Моделирование экономических процессов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Имеются данные за 5 месяцев года о потребительских расходах на душу населения (у, тыс. руб.), средней заработной плате и социальных выплатах (х, тыс. руб.) по 16 районам региона. Данные приведены в таблице.

Районы	Март
	y	x
1	440	1310
2	525	1490
3	450	1250
4	240	1280
5	545	1710
6	447	1497
7	469	1312
8	435	903
9	442	787
10	605	1012
11	352	1049
12	405	1207
13	376	1221
14	462	1035
15	505	1064
16	500	1072

Требуется

1. Рассчитать параметры уравнений регрессий y = a + bx + е и y = a + b₁x + b₂x² + е.

2. Оценить тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.

3. Рассчитать средний коэффициент эластичности и дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Рассчитать среднюю ошибку аппроксимации и оценить качество модели.

5. С помощью F-статистики Фишера (при б = 0,01) оценить надежность управления регрессий.

6. Рассчитать прогнозное значение y_пр, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определить доверительный интервал прогноза для б = 0,01.

Решение

1. Линейная регрессия

y = a + bx + е.

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу 1.

Таблица 1.

Районы	y	x	xy	x2	y2	y-?	x-	(y-?)2	(x-)2	y	y-y	(y-y)2	A(%)
1	440	1310	576400	1716100	193600	-9,875	110,063	97,516	12113,754	453,679	-13,6795	187,1277	3,109
2	525	1490	782250	2220100	275625	75,125	290,063	5643,766	84136,254	459,901	65,09859	4237,826	12,400
3	450	1250	562500	1562500	202500	0,125	50,063	0,016	2506,254	451,605	-1,60548	2,577565	0,357
4	240	1280	307200	1638400	57600	-209,875	80,063	44047,516	6410,004	452,642	-212,642	45216,82	88,601
5	545	1710	931950	2924100	297025	95,125	510,063	9048,766	260163,754	467,506	77,49398	6005,317	14,219
6	447	1497	669159	2241009	199809	-2,875	297,063	8,266	88246,129	460,143	-13,1434	172,7484	2,940
7	469	1312	615328	1721344	219961	19,125	112,063	365,766	12558,004	453,749	15,2514	232,6053	3,252
8	435	903	392805	815409	189225	-14,875	-296,938	221,266	88171,879	439,611	-4,61094	21,2608	1,060
9	442	787	347854	619369	195364	-7,875	-412,938	62,016	170517,379	435,601	6,398757	40,94409	1,448
10	605	1012	612260	1024144	366025	155,125	-187,938	24063,766	35320,504	443,379	161,6213	26121,45	26,714
11	352	1049	369248	1100401	123904	-97,875	-150,938	9579,516	22782,129	444,658	-92,6576	8585,438	26,323
12	405	1207	488835	1456849	164025	-44,875	7,063	2013,766	49,879	450,119	-45,1191	2035,735	11,141
13	376	1221	459096	1490841	141376	-73,875	21,063	5457,516	443,629	450,603	-74,6031	5565,616	19,841
14	462	1035	478170	1071225	213444	12,125	-164,938	147,016	27204,379	444,174	17,82629	317,7767	3,859
15	505	1064	537320	1132096	255025	55,125	-135,938	3038,766	18479,004	445,176	59,82387	3578,895	11,846
16	500	1072	536000	1149184	250000	50,125	-127,938	2512,516	16368,004	445,453	54,54734	2975,412	10,909
Сумма	7198	19199	8666375	23883071	3344508				845470,938			105297,6	238,019
Сред.знач.	449,875	1199,938	541648,4	1492692	209031,8								14,876
у	81,512	229,874
у2	6644,234	52841,934

Получено уравнение регрессии:.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

т.к. значение коэффициента положительное и близкое к 0, то связь межу Х и Y прямая и слабая.

Это означает, что 1% вариации потребительских расходов на душу населения (y) объясняется вариацией фактора x - средняя заработная плата и социальные выплаты.

3. Сравнить влияние факторов на результат можно также при помощи среднего коэффициента эластичности:

.

Вычисляем:

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 0,092%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.

4. Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

Средняя ошибка аппроксимации вышла за допустимые пределы 14,876% > 8-10%, что говорит о неудачном подборе модели регрессии.

5. Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью -критерия Фишера. Фактическое значение -критерия:

Табличное значение критерия при уровне значимости б = 0,01 и степенях свободы k₁ =1 и k₂ = 16 - 2 =14 и составляет F_табл = 8,862. Так как , то гипотеза Н0 о статистической незначимости уравнения признается, т.е. уравнение регрессии признается статистически не значимым.

6. Рассчитаем прогнозное значение y_пр, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения.

Ошибка прогноза составит:

,



Предельная ошибка прогноза, которая в 99% случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза:

Выполненный прогноз является надежным (р = 1 - б = 1 -0,01 = 0,99) и находится в пределах от 385,704 руб. до 518,653 тыс. руб.

1. Полином второй степени y = a + b₁x + b₂x² + е.

1. Для расчета параметров уравнения параболистической регрессии строим расчетную таблицу 2.

Таблица 2.

Районы	y	x	xy	x2	y2	y-?	x-	(y-?)2	(x-)2	y	y-y	(y-y)2	A(%)
1	440	1310	1716100	576400	193600	-9,875	110,063	97,516	12113,754	433,023	6,977	48,685	1,586
2	525	1490	2220100	782250	275625	75,125	290,063	5643,766	84136,254	462,777	62,223	3871,71	11,852
3	450	1250	1562500	562500	202500	0,125	50,063	0,016	2506,254	429,058	20,942	438,5714	4,654
4	240	1280	1638400	307200	57600	-209,875	80,063	44047,516	6410,004	430,668	-190,668	36354,33	79,445
5	545	1710	2924100	931950	297025	95,125	510,063	9048,766	260163,754	535,526	9,474	89,75236	1,738
6	447	1497	2241009	669159	199809	-2,875	297,063	8,266	88246,129	464,475	-17,475	305,3841	3,909
7	469	1312	1721344	615328	219961	19,125	112,063	365,766	12558,004	433,206	35,794	1281,216	7,632
8	435	903	815409	392805	189225	-14,875	-296,938	221,266	88171,879	464,519	-29,519	871,3777	6,786
9	442	787	619369	347854	195364	-7,875	-412,938	62,016	170517,379	498,579	-56,579	3201,143	12,801
10	605	1012	1024144	612260	366025	155,125	-187,938	24063,766	35320,504	442,655	162,345	26356,05	26,834
11	352	1049	1100401	369248	123904	-97,875	-150,938	9579,516	22782,129	437,466	-85,466	7304,438	24,280
12	405	1207	1456849	488835	164025	-44,875	7,063	2013,766	49,879	428,048	-23,048	531,1981	5,691
13	376	1221	1490841	459096	141376	-73,875	21,063	5457,516	443,629	428,209	-52,209	2725,756	13,885
14	462	1035	1071225	478170	213444	12,125	-164,938	147,016	27204,379	439,296	22,704	515,4671	4,914
15	505	1064	1132096	537320	255025	55,125	-135,938	3038,766	18479,004	435,685	69,315	4804,564	13,726
16	500	1072	1149184	536000	250000	50,125	-127,938	2512,516	16368,004	434,811	65,189	4249,572	13,038
Сумма	7198	19199	23883071	8666375	3344508			106307,750	845470,938			92949,22	232,771
Сред.знач.	449,875	1199,938	1492691,938	541648,438	209031,8								14,548
у	81,512	229,874
у2	6644,234	52841,934

Для того, чтобы определить модель, построим график по исходных данным. Добавим в Excel линию тренда - полином второй степени.

Получено уравнение регрессии:

.

2. Найдем коэффициент детерминации:

Это означает, что 12,6% вариации потребительских расходов на душу населения (y) объясняется вариацией фактора x - средняя заработная плата и социальные выплаты.



т.к. значение коэффициента положительное и 0,3 < r < 0,5, то связь межу Х и Y прямая и умеренная.

3. Сравнить влияние факторов на результат можно также при помощи среднего коэффициента эластичности:

.

Вычисляем:

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.

4. Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

Средняя ошибка аппроксимации вышла за допустимые пределы 14,548% > 8-10%, что говорит о неудачном подборе модели регрессии.

5. Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью -критерия Фишера. Фактическое значение -критерия:

Табличное значение критерия при уровне значимости б = 0,01 и степенях свободы k₁ =2 и k₂ = 16 - 2 - 1 =13 и составляет F_табл = 6,701. Так как , то гипотеза Н0 о статистической незначимости уравнения признается, т.е. уравнение регрессии признается статистически не значимым.

6. Рассчитаем прогнозное значение y_пр, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения.

Ошибка прогноза составит:

,

Предельная ошибка прогноза, которая в 99% случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза:

Выполненный прогноз является надежным (р = 1 - б = 1 -0,01 = 0,99) и находится в пределах от 363,698 руб. до 495,319 тыс. руб.

Задача 2

Имеются данные за 12 месяцев года по 5 районам города о рынке вторичного жилья (у - стоимость квартиры, тыс. у.е., х₁ - размер жилой площади, м², x₂ - размер кухни, м²).

№	y	x1	x2
1	23,0	22,8	5,0
2	26,8	27,7	5,2
3	28,0	34,5	6,0
4	18,4	26,4	5,1
5	30,4	19,8	4,8
6	20,8	17,9	4,5
7	22,4	25,2	5,4
8	21,8	20,4	4,9
9	18,5	20,7	5,0
10	23,5	21,4	5,2
11	16,7	19,6	4,5
12	20,4	24,5	4,9

Требуется

1. Рассчитать параметры линейного уравнения множественной регрессии.

2. Дать оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.

3. Оценить статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (б = 0,01).

4. Рассчитать среднюю ошибку аппроксимации. Сделать вывод.

5. Составить матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и укажите информативные факторы.

Решение

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

№	y	x1	x2	yx1	yx2	x1x2	x12	x22	y2
1	23,0	22,8	5,0	524,40	115,00	114,000	519,84	25,00	529,00
2	26,8	27,7	5,2	742,36	139,36	144,040	767,29	27,04	718,24
3	28,0	34,5	6,0	966,00	168,00	207,000	1190,25	36,00	784,00
4	18,4	26,4	5,1	485,76	93,84	134,640	696,96	26,01	338,56
5	30,4	19,8	4,8	601,92	145,92	95,040	392,04	23,04	924,16
6	20,8	17,9	4,5	372,32	93,60	80,550	320,41	20,25	432,64
7	22,4	25,2	5,4	564,48	120,96	136,080	635,04	29,16	501,76
8	21,8	20,4	4,9	444,72	106,82	99,960	416,16	24,01	475,24
9	18,5	20,7	5,0	382,95	92,50	103,500	428,49	25,00	342,25
10	23,5	21,4	5,2	502,90	122,20	111,280	457,96	27,04	552,25
11	16,7	19,6	4,5	327,32	75,15	88,200	384,16	20,25	278,89
12	20,4	24,5	4,9	499,80	99,96	120,050	600,25	24,01	416,16
Сумма	270,7	280,9	60,5	6414,93	1373,31	1434,34	6808,85	306,81	6293,15
Сред. знач.	22,558	23,408	5,042	534,578	114,443	119,528	567,404	25,568	524,429
у	3,943	4,411	0,386
у2	15,6	19,454	0,149

1. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :

либо воспользоваться готовыми формулами:

;;

.

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

Находим

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

2. Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

.

Вычисляем:

При увеличении размера жилой площади на 1% стоимость квартиры уменьшается на 0,171% от своего среднего значения. Средний коэффициент эластичности |Э₁| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

При увеличении размера кухни на 1% стоимость квартиры увеличивается на 1,439% от своего среднего значения. Средний коэффициент эластичности |Э₂| > 1. Следовательно, он существенно влияет на результативный признак Y.

3. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью -статистики Стьюдента.

Табличное значение -критерия для числа степеней свободы df = n - 2 - 1 =9 и б =0,01 составит _tтабл = 3,250.

Случайные ошибки

Тогда

Фактические значения -статистики меньше табличного значения:



поэтому статистическая значимость коэффициентов регрессии b₁ и b₂ не подтверждается, т.е. параметры статистически не значимы

Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

,

где

- определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

- определитель матрицы межфакторной корреляции.

Коэффициент множественной корреляции

Коэффициент множественной корреляции показывает на умеренную связь всего набора факторов с результатом.

Найдем коэффициент детерминации

С помощью F-критерия Фишера оценим статистическую надежность уравнения регрессии.

Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерий Фишера:

.

В нашем случае фактическое значение -критерия Фишера:

Получили, что F_факт < F_табл = 8,022 (при б = 0,01, k₁ = 2, k₂ = 9), т.е. с вероятность 0,99 делаем вывод о статистической не значимости уравнения в целом. Другими словами, уравнение регрессии статистически ненадежно.

4. Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации. Сделаем необходимые дополнительные расчеты.

№	y	x1	x2	y	A
1	23,0	22,8	5,0	22,390	0,027
2	26,8	27,7	5,2	22,870	0,147
3	28,0	34,5	6,0	26,901	0,039
4	18,4	26,4	5,1	22,441	0,220
5	30,4	19,8	4,8	21,597	0,290
6	20,8	17,9	4,5	19,979	0,039
7	22,4	25,2	5,4	24,570	0,097
8	21,8	20,4	4,9	22,142	0,016
9	18,5	20,7	5,0	22,736	0,229
10	23,5	21,4	5,2	23,909	0,017
11	16,7	19,6	4,5	19,698	0,180
12	20,4	24,5	4,9	21,466	0,052
Сумма	270,700	280,900	60,500	270,700	1,352
Сред. знач.	22,558	23,408	5,042	22,558	0,113

Качество построенной модели оценивается как плохое, так как превышает 8-10%. Прогнозировать по данной модели не целесообразно.

5. Составим матрицы парных и частных коэффициентов корреляции.

Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

Матрица парных коэффициентов корреляции примет вид

	y	x1	x2
y	1	0,375	0,467
x1	0,375	1	0,887
x2	0,467	0,887	1

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

Матрица частных коэффициентов корреляции примет вид

	y	x1	x2
y	1	-0,096	0,314
x1	-0,096	1	0,869
x2	0,314	0,869	1

Можно сделать вывод, что ни один из факторов не следует использовать при построении регрессионного уравнения.

Задача 3

Модель имеет вид.

Требуется

1. Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицируемо ли каждое уравнение модели.

2. Определить тип модели.

3. Определить метод оценки параметров модели.

4. Описать последовательность действий при использовании указанного метода.

Решение

1. Модель имеет 3 эндогенные переменные (Y₁, Y₂, Y₃,) и 3 экзогенные переменные (х₁, х₂, х₃).

Проверим необходимое условие идентификации модели:

D + 1 = H - уравнение идентифицируемо;

D + 1 < H - уравнение неидентифицируемо;

D + 1 > Н- уравнение сверхидентифицируемо,

где H - число эндогенных переменных в уравнении, D - число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

1 уравнение: D = 1 (х₂), H = 2 (Y₁, Y₂), D + 1 = H, то есть 1 + 1 = 2, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

2 уравнение: D = 2 (х₁, х₃), H = 2 (Y₁, Y₂), D + 1 > H, то есть 2 + 1 > 2, следовательно, уравнение сверхидентифицируемо.

3 уравнение: D = 1 (х₁), H = 1 (Y₃), D + 1 > H, то есть 1 + 1 > 1, следовательно, уравнение сверхидентифицируемо.

Следовательно, необходимое условие идентифицируемости выполнено.

Проверим достаточное условие:

В 1 уравнении нет переменных х₂, Y₃.

Строим матрицу

	Y3	x2
2 ур.	0	b22
3 ур.	-1	b32

В 2 уравнении нет переменных х₁, х₃, Y₃.

Строим матрицу

	Y3	x1	x3
1 ур.	0	b11	b13
3 ур.	-1	0	b33

В 3 уравнении нет переменных х₁, Y₁, Y₂.

Строим матрицу

	Y1	Y2	x1
1 ур.	-1	C12	b11
2 ур.	C21	-1	0

Следовательно, достаточное условие идентифицируемости выполнено.

2. Определим тип модели.

Так как каждое уравнение системы идентифицируемо, причем уравнение №1 идентифицируемо, уравнение №2 сверхидентифицируемо, уравнение №3 сверхидентифицируемо, то система сверхидентифицируема.

3. Определим метод оценки параметров модели.

Для оценки параметров 1-ого уравнения используют косвенный МНК.

Для оценки параметров 2-ого и 3-ого уравнений можно применить двухшаговый МНК.

4. Опишем последовательность действий при использовании указанного метода.

Алгоритм косвенного метода наименьших квадратов (КМНК) включает 3 шага:

1) составление приведенной формы модели и выражение каждого коэффициента приведенной формы через структурные параметры;

2) применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных оценок приведенных параметров;

3) определение оценок параметров структурной формы по оценкам приведенных коэффициентов, используя соотношения, найденные на шаге 1.

Алгоритм двухшагового МНК включает следующие шаги:

1) составление приведенной формы модели;

2) применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных оценок приведенных параметров;

3) определение расчетных значений эндогенных переменных, которые фигурируют в качестве факторов в структурной форме модели;

4) определение структурных параметров каждого уравнения в отдельности обычным МНК, используя в качестве факторов входящие в это уравнение предопределенные переменные и расчетные значения эндогенных переменных, полученные на шаге 1.

Задача 4

Имеются данные за 12 лет по 5 странам о годовом объеме продаж автомобилей.

Страна С
Год	Объем продаж, 100 тыс.
1986	5,2
1987	6,3
1988	4,5
1989	3,9
1990	3,8
1991	3
1992	4,8
1993	5
1994	4,6
1995	6,1
1996	6,7
1997	6,9

Требуется:

1. Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядка.

2. Обосновать выбор уравнения тренда и определите его параметры.

3. Сделать выводы.

Решение

Определим коэффициент корреляции между рядами t_y и t_y-1. Воспользуемся формулой, расчеты приведем в таблице.

t	yt	yt-1	y t-2	(yt - ?1)2	(yt-1 - ?2)2	(yt - ?3)2	(yt-2 - ?4)2	(yt - ?1)* (yt-1 - ?2)	(yt - ?3)*(yt-2 - ?4)
1	5,2	-	-	-	-	-	-	-	-
2	6,3	5,2	-	1,551	0,090	-	-	0,374	-
3	4,5	6,3	5,2	0,308	1,960	0,185	0,230	-0,776	-0,206
4	3,9	4,5	6,3	1,333	0,160	1,061	2,496	0,462	-1,627
5	3,8	3,9	4,5	1,574	1,000	1,277	0,048	1,255	0,249
6	3	3,8	3,9	4,221	1,210	3,725	0,672	2,260	1,583
7	4,8	3	3,8	0,065	3,610	0,017	0,846	0,484	0,120
8	5	4,8	3	0,003	0,010	0,005	2,958	0,005	-0,120
9	4,6	5	4,8	0,207	0,010	0,109	0,006	-0,045	-0,026
10	6,1	4,6	5	1,093	0,090	1,369	0,078	-0,314	0,328
11	6,7	6,1	4,6	2,708	1,440	3,133	0,014	1,975	-0,212
12	6,9	6,7	6,1	3,406	3,240	3,881	1,904	3,322	2,719
Сумма	60,8	53,9	47,2	16,467	12,820	14,761	9,256	9,000	2,804

Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле

где



Результат говорит об умеренной зависимости между объемом продаж автомобилей текущего и непосредственно предшествующего годов и наличии во временном ряде нелинейной тенденции.

Определим коэффициент автокорреляции второго порядка по формуле:

где

Результат не подтверждает линейную тенденцию .

Для того, чтобы определить возможную модель, построим график по исходных данным.



График показывает значительные колебания объема продаж автомобилей, поэтому и не подтверждается линейная тенденция. Из графика видно, что возможно построить только полиномиальную модель (например, второй степени).

Добавим в Excel линию тренда - полином второй степени.

недвижимость продажа потребительский

По величине коэффициента детерминации (0,7352) можно судить о том, что полиномиальная модель y = 0,082x² - 0,918x + 6,5909, возможно, будет хорошего качества.

Размещено на Allbest.ru

...