Производственные функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Производственные функции

Содержание

1. Понятие производственной функции

2. Производственная функция Кобба-Дугласа. Средние и предельные производительности факторов производства

3. Соотношение замещения и взаимодействия ресурсов в производственной функции

4. Анализ эффектов масштаба на основе параметров производственной функции

5. Типы показателей рассчитываемых на основе производственных функций

производительность эластичность затраты

1. Понятие производственной функции

Производственная функция есть экономико-математическое выражение зависимости результатов производственной деятельности от показателей - факторов, обусловивших эти результаты. В условиях экономической действительности результат процесса производства определяется действием большого количества различных факторов - технических, экономических, социальных, природных. Все эти факторы учесть в производственной функции невозможно, т.к. одни из факторов не поддаются количественному выражению, а воздействие других практически мало. Поэтому производственная функция включает в себя те факторы, которые оказывают решающее воздействие на изучаемый показатель.

Аппаратом исследования производственных функций служат методы математической статистики. По своему содержанию производственные функции охватывают всевозможные зависимости в сфере производства на различных уровнях - предприятие, отрасль, народное хозяйство. С учетом изучаемой зависимости, целей и задач исследования применяются многообразные формы производственных функций. В простом случае изменение результативного показателя ставится в связь с изменением одного из показателей - факторов. Тогда производственная функция представляет собой уравнение y = f (x) с двумя переменными - независимой х (показатель фактор) и зависимой у (результативный показатель). Это уравнение может быть линейный или нелинейным. Чаще строятся многофакторные производственные функции, позволяющие измерить характер и силу совместного влияния нескольких показателей-факторов на величину результативного фактора. Уравнение многофакторной производственной функции имеет вид:

у = f (х₁, х₂,…, х_n)

где у - результативный показатель (выпуск продукции и т.д.), а х₁, х₂,…, х_n - показатели - факторы (затраты труда и средств производства, природные условия и т.д.). Многофакторное уравнение может быть линейным или нелинейным. Многофакторная производственная функция может быть представлена в виде системы взаимосвязанных уравнения, когда это необходимо. Различают статистические и динамические производственные функции. В статистических функциях не учитывается время как фактор, изменяющий основные характеристики изучаемой зависимости. Динамические производственные функции включают фактор времени: время может в них рассматриваться как самостоятельная переменная, влияющая на результат; параметры и показатели-факторы могут рассматриваться как функции времени. Производственные функции разрабатываются и как самостоятельные экономико-математические модели, предназначенные для прогнозирования, принятия решений.

2. Производственная функция Кобба-Дугласа. Средние и предельные производительности факторов производства

Экономико-математическое исследование производственных функций позволяет получить ряд показателей, связанных с содержанием и формой функции и дают возможность анализа о характере изучаемой зависимости. Рассмотрим эти показатели на примере одной из производственных функций - функции Кобба-Дугласа. Предположим, что в масштабах народного хозяйства изучается зависимость величины валовой продукции от двух факторов: затрат живого труда и производственных фондов. Эта зависимость имеет вид:

у = а₀ х₁^{а1 .} х₂^а2(1)

где у - величина валовой продукции

х₁- затраты труда

х₂ - объем производственных фондов

а₀, а₁, а₂ - параметры производственной функции.

0 < a_i < 1, где i = 1; 2.

Сначала определим на основании производственной функции (1) показатель производительности труда, как отношение величины валового продукта к совокупным затратам труда:

у/ х= а₀ ^. х₁^{а1- 1 .}х₂^а2(2)

Это выражение характеризует среднюю производительность труда, т.к. показывает среднее количество продукции приходящееся на единицу отработанного времени, т.к. коэффициент 0 < a₁ < 1 , то показатель степени (a₁-1) при X₁ - отрицательная величина, т.е. с увеличением затрат труда производительность снижается. Производительность труда снижается с ростом трудовых затрат при прочих равных условиях, т.е. при неизменном объеме других ресурсов, в том числе производственных фондов х₂. Увеличение производственных функций помимо средних показателей большую роль играют предельные величины. Предельная производительность труда показывает сколько дополнительных единиц продукции приносит дополнительная единица затраченного труда. Уравнение предельной производительности труда для функции (1) есть частная производная выпуска продукции по затратам труда.

dу/ dх = a₀ а₁ х₁^{а1- 1 .} х₂^а2(3)

Из этого выражения видно, что предельная производительность труда зависит от трудовых затрат х₁ и производственных фондов х₂ . С увеличением затрат труда при неизменных производственных фондах предельная производительность труда снижается. С увеличением объема фондов при неизменных затратах труда предельная производительность труда увеличивается. Одновременное изменение переменных х₁ и х₂ приводит к разным результатам - снижению, росту или неизменной величине предельной производительности труда. Сопоставляя выражение (2) и (3) получим

dу/ dх = а₁ (у/ х₁) (4)

т.к. 0<a₁<1, то в производственной функции (1) предельная производительность труда ниже средней производительности. Наряду с исчислением абсолютного прироста продукции на единицу прироста затрат исчисляют относительный прирост объема производства на единицу относительного увеличения ресурсов труда:

(dу/ dх₁) ^.( х₁/ у) = а₁ (5)

из выражения (4). Полученный показатель называется эластичностью выпуска продукции по затратам труда. Он показывает, на сколько процентов увеличивается выпуск при увеличении затрат труда на 1%. Относительная величина не зависит от ресурсов, и при любом их сочетании увеличение трудовых затрат на 1% приводит к росту объема производства на а₁ %.

Аналогичные показатели рассчитываются по отношению ко второму фактору х₂ - производственным фондам. Объем продукции на единицу используемых фондов есть фондоотдача, рассчитаем среднюю фондоотдачу из выражения (1):

у/ х₂ = а₀ х₁^а1 х₂^{а2 - 1}(6)

Это выражение показывает, что средняя фондоотдача увеличивается при увеличении ресурсов труда (при неизменных фондах) и уменьшается с увеличением фондов (при неизменных трудовых ресурсах). Показатель предельной фондоотдачи есть частная производная выпуска продукции по объему фондов:

dу/ dх₂ = a₀ а₂ х₁^а1 х₂^{а2 - 1}(7)

т.к. 0<a₂<1, то предельная фондоотдача ниже средней. Относительная предельная фондоотдача или эластичность выпуска продукции по объему производственных фондов определяется выражением

(dу/dх₂) ^. (х₂/ у) = а₂ (8)

3. Соотношение замещения и взаимодействия ресурсов в производственной функции

Производственная функция позволяет рассчитывать потребность в одном из ресурсов при заданном объеме производства и величине другого ресурса. Из уравнения (1) следует, что потребность в ресурсах труда равна:

х₁ = (у ₁ /( a₀ ^. х₂^а2)) ^а2(9)

потребность в производственных фондах:

х₂ = (у ₁/( a₀ ^. х₁^а1)) ^а2(10)

Производственная функция позволяет исследовать и вопросы соотношения, замещения, взаимодействия ресурсов. При изучении взаимодействия трудовых ресурсов и производственных фондов определяется показатель фондовооруженности труда. Для функции (1) - это есть отношение переменных х₁ и х₂.

Разделив выражение (10) на (9) получим:

(x_{2 - 1 1 -1 -} ^a1)/ x₁ = a₀ ^{a2 .} y ^{a2 .} x₁ ^a2 (11)

Взаимодействующие в рамках производственной функции ресурсы могут замещать друг друга. Это означает, что единицу одного ресурса можно было бы заменить некоторым количеством другого ресурса так, что объем продукции при этом не изменится. На основе производственной функции можно рассчитать предельную норму замещения ресурсов. Предельная норма замещения затрат труда производственными фондами равна:

(dх₂ - а₁ ) / dх₁ = х₁ / (а₂х₁) (12)

Знак минус в этом выражении означает, что при фиксированном объеме производства увеличению одного ресурса соответствует уменьшение другого, и наоборот. Предельная норма замещения ресурсов зависит не только от параметров а₁ и а₂ , но и от соотношения объемов ресурсов. Чем выше фондовооруженность труда, тем выше норма замещения затрат живого труда производственными фондами. Это обстоятельство находит свое выражение в показателе, который называется эластичностью замещения ресурсов и определяется как отношение относительных приращений фондовооруженности труда и предельной нормы замещения ресурсов (w):

dх₂ / dх₁= h (13)

w = (d (х₂/х₁)/ dh) ^. (h / (х₂/х₁))

Эластичность замещения ресурсов постоянна и равна единице. Это согласуется с анализом выражения (12): изменению фондовооруженности труда на 1% соответствует изменение предельной нормы замещения на 1 %.

4. Анализ эффектов масштаба на основе параметров производственной функции

Важной характеристикой производственной функции (1) является сумма коэффициентов эластичности выпуска по затратам, т.е. величина А= a₁+ a₂ ; 0 < a₁ ; a₂ < 1, экономически это предположение оправдано. Если бы, например коэффициент а₁ был бы отрицательным, это означало бы, что с увеличением трудовых затрат выпуск продукции снижается абсолютно. Нереально и то, что а₁ > 1: это означало бы, что увеличение только трудовых ресурсов, например, в два раза при неизменном количестве остальных производственных ресурсов обеспечивает прирост продукции в два раза (если а₁ = 1) и более, чем в два раза (если а₁ > 1). Аналогичные выводы относятся и к коэффициенту а₂. Сумма А - показывает эффект одновременного пропорционального увеличения объема как ресурсов труда, так и производственных фондов. Предположим, что объем каждого ресурса увеличился в m раз, тогда новый объем продукции равен:

y` = a₀ (mх₁ ) ^{а1 .} (mх₂ ) ^а2 = a₀ m^{а1 + а2} х₁^{а1 .} х₂^а2 = m^Ay (14)

Итак, при расширении масштабов производства можно, в зависимости от величины А = а₁ + a₂ получить три варианта результатов:

1) Если А = 1, то увеличение ресурсов в m раз приводит к увеличению объема производства тоже в m раз (y` = my)

2) Если А > 1, то увеличение ресурсов в m раз приводит к росту объема продукции, более, чем в m раз. Экономически можно говорить о положительном эффекте расширения масштабов производства.

3) Если А < 1 , то увеличение ресурсов в m раз приводит к возрастанию объема производства менее, чем в m раз. В этом случае имеет место отрицательный эффект расширения масштабов производства.

В соответствии с уравнением (15) выпуск продукции возрастает с ростом затрат ресурса, причем при любом уровне затрат дополнительная их единица обеспечивает постоянный прирост выпуска на а₁ единиц (а₁ > 0). Для большинства ресурсов такое предположение расходится с реальностью. Более естественную интерпретацию уравнение (15) получает как функция затрат, где х - объем производства, у - производственные затраты, тогда а₀ - постоянные затраты, не зависящие от объема производства, а₁х - переменные затраты, пропорциональные выпуску продукции. Средняя производительность убывает по гиперболическому закону. Предельный продукт (или предельная себестоимость единицы продукции) есть величина постоянная, равная а₁. При положительных параметрах а₀ и а₁ коэффициент эластичности Е < 1. С увеличением х эластичность растет, приближаясь к 1, т.е. для функции линейной увеличение независимой переменной на 1 % приводит к росту зависимой переменной величины менее чем на 1%.

5. Типы показателей, рассчитываемых на основе производственных функций

Учитывая характеристики, полученные для функции вида (1), дадим общее описание производственных функций. При n показателях - факторах она имеет вид.

у = f (х₁, х₂, … , х_n)

Для любого ресурса i можно определить его среднюю производительность при фиксированных объемах остальных ресурсов:

у / х₁ = f (х₁, х₂, … , х_n) / х_i

Предельная производительность i-го ресурса, характеризующая приращение результата производства на единицу приращения i-го ресурса, определяется так:

dy / dx_i = f `_xi (х₁, х₂, … , х_n)

Изменение предельной производительности с изменением объема i-го ресурса при неизменном объеме других ресурсов рассчитывается как вторая частная производная зависимой переменной у по i-му ресурсу

d²y / dx_i²= f ``_xi (х₁, х₂, … , х_n)

Если эта производная положительна, то предельна отдача i-го ресурса возрастает, если - отрицательна, то предельная производительность убывает, в случае знакопеременной производной кривая предельной отдачи фактора имеет восходящий и нисходящий участки, причем в некоторой точке достигается максимум предельной производительности. Для отыскания точки максимума имеет:

f `` (х₁, х₂, … , х_n) = 0

Эластичность выпуска по затратам i-го ресурса, показывающая относительное изменение результата производства на единицу относительного изменения затрат i-го ресурса, имеет вид:

Еi = (dу / dх₁) . (х₁/ y) = f `_xi (х₁, х₂, … , х_n) / f (х₁, х₂, … , х_n)

Потребность в i-м ресурсе как функция величины выпуска и объемов других ресурсов определяется выражением:

х_i = f (y, х₁, х₂, … , х_n)

Предельная норма замещения h_ij j-го ресурса i-м ресурсом:

h_ij = dх₁/ dх_j = - dy/dx_j / dy/dx_i

Относительным показателем замещения ресурсов является эластичность замещения:

w_ij = d(х₁/x_j) / dh_ij = h_ij /( x_i x_j)

В соответствии с видом производственной функции эластичность замещения может быть переменной или постоянной величиной.

При выборе вида производственных функций необходимо учитывать закономерности изменения средних и предельных продуктов, норм замещения, коэффициентов эластичности.

Рассмотрим некоторые виды производственных функций. Сначала рассмотрим однофакторные функции, где результат производства связан с единственной независимой переменной.

Простейшей формой однофакторной производственной функции является линейное уравнение вида

у = a₀ + а₁ х (15)

Функция выражает зависимость объема производства от величины затрат какого-либо ресурса, при условии, что экономическая сущность зависимости согласуется с уравнением (15). При отсутствии затрат ресурса (х = 0) выпуск продукции имеет некоторую величину: у = a₀ (при а₀ > 0). Для специфических видов ресурсов типа удобрений такое условие отвечает действительности, для других ресурсов - не имеет смысла

Литература

1. Замков О.О. Математические методы и модели. - М.: ДиС, 2000.

2. Замков О.О. Эконометрические методы в макроэкономическом анализе. М 2003.

3. Бородич С.А. Эконометрика. Минск: Новое знание, 2001.

4. Нименья И.Н. Эконометрика. СПб.: Издательский Дом «Нева», 2003.

5. Ежеманская С.Н. Эконометрика. Ростов - на Дону, Феникс, 2003.

6. Магнус Я.Р. и другие. Эконометрика. М.: Дело,2000.

7. К. Доугерти. Введение в эконометрику. ИНФРА-М,1999.

8. Н.Ш. Кремер, Путко Б.А. Эконометрика.М.:ЮНИТИ-ДАНА,2002.

9. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистка и эконометрика. М.: МЭСИ,2000.

10. Моделирование и прогнозирование экономических показателей на основе информационных технологий: Учеб. пос. / Н.М. Махмудов. -Т.: ТГЭУ, 2002г.

Размещено на Allbest.ru