Вероятностно-статистические методы принятия решений

Рассмотрим пример применения дискриминантного анализа для принятия решений в технической диагностике. Пусть по результатам измерения ряда параметров продукции необходимо установить наличие или отсутствие дефектов. В этом случае для элементов обучающей выборки указаны дефекты, обнаруженные в ходе дополнительного исследования, например, проведенного после определенного периода эксплуатации. Дискриминантный анализ позволяет сократить объем контроля, а также предсказать будущее поведение продукции. Дискриминантный анализ сходен с регрессионным - первый позволяет предсказывать значение качественного признака, а второй - количественного. В статистике объектов нечисловой природы разработана математическая схема, частными случаями которой являются регрессионный и дискриминантный анализы.

Кластерный анализ применяют, когда по статистическим данным необходимо разделить элементы выборки на группы. Причем два элемента группы из одной и той же группы должны быть «близкими» по совокупности значений измеренных у них признаков, а два элемента из разных групп должны быть «далекими» в том же смысле. В отличие от дискриминантного анализа в кластер-анализе классы не заданы, а формируются в процессе обработки статистических данных. Например, кластер-анализ может быть применен для разбиения совокупности марок стали (или марок холодильников) на группы сходных между собой.

Другой вид кластер-анализа - разбиение признаков на группы близких между собой. Показателем близости признаков может служить выборочный коэффициент корреляции. Цель кластер-анализа признаков может состоять в уменьшении числа контролируемых параметров, что позволяет существенно сократить затраты на контроль. Для этого из группы тесно связанных между собой признаков (у которых коэффициент корреляции близок к 1 - своему максимальному значению) измеряют значение одного, а значения остальных рассчитывают с помощью регрессионного анализа.

Задачи группировки решают тогда, когда классы заранее не заданы и не обязаны быть «далекими» друг от друга. Примером является группировка студентов по учебным группам. В технике решением задачи группировки часто является параметрический ряд - возможные типоразмеры группируются согласно элементам параметрического ряда. В литературе, нормативно-технических и инструктивно-методических документах по прикладной статистике также иногда используется группировка результатов наблюдений (например, при построении гистограмм).

Задачи классификации решают не только в многомерном статистическом анализе, но и тогда, когда результатами наблюдений являются числа, функции или объекты нечисловой природы. Так, многие алгоритмы кластер-анализа используют только расстояния между объектами. Поэтому их можно применять и для классификации объектов нечисловой природы, лишь бы были заданы расстояния между ними. Простейшая задача классификации такова: даны две независимые выборки, требуется определить, представляют они два класса или один. В одномерной статистике эта задача сводится к проверке гипотезы однородности.

Третий раздел многомерного статистического анализа - задачи снижения размерности (сжатия информации). Цель их решения состоит в определении набора производных показателей, полученных преобразованием исходных признаков, такого, что число производных показателей значительно меньше числа исходных признаков, но они содержат возможно большую часть информации, имеющейся в исходных статистических данных. Задачи снижения размерности решают с помощью методов многомерного шкалирования, главных компонент, факторного анализа и др. Например, в простейшей модели многомерного шкалирования исходные данные - попарные расстояния  между k объектами, а цель расчетов состоит в представлении объектов точками на плоскости. Это дает возможность в буквальном смысле слова увидеть, как объекты соотносятся между собой. Для достижения этой цели необходимо каждому объекту поставить в соответствие точку на плоскости так, чтобы попарные расстояния sij между точками, соответствующими объектам с номерами i и j, возможно точнее воспроизводили расстояния сijмежду этими объектами. Согласно основной идее метода наименьших квадратов находят точки на плоскости так, чтобы величина

достигала своего наименьшего значения. Есть и многие другие постановки задач снижения размерности и визуализации данных.

вероятность математический статистика качество

2.5 Статистика случайных процессов и временных рядов

Методы статистики случайных процессов и временных рядов применяют для постановки и решения, в частности, следующих задач:

* предсказание будущего развития случайного процесса или временного ряда;

* управление случайным процессом (временным рядом) с целью достижения поставленных целей, например, заданных значений контролируемых параметров;

* построение вероятностной модели реального процесса, обычно длящегося во времени, и изучение свойств этой модели.

Пример 1. При внедрении статистического регулирования технологического процесса необходимо проверить, что в налаженном состоянии математическое ожидание контролируемого параметра не меняется со временем. Если подобное изменение будет обнаружено, то необходимо установить подналадочное устройство.

Пример 2. Следящие системы, например, входящие в состав автоматизированной системы управления технологическим процессом, должны выделять полезный сигнал на фоне шумов. Это - задача оценивания (полезного сигнала), в то время как в примере 1 речь шла о задаче проверки гипотезы.

2.6 Статистика объектов нечисловой природы

Методы статистики объектов нечисловой природы применяют всегда, когда результаты наблюдений являются объектами нечисловой природы. Например, сообщениями о годности или дефектности единиц продукции. Информацией о сортности единиц продукции. Разбиениями единиц продукции на группы соответственно значения контролируемых параметров. Упорядочениями единиц продукции по качеству или инвестиционных проектов по предпочтительности. Фотографиями поверхности изделия, пораженной коррозией, и т.д. Итак, объекты нечисловой природы - это измерения по качественному признаку, множества, бинарные отношения (разбиения, упорядочения и др.) и многие другие математические объекты [2]. Они используются в различных вероятностно-статистических методах принятия решений. В частности, в задачах управления качеством продукции, а также, например, в медицине и социологии, как для описания результатов приборных измерений, так и для анализа экспертных оценок.

Для описания данных, являющихся объектами нечисловой природы, применяют, в частности, таблицы сопряженности, а в качестве средних величин - решения оптимизационных зада. В качестве выборочных средних для измерений в порядковой шкале используют медиану и моду, а в шкале наименований - только моду. О методах классификации нечисловых данных говорилось выше.

Для решения параметрических задач оценивания используют оптимизационный подход, метод одношаговых оценок, метод максимального правдоподобия, метод устойчивых оценок. Для решения непараметрических задач оценивания наряду с оптимизационными подходами к оцениванию характеристик используют непараметрические оценки распределения случайного элемента, плотности распределения, функции, выражающей зависимость.

В качестве примера методов проверки статистических гипотез для объектов нечисловой природы рассмотрим критерий «хи-квадрат» (обозначают ч2), разработанный К.Пирсоном для проверки гипотезы однородности (другими словами, совпадения) распределений, соответствующих двум независимым выборкам.

Рассматриваются две выборки объемов n1 и n2, состоящие из результатов наблюдений качественного признака, имеющего k градаций. Пусть m1j и m2j - количества элементов первой и второй выборок соответственно, для которых наблюдается j-я градация, а p1j и p2j - вероятности того, что эта градация будет принята, для элементов первой и второй выборок, j = 1, 2, …, k.

Для проверки гипотезы однородности распределений, соответствующих двум независимым выборкам,

H0: p1j = p2j, j = 1, 2, …, k,

применяют критерий ч2 (хи-квадрат) со статистикой

Установлено [9, 11], что статистика Х2 при больших объемах выборок n1 и n2 имеет асимптотическое распределение хи-квадрат с (k - 1) степенью свободы.

Таблица 2 - Распределения плавок стали по процентному содержанию серы

Пример 3. В табл.2 приведены данные о содержании серы в углеродистой стали, выплавляемой двумя металлургическими заводами. Проверим, можно ли считать распределения примеси серы в плавках стали этих двух заводов одинаковыми.

Расчет по данным табл.2 дает Х2 = 3,39. Квантиль порядка 0,95 распределения хи-квадрат с k - 1 = 3 степенями свободы равен  а потому гипотезу о совпадении функций распределения содержания серы в плавках двух заводов нельзя отклонить, т.е. ее следует принять (на уровне значимости б = 0,05).

3. Применение вероятностно-статистические методов принятия решений в решении экономических задач

Студенты нередко задаются вопросом о возможности использования полученных знаний в реальной жизни и их предстоящей деятельности. Одним из важнейших инструментов эконометрических исследований являются методы математической статистики. Это обусловлено тем, что подавляющее большинство микро- и макроэкономических показателей носит характер случайных величин, предсказание точных значений которых почти не представляется вероятным.

Связи между этими параметрами обычно не носят строгий функциональный характер, а допускают присутствие случайных отклонений. Вследствие этого использование аппарата математической статистики в экономике имеет естественный характер. Теория вероятностей - основа вероятностно-статистических методов принятия решений в управлении.

Чтобы получить возможность использовать в них математический аппарат, нужно задачи принятия решений выразить в терминах вероятностно-статистических моделей. Применение конкретного вероятностно-статистического метода принятия решений состоит из трех этапов:

- переход от экономических, управленческих и технологических реалий к абстрактной математико-статистической схеме, т.е. создание вероятностной модели управления, технологического процесса, порядка принятия решений, в частности по результатам контроля, основанного на статистических данных.

- проведение расчетов и получение выводов математическими методами в рамках вероятностной модели;

- представление полученных ранее выводов применительно к имеющейся ситуации. Принятие соответствующего решения (например, о соответствии или несоответствии качества продукции и услуг имеющимся стандартам, потребности в корректировке технологического процесса и т.п.), в частности, заключения (о доле единиц продукции в партии, не соответствующих требованиям; о конкретном виде законов распределения контролируемых параметров технологического процесса и др.).

Математическая статистика является практической стороной теории вероятности. Рассмотрим главные вопросы построения вероятностных моделей принятия решений в экономике. Для того чтобы правильно использовать нормативно-технических и методических документов по вероятностно-статистическим методам принятия решений требуется определенная база знаний. А именно: следует знать, при каких условиях следует применять тот или иной документ, какие решения следует принять по результатам обработки имеющихся данных и т.д.

Лишь те инструменты математической статистики, которые опираются на вероятностные модели соответствующих реальных явлений и процессов, могут использоваться для доказательства теорий. Речь идет о моделях потребительского поведения, возможности появления рисков, функционирования технологического оборудования, получения результатов эксперимента и т.п. Вероятностную модель реального явления следует считать построенной, если рассматриваемые величины и связи между ними выражены в терминах теории вероятностей. Соответствие вероятностной модели реальности обосновывают с помощью статистических методов проверки гипотез.

Невероятностные методы обработки данных являются теоретическими, их можно применять лишь при предварительном анализе данных, так как они не дают возможности оценить точность и надежность выводов, полученных на основании ограниченных статистических данных.

Вероятностно-статистические методы можно применить везде, где представляется возможным построить и обосновать вероятностную модель рассматриваемого события или процесса. Их использованием обязательно, когда сделанные на основе выборочных данных выводы переносятся на всю совокупность (например, с выборки на всю партию продукции).

Рассмотрим пример, когда вероятностно-статистические модели являются хорошим способом решения экономических проблем.

Пусть банк выдает кредит в 5 млн руб. сроком на 5 лет. Вероятность невозврата кредита примем равной 5 %. Какую процентную ставку необходимо установить банку, чтобы в получить прибыль, не меньше минимальной?

Обозначим ставку, измеряемую в долях от единицы через p. Прибыль банка является величиной случайной, так как кредит вместе с процентами клиентом может быть возвращен, а может и нет. Закон распределения этой случайной величины следующий:

p=0,95; q=0,05.

Вероятность возврата кредита - 0,95. Оставшиеся 0,05 - это риск того, что кредит не будет возвращен, а банк понесет потери в сумме 5 млн.руб. Для того, чтобы узнать, какую ставку k процента нужно установить, составим неравенство:

PC(1+0,01k) - (1 - p)C?0,

Откуда

P(1+0,01k+1) - 1?0,

2+0,01k?1/P;

k?(- 2+1/P)Ч100;

k?200(p - 1)/p ?10,53.

То есть, банк должен установить процентную ставку k не меньше 10,53% для того, чтобы свести риски к минимуму.

Инструменты математической статистики применяются не только при кредитовании, но и при страховании. Как известно, наступление страхового случая является случайным событием. Только используя математическую статистику можно провести зависимость между величиной страхового взноса и вероятностью наступления страхового случая. Рассмотрим следующий пример.

Можно в качестве примера привести работу страховых компаний. Пусть страховая компания заключает договоры страхования на один год на сумму L руб. Известно, что страховой случай произойдет с вероятностью p и не произойдет с вероятностью 1 - p = q. Составим закон распределения индикативной случайной величины Х.

Таблица 1

Здесь, х=1 - наступление страхового случая с вероятностью p; х=0 - ситуация, когда страховой случай не наступил, с вероятностью q.

Xi - количество наступивших страховых случаев у i-го страхователя. Обозначим через n количество клиентов, с которыми страховая компания заключила договор.

Таким образом, MXi = p, DXi=MXi2- (MXi)2 = pq. Значит, MX = np и DX = npq. Из этого следует, что величина X распределена по биномиальному закону. Компания при наступлении страховых случаев обязана будет выплатить страховые возмещения в сумме npL рублей. Для того, чтобы баланс страховой компании оказался хотя бы нулевым, необходимо с каждого получить первоначальный взнос по pL рублей (т.е. 100p % от L). Но величина страховых возмещений может быть как больше страховых взносов, так и меньше. В первом случае компания останется в убытке, во втором - получит прибыль. Для того, чтобы обезопасить себя, компаниям нужно установить сумму первоначального взноса чуть большей, чем рассчитано. Тогда, пусть  - реальная ставка процента, с условием, что . Следовательно, компания берет с n клиентов не npL руб., а  руб. Эта сумма предназначена для того, чтобы покрыть убытки от наступления страхового случая у  страхователей. Пусть г - вероятность того, что страховая компания не получит потерь. В этом случае вероятность наступления не более, чем  страховых случаев будет равна .

Имеем

где Ф - это функция Лапласа. Теперь мы можем определить реальную страховую ставку . Пусть г = 0,99 (т.е. страховая компания не разорится с вероятностью 99 %), р= 0,01 и число клиентов n = 1000. При помощи таблицы значений функции Лапласа имеем, что

.

Отсюда следует, что . Таким же способом можно определить оптимальный размер инвестиций, результат которых без статистических исследований вычислить невозможно.

Можно объединить вышеизложенные примеры. Известно, что для того, чтобы избежать убытков, банки при выдаче кредитов приобретают страховые полисы. Как же применить математическую статистику в этом случае?

Пусть банк выдает кредиты по 3 млн руб. под 15 % сроком на год. Вероятность того, что кредит не будет возвращен, равна 0,03. Чтобы снизить риски банк покупает страховой полис на каждый из кредитов на L млн. руб., выдавая страховой компании страховую премию в 4 %. Оценить среднюю прибыль банка с одного кредита, если L=3 (если страховой полис выдан на 3 млн руб.) Обозначим величину

D = -0,04 S + X,

где 0,04 L - суммы, выплачиваемые банком страховой компании; X - случайная величина - сумма доходов и убытков кредитующей организации, закон распределения которой выглядит так.

Таблица 2

Из этого следует, что

То есть, при приобретении банком страхового полиса на сумму 3 млн. рублей, прибыль банка составит 0,3165 млн. рублей.

Таким образом, мы выяснили, что аппарат теории вероятностей и математической статистики широко используется во всех областях экономической сферы и является незаменимым средством достижения наибольшей эффективности экономики в целом.

Заключение

Как подходы, идеи и результаты теории вероятностей используются в нашей жизни? математический квадрат теория

Базой является вероятностная модель реального явления или процесса, т.е. математическая модель, в которой объективные соотношения выражены в терминах теории вероятностей. Вероятности используются, прежде всего, для описания неопределенностей, которые необходимо учитывать при принятии решений. Имеются в виду, как нежелательные возможности (риски), так и привлекательные ("счастливый случай"). Иногда случайность вносится в ситуацию сознательно, например, при жеребьевке, случайном отборе единиц для контроля, проведении лотерей или опросов потребителей.

Теория вероятностей позволяет по одним вероятностям рассчитать другие, интересующие исследователя.

Вероятностная модель явления или процесса является фундаментом математической статистики. Используются два параллельных ряда понятий - относящиеся к теории (вероятностной модели) и относящиеся к практике (выборке результатов наблюдений). Например, теоретической вероятности соответствует частота, найденная по выборке. Математическому ожиданию (теоретический ряд) соответствует выборочное среднее арифметическое (практический ряд). Как правило, выборочные характеристики являются оценками теоретических. При этом величины, относящиеся к теоретическому ряду, "находятся в головах исследователей", относятся к миру идей (по древнегреческому философу Платону), недоступны для непосредственного измерения. Исследователи располагают лишь выборочными данными, с помощью которых они стараются установить интересующие их свойства теоретической вероятностной модели.

Зачем же нужна вероятностная модель? Дело в том, что только с ее помощью можно перенести свойства, установленные по результатам анализа конкретной выборки, на другие выборки, а также на всю так называемую генеральную совокупность. Термин "генеральная совокупность" используется, когда речь идет о большой, но конечной совокупности изучаемых единиц. Например, о совокупности всех жителей России или совокупности всех потребителей растворимого кофе в Москве. Цель маркетинговых или социологических опросов состоит в том, чтобы утверждения, полученные по выборке из сотен или тысяч человек, перенести на генеральные совокупности в несколько миллионов человек. При контроле качества в роли генеральной совокупности выступает партия продукции.

Чтобы перенести выводы с выборки на более обширную совокупность, необходимы те или иные предположения о связи выборочных характеристик с характеристиками этой более обширной совокупности. Эти предположения основаны на соответствующей вероятностной модели.

Конечно, можно обрабатывать выборочные данные, не используя ту или иную вероятностную модель. Например, можно рассчитывать выборочное среднее арифметическое, подсчитывать частоту выполнения тех или иных условий и т.п. Однако результаты расчетов будут относиться только к конкретной выборке, перенос полученных с их помощью выводов на какую-либо иную совокупность некорректен. Иногда подобную деятельность называют "анализ данных". По сравнению с вероятностно-статистическими методами анализ данных имеет ограниченную познавательную ценность.

Итак, использование вероятностных моделей на основе оценивания и проверки гипотез с помощью выборочных характеристик - вот суть вероятностно-статистических методов принятия решений.

Использованная литература

1. Баллод, Б.А. Методы и алгоритмы принятия решений в экономике / Б.А. Баллод. - М.: Финансы и статистика, 2009. - 224 c.

2. Дорогов, В.Г. Введение в методы и алгоритмы принятия решений: Учебное пособие / В.Г. Дорогов, Я.О. Теплова. - М.: ИД ФОРУМ, ИНФРА-М, 2012. - 240 c.

3. Ефимова, М.Р. Методы и алгоритмы принятия решений в экономике: Учебное пособие / М.Р. Ефимова. - М.: Финансы и статистика, 2009. - 224 c.

4. Зайцев, М.Г. Методы оптимизации управления и принятия решений: Примеры, задачи, кейсы: Учебное пособие / М.Г. Зайцев, С.Е. Варюхин; Рецензент С.Р. Филонович. - М.: ИД Дело РАНХиГС, 2011. - 640 c.

5. Зубарев, Ю.М. Математические методы коллективного принятия решений: Учебное пособие / Ю.М. Зубарев. - СПб.: Лань, 2015. - 256 c.

6. Катулев, А.Н. Математические методы в системах поддержки принятия решений. / А.Н. Катулев. - М.: Высшая школа, 2005. - 311 c.

7. Колбин, В.В. Математические методы коллективного принятия решений: Учебное пособие / В.В. Колбин. - СПб.: Лань, 2015. - 256 c.

8. Коробов, Г.В. Методы оптимизации и принятия решений: Учебное пособие / Г.В. Коробов, В.В. Картавцев, Н.А. Черемисинова. - СПб.: Лань, 2001. - 384 c.

9. Набатова, Д.С. Математические и инструментальные методы поддержки принятия решений: Учебник и практикум для бакалавриата и магистратуры / Д.С. Набатова. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 292 c.

10. Новоселов, А.Л. Модели и методы принятия решений в природопользовании: Учебное пособие / А.Л. Новоселов, И.Ю. Новоселова. - М.: ЮНИТИ, 2013. - 383 c.

11. Оклей, П.И. Экономико-математические методы и модели поддержки принятия решений при эксплуатации тепловых электростанций / П.И. Оклей. - М.: Ленанд, 2016. - 160 c.

12. Семенов, С.С. Методы принятия решений в задачах оценки качества и технического уровня сложных технических систем / С.С. Семенов, Е.М. Воронов, А.В. Полтавский. - М.: Ленанд, 2016. - 520 c.

13. Стинбарджер, Б. Психология трейдинга: Инструменты и методы принятия решений / Б. Стинбарджер. - М.: Альпина Паблишер, 2013. - 368 c.

14. Черноруцкий, И. Методы оптимизации и принятия решений: Учебное пособие / И. Черноруцкий. - СПб.: Лань, 2001. - 384 c.

15. Ширяев, А.Н. Вероятностно-статистические методы в теории принятия решений. / А.Н. Ширяев. - М.: МЦНМО, 2011. - 144 c.

16. Юдин, Д.Б. Вычислительные методы теории принятия решений / Д.Б. Юдин. - М.: КД Либроком, 2014. - 320 c.

Размещено на Allbest.ru