Элементы теории и методы параметрического регулирования эволюции национальной экономики на базе стохастических дискретных динамических моделей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Элементы теории и методы параметрического регулирования эволюции национальной экономики на базе стохастических дискретных динамических моделей

© 2012 г. №7 стр. 55-66., Рецензия на книгу 2011,№10, 186-188

А.А. Ашимов, акад. Национальной академии наук Республики Казахстан, Казахский национальный технический университет им. К.И. Сатпаева Ас.А. Ашимов, Казахский национальный технический университет им. К.И. Сатпаева Ю.В. Боровский, канд. физ.-мат. наук, Казахский национальный технический университет им. К.И. Сатпаева Д.А. Новиков, чл.-корр. Российской академии наук, Институт проблем управления РАН С.Я. Серовайский, д-р. физ.-мат. наук, Казахский государственный университет им. аль Фараби Б.Т. Султанов, Казахский национальный технический университет им. К.И. Сатпаева

Введение

параметрический дискретный стохастический аддитивный

Представлены результаты по развитию теории параметрического регулирования для класса дискретных стохастических динамических систем с аддитивным шумом. Показана эффективность применения теоретических результатов на примере стохастической вычислимой модели общего равновесия секторов экономики.

Как известно [1], представленные в литературе модели национальной экономики отражают в математической форме важнейшие свойства экономической системы и не учитывают ряд возникающих шоковых явлений, например, таких, как нарушения со стороны аспекта предложения (производительность и предложение рабочей силы), нарушения на стороне спроса (предпочтения, специфика инвестиций, государственных ассигнований), эффект повышения издержек или марж (наценки, надбавки к заработной плате, премии за риск), нарушение денежного обращения (процентные ставки и др.).

В настоящей работе принимается предположение о том, что эти и другие возможные нарушения в математической модели национальной экономики можно аппроксимировать путем добавления аддитивного шума к правым частям динамических уравнений соответствующей математической модели экономической системы. Ниже теория параметрического регулирования эволюции национального хозяйства, эффективность которой показана на классе моделей в виде непрерывных или дискретных динамических систем [2], развивается на класс дискретных динамических систем с аддитивным шумом, важным подклассом которого являются вычислимые модели общего равновесия (так называемые CGE-модели [3]) с аддитивным шумом. В том числе в рамках развития теории параметрического регулирования в данной работе для дискретных динамических систем с аддитивным шумом сформулированы и доказаны теоремы о достаточных условиях:

- существования решения задач вариационного исчисления по выбору оптимальных значений параметров системы в заданном множестве их значений (синтезу оптимальных законов регулирования). Выполнение этих условий гарантирует, в частности, конечность математического ожидания фазовых траекторий процесса на конечном промежутке времени.

- непрерывной зависимости оптимальных значений критерия задач вариационного исчисления по синтезу оптимальных законов регулирования от значений неуправляемых параметров.

В качестве примера приложений полученных теоретических результатов в работе рассматривается дискретная стохастическая модель, полученная из детерминированной вычислимой модели общего равновесия отраслей экономики Макарова [3] путем добавления аддитивного шума к правым частям динамических уравнений модели. Решена задача параметрической идентификации исследуемой модели на базе статистических данных по эволюции экономики Республики Казахстан. Сформулированы и решены методами теории параметрического регулирования задачи оптимального (в смысле некоторого критерия) экономического роста национального хозяйства Республики Казахстан.



1. Элементы теории параметрического регулирования на базе дискретной динамической системы с аддитивным шумом

Рассматривается дискретная стохастическая управляемая система

(1)

(2)

где t - время, принимающее неотрицательные целочисленные значения;

- функция состояния системы (1), случайная вектор-функция дискретного аргумента (векторный случайный процесс);

- управление, вектор-функция дискретного аргумента;

- детерминированный вектор неуправляемых параметров, - заданное множество,;

- известный векторный случайный процесс, выражающий помехи (в качестве такового может выступать, например, аддитивный гауссовский белый шум);

f - известная вектор-функция своих аргументов;

- начальное состояние системы, детерминированный вектор.

Зададим критерий оптимальности, подлежащий максимизации при фиксированном :

(3) .

Здесь - известные функции, Е - математическое ожидание, - решение системы (1), (2) при заданном .

Введем фазовые ограничения на систему:

(4)

где - заданное множество. Здесь и далее под математическим ожиданием векторной случайной величины подразумевается вектор из математических ожиданий координат этой величины.

В рассматриваемых далее задачах предполагаются также явные ограничения на управление:

(5)

где - заданное множество,. Множества , для всех определенных выше значений t являются замыканиями ограниченных открытых множеств.

Метод параметрического регулирования используем при постановке и решении следующей вариационной задачи, называемой задачей вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования.

Задача 1. При заданном векторе неуправляемых параметров найти такое управление u, удовлетворяющее условию (5), чтобы соответствующее ему решение динамической системы (1), (2) удовлетворяло условию (4) и доставляло максимум функционалу (3).

Для фиксированного определим множество допустимых управлений для системы (1) - (2) следующим образом:

,



где _ решение системы (1), (2) соответствующее управлению и заданному значению параметра . Это множество всюду в дальнейшем рассматривается с индуцированной топологией евклидова пространства. Тогда задача 1 сводится к максимизации функционала , определяемого формулой (3), на множестве допустимых управлений рассматриваемой системы. Задачу 1 будем называть нетривиальной, если множество непусто и содержит некоторое открытое множество.

Ниже приводятся утверждение о достаточных условиях существования решения задачи 1 (поставленной в соответствии с методом параметрического регулирования) и утверждение о непрерывной зависимости оптимального значения критерия задачи 1 от параметра (здесь и далее - евклидова норма (модуль) вектора).

Утверждение 1. Пусть при фиксированном в нетривиальной задаче 1 для любого случайные величины обладают нулевыми математическими ожиданиями, функции f, удовлетворяют условию Липшица. Функции f (для и ) и по модулю не превосходят некоторых линейных функций относительно |x| функций, т. е. для некоторого положительного числа выполняются неравенства

(6) , .

Тогда задача 1 разрешима.

Доказательство этого утверждения основывается на проверке компактности множества и непрерывности функции в , а также на теореме Вейерштрасса о достижении непрерывной на компакте функцией своего наибольшего значения.

Утверждение 2. Пусть при любых и для нетривиальной задачи 1 случайные величины обладают нулевыми математическими ожиданиями, функции f, удовлетворяют условию Липшица. Функции f (для и некоторой окрестности любой точки ) и по модулю не превосходят некоторых линейных функций относительно |x| функций, т.е. для некоторого положительного числа выполняются неравенства (6). Тогда отображение является непрерывным в .

Доказательство утверждения 2 основано на проверке непрерывности отображения в точках его определения и проверке непрерывности отображения в .

3. Представление вычислимых моделей общего равновесия в виде дискретных динамических стохастических систем и задача параметрического регулирования эволюции национальной экономики на базе вычислимых моделей

Детерминированная вычислимая модель общего равновесия в общем виде представляется с помощью следующей системы соотношений [3, гл. 3].

1) Подсистема разностных уравнений, связывающая значения эндогенных переменных для двух последовательных лет:

(7) ,

Здесь t - номер года, дискретное время, ; - вектор эндогенных переменных системы;

, ,

;

переменные включают в себя значения основных фондов секторов-производителей, остатки средств агентов на счетах в банках и др.; включают в себя значения спроса и предложения агентов на различных рынках и др., - различные виды рыночных цен и доли бюджета на рынках с государственными ценами для различных экономических агентов; ; u и - векторы экзогенных параметров, - вектор управляемых (регулируемых) параметров; X1(t), X2(t), X3(t), U(t) - компактные множества с непустыми внутренностями; _ вектор неуправляемых параметров, A _ открытое связное множество; - непрерывное отображение для .

2) Подсистема алгебраических уравнений, описывающих поведение и взаимодействие агентов на различных рынках в течение выбранного года, эти уравнения допускают выражение переменных через экзогенные параметры и остальные эндогенные переменные:

(8) .

Здесь _ непрерывное отображение, .

3) Подсистема рекуррентных соотношений для итеративных вычислений равновесных значений рыночных цен на различных рынках и долей бюджета на рынках с государственными ценами для различных экономических агентов:

(9) .

Здесь - номер итерации; L - набор из положительных чисел (настраиваемые константы итераций, при уменьшении их значений экономическая система быстрее приходит в состояние равновесия, однако при этом увеличивается опасность ухода цен в отрицательную область; - непрерывное отображение (являющееся сжимающим при фиксированных , и некоторых фиксированных L. В этом случае отображение h имеет единственную неподвижную точку, к которой сходится итерационный процесс (8), (9)), .

Вычислимая модель (7)-(9) при фиксированных значениях экзогенных параметров для каждого момента времени t определяет значения эндогенных переменных , соответствующие равновесию цен спроса и предложения на рынках товаров и услуг агентов в рамках следующего алгоритма.

1. На первом шаге полагается t=0 и задаются начальные значения переменных x(0).

2. На втором шаге для текущего t задаются начальные значения переменных на различных рынках и для различных агентов; с помощью (8), вычисляются значения (начальные значения спроса и предложения агентов на рынках товаров и услуг).

3. На третьем шаге для текущего t запускается итерационный процесс (9). При этом для каждого Q текущие значения спросов и предложений находятся из (8): через уточнения рыночных цен и долей бюджетов экономических агентов.

Условием остановки итерационного процесса является равенство значений спросов и предложений на различных рынках. В результате определяются равновесные значения рыночных цен на каждом рынке и долей бюджета на рынках с государственными ценами для различных экономических агентов. Индекс Q для таких равновесных значений эндогенных переменных опускаем.

4. На следующем шаге по полученному равновесному решению для момента t с помощью разностных уравнений (7) находятся значения переменных для следующего момента времени. Значение t увеличивается на единицу. Переход на шаг 2.

Количество повторений шагов 2, 3, 4 определяются в соответствии с задачами калибровки, прогноза и регулирования на заранее выбранных интервалах времени.

Стохастической вычислимой моделью общего равновесия (стохастической вычислимой моделью), полученной из детерминированной модели (7)-(9), будем называть модель, в которой к правой части динамических уравнений (7) добавлен аддитивный шум :

(10) ,

т. е. модель вида (10), (8), (9).

Сформулируем задачу вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования для стохастической вычислимой модели.

Задача 2. При заданном векторе неуправляемых параметров найти такое управление u(t), удовлетворяющее условию (5), чтобы соответствующее ему решение динамической системы (10), (8), (9) удовлетворяло условию

и доставляло максимум функционалу

.

Несложно проверить, что для вычислимой модели с непрерывными отображениями f, g, h и сходящимся итерационным процессом (8), (9) сформулированные выше теоремы 1, 2 остаются справедливыми.



2. Пример. Применение теории параметрического регулирования на примере стохастической вычислимой модели отраслей экономики

2.1 Результаты параметрической идентификации и верификации детерминированной вычислимой модели отраслей экономики

Рассматриваемая модель экономики Республики Казахстан представлена девятнадцатью экономическими агентами (секторами), среди которых имеется 16 агентов производителей, а также сектор - совокупный потребитель, сектор - правительство и банковский сектор.

Рассматриваемая модель представляется в рамках общих выражений соотношений (7)-(9) соответственно , , выражениями, с помощью которых рассчитываются значения ее 698 эндогенных переменных, из которых по 491 переменной имеются наблюдения с 2000 по 2008 г. Эта модель также содержит оцениваемых экзогенных параметров (в их число входят значения экзогенных функций времени; для 2000-2007 гг. ).

Задача параметрической идентификации (калибровки) исследуемой макроэкономической математической модели состоит в следующем. Найти оценки неизвестных значений параметров модели в замкнутой ограниченной области с дополнительными ограничениями вида , накладываемыми на расчетные значения эндогенных переменных модели по наблюдаемым значениям эндогенных переменных для промежутка времени (удовлетворяющего условию , которое выполняется при ), при которых достигается минимальное значение целевой функции , характеризующей отклонения значений эндогенных переменных модели от соответствующих их наблюдаемых значений (известных статистических данных). Здесь в качестве области для оценки возможных значений экзогенных параметров рассматривается область вида , где _ промежуток возможных значений параметра . При этом оценки параметров, для которых имелись наблюдаемые значения, ищутся в достаточно малых промежутках с центрами в соответствующих наблюдаемых значениях (в случае одного такого значения) или в некоторых промежутках, покрывающих наблюдаемые значения (в случае нескольких таких значений). Прочие промежутки для поиска параметров выбираются с помощью косвенных оценок их возможных значений.

Принимаемый размер промежутка времени по условию для рассматриваемой задачи параметрической идентификации гарантирует отсутствие степеней свободы в процессе калибровки. Использование ограниченной экономически обоснованной области возможных значений параметров в задаче параметрической идентификации модели позволяет исключить некорректные наборы значений калибруемых (идентифицируемых) параметров.

В случае большой размерности области возможных значений искомых параметров стандартные методы нахождения экстремумов функции часто бывают неэффективными в связи с наличием многих локальных минимумов целевой функции. Ниже предлагается алгоритм, учитывающий особенности задачи параметрической идентификации макроэкономических моделей и позволяющий обойти указанную проблему «локальных экстремумов».

Для нахождения минимальных значений непрерывной функции нескольких переменных с дополнительными ограничениями на эндогенные переменные в вычислительных экспериментах использовался алгоритм направленного поиска Нелдера-Мида [4]. Применение этого алгоритма для начальной точки можно интерпретировать в виде (сходящейся к локальному минимуму функции ) последовательности , где , , В описании следующего алгоритма будем считать, что точка может быть найдена достаточно точно.

Для решения задачи параметрической идентификации рассматриваемой вычислимой модели на основе очевидного предположения о несовпадении (в общем случае) точек минимума двух различных функций предложены два критерия следующего типа:

,

.

Здесь - промежуток времени параметрической идентификации; , - соответственно расчетные и наблюдаемые значения выходных переменных модели, - вспомогательный критерий, - основной критерий; и - некоторые весовые коэффициенты, значения которых определяются в процессе решения задачи параметрической идентификации динамической системы; , ; .

Алгоритм решения задачи параметрической идентификации модели был выбран в виде следующих этапов.

1. Для некоторого вектора начальных значений параметров параллельно решаются задачи и , в результате находятся точки и минимума критериев и соответственно.

2. Если для некоторого достаточно малого числа верно , то задача параметрической идентификации модели решена.

3. В противном случае, используя в качестве начальной точки точку , решается задача и, используя в качестве начальной точки точку , решается задача . Переход на этап 2.

Достаточно большое число повторений этапов 1, 2, 3 дает возможность выходить искомым значениям параметров из окрестностей точек неглобальных минимумов одного критерия с помощью другого критерия и тем самым решить задачу параметрической идентификации.

В результате совместного решения задач и согласно указанному алгоритму c использованием алгоритма Нелдера-Мида для промежутка времени параметрической идентификации 2000 - 2007 гг. были получены значения и При этом относительная величина отклонений расчетных значений переменных используемых в основном критерии от соответствующих наблюдаемых значений составила менее 1,29%.

Для оценки адекватности рассматриваемой модели была решена следующая задача ретропрогноза: "Найти на базе CGE отраслей экономики (со значениями оцениваемых параметров, полученных в результате решения задачи параметрической идентификации по наблюдениям для промежутка 2000 - 2007 гг.) значения выходных переменных модели для 2008 г. и их отклонения от соответствующих наблюдаемых значений". Результаты просчета на 2000 - 2007 гг. (с найденными оценками значений параметров модели) и ретроспективного прогноза модели на 2008 г., частично представленные в табл. 1, демонстрируют расчетные , наблюдаемые значения и отклонения расчетных значений основных выходных переменных модели от соответствующих наблюдаемых значений. Здесь - валовый выпуск ( тенге, в ценах 2000 г.); - ВВП ( тенге, в ценах 2000 г.); - индекс потребительских цен в процентах к предыдущему году; знак "*" соответствует наблюдаемым значениям, знак "" соответствует отклонениям (в процентах) расчетных значений от соответствующих наблюдаемых значений.

Средняя квадратичная погрешность ретропрогноза всех 491 значений эндогенных переменных, используемых в критерии параметрической идентификации модели на 2008 г, составляет 5,86%. Результаты верификации на основе проведенного ретропрогноза показывают приемлемую адекватность CGE модели отраслей экономики.

Для дополнительной оценки адекватности исследуемой модели были проведены также сценарные эксперименты на базе рассматриваемой модели по подтверждению некоторых положений макроэкономической теории. Так, в рамках макроэкономической теории известно [5], что циклические колебания экономических процессов могут возникнуть при:

_ линейной зависимости между объемом потребительских расходов и текущим доходом;

_ линейной зависимости между инвестициями и приростом доходов.

С целью проверки этих положений были проведены вычислительные эксперименты по просчету на базе модели следующих сценариев изменения указанных спросов на конечные и инвестиционные товары.

a) ;

b) , ;

Здесь: _ время в годах; _ доля бюджета домашних хозяйств, идущая на покупку конечных товаров (экзогенная функция); _ доля бюджета i-го сектора, идущая на покупку инвестиционных товаров () (экзогенная функция); , - положительные константы.

В результате вычислительных экспериментов по реализации сценариев a) и b) наблюдались колебательные изменения уровня потребительских цен, ВВП страны и др., которые указывают на воспроизведение на базе рассматриваемой модели приведенных выше положений макроэкономической теории. Данный факт также является одним из показателей адекватности рассматриваемой математической модели.



2.2 Нахождение оптимальных значений регулируемых параметров на базе стохастической вычислимой модели отраслей экономики

Стохастическая вычислимая модель отраслей экономики была получена из соответствующей детерминированной модели (с найденными в результате решения задачи параметрической идентификации оценками значений экзогенных параметров) путем добавления дискретного белого шума к правым частям всех динамических уравнений модели. В качестве средних квадратичных отклонений гауссовских случайных величин, определяющих белый шум, были приняты значения, на порядок меньшие по сравнению со значениями детерминированных частей соответствующих динамических уравнений.

В вычислительных экспериментах со стохастической вычислимой моделью в качестве критерия оптимизации использовался критерий

(11)

- среднее значение валового выпуска страны в ценах 2000 г. за 2010-2015 гг. и по рассматриваемым реализациям случайного процесса.

Значение критерия K1 для базового расчетного варианта (с использованием значений экзогенных параметров, полученных в результате параметрической идентификации модели) равно K1 = 0,9891•1013

При экспериментах c критерием оптимизации (10) использовались ограничения на рост уровня потребительских цен следующего вида:

.

Здесь - расчетный уровень потребительских цен модели без параметрического регулирования, - уровень потребительских цен с параметрическим регулированием.

В вычислительных экспериментах осуществлялось регулирование 1536 экзогенных параметров - долей бюджета j-го агента-производителя, идущих на покупку товаров и услуг, производимых i-м агентом-производителем для 2010-2015 гг. Здесь для указанных значений t. Базовые значения указанных долей, полученные в результате решения задачи параметрической идентификации модели по данным 2000-2008 гг., будем обозначать через .

Рассматривалась следующая задача нахождения оптимальных значений регулируемых векторов параметров: "На базе стохастической вычислимой модели секторов экономики найти значения долей бюджетов агентов-производителей

(), которые обеспечивали бы верхнюю грань критерия K1 при дополнительных ограничениях на эти доли следующего вида:

".

Решения этой оптимизационной задачи проводились с помощью алгоритма Нелдера-Мида [4]. После применения параметрического регулирования долей бюджетов стохастической модели значение критерия оказалось равным K1 = 1,2453•1013, его значение увеличилось на 25,89% по сравнению с базовым вариантом.

Аналогичная задача параметрического регулирования решалась на базе детерминированной CGE модели отраслей экономики с соответствующими ограничениями и с детерминированным аналогом критерия (11) _



.

После применения параметрического регулирования долей бюджетов агентов-производителей значение критерия детерминированной модели оказалось равным K2 = 1,6283•1013, значение критерия увеличилось на 33,14% по сравнению с базовым вариантом.

Сравнение результатов решения задач вариационного исчисления на базе стохастической и детерминированной вычислимых моделей общего равновесия говорит о снижении расчетного значения функционала вариационной задачи при учете возмущающих нарушений в детерминированной вычислимой модели общего равновесия в виде аддитивного шума.

Таблица 1 - Наблюдаемые, расчетные значения выходных переменных модели и соответствующие отклонения.

Год	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008
	5,44	6,32	6,47	6,86	7,72	8,52	9,25	9,69	9,84
	5,38	6,32	6,47	6,86	7,72	8,52	9,27	9,64	9,82
	-1,22	-0,02	0,00	0,00	0,05	0,08	0,21	-0,51	-0,26
	2,45	2,78	3,05	3,36	3,72	4,09	4,55	5,01	5,18
	2,47	2,78	3,05	3,35	3,72	4,09	4,55	5,01	5,20
	0,88	0,07	-0,04	-0,02	-0,02	-0,02	-0,04	-0,15	0,38
		106,4	106,6	106,8	106,7	107,5	108,4	118,8	109,5
		107,6	106,8	106,9	106,7	107,3	108,2	118,6	109,4
		1,13	0,18	0,08	-0,05	-0,23	-0,22	-0,24	-0,05



Заключение

1. Представлены некоторые результаты по развитию теории параметрического регулирования на класс дискретных стохастических динамических моделей. Доказаны теоремы о достаточных условиях существования решения поставленной оптимизационной задачи и о непрерывной зависимости оптимальных значений критерия от неуправляемых параметров.

2. Показана эффективность применения теории параметрического регулирования на примере одной стохастической вычислимой модели отраслей экономики. Предложен метод оценки оптимальных значений управляемых параметров экономической политики на базе рассмотренной математической модели и найдены оценки оптимальных значений управляемых параметров.

3. Полученные результаты могут быть использованы при разработке и осуществлении эффективной государственной экономической политики.

Авторы выражают признательность Боровскому Н.Ю. и Нурсеитову Д.Б. за помощь при проведении вычислительных экспериментов.



Список литературы

1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры.: Физматлит, 2002.

2. Ашимов А.А., Султанов Б.Т., Адилов Ж.М., и др. Макроэкономический анализ и экономическая политика на базе параметрического регулирования. М.: Физматлит, 2010.

3. Макаров В.Л., Бахтизин А.Р., Сулакшин С.С. Применение вычислимых моделей в государственном управлении. М.: Научный эксперт, 2007.

4. Nelder J.A., Mead R. A simplex method for function minimization // Comput. J. 1965. №. 7. P. 308-313.

5. Туманова Е.С., Шагас Н.А. Макроэкономика. М.: Инфра-М, 2004.

Размещено на Allbest.ru

...