Методология моделирования, анализа и синтеза оптимальных динамических свойств и траекторий развития экономических систем

Решение системы (5) можно получить путем введения n новых фазовых переменных с помощью такого невырожденного линейного преобразования:

(6)

тогда, получающаяся в результате система

, (7)

в которой матрица становится проще, чем первоначальная. В этом случае, если, в частности существует преобразование подобия (6), приводящее матрицу G системы к диагональному виду, то использование преобразует первоначальную систему к системе уравнений с «разделенными» переменными:

(8)

решение которой имеет вид:

(9)

и окончательно получаем с использованием преобразования подобия (6) решение системы (5):

, (10)

где - собственные числа, T - собственные векторы матрицы G, diag(e^t) - диагональная матрица.

Таким образом, преобразование подобия (6) может приводить систему (5) к диагональному виду, в котором ее можно делить на подсистемы, функционирующие в параллельном соединении. Преобразование подобия можно применить и к разомкнутой системе. Тогда матрицы подобной системы общего вида будут следующими:

. (11)

Собственные динамические свойства подобной системы абсолютно идентичны свойствам первоначальной системы благодаря равенству собственных чисел обеих систем. Матрица переходов подобной системы является диагональной, поэтому возможно разделение системы на подсистемы. Процедура разделения основана на утверждении теоремы Перрена-Фробениуса о том, что в макроэкономической балансовой системе среди положительных собственных чисел обязательно найдется такое минимальное число, которому соответствует целиком положительный собственный вектор. Поэтому задача разделения системы сводится к выделению такой подсистемы, которой соответствует минимальное положительное собственное число. Эта подсистема будет одномерной и вследствие наличия положительного числа в показателе экспоненты - постоянно растущей и неустойчивой. Для второй подсистемы можно синтезировать такой оптимальный регулятор, который приблизит траектории к нулю, тем самым, сделав ее устойчивой.

Представим подобную систему в следующем виде:

, (12)

,

в котором вектора входа и выхода разбиты на два подвектора, а матрицы системы разбиты на подматрицы со следующими размерностями:

,

размерность подматриц матрицы соответствует размерности подматриц матрицы . Так как матрица переходов подобной системы диагональная, то подматрицы и являются нулевыми, следствием чего становится возможным представление системы (12) в виде параллельного соединения двух подсистем:

, (13)

. (14)

Графическое представление такого соединения показано на рисунке 3.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Рисунок 3 Параллельное соединение двух подсистем

В данной схеме вход первой подсистемы для определенности приравнен к нулю, но вследствие взаимосвязи входов по (12) на первую неустойчивую подсистему продолжает оказывать воздействие вход второй подсистемы, уровень которого можно оптимизировать с использованием метода оптимального синтеза линейно-квадратичного регулятора. Графическое представление параллельного соединения двух подсистем, вторая из которых является замкнутой линейно-квадратичным регулятором , представлена на рисунке 4.

Определим таким образом, что бы использование его в цепи отрицательной обратной связи минимизировало квадратичный функционал:

, (15)

здесь Q - неотрицательно определенная, а R - положительно определенная диагональная матрица весовых коэффициентов. Весовые матрицы Q и R определяют соотношение между качеством регулирования (как быстро процесс сходится к нулю) и затратами на управление.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Рисунок 4 Соединение подсистем с обратной связью

Функционал (15) является стандартным вспомогательным квадратичным критерием, по которому вторую подсистему можно сделать устойчивой, затратив при этом минимальное количество усилий с точки зрения управления динамикой выхода посредством входа .

Решим задачу минимизации методом классического вариационного исчисления. Для этого составим вспомогательный функционал.

, (16)

где - (n-1) - мерный вектор множителей Лагранжа.

Решение вариационной задачи минимизации функционала (16) для подсистемы (14) дает следующую систему уравнений:

. (17)

Подставив значение в первое уравнение системы (17) получим:

. (18)

Уравнение (18) состоит из системы взаимосвязанных линейных дифференциальных уравнений относительно и . Поэтому и должны быть связаны линейным преобразованием. Для получения уравнения оптимального управления решим систему (18), полагая

. (19)

Умножая слева первое равенство в системе (18) на матрицу P и вычитая из него второе равенство этой системы, окончательно получим:

. (20)

Уравнение (20) является алгебраическим матричным уравнением Риккати, в которое вырождается дифференциальное уравнение Риккати в установившемся режиме при .

Подставив выражение (19) в последнее уравнение системы (17), получим искомое уравнение оптимального управления:

. (21)

Замкнутая матрица второй подсистемы при наличии линейно-квадратичного регулятора будет определяться по формуле:

, (22)

тогда подобная (уже оптимальная) система будет выглядеть так:

(23)

или в сокращенном варианте

, (24)

где - матрица оптимизированных коэффициентов замкнутой подобной системы.

Возврат к замкнутой матрице коэффициентов макросистемы осуществляется с помощью обратного преобразования подобия:

. (25)

Теперь можно определить добавку к коэффициентам первоначальной несбалансированной системы для вывода ее на магистральные темпы развития:

, (26)

а используя уравнение (4) оценивается оптимальный уровень конечного продукта, т.е. такая затратная нагрузка макросистемы при которой она будет развиваться сбалансировано.

Таким образом, применение преобразования подобия позволяет разделять исходные неустойчивые макросистемы на подсистемы, в которых возможно применение методов синтеза развитых для устойчивых систем, с целью получения оптимальных параметров конечного потребления и функционирования макроэкономических систем.

Третий метод предназначен для построения эталонных систем и траекторий, применяя модели, в которых матрица капитальных коэффициентов вырождена.

Предметом широкого обсуждения ученых-экономистов является проблема вырожденности матрицы капитальных коэффициентов модели межотраслевого баланса. Значительное число специалистов в области межотраслевого анализа считает, что она содержит лишь две ненулевые строки, соответствующие строительству и машиностроению, признавая предположение о ее заполненности слишком обременительным. Модель с «пустой» матрицей капитальных коэффициентов, во-первых, теряет способность адекватно воспроизводить важные в прикладном отношении особенности и детали процесса экономического развития. Во-вторых, частично заполненная матрица исключает эффективное применение методов исследования на основе аппарата линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений и автоматического управления.

Деление отраслей на «фондосоздающие» и не образующие фонды приводит к появлению нулевых строк в матрице капитальных коэффициентов. В этом случае матрица В является вырожденной и, что следует из курса линейной алгебры не имеет обратной матрицы В^-1. Учет отраслей не способных генерировать основные фонды позволяет записать систему дифференциальных уравнений (15) в виде системы дифференциально-алгебраических уравнений:

, (27)

в которой матрица капитальных коэффициентов и матрица Леонтьева (обозначенная как А) разбиты на четыре подматрицы.

Запись модели МОБ в виде (27) дает возможность легко привести ее к нормальной форме Коши. Приведение начинается с исключения алгебраических уравнений и завершается разрешением дифференциальных относительно первых производных.

Если система (27) состоит из m дифференциальных уравнений и n алгебраических, то размерности подматриц следующие: A1(m,m), A2(m,n), A3(n,m), A4(n,n), B1(m,m), B2(m,n), B3(n,m), B4(n,n). По причине наличия в матрице B нулевых строк элементы подматриц B3 и B4 равны нулю. Так как матрица Леонтьева продуктивна, то квадратная подматрица A4 невырождена и имеет обратную матрицу A4^-1. Смысл дальнейших преобразований сводится к избавлению от алгебраических уравнений системы (27) и приведения ее к системе одних дифференциальных уравнений.

Выразим вектор X2 из системы алгебраических уравнений:

X2=-A4^-1A3X1-A4^-1Y2. (28)

Полученное значение подставим в систему дифференциальных уравнений, которая примет следующий вид:

. (29)

В данной системе матрица коэффициентов при производных невырождена, а, следовательно, и нет проблем с нахождением решения в виде X1(t). Подставляя полученное решение в систему (28) находим X2(t). Таким образом, определяется решение системы дифференциально-алгебраических уравнений (27) и преодолевается проблема решения системы дифференциальных уравнений (1), в которой не все отрасли являются фондосоздающими.

В нормальной форме система (29) запишется в следующем виде:

, . (30)

Наличие в модели отраслей не создающих фонды и как следствие нулевых строк в матрице капитальных коэффициентов приводит к трансформации системы дифференциальных уравнений (1) в систему уравнений (29) или (30), что приводит к уменьшению размерности дифференциальной модели. Размерность модели в этом случае определяется количеством фондосоздающих отраслей. Таким образом, чем меньше фондосоздающих отраслей в модели, тем меньше составляющих движения в решении системы (30) и, соответственно, (27). Учет же динамики развития отраслей, не генерирующих основной капитал, осуществляется посредством решения алгебраических уравнений (28), не содержащих инерционные элементы, а потому, эти решения будут линейно зависимы относительно найденных из первой части системы (27).

Четвертый метод демонстрирует возможность построения эталонной динамической модели, учитывающей затраты на предотвращение загрязнений. Статическая модель межотраслевого баланса с учетом затрат на ликвидацию загрязнений была предложена В. Леонтьевым и Д. Фордом. В этой модели появляются величины, измеренные в натуральных единицах, а именно отходы производства по каждому виду загрязнений.

Динамическая модель межотраслевого баланса, отражающая содержание этой задачи, может быть записана в виде дифференциально-алгебраической системы уравнений:

, (31)

где - матрица коэффициентов текущих затрат; - матрица коэффициентов текущих затрат, необходимых для ликвидации загрязнений; - матрица коэффициентов, характеризующих количество поступающих в окружающую среду отходов по каждому виду загрязнителей в расчете на единицу валового выпуска каждой из отраслей; - матрица коэффициентов, учитывающих вторичный эффект загрязнения, связанный с деятельностью предприятий по ликвидации загрязнений; и - доли ВВП расходуемые на генерацию основных производственных фондов и капитальное строительство предприятий, ликвидирующих загрязнения;

Анализ решений данной системы показывает, что помимо увеличения значений коэффициентов прямых и капитальных затрат балансовой модели, что отрицательно влияет на темпы развития моделируемой макросистемы, в модели увеличено значение уровня конечного продукта на постоянную составляющую. Таким образом, ликвидация загрязнений окружающей среды практически всегда является дополнительной нагрузкой на макросистему. Тем не менее, влияние этой нагрузки можно контролировать, оптимизировать и строить оптимальные траектории развития макросистем с учетом загрязнений.

В четвертой главе «Синтез параметров макроэкономической системы, находящейся в процессе оптимального перехода к сбалансированному состоянию» раскрыта методология синтеза параметров макроэкономической системы, находящейся в процессе оптимального перехода к сбалансированному состоянию, а также проведен анализ чувствительности, устойчивости и управляемости синтезируемых моделей. Теоретическую основу методологии составляет задача преследования, решение которой позволяет выводить произвольную макроэкономическую систему на магистральный путь развития по траектории, которая с точки зрения квадратичного критерия качества приближает пропорции валового внутреннего продукта к оптимальным пропорциям. При этом оптимальными пропорциями ВВП считаются пропорции эталонной сбалансированной экономической системы.

Постановка задачи предполагает наличие двух моделей макроэкономических систем, одна из которых является развивающейся, а вторая - эталонной.

, X(0)=X0, (32)

, X_m(0)=X_m0, (33)

здесь X(t) и X_m(t) - уровень валового внутреннего продукта развивающейся и магистральной системы; К - матрица конечного потребления; U(t) - внешнее инвестиционное воздействие; G_m - матрица замкнутой магистральной системы.

Развивающаяся система не в состоянии самостоятельно перераспределить пропорции ВВП оптимальным образом, поэтому в модели предусмотрена внешняя инвестиционная составляющая U(t) пока неизвестная, но благодаря которой должен получиться результат совмещения ВВП развивающейся и эталонной системы. Из этого следует, что разность

(34)

должна стремиться к нулю при t=?, т.е. Y(?)=0. Для практических целей необходимо синтезировать такое внешнее управление U(t), которое бы за конечное время t_k приводило разность Y(t_k) к нулю. При этом, начиная со времени t_k, уровень ВВП развивающейся системы должен совпадать с уровнем эталонной системы.

Продифференцировав (34) по t получим

. (35)

Для упрощения дальнейших выкладок предположим, что модель (35) полностью управляема, тогда имеется возможность определения такого линейного квадратичного оптимального регулятора Z, который удерживал бы выходы системы вблизи нулевого положения. Для замыкания системы введем следующее линейное преобразование:

X(t)=-ZY(t). (36)

Предположив, что Z такой регулятор, который учитывает внешнее воздействие на систему (35) со стороны X(t) и U(t) получим замкнутую систему:

. (37)

Определим Z таким образом, что бы использование его в цепи отрицательной обратной связи (36) минимизировало квадратичный функционал:

, (38)

здесь Q - неотрицательно определенная, а R - положительно определенная диагональная матрица весовых коэффициентов. Весовые матрицы Q и R определяют соотношение между качеством регулирования (как быстро процесс сходится к нулю) и затратами на управление.

Опуская преобразования, связанные с элементами вариационного исчисления, представим уравнение Риккати:

, (39)

решение которого относительно матрицы P позволяет получить в явном виде выражение для линейно-квадратичного регулятора Z:

. (40)

Определение функциональной зависимости Y(t):

, (41)

которая оптимальна с точки зрения минимума функционала (38), позволяет вычислить траектории сближения развивающейся и эталонной системы по формуле:

. (42)

Оптимальный процесс перехода макроэкономической системы из несбалансированного состояния в сбалансированное состояние является разностью двух процессов: первого - эталонного и второго - асимптотически устойчивого процесса. Причем устойчивость второго процесса гарантирует сближение траекторий ВВП развивающейся макросистемы с магистралью или любой другой наперед заданной функцией развития.Результат вычисления (42) показан на графике рисунка 5.

Имея в наличии лишь оптимальные траектории перехода из одного состояния в другое сложно, что-либо сказать о параметрах оптимальной системы. Эти параметры необходимо знать для получения информации о том, как и в каких пределах необходимо изменить экономические параметры развиваемой несбалансированной системы для реализации оптимальных траекторий развития. Решение задачи синтеза параметров предполагает определение коэффициентов затрат (материальных, капитальных и т.д.) балансовой модели по оптимальным траекториям переходных процессов.

Несбалансированная система (32) может развиваться в магистральном режиме только при наличие изменений в коэффициентах матриц А, В, К. Учитывая эти изменения перепишем систему (32) в следующем виде:

, (43)

где - добавки к коэффициентам прямых, капитальных и трудовых затрат, необходимые для функционирования системы в магистральном или любом наперед заданном режиме.



Рисунок 5 Сближение траекторий развивающейся и эталонной системы

Не теряя общности рассуждений можно переписать систему (43) в эквивалентном виде:

, (44)

где - коэффициенты матрицы, отвечающие за импортно-экспортное воздействие. В этом случае внешние инвестиции, которые влияют непосредственно на капитальные коэффициенты, можно рассматривать как часть импортируемого финансового потока. Тогда задачу идентификации можно свести к задаче определения коэффициентов матрицы , учитывающую импортно-экспортные и инвестиционные воздействия над системой с целью приведения ее в сбалансированное состояние.

Тождественное равенство траекторий развития предполагает равенство их производных, следовательно:

. (45)

Для определения коэффициентов матрицы необходимо соответствующим образом подготовить тождество (45). Произведем замену переменных. Пусть и , тогда

. (46)

Тождественность систем (46) предполагает равенство:

(47)

Или

(48)

и в сокращенном варианте

, (49)

где .

В стационарном случае равенство (49) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, т.е. произведение матрицы на вектор X дает вектор . В динамическом варианте это равенство должно соблюдаться для любого момента времени на интервале [t_Н, t_К]. Этим свойством можно воспользоваться для определения коэффициентов матрицы .

Таким образом, задача идентификации коэффициентов матрицы сводится к определению матрицы ( известна и определена выше), которая бы при умножении на вектор X(t) была бы равна вектору правой части системы линейных алгебраических уравнений (49) на интервале времени [t_Н, t_К].

Для нахождения элементов первой строки матрицы необходимо сформировать матрицу коэффициентов на основе вектора X(t), изменяющегося во времени на интервале [t_Н, t_К]. При этом дискретизации должен быть подвергнут и вектор (t). Таким образом, в результате получается СЛАУ:

. (50)

Обобщая данные преобразования на случай определения i-ой строки матрицы решение системы (50) будет иметь вид:

. (51)

Практические расчеты матрицы с использованием (51) показали наличие определенной невязки в системе (50). Поэтому дальнейшее уточнение коэффициентов матрицы и, следовательно, проводилось с применением численных алгоритмов оптимизации. При этом полученные значения использовались как начальные данные оптимизационной процедуры, минимизирующей функционал вида:

. (52)

В результате численной минимизация была получена матрица , коэффициенты которой характеризуют необходимый уровень импортно-экспортных и инвестиционных вложений на единицу ВВП. Решение задачи идентификации параметров модели макроэкономической системы позволило определить временной график импортно-эксортных процессов изображенный на рисунке 6.

Рисунок 6 Временной график инвестиционных процессов

Для данной динамической системы, взятой в качестве примера, на первоначальном этапе необходимы вложения (импорт и инвестиции) в отрасль U₀ при этом система будет работать в автономном режиме (без инвестиций) приблизительно 1 год. Далее потребуются инвестиции (импорт) в отрасль U₁, а затем почти одновременно для U₀ и U₂. Причем эти инвестиции должны постоянно увеличиваться, чего требует выбранное магистральное направление развития и соответствующие ему пропорции ВВП. В связи с тем, что в системе функционируют двунаправленные финансовые потоки (импорт и экспорт), то положительные значения U(t) следует рассматривать как экспорт средств в виде конечного продукта данной макросистемы.

При исследовании динамических систем балансового типа важно знать, как влияет изменение определенного параметра на качество системы. Показана связь передаточной функции динамической системы с матричной моделью макроэкономической системы. Определены функции чувствительностей передаточных функций, функции чувствительностей частотных характеристик, функции чувствительностей переходных характеристик и чувствительности корней характеристического полинома динамической модели макроэкономической системы.

Сложность взаимосвязей и высокая степень взаимообусловленности составляющих современных макроэкономических систем непременно ведет к значительному усложнению их свойств и, как следствие, к возможности неоднозначного решения задачи устойчивости экономической динамики. В главе рассмотрено построение годографа Михайлова, который использовался для оценки самого правого в комплексной плоскости корня характеристического уравнения модели магистральной макросистемы, с целью определения границы устойчивости.

Управляемость моделей была оценена с использованием матрицы управляемости специального вида и грамиана управляемости, которые показали, что управление темпами развития макросистем целесообразно проводить с использованием всех отраслей участвующих в формировании ВВП. Раскрыта методика модального управления, позволяющая избирательно воздействовать на заданные составляющие движения динамических макросистем.

Рассмотренные критерии чувствительности, устойчивости и управляемости увеличивают информативность моделей макроэкономических систем, что необходимо для экономистов-аналитиков, занимающихся более тонкой настройкой и формированием вариантов целостной экономической политики.

Пятая глава «Стохастические модели балансового типа» раскрывает методологию создания и математической обработки стохастических моделей межотраслевого баланса. Функционирование реальных макроэкономических систем протекает при наличии случайных факторов действующих как на величину конечного спроса, так и на основные параметры, характеризующие затраты системы. Анализ динамики управляемых динамических экономических систем при случайных внешних воздействиях сводится к исследованию вероятностных и статистических свойств решений систем дифференциальных уравнений, возмущенных случайными процессами. В главе рассмотрены понятия «белошумного» и «цветного» возмущения конечным спросом, который представлен в виде двух составляющих - детерминированной и случайной :

. (53)

Показаны результаты исследования статистической точности модели макроэкономической системы

, (54)

в переходных и установившихся режимах. Раскрыта методика вычисления дисперсий элементов вектора ВВП исследуемой макросистемы. Искомое уравнение для дисперсии имеет вид:

. (55)

где , , R-матрица коэффициентов передаточной функции, .

В стационарном случае, когда , , установившееся значение . Диагональные элементы этой матрицы представляют собой установившиеся значения дисперсий элементов вектора ВВП стохастической модели макросистемы. При этом .

При исследовании динамических систем балансового типа расчет статистических характеристик выходных переменных не всегда может быть выполнен непосредственно по уравнениям системы. В главе рассмотрен имитационный подход к моделированию, которое выполнятся, путем численного интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих макроэкономическую систему. Искомые характеристики вычисляют по полученным реализациям выходных переменных. При таком подходе возникает задача моделирования случайных входных воздействий, решением этой задачи является случайный процесс с требуемой спектральной плотностью конечного спроса. В главе представлен алгоритм моделирования стационарных случайных процессов с экспоненциальной корреляционной функцией. На основе этого алгоритма может быть получен случайный процесс с произвольным дробно-рациональным (“цветным”) спектром.

При исследовании моделей стохастических систем было выделено два режима управления - возмущенный и невозмущенный. Реализация законов управления с переменными параметрами в зависимости от режимов функционирования управляемых макросистем позволяет придать управляемой системе адаптивные свойства. Поставлены и решены задачи определения оптимальных параметров конечного спроса двух режимов.

Для возмущенного режима задача формулируется следующим образом: найти такие параметры матрицы , при которых траектории развития ВВП модели

, (56)

из точки в наибольшей степени приблизятся к назначенной траектории некоторой эталонной системы. Можно видеть, что эта задача в точности совпадает с рассмотренной выше задачей сближения двух макросистем.

Задача определения оптимальных параметров для невозмущенного режима управления решается соотношениями:

, (57)

, (58)

где ; ; ; .

С решением этой задачи был получен минимум дисперсии ВВП в невозмущенном режиме управления.

Практическое оценивание вектора ВВП в балансовой модели
В. Леонтьева затруднено из-за наличия в системе случайных колебаний, возникающих под действием непредсказуемо изменяющегося спроса. В этом случае детерминированные методы неприменимы, так как необходимые для управления системой элементы вектора ВВП не измеряются или измеряются с существенными случайными ошибками. В таких ситуациях управление макросистемой может определяться на основе результатов оценивания состояния системы, которое имеет лишь статистическую связь с данными валовых выпусков. Рассмотрена и решена задача синтеза линейного алгоритма оценивания, который формирует несмещенную оценку вектора ВВП с минимальной дисперсией. Применение фильтра Калмана-Бьюси при оценке значений ВВП макросистемы, в которой помимо случайных колебаний конечного спроса присутствуют шумы измерений валовых выпусков показано на рисунке 7.

Существенное снижение колебательной составляющей ВВП после фильтрации позволяет более адекватно оценивать фактическую ситуацию функционирования макросистемы и соответственно принимать более взвешенные решения по управлению этой системой. Разработанные мероприятия по демпфированию колебаний ВВП способствуют принятию вариантов целостной экономической политики и повышают эффективность макроэкономического прогнозирования.

Рисунок 7 Пример моделирования работы фильтра Калмана-Бьюси

Шестая глава «Программная реализация методологии анализа и синтеза балансовых моделей» содержит описание программного комплекса, построенного на основе предложенных в работе моделей макроэкономических систем. Программное обеспечение имеет модульную структуру, которая допускает определенную гибкость при реализации дополнительных и вновь создаваемых алгоритмов моделирования макросистем. В работе имеется описание четырех модулей, на которые получены авторские свидетельства об официальной регистрации программ для ЭВМ. Для написания, отладки и тестирования программ использовалась математическая среда программирования и пакеты расширения Matlab.

Модуль №1 предназначен для решения широкого круга задач в области анализа и управления колебательными составляющими, собственных динамических свойств макроэкономических систем. В программе предусмотрен анализ и синтез переходных процессов макросистем заданных с использованием вырожденной матрицы капитальных коэффициентов. Фильтрация колебаний в переходном процессе осуществляется за счет изменения в заданных пределах коэффициентов матрицы норм потребления и матрицы капитальных затрат.

Программа модуля №2 предназначена для расчета траекторий функционирования макроэкономических систем балансового типа. Модуль №2 выстраивает траектории таким образом, чтобы с течением времени процесс функционирования развивающейся макроэкономической системы совпадал с заданным процессом функционирования эталонной макроэкономической системы.

Программа модуля №3 предназначена для расчета импортно-экспортных финансовых потоков, необходимых для функционирования произвольной макроэкономической системы в заданном режиме функционирования эталонной системы.

Программа модуля №4 вычисляет траектории валовых выпусков макроэкономической системы балансового типа Леонтьева. Расчет ведется с учетом воздействия инерционного спроса, который представляет собой отдельную подсистему, взаимодействующую с макроэкономической системой. В качестве управляющих параметров подсистемы спроса используются начальные условия и матрица постоянных времени. Выходными данными модуля №4 являются траектории развития макроэкономической системы, на которую воздействует инерционный спрос.

В заключении приведены основные выводы и результаты диссертационной работы.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах

Монографии:

1. Мараховский А.С. Моделирование, анализ и синтез оптимальных динамических свойств и траекторий развития экономических систем -Ставрополь: Изд-во СГУ, 2008. 216с.

2. Мараховский А.С. Математические методы анализа и синтеза моделей макроэкономических систем балансового типа // Методология управления качеством и устойчивым развитием экономических систем / Под ред. Бабкина А.В. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2007. С.449-503.

Научные работы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Мараховский А.С. Межотраслевая балансовая модель как эффективный инструмент индикативного планирования сбалансированного роста / А.С. Мараховский // Вестник СГУ. Ставрополь, 2006. Вып.44. С.49-56.

2. Мараховский А.С. Вывод экономических макросистем на магистральный путь развития / А.С. Мараховский, Е.Л. Торопцев // Известия Томского политехнического университета. Томск, 2007. №1.Том 310. С.222-227.

3. Мараховский А.С. Синтез регулятора мощности макроэкономической системы / А.С. Мараховский, Е.Л. Торопцев // Научно-технические ведомости СПбГПУ. СПб., 2006. №6, том 2. С.38-45.

4. Мараховский А.С. Оптимальное управление и оценивание ВВП в стохастических макроэкономических системах / А.С. Мараховский, Е.Л. Торопцев // Научно-технические ведомости СПбГПУ. СПб., 2007. №3, том 2. С.7-12.

5. Мараховский А.С. Методы достижения оптимальных траекторий экономического развития на основе межотраслевых моделей / А.С. Мараховский, Е.Л. Торопцев // Научно-технические ведомости СПбГПУ. СПб., 2007. №4, том 2. С.260-267.

6. Мараховский А.С. Методика агрегирования динамической модели межотраслевого баланса при анализе экономических систем / А.С. Мараховский, Е.Л. Торопцев, Т.Г. Гурнович // Научно-технические ведомости СПбГПУ. СПб., 2008. №3, том 2. С.9-13.

7. Мараховский А.С. Динамическая модель межотраслевого баланса со случайным возмущением в векторе конечного спроса / А.С. Мараховский // Известия ИГЭА. Иркутск, 2008. №4(60) -С.66-70.

Научные статьи, доклады, патенты:

8. Мараховский А.С. Методика определения матрицы коэффициентов капитальных приростов основных средств в динамической модели межотраслевого баланса / А.С. Мараховский, Е.Л. Торопцев // Экономика регионов России: сб. науч. тр. Ставрополь: СГАУ, 2004. С410-415. (0,33/0,16)

9. Мараховский А.С. Моделирование и прогнозирование урожайностей растениеводческих культур Ставропольского края / А.С. Мараховский, Е.Л. Торопцев, О.С. Берулава // Современные проблемы развития экономики и социальной сферы России: сб. науч. тр. Ставрополь: СГАУ, 2004. С205-214. (0,51/0,17)

10. Мараховский А.С. Моделирование задачи устойчивости экономической динамики макросистем с применением эмпирических данных Госкомстата РФ / А.С. Мараховский, Е. Л. Торопцев, Т. Г. Гурнович // Математическое моделирование и компьютерные технологии: материалы VI Всероссийского симпозиума. Кисловодск: КИЭП, 2004. С18-20. (0,17/0,06)

11. Мараховский А.С. Основные условия устойчивого функционирования аграрного комплекса Ставропольского края / А.С. Мараховский, Е.Л. Торопцев, О.С. Берулава // Экономико-статистические исследования отраслей народного хозяйства: материалы Всерос. науч. практ. конф. Ставрополь: СГАУ, 2004. С277-281. (0,2/0,07)

12. Мараховский А.С. Установление и поддержание сбалансированного расширения макроэкономических систем описываемых динамической моделью Леонтьева / А.С. Мараховский // Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование: материалы V региональной науч. практ. конференция -Ставрополь: СИУ, 2005. С199-206. (0,45)

13. Мараховский А.С. Оценка влияния количества фондосоздающих отраслей на качество аппроксимации валовых выпусков и адекватность моделирования сбалансированных макроэкономических динамических систем / А.С. Мараховский, Е. Л. Торопцев, Т. Г. Гурнович // Сборник научных трудов Сев-Кав ГТУ, серия Экономика. Ставрополь: Сев-КавГТУ, 2005. С184-187. (0,2/ 0,07)

14. Мараховский А.С. Планирование и прогнозирование выпуска сельско-хозяйсвенной продукции на основе модели техпромфинплана / А.С. Мараховский, Торопцев Е. Л., Берулава О. С. // Материалы ежегодной 69-й научно-практической конференции, посвященной 75-летию СГАУ: сб.науч.тр. Ставрополь: СГАУ, 2005. С156-166. (0,62/0,2)

15. Мараховский А.С. Анализ динамических свойств экономических систем на основе модели техпромфинплана / А.С. Мараховский, Т.Г. Гурнович, Е. Л. Торопцев, О.С. Берулава // Сборник научных трудов Сев-Кав ГТУ, серия Экономика / Сев-КавГТУ. Ставрополь: 2005. С163-168. (0,34/0,1)

16. Мараховский А.С. Оценка устойчивости динамических систем в экономике по модели межотраслевого баланса Леонтьева / А.С. Мараховский, Т. Г. Гурнович, Е. Л. Торопцев, О. С. Берулава // Развитие форм и инструментария управления аграрной экономикой региона: материалы Междунар. науч. практ. Конференции. Ставрополь: СГАУ, 2005. С36-41. (0,34/0,1)

17. Мараховский А.С. Оценка управляемости развивающихся макроэкономических систем балансового типа / А.С. Мараховский // Системный анализ в проектировании и управлении: материалы IX Междунар. науч. практ. конф. Санкт-Петербург: СПБПУ, 2005. С124-126. (0,17/0,06)

18. Мараховский А.С. Избирательное управление уровнем и пропорциями ВВП балансовой модели макроэкономической системы / А.С. Мараховский, Гурнович Т. Г., Торопцев Е. Л., Берулава О. С. // Современные проблемы развития экономики и социальной сферы: материалы Междунар. науч. практ. конф. Ставрополь: СГАУ, 2005. С506-511. (0,34/0,1)

19. Мараховский А.С. Проектирование оптимальных инвестиционных воздействий для сближения двух макроэкономических систем / А.С. Мараховский // Экономическая кибернетика - системный анализ в экономике и управлении: сб. науч. тр. СПб.: СПбГУЭФ, вып.12, 2005. С104-111. (0,45)

20. Мараховский А.С. Задача сближения двух экономических макросистем / А.С. Мараховский, Е. Л. Торопцев, Т. Г. Гурнович, О. С. Берулава // Современные формы и методы управления аграрной экономикой: материалы Междунар. науч. практ. конф. Ставрополь: СГАУ, 2005. С13-18. (0,34/0,1)

21. Мараховский А.С. Исследование статистической точности балансовой модели макроэкономической системы в переходных и установившихся режимах / А.С. Мараховский // Экономика регионов - пути повышения конкурентоспособности аграрного сектора: сб. науч. тр. Ставрополь: Югбланкполиграфия, 2005. С34-37. (0,23)

22. Мараховский А.С., Торопцев Е.Л. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2005611160 от 19 мая 2005г. Программа анализа и управления циклическими колебаниями макроэкономической системы с вырожденной матрицей капитальных затрат.

23. Мараховский А.С. Определение импортно-экспортных финансовых потоков, необходимых для функционирования макроэкономической системы в магистральном режиме / А.С. Мараховский, Е. Л. Торопцев, Т. Г. Гурнович // Университетская наука - региону: материалы науч. практ. конф. Ставрополь: СГАУ, 2006. С192-195. (0,23/0,1)

24. Мараховский А.С. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2006612901 от 11 августа 2006г. Программа контроля валовых выпусков макроэкономической системы посредством управления подсистемой инерционного конечного спроса.

25. Мараховский А.С. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2006612902 от 11 августа 2006г. Программа вычисления траекторий функционирования макроэкономической системы, развивающейся в заданном направлении эталонной системы.

26. Мараховский А.С. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2006612903 от 11 августа 2006г. Программа определения импортно-экспортных финансовых потоков, необходимых для функционирования макроэкономической системы в заданном режиме.

27. Мараховский А.С. Модальное управление в макроэкономических динамических системах с вырожденной матрицей капитальных коэффициентов. / А.С. Мараховский, Е. Л Торопцев., Т. Г. Гурнович // Информационные системы, технологии и модели управления производством: материалы 2-ой науч. практ. конф. Ставрополь: СГАУ, 2006. С83-90. (0,46/0,15)

28. Мараховский А.С. Практическая динамическая межотраслевая модель для решения задач устойчивости. / А.С. Мараховский, Е. Л. Торопцев, Т.Г. Гурнович // Системный анализ в проектировании и управлении: труды X международной науч. практ. конф. С. Петербург: СПбГПУ, 2006. С237-239. (0,17/0,06)

29. Мараховский А.С. Управление сбалансированным расширением макроэкономических систем с использованием преобразования подобия / А.С. Мараховский // Конкуренция на российских рынках: материалы Междунар. науч. практ. конф. Ставрополь: СГАУ, 2006. С329-336. (0,45)

30. Мараховский А.С. Состояние информационно-статистической базы балансовых исследований / А.С. Мараховский // Российский экономический интернет-журнал [Электронный ресурс]: Интернет-журнал АТиСО / Акад. труда и социал. Отношений. Электрон. журн. М.: АТиСО, 2006. № гос. регистрации 0420600008. Режим доступа: http://www.e-rej.ru/Articles/2006/Marahovsky_Toroptsev_Gurnovitch.pdf, свободный. Загл. с экрана. (-)

31. Мараховский А.С. Современные тенденции развития российского продуктового рынка / А.С. Мараховский, О.А. Малахова // Университетская наука - региону. 71-ая научно-практическая конференция. Ставрополь: СГАУ, 2007. С156-159. (0,17/0,06)

32. Мараховский А.С. Создание привлекательного инвестиционного климата и повышение инвестиционной активности в России и ее регионах / А.С. Мараховский, О.А. Малахова // Информационные системы, технологии и модели управления производством Междунар. науч. практ. конф. Ставрополь: СГАУ, 2007. С.256-258. (0,17/0,06)

33. Мараховский А.С. Динамическая модель Леонтьева-Форда с постоянным уровнем внешних загрязнений / А.С. Мараховский, Е.Л. Торопцев // Информационные системы, технологии и модели управления производством Междунар. науч. практ. конф. Ставрополь: СГАУ, 2007. С.83-87. (0,3/0,15)

34. Мараховский А.С. Управляемость динамическими макроэкономическими системами / А.С. Мараховский // Актуальные вопросы развития финансовых отношений региона. Междунар. науч. практ. конф. Ставрополь: СГАУ, 2007. С.235-240. (0,4)

35. Мараховский А.С. Формализованное построение регулятора мощности макросистемы / А.С. Мараховский, Е.Л. Торопцев // Менеджмент качества и устойчивое развитие экономических систем Междунар. науч. практ. конф. Ставрополь: СГАУ, 2007. С.615-624. (0,6/0,3)

36. Мараховский А.С. Оптимальное оценивание ВВП в стохастических моделях макросистем балансового типа с использованием фильтра Калмана-Бьюси / А.С. Мараховский // http://www.supir.ru/j5s3.html, № 0420600026\0011, 2007. (0,4)

37. Мараховский А.С. Динамические и оптимизационные модели межотраслевого баланса / А.С. Мараховский, Е.Л. Торопцев, Т.Г. Гурнович // Российский экономический интернет-журнал [Электронный ресурс]: Интернет-журнал АТиСО / Акад. труда и социал. Отношений. Электрон. журн. М.: АТиСО, 2007. № гос. регистрации 0420600008. Режим доступа: http://www.e-rej.ru/ Articles/2007/Marahovsky_Toroptsev _Gurnovitch.pdf, свободный. Загл. с экрана. (-)

38. Мараховский А.С. Оценка влияния случайных факторов на детерминированные модели балансового типа / А.С. Мараховский // Университетская наука - региону: сб. науч. тр. Ставрополь: АГРУС, 2007. С.120-124. (0,34)

39. Мараховский А.С. Управляемость в моделях макроэкономических систем / А.С. Мараховский // Актуальные вопросы развития финансовых отношений региона: сб. науч. тр. Ставрополь: Югбланкполиграфия, 2007. С.358-360. (0,17)

40. Мараховский А.С. Избирательное управление динамическими свойствами экономических систем / А.С. Мараховский, Е.Л. Торопцев, Т.Г. Гурнович // Экономическая кибернетика - системный анализ в экономике и управлении: сб. науч. тр. СПб: СПбГУЭФ, вып.15, 2007. С.59-66. (0,45/0,3)

41. Мараховский А.С. Моделирование и прогнозирование развития сложных экономических систем с учетом эффекта запаздывания / А.С. Мараховский //Экономика и менеджмент современного предприятия - теория и практика: сб. тр. междунар. НПК -СПб.: Политехн. ун-т, 2007. С.239-246. (0,45)

42. Мараховский А.С. Модуль анализа и управления циклическими колебаниями макроэкономической системы с вырожденной матрицей капитальных затрат/ А.С. Мараховский, О.С. Берулава // Проблемы формирования и развития инновационного потенциала региона: сб. тр. региональной НПК. Ставрополь, СГУ, 2007. С.191-195. (0,3)

43. Мараховский А.С. Модуль вычисления траекторий функционирования макроэкономической системы, развивающейся в заданном направлении эталонной системы/ А.С. Мараховский, А.В. Передеряева // Проблемы формирования и развития инновационного потенциала региона: сб. тр. региональной НПК. Ставрополь, СГУ, 2007. С.195-197. (0,17)

44. Мараховский А.С. Имитационное моделирование случайных процессов в моделях макроэкономических систем / А.С. Мараховский // Матема-тическое моделирование, обратные задачи, информационно-вычислительные технологии: сб. тр. VII междунар. НТК. Пенза: РИО ПГСХА, 2007. С.20-23. (0,21)

45. Мараховский А.С. Методика разработки матричной модели плана предприятия АПК для решения задач устойчивости / О.С. Берулава, А.С.Мараховский // Актуальные проблемы социально-экономического развития региона - теория, методология, практика: сб. тр. межрегион. НПК -Ставрополь: СтГАУ, 2007. С.24-27. (0,2/0,1)

46. Мараховский А.С. Анализ модели макроэкономической системы с вырожденной матрицей капитальных коэффициентов / А.С.Мараховский, Т.В. Таточенко // Проблемы развития предпринимательства в регионе: сб. науч. тр. Выпуск IV. Ставрополь: СтГАУ, 2007. С.17-25. (0,5/0,3)

47. Мараховский А.С. Построение оптимальных траекторий развития макросистем с использованием преобразования подобия / А.С.Мараховский, Т.В. Таточенко // Современные финансово-экономические проблемы в условиях глобализации: сб. тр. междунар. НПК -Ставрополь: СтГАУ, 2008. С.220-227. (0,5/0,3)

48. Мараховский А.С. Формирование эталонных траекторий производства ВВП на основе минимизации функционала качества / А.С. Мараховский, Т.В. Таточенко // Современные финансово-экономические проблемы в условиях глобализации: сб. тр. междунар. НПК Ставрополь: СтГАУ, 2008. С.256-261. (0,4/0,2)

49. Мараховский А.С. Модуль прогнозирования импортно-экспортного сальдо для функционирования макроэкономической системы в заданном режиме / А.С. Мараховский, Е.Л. Торопцев // Экономическое прогнозирование. Модели и методы: сб. тр. IV междунар. НПК -Воронеж: ВГУ, 2008. С.250-252. (0,17/0,1)

50. Мараховский А.С. Взаимодействие циклов и кризисов в прогнозировании и планировании социально-экономического развития / А.С. Мараховский, Т.В. Таточенко // Молодежь и наука. Реальность и будущее: сб. тр. междунар. НПК -Москва: МГУ, 2008. С.150-157. (0,34/0,2)

51. Мараховский А.С. Межрегиональный инструментарий прогнозирования социально-экономического развития / А.С. Мараховский, Т.В. Таточенко // Ломоносов: сб. тр. междунар. НПК -М: Издательство МГУ; СП Мысль, 2008. С.340-347. ( 0,34/0,2)

52. Мараховский А.С. Критерии управляемости в динамических моделях макроэкономических систем / А.С. Мараховский // Инфокоммуника-ционные технологии в науке, производстве и образовании: сб. тр. междунар. НПК -Ставрополь: Сев-КавГТУ, 2008. С.73-76. (0,2)

Размещено на Allbest.ru

...