Математическое моделирование переноса излучения и переноса нейтронов с учетом процессов в сплошных средах

На основе созданного комплекса LATRANT:

1. Было проведено математическое моделирование мишеней типа «лазерный парник» изотропным внешним излучением с температурой 150эВ. Моделирование сферически-симметричных задач в двумерной постановке показало, что все схемы хорошо поддерживают симметричность при сжатии и разлете мишени. Было проведено сравнение результатов сжатия и разлета модельной четырехслойной двухоболочечной мишени из стекла и дейтерий-тритиевой смеси между и внутри стеклянных оболочек при учете переноса излучения в многогрупповом диффузионном приближении и в трехтемпературном приближении. Было показано, что использование трехтемпературной модели дает запаздывающую динамику сжатия центральной области горючего по сравнению с многогрупповым расчетом (рис. 10) за счет преднагрева центральной области горючего высокоэнергетичными фотонами и большую температуру центральной области горючего.

Рис.10. Динамика сжатия центральной области DT горючего (слева) и электронная температура центральной области (справа).

2. Была рассчитана существенно двумерная задача о сжатии той же сферической мишени внешним изотропным излучением с температурой, меняющейся в зависимости от полярного угла. Результаты расчетов показывают, что наблюдается симметризация сжатия внутренней оболочки по сравнению с несимметричным сжатием внешней оболочки.

3. Было проведено исследование взаимодействия лазерного излучения с фольгами для дальнейшего сравнения с результатами покрытия фольг малоплотными пенами. Плазменная корона фольги в три раза увеличивает радиус светящейся с тыльной стороны области по сравнению с радиусом фокального лазерного пятна. При этом выходящее излучение становится значительно более изотропным по радиусу.

4. Были рассчитаны две задачи о взаимодействии лазерного излучения с двумя мишенями, состоящими из пористого полиэтилена на алюминиевой подложке. В первой задаче эта мишень со стороны падения лазерного излучения была покрыта тонкой пленкой меди, а во втором случае кластеры меди были распределены равномерно в пене. Количество атомов меди на единицу площади во втором случае было в полтора раза меньше, чем в первом. Эффективность конверсии лазерного излучения в рентгеновское показана на рис.11.

Сравнение компонент баланса энергии показывает, что во втором случае до 80% лазерной энергии высвечивается. Эта задача показывает, что хотя доля собственно энергии излучения в этих задачах ничтожно мала, именно перенос излучения осуществляет обмен энергией между отдельными частями системы.

Рис.11. Распределение энергии по составляющим для задачи I (слева) и II (справа).

На рис.12 представлен поток излучения со стороны подложки этих двух мишеней. Видно, что в задаче с кластерами меди существует момент времени (около 2 нс), после которого поток излучения нарастает за очень короткое время.

Рис. 12. Зависимость от времени интегрального потока излучения с обратной стороны мишени для первой (слева) и второй (справа) задач.

Этот эффект регистрируется в экспериментах: для пены данной толщины (порядка 500 мкм) время появления интенсивного свечения в эксперименте составляло также 2 нс.

5. На установке PALS (Prague Asterix Laser System) была проведена серия экспериментов по взаимодействию излучения йодного лазера с плоскими пористыми мишенями. Энергия лазерного импульса в эксперименте оценивалась в 150-175 Дж. Длительность импульса около 0.8 нс с шириной импульса на полувысоте 320 пс. Такие значения параметров соответствуют потоку лазерной энергии порядка Вт/см2 на поверхности мишени.

Использовались пористые мишени из триацетата целлюлозы на алюминиевой подложке толщины 5 мкм. Толщина пены около 400 мкм. При этом предполагались две основные плотности пористого вещества - 9.1·10-3 г/см3 и 4.5·10-3 г/см3:

-0.0405<z<-0.0400 см Al с=2.7 г/см3 (толщина слоя 5мкм)

-0.0400<z< 0.0000 см TAC с1=9.1·10-3 г/см3; (толщина слоя 400мкм)

с2=4.5·10-3 г/см3

Для ряда выстрелов использовалась пена с добавками 9.9% по массе атомов меди

TAC +9.9% Cu с1=9.1·10-3 г/см3;

Первоначально для сравнения расчета с экспериментом в качестве поглощенной лазерной энергии была заложена энергия 130Дж. На рис.13 приведены распределения температур для моментов времени, соответствующих максимуму падающего излучения, и ближе к окончанию лазерного импульса.

Рис. 13. Электронная температура для пены ТАС (9.1 мг/см3, 3 гармоника лазера) на моменты времени 400, 500 и 600пс, и ионная температура на момент 600пс.

В эксперименте регистрировались показания рентгеновской электронно-оптической камеры (РЭОК) прихода гамма-квантов с энергией больше 1.5 кэВ. Фотографии РЭОК по горизонтальной оси дают временную развертку регистрируемого рентгеновского излучения с полным временем 2 нс по ширине фотографии, а по вертикальной оси - развертку по толщине мишени с полной толщиной 2000мкм по высоте фотографии. По этим данным вычислялись две скорости: скорость распространения рентгеновского фронта как касательная к нижней части цветного изображения в носике на границе с черным фоном и скорость гидротепловой волны по сечению этого рисунка в максимуме регистрируемого излучения. Пример фотографий с РЭОК приведен на рис.14.

Программный комплекс позволяет моделировать показания РЭОК. Результат такого моделирования приведен на рис.15.

Рис.14. Показания РЭОК для пены TAC (9.1 мг/см3, 3 гармоника лазера, толщина фольги 5 мкм) в экспериментах (а, б) на установке PALS.

Скорости распространения рентгеновского фронта и гидротепловой волны, измеренные по приведенным данным, оказались значительно выше, чем соответствующие скорости, измеренные по экспериментальным данным. Заметим, что сравнение рис. 14 а) и рис. 14 b) показывает, что в экспериментах не достигается полной повторяемости результатов: если на левой картинке видно свечение алюминиевой подложки ко времени примерно 1.5нс, то на правой картинке этого свечения не наблюдается даже и к 2нс для почти одинаковой энергии выстрелов.

В ФИ РАН по теории сильного взрыва были проведены оценки вложенной лазерной энергии, которые показали, что регистрируемые в эксперименте скорости ударных волн соответствуют значительно меньшим вложенным энергиям. Решение одномерных уравнений Максвелла, полученное численно также в ФИ РАН, показало, что на слоистой структуре пленок из ТАС отражается до 70% лазерной энергии.

Поэтому было проведено исследование задач взаимодействия лазерного излучения с пенными структурами с меньшими значениями вложенной лазерной энергии. Результаты моделирования для пены 9.1 мг/см3 при облучении на третьей гармонике йодного лазера при различных энергиях приведено на рис.15. Аналогичные данные, полученные для пены 4.5 мг/см3 при облучении мишени на первой гармонике лазера в эксперименте представлены на рис.16, а при математическом моделировании - на рис. 17.

Рис. 15. Результаты моделирования показаний РЭОК (слева) и энергетический баланс системы (справа) для пены TAC (9.1 мг/см3, 3 гармоника лазера, толщина фольги 5 мкм) в расчетах при разных энергиях выстрелов.

Рис. 17. Результаты моделирование показаний РЭОК (слева) и энергетический баланс системы (справа) для пены TAC (4.5 мг/см3, 1 гармоника лазера, толщина фольги 5мкм) в расчетах при разных энергиях выстрелов.

Добавление тяжелых кластеров меди (9.9% по массе) в пену ТАС значительно усиливает механизмы оптического сглаживания неоднородностей. Добавление кластеров тяжелых элементов приводит к существенной доли лазерного излучения, преобразованного в рентгеновское, которое выносится вовне из мишени, при этом, естественно, уменьшается интенсивность газодинамического движения. Результаты показаний РЭОК можно увидеть на рис.18, и соответствующие результаты моделирования показаний РЭОК и баланс энергии - на рис.19.

База данных оптических коэффициентов DESOPLA содержит коэффициенты, равновесные по ионному составу, а также рассчитанные при учете неравновесности ионного состава плазмы. Как было показано Н.Н.Калиткиным в 2008 году, эффекты неидеальности плазмы очень слабо влияют на термодинамические функции, но оказывают влияние на ионный состав. Сравнение результатов при одной и той же энергии выстрелов с равновесными по ионному составу коэффициентами поглощения из базы данных DESOPLA и с неравновесными (рис.19), показывает, что при использовании неравновесных коэффициентов в расчете значительно увеличивается вынос энергии вовне и замедляется скорость рентгеновского фронта. Таким образом, использование неравновесных по ионному составу коэффициентов в большей мере отвечает физической ситуации в эксперименте.

Сводные данные по вложенным в пористые мишени энергиям и скоростям рентгеновского и гидротеплового фронтов, наблюдаемых в экспериментах и полученных в расчетах, представлены в Таблице 5.

Рис. 18. Показания РЭОК для пены TAC+9.9%Cu (9.1 мг/см3, 3 гармоника лазера, фольга 5мкм) в эксперименте.

Таблица 5 показывает, что скорости рентгеновского и гидротеплового фронтов, полученные в экспериментах, измеряются неустойчиво. Сравнение теоретических и экспериментальных результатов позволяет сделать следующие выводы. 1) Перенос излучения определяет перераспределение энергии в системе. 2) Использование неравновесных по ионному составу коэффициентов поглощения в большей мере отвечает результатам экспериментов. 3) Величина поглощенной лазерной энергии составляет 30-40% от заявленной в эксперименте.

Рис. 19. Моделирование показаний РЭОК (слева) и энергетический баланс системы (справа) для пены TAC+9.9%Cu (9.1 мг/см3, 3 гармоника лазера, фольга 5мкм) в расчетах при разных энергиях выстрелов

Таблица 5. Сравнение экспериментальных и численных результатов по скорости рентгеновского фронта в зависимости от выбранной поглощенной энергии.

Для примера приведем сравнение для аналогичных экспериментов на установке LIL. Поток лазерной энергии на поверхности мишени того же порядка, что и на установке PALS. Существенное отличие заключается в длительности импульса (около 3 нс) и размере пятна на поверхности мишени (радиус 500 мкм). Приведем данные по полной лазерной энергии и пропущенной энергии, полученные в эксперименте и в расчете (рис. 20 и рис. 21).

Оценки величины компонентов баланса энергии, сделанные авторами экспериментов на LIL, практически точно совпадают с результатами моделирования (см. рис. 22), кроме одного пункта: авторы оценивали потери на рентгеновское излучение нагретой плазмы в 100 Дж и признали, что в своих оценках потеряли по крайней мере порядок величины. При математическом моделировании баланс энергий сходится и представлен на рис. 22. Нетрудно видеть, что потери на излучение составляют значительно большую величину, чем в физических оценках, - 1200-1500 Дж.

Рис.20. Временные зависимости падающей, пропущенной и отраженной лазерной мощности для эксперимента ILP3.

Рис.21. Временные зависимости падающей и пропущенной лазерной мощности при моделировании эксперимента ILP3. Плотность TMPTA однородна. Рис. 22. Баланс энергий для моделирования эксперимента ILP3 на установке LIL.

Результаты Главы 4 опубликованы в работах [18-25].

В Главе 5 описан метод пересчета усредненных по спектру сечений для динамического моделирования саморегулируемых нейтронно-ядерных режимов. Методы эффективного понижения размерности уравнения переноса на основе квазидиффузионного подхода позволяют получить эффективную одногрупповую систему уравнений для полного скалярного и векторного потока нейтронов, которая может быть объединена в динамическом расчете с уравнениями выгорания, реакторной кинетики и управления.

Исследование саморегулируемых нейтронно-ядерных режимов (СНЯР) в активных зонах (АЗ) быстрых реакторов требуют динамического моделирования процессов, происходящих в АЗ. Эти процессы описываются уравнениями переноса нейтронов, выгорания и реакторной кинетики, а также введенного управления. Идея СНЯР первого рода (СНЯР-1) была предложена Л.П.Феоктистовым в 1988 году для гомогенной зоны. Она заключалась в том, что если в АЗ критическая концентрация плутония-239 ниже равновесной, то может возникнуть саморегулируемый режим, в котором концентрация плутония-239 со временем слегка растет, подтягиваясь к равновесной. В.Я.Гольдиным с сотрудниками в 1992г. были начаты работы по математическому моделированию СНЯР. Была подтверждена возможность реализации СНЯР-1, и в 1995г. был предложен СНЯР-2, основанный на гетерогенности АЗ. Введение зон малого обогащения (в которых концентрация плутония ниже равновесной) и зон большого обогащения (в которых концентрация выше равновесной) в АЗ позволяет значительно улучшить параметры саморегулируемого режима по длительности кампании, равномерности энерговыделения во времени и пространстве. Предложенное управление, при котором выведение поглотителя (карбида бора) из АЗ используется только в самом начале кампании для вывода реактора на режим, а затем используется только тонкое управление введением соединений обедненного урана, позволяет осуществить работу АЗ реактора в СНЯР-2 в течение трех лет и более, что существенно превышает реакторную кампанию существующих и проектируемых быстрых реакторов, составляющую 140 суток. При этом (кроме первых 10-20 суток до установления режима) реактор работает без запаса реактивности.

Так как было совершенно очевидно, что создаваемая модель должна быть динамической и включать уравнения выгорания и кинетики, то первоначальная модель была одномерно-цилиндрической, позволявшей хорошо представить главную физическую суть явлений. Надо четко представлять себе, что и в настоящее время полный нестационарный многогрупповой расчет уравнения переноса нейтронов совместно с уравнениями выгорания и кинетики с учетом запаздывающих нейтронов (и других процессов) в многомерных геометриях является чрезвычайно трудоемким делом, возможным в единичных ситуациях на высокопроизводительных машинах. Трехмерные расчеты ядерных реакторов чаще всего сводятся к решению стационарных уравнений диффузии, реже - переноса. Метод квазидиффузии позволяет эффективно понижать размерность задачи, сводя ее к нестационарной усредненной одногрупповой, численное решение для которой совместно с уравнениями выгорания и кинетики ищется на каждом шаге по времени. При этом многогрупповая система уравнений переноса нейтронов с квазидиффузией в квазистационарном приближении время от времени пересчитывается, так что усредненные микросечения реакций со временем также изменяются в соответствии с изменением спектра.

Улучшение математической модели велось постепенно: сначала были введены в расчет двумерные утечки через торцы реактора на основе расчета двумерного одногруппового уравнения диффузии, а потом и одногруппового уравнения переноса с квазидиффузией, усредненные коэффициенты для которого были получены в ходе одномерного расчета. В диссертации описывается переход к двумерной многогрупповой задаче решения уравнения переноса и получение эффективной одногрупповой системы уравнений квазидиффузии для дальнейшего использования в нестационарном двумерном расчете совместно с уравнениями выгорания и кинетики. Заметим, что в предлагаемом СНЯР-2 для реактора реального типа отпадает необходимость в тяжелой системе компенсирующих стержней, управление реактором значительно облегчается, поэтому геометрия реактора лишается сильной асимметрии и практически близка к двумерной цилиндрической геометрии.

Расчеты в настоящей работе выполнены для стандартного 26-группового приближения библиотеки БНАБ-93.

Поскольку саморегулируемый нейтронно-ядерный режим поддерживает в реакторе квазистационарное распределение скалярного потока нейтронов с очень малой постоянной времени л, будем решать стационарное уравнение переноса нейтронов, которое в r-z-геометрии имеет вид:

Здесь угловые переменные азимутальный угол , полярный угол ,

, , , ,

Первый член справа в (15) отвечает рассеянию всех видов из высокоэнергетичных групп и внутри рассматриваемой группы; для быстрых реакторов рассеяния с увеличением энергии нет. Остальные два члена описывают размножение нейтронов, включая учет запаздывающих нейтронов; Qp - возможный внешний источник нейтронов.

Для всех процессов предполагается , где L - количество рассматриваемых элементов в цепочке превращений, включая все изотопы, Nl - концентрация изотопа номера l.

В соответствии с общепринятыми обозначениями:

* уt= уs + уf + уnг + уn2n + уn3n - полное сечение всех процессов столкновения нейтронов в группе p (p=1,…,P), включая:

* уs= уs(e) + уs(in) - сечение рассеяния (упругое и неупругое);

* уn2n -сечение поглощения нейтрона с рождением двух нейтронов;

* - суммарное сечение рассеяния и реакций n>2n, n>3n;

* - индикатриса рассеяния;

* уf - сечение деления;

* уnг - сечение поглощения нейтрона с излучением г кванта;

* вk - доля запаздывающих нейтронов в группе k;

* вg/в - доля группы g в запаздывающих нейтронах;

* чkp - доля нейтронов деления группы k, попадающих в группу p;

* чdgp - доля запаздывающих нейтронов группы g, попадающих в группу p;

* cg - концентрация предшественников запаздывающих нейтронов;

* , Tg - период полураспада предшественников запаздывающих нейтронов группы g.

Условие нормировки:

.

В диссертации описаны квазидиффузионные преобразования членов рассеяния и деления в правой части уравнения переноса, позволяющие привести это уравнение к виду

В этой форме уравнений важно, что члены рассеяния и деления приводятся к виду, содержащему полные и групповые скалярный и векторный потоки, а также ряд коэффициентов, усредняемых по спектру решения (члены с чертой сверху). При этом в соответствии с методом квазидиффузии групповые скалярные и векторный потоки нейтронов находятся из независимой системы многогрупповых уравнений квазидиффузии. Эта система для задачи на собственные значения имеет вид (18)-(20), а для пересчета сечений при известной постоянной времени имеет вид (21)-(23):

,

,

.

В методе квазидиффузии (при малой анизотропии рассеяния) главные члены рассеяния внутри самой p-ой группы переносятся налево для нулевого и первого моментов разложения индикатрисы рассеяния по полиномам Лежандра, т.е. учитывается их главная часть. Решение для скалярного и векторного потока зависят от второго (и, возможно, более высоких) моментов индикатрисы рассеяния только через коэффициенты квазидиффузии, поэтому итерации по рассеянию объединяются с итерациями члена деления. В правой части уравнений (18)-(20) или (21)-(23) первая сумма отвечает рассеянию из энергетически более высоких групп, и к моменту расчета данной группы p эти члены на данной итерации источника уже известны. Этим расчет реактора на быстрых нейтронах выгодно отличается от аналогичного расчета реакторов на тепловых нейтронах, где существует рассеяние из низкоэнергетических групп в группы с большей энергией. Остальные два члена деления в (18) или (21) не могут быть определены до решения системы (18)-(20) или (21)-(23) для всех групп, поэтому они берутся из решения усредненных по энергии уравнений квазидиффузии с предыдущей глобальной итерации.

Усреднение в одну группу (21)-(23) производится по аналогии с методом, который был разработан для задач переноса излучения. Полученная система эффективных одногрупповых уравнений квазидиффузии может быть записана не в квазистационарном приближении, а в нестационарном виде, пригодном для динамического расчета (усреднение уравнений для поиска собственного значения аналогичны)

.

Правые части dz и dr включают в себя как просуммированные по всем группам правые части уравнений (19)-(20), так и добавки, связанные с возможным знакопеременным усреднением в левых частях уравнений. Для ряда задач эти добавки не очень существенно влияют на расчет критических параметров, но с увеличением геометрических размеров АЗ быстрых реакторов влияние этих поправок становится существеннее.

Таким образом, при нахождении собственного значения вместо двойного цикла итераций (по рассеянию и делению и для нахождения с или Keff) метод квазидиффузии позволяет использовать один, причем быстро сходящийся. Проведенные расчеты активных зон быстрых реакторов типа БН-800 и БОР-60, способных работать в СНЯР-2, потребовали 8-20 итераций для нахождения Keff. В обычно используемых методах источника суммарное число итераций по рассеянию и делению (т.е. количество решений многогруппового уравнения переноса для определения Keff) значительно больше. Нахождение критических параметров начальной сборки делает необходимым еще один итерационный процесс приведения Keff к единичному значению методом секущих.

На основании предложенных методик были рассчитаны критические параметры реакторов БОР-60 и реактора типа БН-800, которые способны работать в СНЯР-2. Оптимизация режима СНЯР-2 по длительности кампании, равномерности энерговыделения во времени и пространстве требует большого количества динамических расчетов. Для их проведения используется более дешевая полуторамерная модель, использующая двумерные утечки через торцы реактора. В диссертации предложено ее улучшение введением не только средних утечек, но и утечек в каждой группе.

Результаты Главы 5 опубликованы в работах [26-31].

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Созданы эффективные методики и комплексы программ решения многогруппового уравнения переноса совместно с квазидиффузией для решения задач переноса излучения в сплошной среде. Предложенные методы обладают повышенными свойствами монотонности и учитывают особенности решения. Методы эффективного понижения размерности уравнения переноса позволили создать экономичную и точную методику, учитывающую взаимное влияние переноса фотонов и газодинамических процессов в системе.

2. Предложен метод учета сильной анизотропии рассеяния в уравнении переноса, значительно сокращающий количество итераций по рассеянию. Решен ряд задач атмосферной радиации с рассеянием на аэрозолях и облаках, обладающих особенностью преимущественного рассеяния вперед. Применение предложенного метода учета анизотропии рассеяния совместно с методом лебеговского усреднения по частоте (А.В.Шильков) позволило получить прецизионные результаты, не имевшие аналогов в мире, для задачи об энергетическом балансе атмосферы Земли.

3. На основании разработанных автором методик расчета переноса излучения и известных газодинамических методик создан программный комплекс LATRANT для моделирования задач радиационной газовой динамики в r-z-геометрии при существенной роли собственного излучения плазмы. Полномасштабное моделирование задач УТС позволило объяснить экспериментальные результаты, полученные на установках PALS и LIL.

4. Создан эффективный метод и комплекс программ расчета многогрупповой системы уравнений переноса нейтронов с квазидиффузией в двумерной r-z геометрии, значительно сокращающий число итераций по рассеянию и делению, применяемый для проведения поисковых работ по оптимизации активных зон быстрых реакторов нового типа, предложенных и разрабатываемых в ИММ РАН, которые обладают повышенными свойствами безопасности и экономичности.

Публикации автора по теме диссертации

1. Е.Н. Аристова, Д.Ф. Байдин, В.Я. Гольдин. Два варианта экономичного метода решения уравнения переноса в r-z геометрии на основе перехода к переменным Владимирова // Математическое моделирование, 2006, т. 18, № 7, стр.43-52.

2. D.F. Baydin, E.N. Aristova, V.Ya. Gol'din. Comparison of the efficiency of the transport equation calculation methods in characteristics variables // Transport Theory and Statistical Physics, 2008, v.37, № 2&4, pp. 286-306.

3. Е.Н. Аристова, А.В. Колпаков. Комбинированная разностная схема для аппроксимации эллиптического оператора на косоугольной ячейке // Математическое моделирование, 1991, т.3, №4, стр.93-102.

4. Д.Ю. Анистратов, Е.Н. Аристова, В.Я. Гольдин. Нелинейный метод решения задач переноса излучения в среде // Математическое моделирование, 1996, т.8, №12, стр.3-29.

5. Е.Н. Аристова, В.Я. Гольдин, А.В. Колпаков. Методика расчета переноса излучения в теле вращения // Математическое моделирование, 1997, т.9, №3,с.91-108.

6. Е.Н. Аристова, В.Я. Гольдин, А.В. Колпаков. Перенос излучения через кольцевую щель в теле вращения // Математическое моделирование, 1997, т.9, №4, с.3-10.

7. E.N. Aristova, V.Ya. Gol'din, A.V. Kolpakov. Multidimensional Calculations of Radiation Transport by Nonlinear Quasi-Diffusional Method. Proceedings of the Joint Intern.Conference M&C'99 on Mathematics and Computation, Reactor Physics and Environmental Analysis in Nuclear Applications, Published by Senda Editorial, S.A. Isla de Saipan, 47, 28035 Madrid, Spain, v.1, p.667-676.

8. Е.Н. Аристова, В.Я. Гольдин. Эффективное понижение размерности уравнения переноса. Энциклопедия низкотемпературной плазмы, 2000, Вводный том, т. 1, с. 462-471.

9. Е.Н. Аристова, В.Я. Гольдин. Нелинейное ускорение итераций решения эллиптических систем уравнений // Математическое моделирование, 2001, т. 13, № 9, с. 82-90.

10. Е.Н. Аристова. Аналог монотонной схемы для решения несамосопряженной системы уравнений квазидиффузии в r-z-геометрии // Математическое моделирование, 2009, т.21, № 2, с. 47-59.

11. E.N. Aristova. Simulation of radiation transport in channel on the basis of quasi-diffusion method // Transport Theory and Statistical Physics, 2008, v.37, № 5&7, pp. 483-503.

12. Е.Н. Аристова, В.Я. Гольдин. Метод учета сильной анизотропии рассеяния в уравнении переноса // Математическое моделирование, 1997, т.9, №6, с.39-52.

13. E.N. Aristova, V.Ya. Gol'din. The method of consideration of a strong scattering anisotropy in transport equation. Proceedings of the Joint International Conference on Mathematical Methods and Supercomputing for Nuclear Applications, Saratoga Springs, New York, October 5-9, 1997, American Nuclear Society, Inc., La Grange Park, Illinoise 60526 USA,vol.2, pp.1507-1516.

14. Е.Н. Аристова, В.Я. Гольдин. Расчет анизотропного рассеяния солнечного излучения в атмосфере (моноэнергетический случай) // Математическое моделирование, 1998, т.10, №9, с.14-34.

15. Е.Н. Аристова, В.Я. Гольдин, А.В. Шильков, С.В. Шилькова. Система ATRAD для расчетов атмосферной радиации: расчеты солнечного излучения для летней атмосферы средних широт // Математическое моделирование, 1999, т.11, N5, с.117-125.

16. А.В. Шильков, С.В. Шилькова В.Я. Гольдин, Е.Н. Аристова. Экономичные прецизионные расчеты атмосферной радиации на основе системы ATRAD // ДАН, 1999, т.369, №5, с.611-613.

17. E.N. Aristova, V.Ya. Gol'din. Computation of anisotropy scattering of solar radiation in atmosphere (monoenergetic case) // Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer, 2000, v. 67, р. 139-157.

18. Е.Н. Аристова, А.Б. Искаков. LATRANT: двумерная лагранжевая методика расчета течений излучающего газа в приложении к задачам УТС // Математическое моделирование, 2004, т. 16 №3, с.63-77.

19. E.N. Aristova, A.B. Iskakov, I.G. Lebo, V.F. Tishkin. 2D Lagrangian code LATRANT for simulation radiation gas dynamic problems. Proceedings of SPIE, v. 5228, ECLIM2002, Editors: O.N.Krokhin, S.Y.Gus'kov, Yu.A.Mercul'ev, December 2003, pp.131-142.

20. Е.Н. Аристова, Д.И. Асоцкий, В.Ф. Тишкин. О параллельном алгоритме расчета течений излучающего газа LATRANT-P // Математическое моделирование, 2004, т. 16 №4, с.105-113.

21. Е.Н .Аристова, И.Г. Лебо, В.Ф. Тишкин. LATRANT: двумерная программа для моделирования газодинамических течений с существенным переносом радиации // Вестник Нижегородского ун-та им. Н.И.Лобачевского, Серия «Математическое моделирование и оптимальное управление», 2005, вып. 1(28), стр.22-29.

22. Е.Н. Аристова. Изучение разлета многослойных фольг под действием лазерного излучения на основе программного комплекса LATRANT. Математика. Компьютер. Образование: Сб. научных трудов. Том. 2, под ред. Г.Ю.Ризниченко. - М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2006, с. 146-157.

23. Е.Н. Аристова. Моделирование процессов переноса энергии лазерного импульса при существенной роли собственного излучения плазмы на основе комплекса LATRANT. В сб.: Проблемы вычислительной математики, математического моделирования и информатики, МЗ Пресс, Москва, 2006, с. 7-33.

24. V. Rozanov, D. Barishpoltsev, E. Aristova and others. Energy transfer in low-density porous targets doped by heavy elements // Journal of Physics: Conference Series, 2008, v. 112, 022010, (4pp).

25. Е.Н. Аристова, Е.М. Иванов, О.Б. Денисов, Н.Ю. Орлов. База данных оптических коэффициентов плазмы DESOPLA и ее использование в программном комплексе LATRANT для решения задач инерциального термоядерного синтеза // Математическое моделирование, 2008, т. 20, №12, стр.3-14.

26. В.Я. Гольдин, Г.А. Пестрякова, Ю.В. Трощиев, Е.Н. Аристова. Исследование саморегулируемого нейтронно-ядерного режима 2-го рода в быстром реакторе // Математическое моделирование, 2000, т. 12 № 4, с. 33-38.

27. В.Я. Гольдин, Г.А. Пестрякова, Ю.В. Трощиев, Е.Н. Аристова. Саморегулируемый нейтронно-ядерный режим в реакторе с жестким спектром и карбидным топливом // Математическое моделирование, 2002, т. 14, № 1, с. 27-40.

28. В.Я. Гольдин, Г.А. Пестрякова, Ю.В. Трощиев, Е.Н. Аристова. Быстрый реактор на оксидном уран-плутониевом топливе в саморегулируемом режиме // Атомная энергия, 2003, т.94, вып.3, стр.184-190.

29. Е.Н. Аристова, В.Я. Гольдин. Расчет уравнения переноса нейтронов совместно с уравнениями квазидиффузии в r-z геометрии // Математическое моделирование, 2006, т. 18 № 11, с.61-66.

30. V.Ya. Gol'din, E.N. Aristova, G.A. Pestryakova, M.I. Stoynov, Yu.V. Troschiev. Active zone of the safe fast uranium-plutonium reactor working without a reactivity margin during long time. International congress on advances in nuclear power plants. International congress on advances in nuclear power plants, Proceedings of ICAPP 2007, May 13-18, 2007, Nice, France, paper 7133, 7pp.

31. Е.Н. Аристова, В.Я. Гольдин. Экономичный расчет многогруппового уравнения переноса нейтронов для пересчета усредненных по спектру сечений // Математическое моделирование, 2008, т.20, № 11, стр. 41-54.

Размещено на Allbest.ru