Проверка общего качества эконометрической модели

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проверка общего качества эконометрической модели



План

1. Коэффициент детерминации. Остаточная и общая дисперсия

2. Оценка адекватности модели. Критерий Фишера

3. Оценка значимости параметров модели по критерию Стьюдента. Проверка статистических гипотез

4. Автокорреляция остатков. Статистика Дарбина-Уотсона

5. Направления совершенствования линейной регрессионной модели

Литература



1. Коэффициент детерминации. Остаточная и общая дисперсия

Коэффициент детерминации как мера качества подбора линии регрессии. Коэффициент корреляции служит основой для другой статистической характеристики - коэффициента детерминации. Последний определяют как r. Этот коэффициент позволяет ответить на вопрос о том, каково качество описания зависимости с помощью уравнения регрессии. Очевидно, чем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии, тем лучше регрессия описывает соответствующую зависимость переменных и с большей надежностью может быть примечена для практических расчетов - оценивая значения у для заданных значений х.

Для того чтобы выяснить смысл коэффициента детерминации, значение зависимой переменной расчленим на составляющие:

y_t = Y + r_t + e_t.

Здесь r_t = y_t - Y= bx_t, y_t = y_t -Y= r_t+ e_t.

Определим теперь сумму квадратов отклонений:

Однако 2= 0. Это следует из того, что

e= y- r= y- bx

и

Но

b

и, следовательно,

Таким образом,

Итак, сумма квадратов отклонений от средней расчленена на две составляющие. Первая из них характеризует систематическую вариацию, т.е. изменение у в соответствии с уравнением регрессии (такую вариацию иногда называют объясненной, так как она объясняется уравнением регрессии), вторая - случайную вариацию (отклонение от линии регрессии).

Найдем теперь отношение суммы квадратов отклонений, обусловленных линией регрессии, к общей сумме квадратов:

Напомним, что

Следовательно,

Величина r получила название выборочного коэффициента детерминации. Заметим теперь суммы квадратов отклонений в формуле на соответствующие дисперсии. После такой замены получим:

где s - дисперсия линии регрессии относительно средней;

s - дисперсия остаточных членов относительно линии регрессии;

s - общая дисперсия.

Из этого следует, что коэффициент детерминации характеризует долю объясненной регрессией дисперсии в общей величине дисперсии зависимой переменной. детерминация стьюдент статистический регрессионный

В силу сказанного r может рассматриваться как мера качества описания зависимости признаков х и у с помощью уравнения регрессии. Чем ближе s к значению s тем выше r и тем теснее примыкают отдельные наблюдения к линии регрессии. Если s=s, то s = 0, а r=1. В этом случае все эмпирические точки лежат на линии регрессии. Если s=0 (а это может быть в том случае, когда все y =Y и изменения у не связаны с изменениями х), то r

Из этого следует, что коэффициент корреляции может быть определен и как

и, наконец,

В таком виде коэффициент принято называть индексом корреляции или корреляционным отношением.

Проверка статистического качества оцененного уравнения регрессии включает следующие шаги:

проверка статистической значимости каждого коэффициента регрессии;

проверка общего качества уравнения регрессии;

проверка наличия свойств данных, предполагавшихся при оценивании уравнения регрессии.

Если с помощью уравнения регрессии анализируется взаимосвязь экономических переменных, то результаты оценивания должны иметь разумную экономическую интерпретацию, в частности, должны быть получены ответы на следующие вопросы:

являются ли статистически значимыми объясняющие факторы, важные с теоретической точки зрения;

являются ли коэффициенты, показывающие направление воздействия этих факторов, положительными или отрицательными и соответствуют ли знаки коэффициентов экономическому смыслу;

лежат ли оценки коэффициентов регрессии внутри интервалов, предполагаемых из теоретических соображений.

Для проверки общего качества уравнения регрессии обычно используется коэффициент детерминации R², который в случае парной регрессии равен квадрату коэффициента корреляции между переменными X и Y. Коэффициент детерминации

Таким образом, коэффициент детерминации представляет собой долю объясненной дисперсии в общей дисперсии зависимой переменной Y.

2. Оценка адекватности модели. Критерий Фишера

На значения экономических переменных обычно влияют многие факторы. В этом случае предполагается, что зависимая переменная Y является функцией m объясняющих факторов X₁,…,X_m и оцениваются параметры функции Y=₀+₁X₁+…+_mX_m+, где _j- коэффициенты регрессии, - случайная ошибка. Как и в случае парной регрессии предполагается, что

Возмущение является нормально распределенной случайной величиной.

Математической ожидание равно нулю: М()=0.

Дисперсия возмущений постоянна: D()=const.

Последовательные значения не зависят друг от друга.

Таким образом, задача состоит в нахождении оценок a₀,a₁,…,a_m коэффициентов ₀,₁,…,_m. Для ее решения обычно используется множественный метод наименьших квадратов, заключающийся в минимизации функции

,

где e_i=y_i-a₀-a₁x_i1-…-a_mx_im - отклонения зависимой переменной Y от линии регрессии; n - объем выборок переменных.

Для обеспечения статистической надежности оценок требуется, чтобы число наблюдений (объем выборок) как минимум в три раза превосходило число оцениваемых параметров.

Если предпосылки 1-4 выполняются, то МНК обеспечивает несмещенность, состоятельность и эффективность оценок.

Приравнивая к нулю частные производные функции S по всем a_j, мы получаем так называемую систему нормальных уравнений, состоящую из (m+1) линейных уравнений с (m+1) неизвестными. Такая система обычно имеет единственное решение.

Для определения статистической значимости коэффициента детерминации проверяется нулевая гипотеза для F-статистики, вычисляемой по формуле:

.

Смысл проверяемой гипотезы заключается в равенстве нулю всех коэффициентов регрессии за исключением свободного члена. Если они действительно равны нулю в генеральной совокупности, то уравнением регрессии является , и коэффициент детерминации R² и F-статистика также равны нулю. Итак, нулевая гипотеза H₀: R²=0 равносильна гипотезе H₀: ₁=…=_n=0.

Если предположения (I)-(IV) имеют место, то при выполнении нулевой гипотезы величина F имеет распределение Фишера с (m; n-m-1) степенями свободы. При принятом уровне значимости для распределения Фишера находится критическое значение F_крит такое, что P(F>F_крит)=. Нулевая гипотеза отвергается, если F>F_крит. В случае парной линейной регрессии проверка нулевой гипотезы для t-статистики коэффициента регрессии эквивалентна проверке нулевой гипотезы для F-статистики.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пример. Рассмотрим уравнение кривой Филлипса для США, параметры которого оценены на основе годовых данных 1994-1966 гг., 13 наблюдений:

=6.29-0.76u, R²=0.66

(здесь - темп инфляции, u - уровень безработицы).

Отсюда следует, что . Для степеней свободы (1;11) при 5% уровне значимости (доверительная вероятность 95%) F_крит=4.84, при 1% уровне значимости F_крит=9.65. Поскольку F=21.4>F_крит, то нулевая гипотеза H₀: R²=0 отвергается в обоих случаях.



3. Оценка значимости параметров модели по критерию Стьюдента. Проверка статистических гипотез

Оценки параметров a и b, полученные методом МНК, при условии, что сделанные выше предположения относительно возмущений справедливы, обладают свойствами:

Оценки параметров являются несмещенными, то есть математическое ожидание параметра равно истинному его значению: M(a)=; M(b)=.

Оценки состоятельны, то есть дисперсия оценки параметра стремится к нулю с возрастанием объема выборки n: .

Оценки являются эффективными, то есть они имеют минимальную дисперсию по сравнению с любыми другими линейными и несмещенными оценками параметров и .

Величины y_i и x_i в выборке значений переменных Y и X являются случайными. Следовательно, оценки a и b также случайны. Их математические ожидания равны, соответственно, и . Чем меньше разброс оценок a и b вокруг их истинных значений и , тем более они значимы. Формулы для дисперсий оценок следующие:

,

где - мера разброса значений зависимой переменной Y около линии регрессии (необъясненная дисперсия); e_i=y_i-a-bx_i - отклонения наблюдаемых значений случайной величины Y от линии регрессии; s_a и s_b - стандартные отклонения оценок коэффициентов a и b.

При проверке нулевой гипотезы отдельно для каждого коэффициента a_j рассчитываются t-статистики: , где - стандартная ошибка для коэффициента a_j. Они имеют распределение Стьюдента с (n-m-1) степенями свободы. Процедура проверки статистической значимости коэффициентов множественной линейной регрессии такая же, как и в случае парной регрессии.

Формальный метод проверки значимости коэффициента регрессии b использует величину отношения b к его стандартной ошибке s_b. Величина (t-статистика для коэффициента b) при условии, что предположения о возмущениях выполнены, имеет t-распределение Стьюдента с n-2 степенями свободы. При заданном уровне значимости для t-статистики проверяется нулевая гипотеза H₀ о равенстве ее нулю (и, следовательно, о равенстве нулю коэффициента b). Нулевая гипотеза H₀ при заданном уровне значимости отвергается, если t_b>t_кр(n-2;), где t_кр(n-2;)-граница критической области распределения Стьюдента для числа степеней свободы n-2 и уровне значимости .

Аналогично проверяется гипотеза о равенстве нулю свободного члена уравнения регрессии Y=+X.

Размещено на http://www.allbest.ru/

4. Автокорреляция остатков. Статистика Дарбина-Уотсона

Необходимо отметить, что близкое к единице значение коэффициента детерминации R² еще не является свидетельством высокого качества уравнения регрессии. Коэффициент детерминации может быть относительно высоким, однако модель может оказаться непригодной для прогнозирования. Это обычно происходит в результате того, что взаимосвязь между зависимым экономическим показателем Y и объясняющими (независимыми) переменными X_i оказывается явно нелинейным. В этом случае можно утверждать, что не выполнены необходимые предпосылки об отклонениях e_i значений показателя Y от линии регрессии. Если эти отклонения не являются взаимно независимыми и дисперсия их непостоянна, то такое нарушение исходных предпосылок, сделанных выше, свидетельствует о неточной спецификации (определения вида зависимости) уравнения регрессии, а также свидетельствуют о неточности полученных оценок коэффициентов регрессии и их стандартных ошибок. Поэтому при оценке качества уравнения регрессии существенна проверка его некоторых важных свойств, которые предполагались при оценке параметров этого уравнения. Если, например, реальная связь между экономическим показателем Y и объясняющими переменными X₁,X₂,,...,X_m нелинейна, то анализ статистической значимости коэффициентов регрессии неточен и оценки этих коэффициентов не обладают желательными для исследователя свойствами, как несмещенность, состоятельность и эффективность.

Закономерность в поведении остатков e_i=y_i-a₀-a₁x_i1-a₂x_i2-...-a_mx_im, i=1,...,n, - отклонений выборочных значений показателя Y от линии регрессии выражается, как правило, в знаке каждых соседствующих отклонений, что может являться следствием нелинейного характера связи переменных или воздействием какого-то фактора, не включенного в уравнение регрессии. Это может быть причиной того, что существует возможность улучшить уравнение регрессии путем оценивания другой нелинейной формулы уравнения или путем включения нового объясняющего экономического фактора.

Одним из основных предполагаемых свойств отклонений _i выборочных значений y_i от регрессионной формулы является их статистическая независимость между собой. Поэтому после оценки параметров уравнения регрессии необходимо проверить статистическую независимость отклонений e_i. При этом проверяется обычно их некоррелированность, которая, вообще говоря, является необходимым, но недостаточным условием независимости. Для проверки некоррелированности соседних значений остатков e_i можно использовать их коэффициент автокорреляции первого порядка

и проверить его статистическую значимость, например, с помощью t-статистики , которая имеет t-распределение Стьюдента с n-2 степенями свободы. При этом, используя закон распределения Стьюдента, для заданного уровня значимости , проверяется нулевая гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции.

На практике эконометрических исследований для проверки наличия или отсутствия автокорреляции остатков обычно используют тесно связанную с коэффициентом автокорреляции первого порядка r_i,i-1 статистику Дарбина-Уотсона, рассчитываемую по формуле

.

Так как

и при больших объемах выборки n имеет место

,

то

DW2(1-r_i,i-1).

Если e_i в точности равны e_i-1, то DW=0. Если e_i=-e_i-1, то DW=4. В остальных случаях 0<DW<4.

Это показывает, что близость статистики Дарбина-Уотсона DW к двум является необходимым условием случайного характера отклонений от линии регрессии. Если статистика Дарбина-Уотсона близка к двум, можно считать отклонения наблюдений экономического показателя Y от линии регрессии случайными. Это значит, что оцененная функция отражает реальную взаимосвязь и не осталось существенных неучтенных факторов, влияющих на показатель Y.

При заданном уровне значимости для статистики Дарбина-Уотсона существуют два критических значения, меньших двух: нижнее d_н как граница для принятия гипотезы о наличии положительной автокорреляции остатков первого порядка и верхнее d_в для признания отсутствия положительной автокорреляции. Для проверки гипотезы об отрицательной автокорреляции остатков используется критическая область (4-d_н; 4). Гипотеза же об отсутствии автокорреляции остатков первого порядка принимается, если расчетное значение статистики Дарбина-Уотсона попадает в интервал (d_в; 4-d_в):

автокорреляции остатков первого порядка принимается, если расчетное значение статистики Дарбина-Уотсона попадает в интервал (d_в; 4-d_в):

В случае, если коэффициент Дарбина-Уотсона DW попадает в интервалы (d_н; d_в), (4-d_в; 4-d_н), никакая из трех гипотез (об отсутствии автокорреляции остатков, о положительной автокорреляции остатков, об отрицательной автокорреляции остатков) при заданном уровне значимости не может быть ни принята, ни отвергнута.

При объясняющих переменных не более 3 и достаточном числе наблюдений (не меньше 12), если статистика Дарбина-Уотсона составляет 1.5-2.5 для уровня значимости =0.05 принимается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков первого порядка.

В случае наличия автокорреляции остатков полученная формула регрессии обычно считается неудовлетворительной. В этом случае приходится искать другую формулу функции, включить неучтенные факторы, применить к данным уменьшающее автокорреляцию остатков преобразование (например, метод скользящих средних) или разбить наблюдения на части, с тем, чтобы для первого периода получить одно уравнение регрессии, а для второго периода - другое.

5. Направления совершенствования линейной регрессионной модели

При эконометрическом исследовании мы встречаемся с тремя противоречиями:

1. Противоречие между структурным и феноменальным. Не всегда измерения (количественных, статистически наблюдаемых величин) относятся к реальной структуре, на основе которой строится экономический объект. Какими бы точными и правильными ни были данные наблюдения, они могут отражать лишь внешние свойства, столь далекие от сущности исследуемого явления, что связь, которую мы устанавливаем между ними, не будет иметь ничего общего со структурной связью, от которой они происходят.

2. Противоречие между причинным и стохастическим. Это противоречие в значительной мере является результатом первого. Следует допускать вероятностные гипотезы [Шаттеллес] при описании связей между наблюдаемыми переменными во многих случаях, когда отсутствует знание относительной "полной" системы причин. По существу это незнание и порождает эконометрию. Если бы были известны непосредственно искомые структурные связи, то были бы известны и система действующих в них причинных отношений. В связи с тем, что наши измерения, наша статистика относятся не только к феноменальному, нужно прибегать к вероятностному суррогату действительности.

3. Противоречие между рационалистическим и эмпирическим. Наши дедуктивные модели часто вступают в противоречие с результатами эмпирического исследования. На первый взгляд, кажется, что нужно отдать предпочтение эмпирическим результатам. Зная искажения, к которым они восприимчивы, становится ясно, что мы не можем и не имеем права ни при каких обстоятельствах отказаться от строгих теоретических дедукций.

Формулировка упомянутых противоречий, возможно, внесет теперь больше ясности в то, что касается различий между математической экономикой и эконометрией.

Первая трактует структурные и причинные аспекты экономики. Последняя, вместе с другими количественными методами трактует эмпирически феноменальные и статистические аспекты экономических объектов.

В эконометрике следующая проблема о наиболее благоприятном моменте эконометрического анализа. Какие данные, за какой период наиболее подходящие для построения эконометрических моделей? При сложном эконометрическом анализе прежде всего следует иметь в виду, извлекаются ли исследуемые данные из "одной и той же урны". В случае наиболее "свежих" данных мы не всегда можем на это полагаться. Следовательно, не обязательно располагать "последними данными" для построения эконометрической модели.

Эконометрика может применяться в построении количественных моделей структур, основанном на регистрации моментных состояний:

1) для оценки или уточнения параметров моделей, полученных по статистическим данным;

2) для создания возможности включения в модель как дополняющего наряду с данными одномоментной регистрации элемента, так и данных, полученных в результате эконометрического анализа.

Вычисление параметров макроэкономических моделей, по существу - основная цель эконометрии, как и других методов количественной экономики, если рассматривать их полезность для экономической политики и прогнозирования. Предсказание эволюции основано на результатах эконометрических расчетов.

Цель оценки или построения эконометрических функций и уравнений заключается в конечном счете в получении эффективного инструментария предвидения. Достижение желательной эффективности предвидения является, однако, функцией степени согласованности между эконометрической моделью (подробная числовая экономико-математическая модель) и внутренней структурой статистических показателей, данных наблюдения. Искомая корреспонденция ограничена не только противоречием между структурой изучаемого объекта и сигналами, которые содержатся в статистических данных.



Ключевые слова

Адекватность модели, значимость коэффициентов регрессии, надежность статистических оценок, общая и остаточная дисперсия, нулевая и ненулевая гипотеза, автокорреляция остатков, критерий Дарбина-Уотсона, таблицы распределений.



Контрольные вопросы

1. 1.Для чего необходимо проверять качество модели?

2. 2.В чем суть понятия адекватности модели?

3. Как используется коэффициент детерминации при выборе адекватной линии регрессии.

4. Как проверяется нулевая гипотеза для критерия Фишера?

5. Для чего используется таблица распределения Стьюдента?

6. Что такое автокорреляция остатков?

7. Критерий Дарбина-Уотсона

8. Основные противоречия эконометрического исследования



Литература

1. Замков О.О. Математические методы и модели. -М.: ДиС, 2000.

2. Замков О.О. Эконометрические методы в макроэкономическом анализе.М 2003.

3. Бородич С.А. Эконометрика. Минск: Новое знание, 2001.

4. Нименья И.Н. Эконометрика. СПб.:Издательский Дом «Нева», 2003.

5. Ежеманская С.Н. Эконометрика. Ростов - на Дону, Феникс, 2003.

6. Магнус Я.Р. и другие. Эконометрика. М.: Дело,2000.

7. К.Доугерти. Введение в эконометрику. ИНФРА-М,1999.

8. Н.Ш.Кремер, Путко Б.А. Эконометрика.М.:ЮНИТИ-ДАНА,2002.

9. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистка и эконометрика. М.:МЭСИ,2000.

10. Моделирование и прогнозирование экономических показателей на основе информационных технологий: Учеб. пос./Н.М.Махмудов. -Т.: ТГЭУ, 2002.

Интернет сайты

1. www.bolero.ru/product-22422499.html

2. www.books.ru/shop/books/86703.html

3. www.center.neic.nsk.su/page_rus/bmodel.html

4. www.cemi.rssi.ru

Размещено на Allbest.ru

...