Гетероскедастичность: обнаружение и методы смягчения данной проблемы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

ФГБОУ ВО «Кубанский государственный технологический

университет»

Институт экономики, управления и бизнеса

Кафедра маркетинга и управления предприятием

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

по дисциплине ЭКОНОМЕТРИКА

на тему: Гетероскедастичность: обнаружение и методы смягчения данной проблемы.

Краснодар, 2016



Содержание:

гетероскедастичность тест статистический регрессия

1. Гетероскедастичность: обнаружение и методы смягчения данной проблемы

1.1 Понятие гетероскедастичность

1.2 Обнаружение гетероскедастичности

1.3 Тесты на гетероскедастичность

1.4 Методы смягчения гетероскедастичности

Задача

Список использованных источников



1. Гетероскедастичность: обнаружение и методы смягчения данной проблемы

Гетероскедастичность (англ. heteroscedasticity) - понятие, используемое в прикладной статистике (чаще всего - в эконометрике), означающее неоднородность наблюдений, выражающуюся в неодинаковой (непостоянной) дисперсии случайной ошибки регрессионной (эконометрической) модели. Гетероскедастичность противоположна гомоскедастичности, означающей однородность наблюдений, то есть постоянство дисперсии случайных ошибок модели.

Наличие гетероскедастичности случайных ошибок приводит к неэффективности оценок, полученных с помощью метода наименьших квадратов. Кроме того, в этом случае оказывается смещенной и несостоятельной классическая оценка ковариационной матрицы МНК - оценок параметров. Следовательно, статистические выводы о качестве полученных оценок могут быть неадекватными. В связи с этим тестирование моделей на гетероскедастичность является одной из необходимых процедур при построении регрессионных моделей.

Допущение о постоянстве дисперсии остатков (D( известно как допущение о гомоскедастичности. Если это допущение нарушено, и дисперсия остатков не является постоянной, то говорят, что оценки гетероскедастичны.

На практике, для каждого i-го наблюдения определяется единственное значение , но мы говорим об определении дисперсии остатков, т.е. о множестве для каждого i-го наблюдения. Это объясняется тем, что мы имеем дело с выборочной совокупностью, а априори могли принимать любые значения на основе некоторых вероятностных распределений.

Гетероскедастичность приводит к тому, что коэффициенты регрессии не являются оценками с минимальной дисперсией, следовательно, они больше не являются наиболее эффективными коэффициентами. Вследствие, выводы, получаемые на основе t и F - статистик, а также интервальные оценки будут ненадежными. Дисперсии и, следовательно, стандартные ошибки этих коэффициентов будут смещенными. Если смещение отрицательно, то оценочные стандартные ошибки будут меньше, чем они должны быть, а критерий проверки - больше чем в реальности. Таким образом, можно сделать вывод, что коэффициент значим, когда он таковым не является. И наоборот если смещение положительно, то оценочные ошибки будут больше чем они должны быть, а критерии проверки - меньше. Значит, возможно, ошибочное принятие нулевой гипотезы.

Существует несколько формальных тестов, позволяющих обнаружить гетероскедастичность (графический анализ остатков, тест ранговой корреляции Спирмена, тест Парка, тест Голфелда-Квандта, тест Уайта).

Использование графического представления отклонений позволяет определиться с наличием гетероскедастичности. В этом случае по оси абсцисс откладываются значения x_i объясняющей переменной X (либо линейной комбинации объясняющих переменных

а по оси ординат либо отклонения либо их квадраты , i = 1, 2, ..., п. Если все отклонения находятся внутри полуполосы постоянной ширины, параллельной оси абсцисс, это говорит о независимости дисперсий от значений переменной X и их постоянстве, т.е. в этом случае выполняются условия гомоскедастичности. Графический анализ отклонений является удобным и достаточно надежным в случае парной регрессии.

Обычно не ограничиваются визуальной проверкой гетероскедастичности, а проводят ее эмпирическое подтверждение.



Тест ранговой корреляции Спирмена

При использовании данного теста предполагается, что дисперсия отклонения будет либо увеличиваться, либо уменьшаться с увеличением значений X. Поэтому для регрессии, построенной по МНК, абсолютные величины отклонений и значения х_i будут коррелированны.

Значения х_i и ранжируются (упорядочиваются по величинам). Затем определяется коэффициент ранговой корреляции:

где di - разность между рангами хi и еi, i= 1, 2, ..., п;

п - число наблюдений.

Например, если х₂₀ является 15 по величине среди всех наблюдений, а е₂₀ - 21, то d₂₀ = 15-21= - 6.

Если коэффициент корреляции Р_х,е для генеральной совокупности равен нулю, то статистика

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы v=n-2. Следовательно, если наблюдаемое значение t-статистики превышает табличное, то необходимо отклонить гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции Р_x.u, а, следовательно, и об отсутствии гетероскедастичности.

Если в модели регрессии больше чем одна объясняющая переменная, то проверка гипотезы может осуществляться с помощью t-статистики для каждой из них отдельно.

Тест Голдфелда-Квандта

Самым популярным тестом обнаружения гетероскедастичности является тест, предложенный С. Голдфелдом и Р. Квандтом.

В данном случае также предполагается, что стандартное отклонение пропорционально значению x_i переменной X в этом наблюдении, т, е.

Предполагается, что имеет нормальное распределение и отсутствует автокорреляция остатков.

Тест Голдфелда-Квандта состоит в следующем:

1. Все n наблюдений упорядочиваются по величине X.

2. Вся упорядоченная выборка после этого разбивается на три подвыборки размерностей k, (n-2k), k соответственно.

3. Оцениваются отдельные регрессии для первой подвыборки (k первых наблюдений) и для третьей подвыборки (k последних наблюдений). Если предположение о пропорциональности дисперсий отклонений значениям X верно, то дисперсия регрессии по первой подвыборке (сумма квадратов отклонений ) будет существенно меньше дисперсии регрессии по третьей подвыборке (суммы квадратов отклонений ).

4. Для сравнения соответствующих дисперсий строится следующая F-статистика:

При сделанных предположениях относительно случайных отклонений, построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободыv₁=v₂=k-m-l.

Если ,

то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется (- выбранный уровень значимости).

Тест Уайта

Если в модели присутствует гетероскедастичность, то очень часто это связано с тем, что дисперсии ошибок некоторым образом зависят от регрессоров, а гетероскедастичность отражается в остатках обычной регрессии исходной модели.

Проводится этот тест следующим образом:

1) допустим, исходная модель имеет вид:

МНК оцениваются ее параметры и получают регрессионные остатки ;

2) оценивается вспомогательная регрессия квадратов остатков на все регрессоры, их квадраты, попарные произведения и константу:

где - нормально распределенная ошибка, независимая от е_i.

Напомним, что. Однако, поскольку предполагается, что M(е) = 0, то D(е_i) = M(). Так как нам неизвестна истинная величина квадратов остатков , то вопрос о наличии гетероскедастичности решается на основе их выборочных аналогов,.

Вспомогательная регрессия имеет именно такую форму, потому что необходимо исследовать, существует ли систематическая зависимость между изменениями и какой-либо релевантной переменной модели (чтобы увидеть, что релевантными являются именно переменные, включенные во вспомогательную регрессию, следует представить ошибку в виде и возвести данное выражение в квадрат).

3) Проверяется нулевая гипотеза:

Н₀:ииии.

с помощью F- критерия Фишера.

Если фактические значения статистики превышают критические величины распределения F_расч >F_кр(б,v₁=p,v₂=n-p-1), то нулевая гипотеза о гомоскедастичности остатков отвергается, то есть делается вывод о присутствии гетероскедастичности.

Гетероскедастичность приводит к неэффективности оценок, несмотря на их несмещенность. Это может обусловить необоснованные выводы по качеству модели. Поэтому при установлении гетероскедастичности необходимо преобразовать модель с целью устранения данного недостатка.

Существует два метода смягчения проблемы гетероскедастичности. Вид преобразования зависит от того, известны или нет дисперсии , отклонений .

Первый метод, если дисперсии отклонений известны, метод взвешенных наименьших квадратов (ВНК)

Данный метод применяется при известных для каждого наблюдения значениях . В этом случае можно устранить гетероскедастичность, разделив каждое наблюдаемое значение на соответствующее ему значение дисперсии. В этом суть метода взвешенных наименьших квадратов.

Для простоты изложения опишем ВНК на примере парной регрессии:

Разделим обе части на известное :

Обозначив , получим уравнение регрессии без свободного члена, но с дополнительной объясняющей переменной Z и с «преобразованным» отклонением V, для которого выполняется условие гомоскедастичности:

Таким образом, ВМНК включает в себя следующие этапы:

1.Значения каждой пары наблюдений ( делят на известную величину . Тем самым наблюдениям с наименьшими дисперсиями придаются наибольшие «веса», а максимальными дисперсиями - наименьшие «веса». Это увеличивает вероятность получения более точных оценок.

2. По методу наименьших квадратов для преобразования значений , , строится уравнение регрессии без свободного члена с гарантированными качествами оценок.

Второй метод применяется если дисперсии отклонений неизвестны.

Для применения ВМНК необходимо знать фактические значения дисперсий . На практике такие значения известны очень редко. Следовательно, чтобы применить ВМНК, необходимо сделать реалистические предположения о значениях .

Может оказаться целесообразным предположить, что дисперсии отклонений пропорциональны значениям , что отражено на рисунке:

В этом случае (- коэффициент пропорциональности). Тогда уравнение преобразуется делением его левой и правой части на :

При этом для случайных отклонений выполняется условие гомоскедастичности. Оценив для коэффициенты и , затем возвращаются к исходному уравнению регрессии .

Если в уравнении регрессии присутствуют несколько объясняющих переменных, можно поступить следующим образом. Вместо конкретной объясняющей переменной используются значения, расчитанные по эмпирическому уравнению регрессии: . В этом случае получают следующую регрессию:

Можно сделать предположение о том, что дисперсии , отклонений пропорциональны значениям , что отражено на рисунке:

В этом случае необходимо преобразовать делением на к виду

.

При этом для случайных отклонений выполняется условие гомоскедастичности. Оценив для коэффициенты и , затем возвращаются к исходному уравнению регрессии

Для применения описанных методов значимы знания об истинных значениях дисперсий отклонений , либо предположения, какими эти дисперсии могут быть. На практике рекомендуется применять несколько методов гетероскедастичности и способов её корректировки.

ЗАДАЧА

Условие:

По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс.руб.) у от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) Х₁ и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%) Х₂.

Необходимо:

1. Рассчитать параметры линейной многофакторной модели. Пояснить экономический смысл полученных коэффициентов.

2. Оценить качество модели в целом. Сделать соответствующие выводы.

3. Оценить целесообразность включения в модель фактора Х₁ после Х₂ и Х₂ после Х₁.

4. Дать сравнительную характеристику влияния факторов на результат.

5. Оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии.

6. Предполагая прогнозные значения переменных равными Х₁=9 и Х₂=25, найти с вероятностью 0,95 дать интервальную оценку индивидуального прогнозного значения выработки продукции на одного работника.

Данные:

№п/п	У	Х1	Х2
1	10,0	6,9	13,0
2	10,0	6,9	17,0
3	10,0	6,7	18,0
4	10,0	7,0	19,0
5	10,0	6,8	20,0
6	10,0	7,8	22,0
7	11,0	8,4	22,0
8	11,0	7,4	23,0
9	11,0	8,3	23,0
10	13,0	10,8	23,0
11	12,0	9,0	24,0
12	14,0	9,4	23,0
13	12,0	9,8	23,0
14	14,0	10,2	28,0
15	15,0	11,0	31,0
16	15,0	11,2	32,0
17	15,0	11,1	33,0
18	15,0	11,5	34,0
19	17,0	12,6	35,0
20	17,0	12,0	39,0

Алгоритм решения:

1. Расчет параметров линейной многофакторной модели.

Для расчета параметров используем метод наименьших квадратов.

Суть данного метода состоит в построении и решении системы нормальных уравнений.

Данная система имеет вид:

n ^. a + x₁ ^. b₁ + x₂ ^. b₂ = ?y

?x₁^. a + ?x₁^{2 .} b₁ + ?x₁ ^. x₂ ^. b₂ = ?y ^. x₁

?x₂ ^. a + ?x₁^. x₂ ^. b₁ + ?x₂^{2 .} b₂ = ?y ^. x₂

n = 20 (количество наблюдений)

Произведем вспомогательные расчеты:

№ п/п	Y	X1	X2	YX1	YX2	X12	X22	X1* X2	Y2
1	10,0	6,9	13,0	69,0	130,0	47,61	169,0	89,7	100,0
2	10,0	6,9	17,0	69,0	170,0	47,61	289,0	117,3	100,0
3	10,0	6,7	18,0	67,0	180,0	44,89	324,0	120,6	100,0
4	10,0	7,0	19,0	70,0	190,0	49,00	361,0	133,0	100,0
5	10,0	6,8	20,0	68,0	200,0	46,24	400,0	136,0	100,0
№ п/п	Y	X1	X2	YX1	YX2	X12	X22	X1* X2	Y2
6	10,0	7,8	22,0	78,0	220,0	60,84	484,0	171,6	100,0
7	11,0	8,4	22,0	92,4	242,0	70,56	484,0	184,8	121,0
8	11,0	7,4	23,0	81,4	253,0	54,76	529,0	170,2	121,0
9	11,0	8,3	23,0	91,3	253,0	68,89	529,0	190,9	121,0
10	13,0	10,8	23,0	140,4	299,0	116,64	529,0	248,4	169,0
11	12,0	9,0	24,0	108,0	288,0	81,00	576,0	216,0	144,0
12	14,0	9,4	23,0	131,6	322,0	88,36	529,0	216,2	196,0
13	12,0	9,8	23,0	117,6	276,0	96,04	529,0	225,4	144,0
14	14,0	10,2	28,0	142,8	392,0	104,04	784,0	285,6	196,0
15	15,0	11,0	31,0	165,0	465,0	121,00	961,0	341,0	225,0
16	15,0	11,2	32,0	168,0	480,0	125,44	1 024,0	358,4	225,0
17	15,0	11,1	33,0	166,5	495,0	123,21	1 089,0	366,3	225,0
18	15,0	11,5	34,0	172,5	510,0	132,25	1 156,0	391,0	225,0
19	17,0	12,6	35,0	214,2	595,0	158,76	1 225,0	441,0	289,0
20	17,0	12,0	39,0	204,0	663,0	144,00	1 521,0	468,0	289,0
?	252,00	184,80	502,00	2 416,70	6 623,00	1 781,14	13 492,00	4 871,40	3 290,00
Среднее значение	12,60	9,24	25,10	120,835	331,15	89,057	674,60	243,57	164,50

С помощью матрицы находим параметры a, b_1, b₂

_{= =} 227 481,04

_{= =} 459 700,00

_{= =} 186 220,40

_{= =} 27 326,08

a = = = 2,0208

b₁ = = = 0,8186

b₂ = = = 0,1201

Уравнение линейной «многофакторной» (множественной) регрессии имеет вид: (зависимость Y от факторов)

= a + b_1*x₁ + b_2*x₂

= 2,0208 + 0,8186_*X₁ + 0,1201_* X₂

Вывод:

По первому фактору:

С увеличением (X₁) ввода в действие новых основных фондов всегда увеличивается на 1% (Y) выработка продукции на одного работника увеличится на 0,8186 тыс. рублей. При фиксированном значении фактора X_2.

По второму фактору:

С увеличением (X₂) удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% (Y) выработка продукции вырастет на 0,1201тыс. рублей. При фиксированном значении фактора X₁.

2. Оценка качества модели в целом.

Для оценки состоятельности модели используют критерии Фишера.

Расчетное значение данного критерия составит

F_p= * , где R² - коэффициент детерминации

n - количество наблюдений (20)

m - количество зависимых переменных (2)

R² yx₁x₂ =

r_yx - коэффициент корреляции (взаимосвязи)

r_{yx1 =} = =

= = = = = 0,9598

r_yx2 = = =

= = = = 0,9307

r_{x1 x2 =} = =

= = == 0,9092

Отсюда:

R² yx₁x₂ = = = = = 0,9405

F_p= * = = = 134,357

Табличное значение данного критерия при уровне значимости

б = 1-p=1-0,95=0,5 и в степенях свободы К₁=m=2, К₂= n-m-1=20-2-1=17 составляет 3,59

Вывод:

Поскольку полученное расчетное значение F_p =134,357 превышает табличное F_p > 3,59, то модель считается состоятельной и пригодной для составления прогноза.

3. Оценка целесообразности включения в модель фактора х₁ после х_2.

Для оценки целесообразности включения в модель фактора х₁ после х₂ используем частный критерий Фишера.

Fх₁ = * = = =13,171

Табличное значение данного критерия при уровне значимости

б = 1-p=1-0,95=0,5 и степенях свободы К₁=1, К₂=17 составляет 4,45



Вывод:

Поскольку полученное расчетное значение Fх₁ =13,171 превышает табличное Fх₁ > 4,45, то это свидетельствует о целесообразности введения в модель в начале фактора х₁, а затем фактора х₂.

4. Сравнительная характеристика влияния фактора на результат.

Для сравнительной характеристики воспользуемся средним коэффициентом эластичности (%)

= b₁* = 0,8186_* = 0,6%

= b₂* = 0,1201_* = 0,239%

Вывод:

По фактору х₁

С увеличением фактора х₁ на 1% выработка продукции возрастет на 0,6%

По фактору х₂

С увеличением фактора х₂ на 1% выработка продукции возрастет на 0,239%

Сравнивая полученные коэффициенты эластичности можно сделать вывод, что фактор х₁ оказывает наибольшее влияние на зависимую переменную (y), поскольку >

5. Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии.

С этой целью используем критерий Стьюдента

= = = 3,6292

Fx =

= = = = = 2,347

Табличное значение данного критерия при уровне значимости L=0,05 и степени свободы K=n-m-1=17 составит = 2,11

Вывод:

Анализируя полученные расчетные значения с табличным можно сделать вывод, что факторы х₁ и х₂ статистически надежны.

6. Расчет прогнозных уровней.

Точечный прогноз получают путем подстановки прогнозных уровней в уравнение регрессии.

Из условия нам известно, что:

Х₁=9,0

Х₂=25,0

= a + b_1*x₁ + b_2*x₂ = 2,0208+0,8186_*9+0,1201_*25= 2,0208+7,3674+3,0025=12,3907 тыс. рублей

Интервальный прогноз

,

где - ошибка прогнозного значения

S - стандартная ошибка

S= = = = 0,6339

= 5,74

- вектор строка вида (1 9 25)

- вектор столбец вида



=0,676

=0,6339* = 0,8206

Интервальный прогноз:

* ; *], [12,3907-0,8206*2,11; 12,3907+0,8206*2,11],

[10,659; 14,122]

Вывод:

Прогнозное значение выработки продукции при условии, что значение переменных достигнут уровней Х_1p=9,0, Х_2p=25,0 составит 12,3907 тыс. руб. и будет варьировать в интервале [10,659; 14,122]



Список литературы

1. Эконометрика: учебник / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др.; под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2006.

2. Бородич С.А. Эконометрика: учебное пособие. - Минск: ООО «Новое знание», 2005 - 408с.

3. Еремеева Н.С., Лебедева Т.В. Эконометрика: учебн. пособие для вузов. - Оренбург: ОАО «ИПК «Южный Урал», 2010. - 296 с.

4. Кремер Н.Ш. Эконометрика: учебник (Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко). - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006 - 311с.

Размещено на Allbest.ru

...