б ) в момент, когда шар окажется на границе S.

дискретный судно управляемость

Заключение

В современной науке понятие динамической системы охватывает системы практически любой природы -- физические, химические, биологические, экономические, социальные и др. При этом системы характеризуются различной внутренней организацией--жестко-детерминированные, стохастические, нелинейные, системы с элементами самоорганизации, самоорганизующиеся.

Важнейшим свойством динамических систем является их устойчивость, т. е. сохранение системой своей базовой структуры и основных выполняемых функций в течение определенного времени и при относительно небольших и разнообразных внешних воздействиях и внутренних возмущениях. Устойчивость есть внутреннее свойство систем, а не результат внешнего воздействия. Представления же о развитии этих систем отражают такие изменения их структурной организации, которые ведут к более эффективному выполнению системой своих основных функций. Качественные перестройки систем анализируются в теории катастроф, которая рассматривается как ветвь общей теории динамических систем.

Развитие представлений о динамических системах связано с переходом к познанию все более сложных систем. При этом особую роль приобретает изучение динамики внутренних свойств систем. В случае механических систем действие внутренних факторов сводилось к силам инерции. По мере усложнения систем возрастает значение внутренних факторов. На первый план выходят проблемы изучения источников внутренней активности систем и природы их целенаправленного функционирования и поведения.

Литература

1. Фейгин М.И. Особенности поведения динамических систем в окрестности опасных бифуркационных границ // Соросовский Образовательный Журнал. 1999. № 7. С. 122-127.

2. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б., Подлазов А.В. Нелинейная динамика: подходы, результаты, надежды. М.: УРСС, 2006.

3. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Глава I, Непрерывные и дискретные детерминированные системы// Математическая теория конструирования систем управления. -- М.: Высшая школа, 2003.-- 614с.

4. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения.--М.:Наука, 1966.

Размещено на Allbest.ru