Расчет доверительного интервала для математического ожидания

Размещено на http://www.allbest.ru/

Российский Химико-Технологический Университет

им. Д. И. Менделеева

Кафедра стандартизации и сертификации

Курсовая работа

по стандартизации и сертификации

Выполнила:

Студентка группы И-44

Омелюхина Ксения

Проверил:

Иванов В.В.

Москва 2008 г.

На ста самолетах замерено давление в баллоне воздушной системы ( в ат.):

Содержание работы

Найти оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х

Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии соответствующие заданной доверительной вероятности (1-)=0,85

Оценить вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал 0,8x 1,1x

Для этой вероятности найти доверительный интервал, соответствующий заданной доверительной вероятности (1-)=0,8

Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины Х

Найти и построить доверительные области для плотности распределения f(x) и функции распределения F(X), соответствующие заданной доверительной вероятности (1-)=0,85 для f(x) и (1-)=0,9 для F(X)

Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения

Используя критерии согласия ч² и Колмогорова проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного распределения с истинным законом при заданном уровне значимости р=0,01

Решение

Находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n=100.

Выборочное среднее:

Рассчитываем доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, предварительно задав доверительную вероятность (1-б)=0,85 . Тогда по формуле:

По таблице Лапласа находим е_б=1,44.

Доверительный интервал для математического ожидания:

Mx₁ = 1002.22- 1,44М

Mx₂=1002.22+1,44М

Доверительный интервал для дисперсии:

Dx₁ = = 9042.94 Dx₂=

= 13651.05

следовательно, искомые доверительные интервалы будут иметь вид:

987.1597 MX 1017.280316 9042.938 DX 13651.04565

3. Находим точечную оценку вероятности попадания случайной величины Х в интервал . Т.к. в этот интервал попало m=82 экспериментальных значения, то искомая оценка будет равна:

4. Рассчитываем доверительный интервал для вероятности Р(х), оцененной в предыдущем пункте.

Пусть в этом случае доверительная вероятность равна (1-б)=0,8. Тогда е_б=1,28, а искомый интервал имеет вид

5. Построим гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины Х

1) Для построения гистограммы Г(х) заключаем все экспериментальные данные в интервал (711;1352) и разбиваем его на 10 равных разрядов, каждый из которых длинной 64.1.

Значение гистограммы Г(x) находим по формуле :

,

где - число экспериментальных точек, попавших в этот разряд ;

- его длина.

величина интервала:

количество разрядов: k = 10

величина разряда:

Затем рассчитываем следующую таблицу:

Значение гистограммы Г (х)

Размещено на http://www.allbest.ru/

График гистограммы представлен на рис.1:

2) Построение эмпирической функции распределения случайной величины.

Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле:

,

где - число экспериментальных точек, лежащих левее Х.

Таблица значений F (x):

График эмпирической функции распределения случайной величины представлен на рис. 2:

6. Находим доверительные области для распределения f(х) и функции распределения F(х)

1) Построение доверительной области для плотности распределения f (x) соответствующей заданной доверительной вероятности (1-)=0,85

- для каждого разряда находим частоту попадания случайной величины Х

где n_i - число экспериментальных точек, попавших в i-ый разряд

Это было определено в (5) пункте.

- находим доверительную вероятность (1-б₁) для построения доверительной области на каждом разряде:

(1-б₁) = 1 - б/r, r = 12 - число разрядов, включая полубесконечные.

(1- б)=0,85 б=0,15

(1-б₁) = 1 - б/r=1-0,15/12=0,9875

- находим величину е_б из условия: 2Ц(е_б) = 1 - б₁, Ц(е_б) - функция Лапласа

Ц(е_б) = (1 - б₁)/2 = 0,9875/2=0.49375

дисперсия доверительный интервал ожидание

По таблице для функции Лапласа находим е_б = 2,5

- для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для вероятности попадания случайной величины в этот разряд по формулам в (4) пункте.

- для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для плотности распределения: и (для полубесконечных разрядов считаем, что они лежат в доверительной области )

Рассчитываем и строим следующую таблицу.

Гистограмма с доверительной областью изображена на рис. 3:

2) Построение доверительной области для функции распределения F (x):

- (1 - б) = 0,90 по таблице Колмогорова = 1,23

- максимальное расхождение D истинной функции распределения и эмпирической функции: D =

- искомая область выражается следующим образом:

F (x)

Функция распределения является вероятностью, следовательно, доверительная область для нее не может распространяться ниже нуля и выше единицы.

рассчитываем доверительную область для функции распределения F(х).

Таблица доверительных границ для F(x):

График эмпирической функции распределения F(x) с доверительной областью представлен на рис.4:

7. Сглаживание гистограммы и эмпирической функции распределения подходящим законом распределения

Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть нормальное распределение с функцией:

где Ф(u) - функция Лапласа.

и с плотностью:

где - исправленная дисперсия.

1) Определим F_г(Х) для каждого Х, полученные результаты занесем в таблицу:

Эмпирическая F(X) и гипотетическая F_г(Х) функции распределения представлены на рис.5:

2) Определим f_г(x) для каждого Х, полученные результаты занесем в таблицу:

График для плотности распределения представлен на рисунке 6:

8. Используя критерии согласия ч² и Колмогорова проверим правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного распределения с истинным законом при заданном уровне значимости р=0,01

1) Для проверки гипотезы H₀:F(x)=F_Г (х) выбираем например уровень значимости б=0,01 и используем вначале критерий согласия ч². Его экспериментальное значение, согласно формуле:

ч²_э= 1.654896

А его гипотетическое значение при выбранном уровне значимости б=0,01 и числе степеней свободы s=12-1-2=9 согласно условию равно ч²_б=21,666. Таким образом, и, следовательно, гипотеза Н₀ по критерию согласия ч² является правдоподобной.

2) Теперь проверим ту же самую гипотезу с помощью критерия согласия Колмогорова. Максимальное различие между гипотетической и эмпирической функциями распределения в этом случае равно (см. рис. 5)

откуда получаем экспериментальное значение критерия Колмогорова:

Гипотетическое значение того же самого критерия при уровне значимости б=0,01 (см. табл. Колмогорова) равно л_б=1,63. Таким образом и, следовательно, гипотеза Н₀ является правдоподобной также и по критерию Колмогорова.

Размещено на Allbest.ru