О развитии теории параметрического регулирования эволюции национальной экономики на базе неавтономных динамических систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

О развитии теории параметрического регулирования эволюции национальной экономики на базе неавтономных динамических систем

Ашимов А.А., Султанов Б.Т., Боровский Ю.В., Боровский Н.Ю., Айсакова В.А., Алшанов Р.А.

В работе изложены некоторые результаты развития теории параметрического регулирования на классы математических моделей, представляемых неавтономными непрерывными и дискретными динамическими системами и, в частности, на подкласс вычислимых моделей общего равновесия (CGE модели). Представлены теоремы о существовании решений некоторых задач вариационного исчисления для указанных классов моделей и о непрерывной зависимости от неуправляемых функций оптимальных значений критериев указанных задач. На примере CGE модели отраслей экономики проиллюстрирована эффективность применения предложенного метода параметрической идентификации большеразмерных математических моделей.

С помощью вычислительных экспериментов проверены некоторые положения макроэкономической теории о причинах возникновения циклических процессов в экономике. На базе CGE модели отраслей экономики продемонстрирована эффективность подхода теории параметрического регулирования для проведения ациклической государственной экономической политики.

Как известно, существует широкое согласие среди макроэкономистов по применению математических моделей для макроэкономического анализа [1].

В [2], [3] на уровне автономных динамических систем предложена теория параметрического регулирования для оценки рациональных значений инструментов в сфере государственной экономической политики.

На практике открытая национальная экономика эволюционирует в условиях влияния внешних и внутренних факторов, представляемых с помощью векторных функций времени, что обуславливает необходимость развития теории параметрического регулирования на классы математических моделей, задаваемых неавтономными динамическими системами.

В данной работе содержатся некоторые результаты развития теории параметрического регулирования на классы неавтономных непрерывных, дискретных динамических систем и иллюстрации развитых положений на примере дискретной неавтономной вычислимой модели общего равновесия отраслей экономики.

Элементы теории параметрического регулирования на базе неавтономных динамических систем

В данном разделе приводятся результаты по развитию теории параметрического регулирования в рамках двух ее компонентов: методов оценки оптимальных значений экономических инструментов и исследование влияний неуправляемых факторов на результаты решения задачи выбора оптимальных значений экономических инструментов.

Описываемое ниже развитие теории параметрического регулирования является обобщением ранее полученных нами в [3] положений для автономных динамических систем на случай неавтономных динамических систем. Оптимальные законы параметрического регулирования непрерывной динамической системы.

Рассматривается непрерывная управляемая система в следующем виде:

,(1)

(2)

где t- время,

- - вектор-функция состояния системы,

- вектор-функция управления,

- известная вектор-функция,

- начальное состояние системы, известный вектор,

f- известная вектор-функция своих аргументов.

Метод выбора оптимальных значений экономических инструментов связан со следующей моделью, представляемой

_ максимизацией критерия оптимальности

,(3)

где F - известная функция.

_фазовыми ограничения на решения системы (1)-(2) вида

,(4)

где - заданное множество и

_явными ограничениями на управление:

,(5)

математический дискретный экономический индекс

где - заданное множество.

На базе соотношений (1)-(5) получаем следующую задачу, называемую задачей вариационного исчисления по синтезу оптимальных законов параметрического регулирования для непрерывной системы.

Задача 1. При известной функции а найти измеримое управление u, удовлетворяющее условию (5), чтобы соответствующее ему решение динамической системы (1), (2) удовлетворяло условию (4) и доставляло максимум (минимум) функционалу (3).

Определим для фиксированных и множество в . Обозначим через множество допустимых пар «состояние - управление» рассматриваемой системы при заданной известной функции а, т.е. таких пар вектор-функций, которые удовлетворяют соотношениям (1), (2), (4), (5). Пусть В есть единичный шар с центром в начале координат в ,X есть замыкание множества ,U_замыкание множества . Пусть множество возможных значений функции a принадлежит некоторому множеству A.

Следующие две теоремы следуют из предложения 4.2 главы 8 монографии [4].Доказательство предложения 4.2 основано на теореме 2.1 о полунепрерывности снизу из главы 8 [4].

Теорема 1.Пусть функция а непрерывна на отрезке ,U есть компакт в , функция f непрерывна в , и для любого существует такое , что справедливо неравенство

и существует такая константа , что справедливо неравенство

Пусть X - компакт, и функция F непрерывна на. Пусть, кроме того, отображения , являются непрерывными для в следующем смысле: если справедливы включения , , где , и имеются сходимости , , то справедливы включения , . Тогда в случае непустоты множества и выпуклости множества для всех , задача 1имеет решение.

Будем рассматривать неуправляемые функции а в(1)в виде элементов пространства непрерывных вектор-функций . Следующая теорема устанавливает достаточные условия непрерывной зависимости оптимальных значений критерия задачи 1 от неуправляемых функций.

Теорема 2. Предположим, что при выполнении условий теоремы 1в некоторой окрестности точки в , функция f непрерывна по второму аргументу и удовлетворяет условию Липшица по первому и третьему аргументам на равномерно по второму аргументу. Тогда оптимальное значение критерия для задачи 1 непрерывно зависит от неуправляемой функции в точке .

Оптимальные законы параметрического регулирования дискретной динамической системы

Рассматривается дискретная управляемая система в следующем виде:

,; (6)

.(7)

Здесь t - время, принимающее неотрицательные целочисленные значения;

- вектор-функция состояния системы дискретного аргумента;

- управление, вектор-функция дискретного аргумента;

- известная вектор-функция дискретного аргумента;

- начальное состояние системы, известный вектор;

- известная вектор-функция своих аргументов.

Метод выбора оптимальных значений экономических инструментов связан со следующей моделью, представляемой

_максимизацией критерия оптимальности

(8)

где F - известная функция;

_ фазовыми ограничения на решения системы вида

, ,(9)

где заданное множество;

_ явными ограничениями на управление:

, ,(10)

где - заданное множество.

На базе соотношений (6)-(10) получаем следующую вариационную задачу, называемую задачей вариационного исчисления по синтезу оптимальных законов параметрического регулирования для дискретной системы.

При известной функции а найти управление u, удовлетворяющее условию (10), чтобы соответствующее ему решение динамической системы (6), (7) удовлетворяло условию (9) и доставляло максимум(минимум) функционалу (8).

Обозначим через множество допустимых пар «состояние - управление» рассматриваемой системы при заданной известной функции а, т.е. таких пар вектор-функций , которые удовлетворяют соотношениям (6), (7), (9), (10). Введем обозначения:

Справедливы следующие две теоремы, доказательства которых основаны на использовании свойств непрерывных функций и, в частности, на использовании свойств функций непрерывных на компакте.

Теорема 3. Предположим, что при известной функции а множество не пусто, множества и замкнуты и ограничены для всех, функция f непрерывна по первым двум аргументам на множестве, а функция Fнепрерывна по второму аргументу на множестве Х. Тогда задача 2имеет решение.

Будем рассматривать неуправляемые функции а в (6)в виде элементов евклидова пространства .

Теорема 4. Пусть при выполнении условий теоремы 3для любых значениях (где - некоторое открытое множество в евклидовом пространстве ) функция f непрерывна по третьему аргументу в A и удовлетворяет условию Липшица по первому аргументу в X равномерно по второму и третьему аргументам в .Тогда оптимальное значение критерия для задачи 2непрерывно зависит от неуправляемой функции принимающей значения в A.

Вычислительные эксперименты с вычислимой моделью общего равновесия

Эффективность развитых положений теории параметрического регулирования иллюстрируются ниже на подклассе вычислимых моделей общего равновесия (CGE моделях). Описание в общем виде автономных CGE моделей и подход к параметрической идентификации таких моделей, изложенный нами в [3] в этом разделе развивается на случай неавтономных CGE моделей.

Представление CGE модели

Неавтономная CGE модель в общем виде представляется с помощью следующей системы соотношений.

1) Подсистема разностных уравнений, связывающая значения эндогенных переменных для двух последовательных лет:

(11)

Здесь - номер года, дискретное время; - вектор эндогенных переменных системы;

,(12)

Здесь переменные

включают в себя значения основных фондов секторов-производителей, остатки средств агентов на счетах в банках и др.;

включают в себя значения спроса и предложения агентов на различных рынках и др.,

- различные виды рыночных цен и доли бюджета на рынках с государственными ценами для различных экономических агентов; ;

- вектор-функция управляемых (регулируемых) параметров. Значения координат этого вектора соответствует различным инструментам государственной экономической политики, например, таким как доли государственного бюджета и бюджетов экономических агентов, различные налоговые ставки, ставки по гос. облигациям и др.;

_вектор-функция неуправляемых параметров (факторов). Значения координат этого вектора характеризуют различные зависящие от времени внешние и внутренние социально-экономические факторы: цены экспортных и импортных товаров, численность населения страны, параметры производственных функций и др.;

, , , , - компактные множества с непустыми внутренностями; , ; ; ,_ открытое связное множество;

- непрерывное отображение.

2) Подсистема алгебраических уравнений, описывающих поведение и взаимодействие агентов на различных рынках в течение выбранного года, эти уравнения допускают выражение переменных через экзогенные параметры и остальные эндогенные переменные:

(13)

Здесь _ непрерывное отображение.

3) Подсистема рекуррентных соотношений для итеративных вычислений равновесных значений рыночных цен на различных рынках и долей бюджета на рынках с государственными ценами для различных экономических агентов:

(14)

Здесь - номер итерации; - набор из положительных чисел (настраиваемые константы итераций, при уменьшении их значений экономическая система быстрее приходит в состояние равновесия, однако при этом увеличивается опасность ухода цен в отрицательную область; - непрерывное отображение (являющееся сжимающим при фиксированных и некоторых фиксированных. В этом случае отображение имеет единственную неподвижную точку, к которой сходится итерационный процесс (13), (14).

Вычислимые модели (11), (13), (14) при фиксированных значениях функций и для каждого момента времени t определяет значения эндогенных переменных , соответствующие равновесию цен спроса и предложения на рынках товаров и услуг агентов в рамках следующего алгоритма.

1) На первом шаге полагается и задаются начальные значения переменных .

2) На втором шаге для текущего задаются начальные значения переменных на различных рынках и для различных агентов; с помощью (13), вычисляются значения (начальные значения спроса и предложения агентов на рынках товаров и услуг).

3) На третьем шаге для текущего запускается итерационный процесс (14). При этом для каждого значения текущие значения спросов и предложений находятся из (13):через уточнения рыночных цен и долей бюджетов экономических агентов.

Условием остановки итерационного процесса является равенство значений спросов и предложений на различных рынках с точностью до 0.01%. В результате определяются равновесные значения рыночных цен на каждом рынке и долей бюджета на рынках с государственными ценами для различных экономических агентов. Индекс для таких равновесных значений эндогенных переменных мы опускаем.

4) На следующем шаге по полученному равновесному решению для момента времени с помощью разностных уравнений (11) находятся значения переменных . Значениеувеличивается на единицу. Переход на шаг 2. Количество повторений шагов 2, 3, 4 определяются в соответствии с задачами параметрической идентификации, прогноза и регулирования на заранее выбранных интервалах времени.

Рассматриваемая CGEмодель может быть представлена в виде непрерывного отображение , задающего преобразование значений эндогенных переменных системы для нулевого года в соответствующие значения следующего года согласно приведенному выше алгоритму. Здесь компакты , задающие компакт в пространстве эндогенных переменных определяется множеством возможных значений переменных и соответствующими равновесными значениями переменных и рассчитываемых с помощью соотношений (13) и (14).

Будем предполагать, что при для выбранной точки и соответствующей, рассчитанной с помощью (13), (14) точки верно включение при некоторых фиксированных , для . ( - фиксированное натуральное число). Это отображение определяет дискретную динамическую систему вида (6), (7) в множестве ,на траектории которого наложено соответствующее начальное условие:

,. (15)

На базе данного представления ниже рассматривается конкретная CGE модель отраслей экономики.

Параметрической идентификации CGE модели отраслей экономики

The considered model по статистическим данным экономики Республики Казахстан is presented by the following nineteen economic agents (sectors):

Рассматриваемая модель по статистическим данным республики Казахстан представлена с помощью следующих восемнадцати экономических агентов.

Экономический агент № 1. Сельское хозяйство, охота и лесоводство;

Экономический агент № 2. Рыболовство, рыбоводство;

Экономический агент № 3. Горнодобывающая промышленность;

Экономический агент № 4. Обрабатывающая промышленность;

Экономический агент № 5. Производство и распределение электроэнергии, газа и воды;

Экономический агент № 6. Строительство;

Экономический агент № 7. Торговля; ремонт автомобилей и изделий домашнего пользования;

Экономический агент № 8. Гостиницы и рестораны;

Экономический агент № 9. Транспорт и связь;

Экономический агент № 10. Финансовая деятельность;

Экономический агент № 11. Операции с недвижимым имуществом, аренда и услуги предприятиям;

Экономический агент № 12. Государственное управление;

Экономический агент № 13. Образование;

Экономический агент № 14. Здравоохранение и социальные услуги;

Экономический агент № 15. Прочие коммунальные, социальные и персональные услуги;

Экономический агент № 16. Услуги по ведению домашнего хозяйства;

Часть выпущенного продукта экономических агентов - производителей товаров и услуг № № 1-16 используется в производстве, другая часть уходит на инвестиции, а третья продается домашним хозяйствам. Агенты-производители торгуют между собой промежуточными и инвестиционными товарами.

Экономический агент № 17. Совокупный потребитель, объединяющий в себя домашние хозяйства;

Совокупный потребитель покупает потребительские товары, производимые агентами-производителями. Кроме того, он покупает импортные товары, предлагаемые внешним миром.

Экономический агент № 18. Правительство, представленное совокупностью центрального, региональных и местных правительств, а также внебюджетными фондами. Правительство устанавливает налоговые ставки и определяет сумму субсидий агентам-производителям и размеры социальных трансфертов домашним хозяйствам. Кроме того, в этот сектор входят некоммерческие организации, обслуживающие домашние хозяйства (политические партии, профсоюзы, общественные объединения и т. д.);

Экономический агент № 19. Банковский сектор, включающий в себя Национальный банк и коммерческие банки.

Здесь экономические сектора № 1-16 являются агентами производителями.

Рассматриваемая модель представляется в рамках общих выражений соотношений (11), (13), (14) соответственно , , выражениями, с помощью которых рассчитываются значения ее 698 эндогенных переменных. Эта модель также содержит 2045 оцениваемых экзогенных параметров.

Задача параметрической идентификации исследуемой макроэкономической математической модели состоит в нахождении оценок неизвестных значений ее параметров, при которых достигается минимальное значение целевой функции, характеризующей отклонения значений выходных переменных модели от соответствующих наблюдаемых значений (известных статистических данных для промежутка времени ). Эта задача сводится к нахождению минимального значения функции нескольких переменных (параметров) в некоторой замкнутой области D евклидова пространства с ограничениями вида (12), накладываемыми на значения эндогенных переменных. В случае большой размерности области возможных значений искомых параметров, стандартные методы нахождения экстремумов функции часто бывают неэффективными в связи наличием нескольких локальных минимумов целевой функции. Ниже предлагается алгоритм, учитывающий особенности задачи параметрической идентификации макроэкономических моделей и позволяющий обойти указанную проблему «локальных экстремумов»

В качестве области для оценки возможных значений экзогенных параметров (значений экзогенных функций и начальных условий динамических уравнений (11)) рассматривалась область вида , где _ промежуток возможных значений параметра ;. При этом оценки параметров, для которых имелись наблюдаемые значения, искались в промежутках с центрами в соответствующих наблюдаемых значениях (в случае одного такого значения) или в некоторых промежутках, покрывающих наблюдаемые значения (в случае нескольких таких значений). Прочие промежутки для поиска параметров выбирались с помощью косвенных оценок их возможных значений. Для нахождения минимальных значений непрерывной функции нескольких переменных с дополнительными ограничениями на эндогенные переменные вида (12) в вычислительных экспериментах использовался алгоритм направленного поиска Нелдера-Мида [6]. Применение этого алгоритма для начальной точки можно интерпретировать в виде сходящейся к локальному минимуму функции последовательности, где , , В описании следующего алгоритма мы будем считать, что точка может быть найдена достаточно точно.

Для решения задачи параметрической идентификации рассматриваемой CGE модели на основе очевидного предположения о несовпадении (в общем случае) точек минимума двух различных функций предложены два критерия следующего типа:

,

. (16)

Здесь - промежуток времени идентификации; , - соответственно расчетные и наблюдаемые значения выходных переменных модели, - вспомогательный критерий, - основной критерий; ; и - некоторые весовые коэффициенты, значения которых определяются в процессе решения задачи параметрической идентификации динамической системы; , .

Алгоритм решения задачи параметрической идентификации модели был выбран в виде следующих этапов.

1. Параллельно, для некоторого вектора начальных значений параметров , решаются задачи А и В, в результате находятся точки и минимума критериев и соответственно.

2. Если для некоторого достаточно малого числа верно , то задача параметрической идентификации модели (11), (13), (14) решена.

3. В противном случае, используя в качестве начальной точки точку , решается задача A, и, используя в качестве начальной точки точку , решается задача B. Переход на этап 2.

Достаточно большое число повторений этапов 1, 2, 3 дает возможность выходить искомым значениям параметров из окрестностей точек неглобальных минимумов одного критерия с помощью другого критерия и, тем самым, решить задачу параметрической идентификации.

В результате совместного решения задач A и B согласно указанному алгоритму c использованием с использованием статистических данных по эволюции экономики Республики Казахстан алгоритма Нелдера-Мидда [6] были получены значения и . При этом относительная величина отклонений расчетных значений переменных, используемых в основном критерии от соответствующих наблюдаемых значений составила менее 0.63%.

В дальнейшем просчет модели за границей периода параметрической идентификации (прогнозный просчет) с помощью экстраполированных на прогнозный период значений функций будем называть базовым просчетом.

Результаты просчета и ретроспективного базового просчета модели на 2008 г., частично представленные в таблице 1 демонстрируют расчетные , наблюдаемые значения и отклонения расчетных значений основных выходных переменных модели от соответствующих наблюдаемых значений. Здесь промежуток времени 2000-2007 гг. соответствует периоду параметрической идентификации модели; 2008г._ период ретропрогноза; Y - валовый выпуск ( тенге, в ценах 2000года); - ВВП (тенге, в ценах 2000года);P- индекс потребительских цен в процентах к предыдущему году; знак «*» соответствует наблюдаемым значениям, знак «» соответствует отклонениям (в процентах) расчетных значений от соответствующих наблюдаемых значений.

Таблица 1. Наблюдаемые, расчетные значения выходных переменных модели и соответствующие отклонения.

Показатель\Год	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008
	5.44	6.32	6.47	6.86	7.72	8.52	9.25	9.69	9.84
	5.38	6.32	6.47	6.86	7.72	8.52	9.27	9.64	9.82
	-1.22	-0.02	0.00	0.00	0.05	0.08	0.21	-0.51	-0.26
	2.45	2.78	3.05	3.36	3.72	4.09	4.55	5.01	5.18
	2.47	2.78	3.05	3.35	3.72	4.09	4.55	5.01	5.20
	0.88	0.07	-0.04	-0.02	-0.02	-0.02	-0.04	-0.15	0.38
		106.4	106.6	106.8	106.7	107.5	108.4	118.8	109.5
		107.6	106.8	106.9	106.7	107.3	108.2	118.6	109.4
		1.13	0.18	0.08	-0.05	-0.23	-0.22	-0.24	-0.05

Оценка некоторых положений макроэкономической теории на базе CGE модели

В данном разделе описываются результаты вычислительных экспериментов по оценке отдельных положений макроэкономической теории о циклических колебаниях макроэкономических показателей при шоковых изменениях спросов на конечные и инвестиционные товары.

В рамках макроэкономической теории циклические колебания экономических процессов могут возникнуть при [7]:

_ линейной зависимости между текущим доходом и объемом потребительских расходов

_ линейной зависимости между приростом доходов и инвестициями.

С целью проверки этих положений был проведен ряд вычислительных экспериментов по просчету следующих сценариев a)-f) изменения указанных спросов на конечные и инвестиционные товары с помощью варьирования соответствующих долей бюджетов экономических агентов:

_доля бюджета домашних хозяйств, идущая на покупку конечных товаров в год t.

_доля бюджета i-ой отрасли, идущая на покупку инвестиционных товаров в год t. ().

a) ; (17)

b), ; (18)

c) Совместное применение сценариев a) и b);

d) Увеличение долей в раз по сравнению с базовым вариантом;

e) Увеличение долей в раз по сравнению с базовым вариантом;

f) Совместное применение сценариев d) и e).

Здесь: _ время в годах); , , , - положительные константы (, ).

Применение сценариев a) и b) означает расчет модели при значениях параметров и , определяемых формулами (17) и (18) соответственно начиная с . При этом значения всех остальных экзогенных переменных модели для сценариев a), b), c), d), e), f) соответствуют ее базовому просчету. В результате проведения вычислительных экспериментов на базе модели по реализации сценариев a), b), c), d), e), f) во всех случаях наблюдались циклические колебания переменной (индекс потребительских цен (см. рис. 1, 2). При этом для значений реальных показателей (в частности ) колебательных явлений обнаружено не было.

Результаты экспериментов подтверждают соответствующие положения макроэкономической теории [7].

В вычислительных экспериментах рассматривалась следующая задача подавления циклических колебаний уровня потребительских цен, возникших при использовании сценария с) развития экономической системы, предусматривающего линейную зависимость между объемом потребительских расходов и текущим доходом и линейную зависимость между инвестициями и приростом доходов.

На базе вычислимой модели секторов экономики с использованием сценария c) (см. предыдущий пункт) где , ) найти значения долей бюджетов j-го агента-производителя идущих на покупку товаров и услуг, производимых i-ым агентом-производителем для 2010-2015 г.г.; , которые обеспечивали бы минимум следующего критерия , характеризующего отклонение расчетных значений индекса потребительских цен от соответствующих желаемых значений .

.

Здесь в качестве желаемых значений использовались расчетные базовые значения индекса потребительских цен модели без параметрического регулирования. Значение критерия для базового варианта.

Ограничения на регулируемые параметры:

; ; ;.

Здесь - базовые значения указанных долей, полученные в результате решения задачи параметрической идентификации модели по данным 2000 _2008 г.г.

Ограничения на рост макроэкономического показателя: . Здесь расчетные сценарные значения суммы ВДС отраслей без параметрического регулирования, _ расчетные значения суммы ВДС отраслей с параметрическим регулированием.

Численное решение данной задачи было получено с помощью алгоритма Нелдера-Мида. Оптимальное значение критерия при применении найденного закона параметрического регулирования оказалось равным .Базовые значения макроэкономических показателей и ; значения, полученные при применении сценария c) и значения, полученные при применении оптимального закона параметрического регулирования приведены на рисунках 1 и 2.

Анализ результатов вычислительных экспериментов, представленных на рисунках 1, 2 показывает, что при использовании найденного оптимального закона параметрического регулирования, индекс потребительских цен на регулируемом периоде практически полностью совпал с желаемыми значениями, при этом значения суммы ВДС отраслей экономики оказались несколько ниже (за исключением 2015 года) соответствующих базовых значений.

Рис. 1. Расчетные значения суммарной ВДС отраслей экономики (в тенге, в ценах 2000 года).



Рис. 2. Расчетные значения индекса потребительских цен (в процентах к предыдущему году).

Приведены результаты по развитию теории параметрического регулирования в рамках двух ее компонентов: методов оценки оптимальных значений экономических инструментов и исследование влияний неуправляемых факторов на результаты решения задачи выбора оптимальных значений экономических инструментов.

Развитые положения теории параметрического регулирования проиллюстрированы на подклассе вычислимых моделей общего равновесия (CGE моделях).

Показана эффективность предложенного метода параметрической идентификации большеразмерных CGE моделей.

Приведены результаты вычислительных экспериментов по оценке отдельных положений макроэкономической теории о циклических колебаниях макроэкономических показателей при шоковых изменениях спросов на конечные и инвестиционные товары.

Показана эффективность применения теории параметрического регулирования в решении задачи подавления циклических колебаний уровня потребительских цен.

Полученные результаты могут быть использованы при разработке и осуществлении эффективной ациклической государственной экономической политики.

Литература

1. D. Acemoglu, Introduction to Modern Economic Growth. Princeton, New Jersey, USA: Princeton University Press. 2008. Р. 1008.

2. A.A. Ashimov, K. A. Sagadiyev, Yu.V. Borovskiy, N.A. Iskakov, and As.A. Ashimov, “On the market economy development parametrical regulation theory,” Kybernetes, The Intl. J. of Cybernetics, Systems and Management Sciences, vol. 37, no. 5, 2008, pp. 623-636.

3. A.A. Ashimov, B.T. Sultanov, Zh.M. Adilov, Yu.V.Borovskiy, D.A. Novikov, R.M. Nizhegorodtsev, As.A. Ashimov, Macroeconomic Analysis and Economic Policy Based on Parametric Control. New York: Springer, 2012.

4. Ekeland, R. Temam. Convex analysis and variational problems. Amsterdam: North-Holland publishing company. 1976.

5. V. L. Makarov, A. R. Bakhtizin, and S. S. Sulashkin, The Use of Computable Models in Public Administration. Moscow: Scientific Expert, 2007 (in Russian).

6. J. A. Nelder and R. Mead, “A simplex method for function minimization,” The Computer Journal, no. 7, 1965, pp. 308-313.

7. E.S. Tumanova, N.A. Shagas, Macroeconomics. Мoscow: Infra-M, 2004. (in Russian).

Размещено на Allbest.ru

...