Математические методы агрометеорологического прогнозирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математические методы агрометеорологического прогнозирования



Прогнозирование (от греч. prognosis - знание наперед) - это вид познавательной деятельности человека, направленной на формирование прогнозов развития объекта на основе анализа тенденций его развития [1]. Под прогнозом понимается научно обоснованное описание возможных состояний объектов в будущем, а также альтернативных путей и сроков достижения этого состояния. Сам процесс разработки прогнозов называется прогнозированием. Агрометеорологические прогнозы - это прикладная область агрометеорологии, изучающая закономерности распределения и изменения во времени и пространстве агрометеорологических условий, влияющих на объект и процессы сельскохозяйственного производства, и методы прогнозирования этих условий [2].

Сельскохозяйственное производство является сложнейшим объектом с точки зрения моделирования систем. Сложность моделирования заключается в том, что большинство факторов, формирующих модель, недостаточно изучены и имеют во многом стохастический характер поведения. Если рассматривать процесс производства сельскохозяйственной продукции с общесистемных критериев, то можно заметить, что это процесс взаимодействия биологических, социальных, технических и информационных подсистем, нацеленных на получение конечного результата. Поэтому сельское хозяйство - это сложная биосоциотехническая система. Результатом является множество разных методов для построения прогнозных моделей.

По степени формализации методы прогнозирования делят на экспертные и формализованные. Экспертные методы используются, когда из-за сложности объекта прогнозирования практически невозможно аналитически учесть влияние многих факторов. Если объект прогнозирования удается с приемлемой степенью адекватности описать формальной моделью, то используют формализованные методы.

Обычно при невозможности непосредственного использования формализованных методов бывает полезным сделать процедуру прогнозирования двухэтапной. Сначала выполняют экспертное прогнозирование. А затем, на основе наблюдения за объектом и анализа соответствия результатов прогноза фактическому состоянию объекта исследования, может появиться дополнительная информация, позволяющая перейти к формализованным методам.

Формализованные методы отличаются по степени точности и абстрактности используемых моделей. Большинство авторов сходятся в том, что важнейшая цель прогнозирования состоит в формировании научных предпосылок принятия управленческих решений. Для этого необходимо стремиться к использованию абстрагированных, в первую очередь, математических моделей. Поэтому в настоящее время в различных областях, включая сельское хозяйство, преобладает тенденция использования математических методов прогнозирования.

Специфика математических методов прогнозирования состоит в том, что с увеличением степени абстрагирования растет важность соответствия типа модели прогнозируемому явлению. Действительно, с одной стороны, использование метода прогнозирования, опирающегося на адекватную математическую модель, повышает достоверность прогноза, обеспечивая эффективность управленческих решений. А, с другой стороны, если модель не позволяет адекватно описать исследуемую задачу, то в дальнейшем вряд ли удастся сделать достоверный прогноз.

Поэтому проблема обоснованного выбора математического метода агрометеорологического прогнозирования является актуальной, как при планировании и организации сельскохозяйственного производства, так и в плане адекватности разрабатываемых прогнозов.

Цель статьи - дать сравнительный обзор математических методов, которые можно применять в агрометеорологическом прогнозировании.

Совокупность основных математических методов прогнозирования с учетом их различных методологических аспектов можно представить следующими классами:

· методы прогнозной экстраполяции;

· вероятностное моделирование;

· корреляционный и регрессионный анализ;

· методы распознавания образов;

· стохастические модели временных рядов;

· спектральный анализ;

· детерминированные математические модели.

Рассмотрим далее эти методы.

Методы прогнозной экстраполяции

Экстраполирование - построение динамических рядов развития показателей прогнозируемого процесса y_t на протяжении периодов основания прогнозов в прошлом и упреждения прогноза в будущем.

Самые простые процедуры экстраполивания - это линейные фильтры

прогнозирование агрометеорология математический

где z_t - моделируемое значение показателя в момент t; б_i - i-й весовой коэффициент; L=2m+1 - апертура скользящего фильтра.

При наличии в исследуемом процессе значительных помех в виде выбросов, можно перейти к нелинейной, обычно, медианной фильтрации [3]

Основной недостаток этих процедур - они плохо учитывают быстрые изменения в динамике. Однако, несмотря на это, скользящее усреднение может быть полезно при достаточно гладких прогнозируемых процессах, а также для предварительного анализа процесса.

Были предложены методы, учитывающие указанный недостаток скользящего усреднения. Здесь можно выделить адаптивное сглаживание и экстраполяционное моделирование.

Адаптивное сглаживание обладает возможностью построения самокорректирующихся моделей, способных учитывать результаты прогноза, сделанного на предыдущем шаге [4]. Адаптивные методы могут успешно использоваться при краткосрочном прогнозировании, характерном для сельскохозяйственного производства с выраженной цикличностью.

Простейшим примером адаптивного подхода является экспоненциальное сглаживание, реализуемое в виде

где б - параметр сглаживания, управляющий реакцией модели на изменение динамики при одновременной фильтрации случайных отклонений.

В настоящее время предложены и более сложные адаптивные процедуры - Хольта, Брауна и т.д. [5]. Принцип их работы тот же, что и у экспоненциального сглаживания.

Основной проблемой использования адаптивного сглаживания является неоднозначность и невозможность формализации при выборе вида и параметров модели. Зачастую вопрос решается эмпирически.

Модель структурно-детерминированного ряда (экстраполяционная модель) имеет вид [6]

где - детерминированная составляющая, называемая трендом временного ряда; е_t - случайная составляющая.

Оценку параметров детерминированной составляющей в (1) выполняют методом наименьших квадратов (МНК) [7]. Если плотность вероятности случайной составляющей имеет более вытянутые хвосты (не работает правило «трех сигм»), то для расчета оправдан метод наименьших модулей (МНМ) [8,9].

Достоинства экстраполяционных моделей:

· хорошо описывает тенденцию процесса;

· аналитическое представление, модель имеют содержательную интерпретацию;

· разработанность аппарата регрессионного анализа для построения моделей.

Недостатки:

· невозможно формализовать процедуру выбора наилучшей модели. Форму трендовой модели или задают исходя из знания общих закономерностей прогнозируемого процесса, в противном случае можно использовать различные методы распознавания зависимостей [10-13];

· случайная составляющая не имеет содержательного смысла;

· неустойчивость оценок параметров в условиях нестационарности случайной составляющей;

· не учитывается возможная взаимосвязь исследуемого показателя от других показателей.

Вероятностное моделирование

К наиболее распространенным вероятностным моделям, используемым в прогнозировании, можно отнести цепи Маркова и системы массового обслуживания.

Система может быть представлена в виде цепи Маркова [14], если она имеет фиксированное число состояний, из одного в другое она может переходить через некоторые фиксированные моменты времени, вероятности переходов из одного в другое состояние должны быть заданы или оценены.

Цепь Маркова предназначена, главным образом, для вероятностного описания поведения достаточно хорошо структурированных процессов с небольшим числом различных состояний, при условии знания вероятностей переходов из одного в другое состояние. Такими состояниями, например, могут быть качественные оценки урожайности: высокая, средняя, удовлетворительная, плохая и т.д. Критичным при использовании цепей Маркова является задание или оценивание матриц вероятностей перехода.

Во многих областях важную роль играют системы специального вида, реализующие многократное выполнение однотипных задач [15]. Подобные системы называют системами массового обслуживания (СМО). Для использования таких систем в агрометеорологическом прогнозировании требуется соответствие структуры исследуемой системы модели СМО.

Корреляционный и регрессионный анализ

Одной из наиболее распространенных моделей является причинно-следственная зависимость условного среднего прогнозируемого показателя от ряда факторов. Для построения и анализа подобных моделей используют корреляционно-регрессионный анализ. Теснота связи оценивается коэффициентами корреляции, а сама связь описывается уравнениями регрессии. Независимые переменные, используемые в агрометеорологическом прогнозировании, можно объединить в три группы:

· метеорологические и агрометеорологические показатели, характеризующие условия произрастания культуры, связанные с погодой;

· фитометрические показатели, отражающие состояние культуры;

· агротехнические показатели, характеризующие уровень культуры земледелия.

Например, в [16] получена регрессионная модель для прогнозирования урожайности, построенная по статистическим данным за несколько лет



где Y урожайность зерновых и зернобобовых культур; X₁ - площади под зерновые; X₂ - внешний минимальный ущерб; X₃ - площади обрабатываемых сельскохозяйственных культур летательными аппаратами; X₄ - рентабельность отрасли растениеводства; X₅ - себестоимость 1 тонны реализуемого зерна; X₆ - энергетические мощности сельскохозяйственных организаций.

В некоторых случаях в регрессионную модель вводят лаговые переменные. Например, инвестиции дают результат через некоторый период времени, поэтому их целесообразно вводить в модель с задержкой в несколько лет. Иногда возникают ситуации, когда имеется много факторов, но некоторые из них по-разному связаны с зависимой переменной. В результате эти факторы оказывается статистически не значимыми. Исправить ситуацию может введение в модель в качестве фактора значений зависимой переменной в предыдущие периоды времени [17].

Оценки параметров регрессионных зависимостей обычно находят с помощью МНК или МНМ.

Укажем на ряд трудностей использования регрессионного анализа.

1. Проблема выбора существенных факторов. Их поиск затруднен тем, что регрессионная модель не содержит в себе физического обоснования и оказывается справедливой лишь для тех ограниченных условий, для которых модель построена.

2. Малый объем выборки исходных данных. В регрессионном анализе для получения статистически достоверных оценок параметров модели количество переменных должно быть в разы меньше (от 3 до 7 раз в разных источниках [18]). На практике это условие часто не выполняют. Например, при построении указанной выше модели использовано 9 наблюдений (данные с 2001 по 2009 гг.) при 7 неизвестных параметрах. Объем выборки здесь должен был быть более 21 наблюдения.

3. Мультиколинеарность входных переменных приводит к смещению оценок коэффициентов при соответствующих переменных. Для ее устранения используют разные приемы - ридж-регрессию [19], факторный анализ или метод главных компонент [20], преобразования переменных [21]. Однако каждый из них не гарантирует получение корректного результата.

4. Часто исходные данные стохастически не однородны, могут содержать аномальные наблюдения, выбросы и т.д. Это требует привлечения робастных методов регрессионного анализа [22].

Достоинствами линейной регрессионной модели являются ее ясная интерпретация, простота определения параметров, возможность оценки точности прогноза путем построения доверительных интервалов.

Если корреляционная связь между входными переменными и зависимой переменной не линейна, то используют нелинейные регрессионные модели [21]. Обычно их выбирают в классе линеаризуемых моделей, что позволяет в результате замены переменных перейти к линейной модели. Однако это не является принципиальным ограничением, поскольку разработаны численные методы построения нелинейных регрессионных зависимостей [22]. Следует также указать на проблему выбора формы нелинейной модели. Обычно выбор ограничивают несколькими типовыми вариантами нелинейностей.

Если форма зависимости не известна и не может быть уверенно найдена по экспериментальным данным, то альтернативой служит непараметрический регрессионный анализ. Его суть в том, что вместо уравнения регрессии осуществляют сглаживание каждого значения зависимой переменной по входным переменным в некоторой окрестности соответствующей точки. В [23] описан ряд непараметрических алгоритмов.

Методы распознавания образов

При агрометеорологическом прогнозировании в ряде задач можно использовать статистические методы распознавания образов [20]. Различают распознавание без обучения (кластерный анализ) и распознавание с обучением (дискриминантный анализ). Отметим, что дискриминантный анализ может выделять кластеры (состояния) не только с помощью линейных разделяющих гиперплоскостей, но и нелинейных. Пример использования распознавания образов при прогнозировании урожайности рассмотрен в [24].

Альтернативным подходом для распознавания с обучением является логистическая регрессия, где разделяющие гиперплоскости строятся как модели бинарного или, в общем случае, множественного выбора [21]. Пример использования логистической регрессии при прогнозировании зимостойкости растений приведен в [25].

Использование статистических методов распознавания позволяет оценить состояние исследуемого объекта, представленного в виде вектора компонент. Результатом прогнозирования является не конкретная величина того или иного показателя или доверительный интервал ее значений, а отнесение объекта к тому или иному кластеру, а также оценка вероятности этого результата.

Основной недостаток - необходимость наличия достаточно большого объема данных для обеспечения приемлемой достоверности прогноза.

Стохастические модели временных рядов

Общей предпосылкой для всех стохастических моделей временных рядов является предположение о том, что текущее значение процесса y_t в значительной степени предопределено его предысторией, т.е. величина y_t генерируется значениями y_t-₁, y_t-₂, … согласно характерным для этого временного ряда закономерностям [26]. Математически это допущение выражается в виде

где, как и в (1), е_t представляет собой ошибку модели в момент t.

Эти модели являются альтернативой регрессионному анализу, когда затруднительно сформировать группу существенных признаков из-за их слишком большого числа или невозможности измерения некоторых из них.

Для всех стохастических моделей временных рядов постулируется, что функция f в соотношении (2) выражает характер взаимосвязей, сложившихся в рассматриваемом временном ряду у_t. При удачном подборе этой функции «детерминированная» часть выражения (2) будет в некотором смысле близка к реальным значениям этого ряда. Как и ранее степень близости обычно устанавливают по свойствам ошибок e_t, включая минимум дисперсии, соответствие белому шуму, нормальность распределения.

В настоящее время получили распространение линейные стохастические модели временных рядов [27]:

· авторегрессии порядка p (АР(p) - модель)

· скользящего среднего порядка q (СС(q) - модель)

· авторегрессии-скользящего среднего порядка p, q (АРСС (p, q) - модель)

Модели (3) - (5) могут описывать как стационарные, так и не стационарные процессы, коэффициенты a_i, b_j считают постоянными величинами произвольного знака, относительно е_tограничиваются стационарностью в широком смысле. Пока достаточно формализован анализ стационарных процессов. В случае нестационарных процессов временной ряд обычно моделируется в виде [27]



где x_t - стационарный временной ряд вида (3) - (5), g(t) - некоторая нестационарная составляющая трендового вида.

Для процесса (6) вначале выделяют трендовую компоненту [28]. Следует отметить не проработанность теории для случая произвольного тренда g(t). В настоящее время предложен подход только для частного случая, когда g(t) представляет собой полином порядка d [27]. Эту модель называют интегрированной моделью авторегрессии-скользящего среднего порядка p, d, qи обозначают АРИСС (p, d, q), где d - порядок разности (интеграции) при котором достигается стационарность процесса

Достоинства стохастических моделей временных рядов:

· возможность прогнозирования случайных процессов;

· разработанность теории моделирования для стационарных случайных процессов;

· формализована процедура идентификации модели;

Недостатки:

· описывают ограниченный класс нестационарных относительно среднего процессов;

· в целом отсутствует интерпретация параметров моделей;

· неустойчивость оценки параметров в условиях нестационарности случайной составляющей.

Еще одним перспективным методом прогнозирования на основе стохастических временных рядов является интегрированность и коинтегрированность переменных [5]. Метод позволяет исследовать в динамике наличие или отсутствие линейной корреляционной взаимосвязи между различными показателями.

Спектральный анализ

Спектральная плотность - частотная функция, характеризующая распределение мощности процесса по частотам спектра. Спектральную плотность определяют с помощью дискретного преобразования Фурье [29] или на основе параметрических АРСС-моделей [30]. Использование спектрального анализа в прогнозировании основано на анализе динамики спектральных составляющих, например изменения величин дискретных составляющих (гармоник), а также перераспределения энергии в характерных диапазонах частот и т.д. Метод получил наибольшее развитие при прогнозировании в технике и экономике. Однако многие задачи агрометеорологического прогнозирования могут также успешно решаться методами спектрального анализа.

Детерминированные математические модели

Детерминированные математические модели [31-33] имеют ясную интерпретацию, но ввиду стохастического характера факторов могут успешно использоваться при агрометеорологическом прогнозировании лишь в первом приближении. Их основными недостатками являются:

- они ограничены краткосрочными прогнозами;

- имеют низкую достоверность прогноза (поскольку не учитывают случайных факторов).

Следует отметить, что данные методы можно использовать при решении различных оптимизационных и вариационных задач для повышения эффективности управленческих решений.

В настоящее время разработан широкий спектр математических методов для агрометеорологического прогнозирования. Эти методы позволяют прогнозировать, как количественные, так и качественные показатели.

В первом случае могут успешно применяться прогнозная экстраполяция, вероятностное моделирование, корреляционно - регрессионный анализ и стохастические модели временных рядов. Во втором - методы распознавания образов, спектральный анализ и прогнозирование на основе детерминированных математических моделей.

Использование того или иного математического метода должно опираться на исследование специфики конкретной задачи, формирование предварительной модели исследуемого явления в терминах предметной области, а не наоборот. Это позволит с большей надежностью выбрать математический метод, который будет опираться на адекватную математическую модель и позволит обеспечить максимальную достоверность прогнозирования.



Литература

прогнозирование агрометеорология математический

1. Статистическое моделирование и прогнозирование: учеб. пособие / Под ред. А.Г. Гранберга. М.: Финансы и статистика, 2000. - 383 с.

2. Полевой А.Н. Прикладное моделирование и прогнозирование продуктивности посевов. - Л.: Гидрометеоиздат, 1988. - 320 с.

3. 3. Тьюки Дж. Анализ результатов наблюдений. Разведочный анализ. - М.: Мир, 1981. - 696 с.

4. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования: учеб. пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 206 с.

5. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов: учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 416 с.

6. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: учеб. пособие. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 432 с.

7. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 1958. - 334 с.

8. Мудров В.И., Кушко В.Л. Методы обработки измерений: Квазиправдоподобные оценки. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Радио и связь, 1983. - 304 с.

9. Тырсин А.Н., Максимов К.Е. Оценивание линейных регрессионных уравнений с помощью метода наименьших модулей // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2012. - Т.78, №7. - С. 65-71.

10. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. - М.: Физматлит, 1979. - 448 с.

11. Букреев В.Г., Колесникова С.И., Янковская А.Е. Выявление закономерностей во временных рядах в задачах распознавания состояний динамических объектов. - 2-е изд., испр. и доп. ? Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011. - 254 с.

12. Тырсин А.Н. Идентификация зависимостей на основе моделей авторегрессии // Автометрия. - 2005. - Т.41, №1. - С. 43-49.

13. Тырсин А.Н., Серебрянский С.М. Распознавание зависимостей во временных рядах на основе структурных разностных схем // Автометрия. - 2015. - Т.51, №2. - С. 54-60.

14. Романовский В.И. Дискретные цепи Маркова. - М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949. - 436 с.

15. Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Теория массового обслуживания в экономической сфере: учеб. пособие для вузов. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998. - 319 с.

16. Огородников П.И., Усик В.В. Прогнозированиее производства и урожайности зерновых культур на основе регрессионных моделей // Вестник ОГУ. - 2011, №13 (132). - С. 354-359.

17. Тырсин А.Н., Тужиков Е.Н. Математическая модель эффективного прогнозирования ущерба от пожаров // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2013. №4 (40). - С. 111-114.

18. Эконометрика: учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 344 с.

19. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн. Кн. 2. - М.: Финансы и статистика, 1987. - 351 с.

20. Многомерный статистический анализ в экономике: учеб. пособие для вузов / Под ред. В.Н. Тамашевича. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. - 598 с.

21. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: учебник. - 6-е изд., перераб. и доп. - М.: Дело, 2004. - 576 с.

22. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. - М.: Финансы и статистика, 1981. - 302 с.

23. Хардле В. Прикладная непараметрическая регрессия. - М.: Мир, 1993. - 349 с.

24. Загайтов И.Б., Раскин В.Г., Яновский Л.П. Применение теории распознавания образов к прогнозированию колебаний урожайности зерновых культур // Экономика и математические методы. - 1982. - Т.18, №5. - С. 861-867.

25. Васильев Н.П., Егоров А.А. Опыт расчета параметров логистической регрессии методом Ньютона-Рафсона для оценки зимостойкости растений // Математическая биология и биоинформатика. - 2011. - Т.6, №2. - С. 190-199. URL: http:// www.matbio.org/2011/Vasiliev2011 (6_190).pdf (дата обращения: 30.08.2015).

26. Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика: учебник. - М.: Экзамен, 2003. - 512 с.

27. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 1. - М.: Мир, 1974. - 408 с.

28. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: учебник. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с.

29. Грибанов Ю.И., Мальков В.Л. Спектральный анализ случайных процессов. - М.: Энергия, 1974. - 240 с.

30. 3 Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. - М.: Мир, 1990. - 584 с.

31. Сиротенко О.Д. Основы сельскохозяйственной метеорологии. Том II. Методы расчетов и прогнозов в агрометеорологии. Книга 1. Математические модели в агрометеорологии: учеб. пособие. - Обнинск: ВНИИГМИ-МЦД, 2012. - 136 с.

32. Франс Дж., Торнли Дж.Х.М. Математические модели в сельском хозяйстве. М.: Агропромиздат, 1987. - 400 с.

33. Гринева И.В., Михайлов А.Н. Использование методов линейного программирования для прогнозирования урожайности зерновых культур // Обеспечение эффективного функционирования производственного потенциала АПК России в условиях рыночных отношений: тезисы докл. межрегион. науч.-практ. конф. - Воронеж: ВГАУ, 1993. - С. 32-34.

Размещено на Allbest.ru

...