Совершенствование метода fmea-анализа несоответствий в технических и социально-экономических системах

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК658.562

Совершенствование метода fmea-анализа несоответствий в технических и социально-экономических системах

В.В. Мирошников, С.В. Ешин

Предложено улучшение метода FMEA на основе использования условных вероятностей и теории полезности. Приведен пример расчета приоритетного числа риска для обнаружения и устранения дефектов электрических соединителей. Предложены типовые шаблоны корректирующих действий, направленных на устранение причин несоответствий.

Ключевые слова:FMEA, несоответствие, качество, система, вероятность, функция полезности, приоритетное число риска.

Социально-экономические и технические системы -- это разновидности сложных систем, которые обычно состоят из большого количества элементов и обладают эмерджентными свойствами, т.е. свойствами, которые не обнаруживаются у отдельных элементов системы, а возникают только при их объединении [1]. Примерами сложных систем являютсясистема менеджмента качества (СМК) предприятия, система экологического менеджмента, летательный аппарат, спутник связи, радиолокационная станция, метрополитен, атомная электростанция и др. Моделируя сложные системы, следует учитывать их особенности: многозвенность (наличие более 3-4 цепей обратных связей), нелинейность связей, нечувствительность к изменениям многих параметров системы, наличие точек критического влияния, противодействие и компенсация внешнего влияния, устойчивость к изменениям и др.

Одной из основных проблем, связанных с функционированием сложных систем, является их надежность: для таких систем характерно лавинообразное возникновение дефектов и отказов, когда отказ в одной подсистеме приводит к отказам в связанных подсистемах. Кроме того, в системах с большим количеством элементов количество видов дефектов и отказов может исчисляться сотнями тысяч, а их причин и последствий -- еще большим числом.

Одним из наиболее распространенных методов анализа несоответствий и дефектов сложных систем является метод анализа видов и последствий потенциальных отказов (FMEA), с помощью которого проводится анализ всех возможных ошибок системы и определение результатов или эффектов их воздействия на систему с целью классификации всех ошибок относительно их критичности.

Традиционно при проведении FMEA-анализа для каждого вида дефекта (отказа) необходимо задать три критерия [2, 12]: тяжесть последствия дефекта S, вероятность возникновения дефекта O и вероятность обнаружения дефекта D до проявления его последствий. Затем рассчитывается комплексный мультипликативный критерий -- приоритетное число риска (ПЧР). ПЧР = S_max•O•D, где S_max -- тяжесть наиболее неблагоприятного последствия. При проведении FMEA-анализа с использованием указанных критериев приходится принимать ряд упрощений, которые на практике, особенно при анализе сложных систем, не соответствуют действительности:

- при расчете ПЧР во внимание принимается наиболее тяжкое последствие, остальные не учитываются;

- подразумевается строго детерминированная связь между причинами и дефектом и дефектом и последствиями, т.е. если появилась причина, то дефект обязательно возникнет, и если возник дефект, то обязательно наступят последствия.

В статье предлагается усовершенствование метода FMEA, позволяющее снять указанные упрощения. Оно основано на замене балльных оценок вероятностей D и O на условные вероятности, записанные в чистом виде (без перевода в баллы), и замене критерия тяжести последствия S на критерий полезности последствия (а точнее, потерь от последствия), традиционно применяемый в теории принятия решений [3]. Использование новых критериев приведет также и к изменению расчета ПЧР, которое теперь будет представлять собой ожидаемую полезность.

Общая идея усовершенствования метода FMEA. Условимся, что последствия дефекта могут наступить, если дефект не был обнаружен при контроле и передан потребителю (внутреннему или внешнему). Если дефект обнаружен, то наиболее тяжкое последствие этого будет представлять собой потери, связанные с производством изделия (детали или узла), т.е. в денежном выражении оно будет представлять собой потерянную себестоимость изделия. В связи с тем что обычно тяжесть последствий пропущенного дефекта намного превышает себестоимость дефектной детали, эти потери не будем принимать во внимание.

В общем виде причинно-следственные зависимости для такого случая можно описать следующим образом. Причины приводят к возникновению дефекта (недетерминированная связь). При контроле дефектного объекта дефект может быть пропущен, это приведет к тому, что дефект будет передан потребителю (обычно детерминированная связь). Если дефект передан потребителю, то он может привести к последствиям (недетерминированная связь). На рис.1 приведены описанные причинно-следственные связи на примере дефекта «Трещины» изолятора электрического соединителя [2].

Рис.1. Причинно-следственная диаграмма дефекта «Трещины» изолятора электрического соединителя

Обычно для задания недетерминированных связей используют условные вероятности. Если предположить, что все факторы на диаграмме -- булевы случайные переменные, принимающие только два значения - ИСТИНА или ЛОЖЬ, то эти распределения будут иметь следующий вид: P(A), P(B) -- априорные вероятности причин (безусловные), P(W) -- априорная вероятность возможности пропуска дефекта при контроле, P(D|A,B) -- условное распределение возникновения дефекта, P(F|Z), P(G|Z) -- условные распределения наступления последствий. Связь между W, D и Z -- детерминированная и представляет собой конъюнкцию Z = WD (дефект передан потребителю, только если он возник и пропущен при контроле). Эту связь тоже можно задать в виде условного распределения P(Z|D,W).

Тяжесть каждого последствия будем оценивать путем задания функции полезности. Функция полезности (в теории принятия решений [4]) -- это числовая функция вида , которая отображает множество допустимых альтернатив А на числовую ось R

действительных чисел, при этом u удовлетворяет условию

(1)

где А -- множество допустимых альтернатив;a и b -- различные альтернативы; -- отношение строгого предпочтения.

Применение функции полезности для задания отношения предпочтения на множестве альтернатив обосновано теоремой фон Неймана-Моргенштерна [3], согласно которой если лицо, принимающее решение (ЛПР), при принятии решений руководствуется аксиомами рационального поведения, то существует функция полезности u, удовлетворяющая условию (1). Таким образом, полезность -- это число, сопоставленное с некоторой альтернативой, которое позволяет сравнить две альтернативы.Например, если u(A) = 35 000, u(B) = 14 000, то альтернатива А лучше В (согласно критерию (1)). В экономике полезность обычно записывается в денежном выражении. В том случае, когда полезность отрицательна, говорят о функции потерь(lossfunction).

Мы условимся тяжесть каждого последствия дефекта оценивать через полезность, записанную в денежном выражении (например, в рублях). Поскольку речь идет о негативных последствиях и полезность будет иметь отрицательный знак, мы условимся записывать её в виде неотрицательного числа, следуя общей логике FMEA-анализа. Таким образом, потребуется дать две оценки:u(F = ИСТИНА) и u(G = ИСТИНА). Обозначим эти полезности кратко в виде u(F) и u(G).

На рис.2 приведена причинно-следственная диаграмма дефекта с указанием всех необходимых числовых оценок (вероятностей и полезностей).

Для наглядности зададим эти оценки в виде табл. 1-8 (жирным шрифтом выделены вероятности, требующие задания; остальные вероятности рассчитываются путем вычитания из единицы).

Рис.2. Причинно-следственная диаграмма дефекта с введенными обозначениями

Таблица 1

Распределение Р(А) (причина А - «Дефект материала»)

Таблица 2

Распределение Р(В) (причина В - «Нарушения режима литья»)

Таблица 3

Распределение P(W) (пропуск дефекта)

Таблица 4

Распределение Р(D|A,B) (наступление дефекта)

Таблица 5

Распределение P(Z|D,W) (передача дефекта потребителю)

На первый взгляд может показаться, что оценок вероятностей слишком много. На самом деле только табл.4, 6, 7 содержат дополнительные оценки. Табл.4 отражает недетерминированную причинно-следственную связь между причинами и дефектом, табл. 6 и 7 -- связь между дефектом и последствиями. Табл. 5 не в счет, так как одинакова для любого дефекта и отражает конъюнкцию в терминах вероятностей. Таким образом, для рассматриваемого примера потребуется задать дополнительно к исходным 6 (см. ниже) еще 8 числовых оценок вероятностей.

Таблица 8

Оценка тяжести последствий дефекта

Связь между новыми параметрами и критериями S, O, D. Между введенными параметрами u(·), P(·) и критериями S, O, D существуют следующие связи: S_F = [u(F)]; S_G = [u(G)]; S_max = max{[u(F)], [u(G)]}; D = [P(Z = ЛОЖЬ)]; O_A = [P(D = ИСТИНА|A = ИСТИНА, B = ЛОЖЬ)]; O_B = [P(D = ИСТИНА|A = ЛОЖЬ, B = ИСТИНА)], где [·] -- оператор перевода в балльные оценки FMEA.

Наличие таких связей между параметрами и критериями уже позволяет рассчитать ПЧР. Однако ниже предлагается другой способ расчета, основанный на более обоснованном, чем простое произведение, подходе -- расчете ожидаемой полезности последствий дефекта.

Расчет приоритетного числа риска. Для оценки интегрального показателя ПЧР предлагается использовать понятие ожидаемой полезности -- произведения вероятности возникновения события на полезность о т него [5]:

eu(x) = u(x)P(x),

где eu(x) -- ожидаемая полезность события; u(x) -- полезность события; P(x) -- вероятность возникновения события.

Перед тем как перейти к расчету ПЧР, допустим, что последствия дефекта независимы по полезности, т.е. полезность одного последствия постоянна и не зависит от наступления или ненаступления других последствий (более строгое определение дано в [6]). Это позволяет рассчитать общую полезность от всех последствий в виде суммы атомарных полезностей отдельных последствий (на самом деле должны выполняться более строгие, чем независимость по полезности, условия [6], однако предположим, что все они выполнены). Общая полезность последствий записывается в следующем виде:

U = u(F) + u(G).

Ожидаемая полезность всех последствий также будет представлять собой сумму вида

EU = eu(F) + eu(G) = u(F)P(F = ИСТИНА) + u(G)P(G = ИСТИНА).

Эта величина будет представлять собой интегральный показатель, зависящий от всех факторов: тяжести последствий, вероятностей возникновения и обнаружения дефекта и вероятностей причин. Поэтому целесообразно использовать её в качестве ПЧР, т.е. ПЧР = EU.

Расчет апостериорных вероятностей. Поясним расчет вероятностей P(F = ИСТИНА) и P(G = ИСТИНА). Граф, приведенный на рис. 2, и вероятностные распределения (табл. 1-7) представляют собой причинную байесовскую сеть [13] с полным совместным распределением вероятностей (ПСР) P(V). Это распределение, согласно цепному правилу [7], представляет собой факторизацию условных распределений:

P(V) = P(A,B,D,W,Z,F,G) = P(A)·P(B)·P(D|A,B)·P(W)·P(Z|D,W)·P(F|Z)·P(G|Z),

где V -- множество переменных этой сети; V = {A, B, D, W, Z, F, G}.

ПСР уже задано табл. 1-7, и оно позволяет ответить на любой вопрос относительно вероятности возникновения любого события (речь идет об апостериорных вероятностях). Апостериорные вероятности возникновения последствий могут быть найдены по следующим формулам на основе маргинализации (суммирования) вероятностей P(V):

.

Сокращенно это можно записать в следующем виде:

Здесь строчными буквами a, b, d, w, z, g обозначены значения соответствующих переменных (переменные обозначены прописными буквами), а суммирование выполняется по всем возможным значениям. Запись вида означает, что a является значением переменной А, A = {ИСТИНА, ЛОЖЬ}.

Аналогично рассчитывается апостериорная вероятность второго последствия:

Поскольку расчет вероятностей вручную трудоемок, рекомендуется использовать специализированное ПО для расчета таких вероятностей (GENIE, Samiam, CausalModeler и другие).

Помимо этого, путем маргинализации ПСР можно рассчитывать и любые другие апостериорные вероятности (например, вероятность передачи дефекта потребителю P(Z = ИСТИНА), вероятность возникновения дефекта P(D = ИСТИНА)), а также прогнозировать дефекты и диагностировать их причины, применяя теорему Байеса.

Пример применения предложенных улучшений. Воспользуемся для расчета вероятностей программой GENIE [8]. На рис.3 приведены рассчитанные с помощью этой системы апостериорные вероятности. В частности, P(F = ИСТИНА) = 0,1561, P(G = ИСТИНА) = 0,0986. Теперь рассчитаем ПЧР:

ПЧР = EU = u(F)P(F = ИСТИНА) + u(G)P(G = ИСТИНА) = 35000·0,1561 + 80 000·0,0986 = = 5 463,5 + 7 888 = 13 351,5.

Рис.3. Результаты расчета апостериорных вероятностей (снимок экрана)

Представление корректирующих действий. В табл. 9 приведены основные типы (макеты) корректирующих действий и их влияние на показатели модели. Использование их позволяет разработать рекомендации по снижению ПЧР, появляется возможность сравнить несколько корректирующих действий, рассчитав ПЧР для каждого из них.

Таблица 9

Основные типы корректирующих действий

Таблица 10

Шкала словесных оценок вероятностей Кжаерульфа-Мадсена

Шкалы для измерения вероятностей. Предложенное улучшение метода FMEA требует задания вероятностей, что очень удобно в том случае, когда накоплена информация о дефектах. Если такая информация отсутствует, вероятности придется задавать экспертным путем, при этом человеку обычно более удобно оперировать словесными оценками вероятностей, чем числовыми. В связи с этим рассмотрим несколько шкал для перевода словесных оценок субъективных вероятностей в числовые оценки.

В табл. 10 приведена шкала, предложенная Кжаерульфом и Мадсеном [9].В табл. 11 приведены качественные оценки вероятностей, применяемые при управлении проектами [10]. В табл. 12 приведена шкала оценок вероятностей, рекомендуемая Федерацией европейских ассоциаций риск-менеджеров (FERMA) [11].

Таблица 11

Качественные оценки вероятностей возникновения риска проекта

вероятность экономический несоответствие

Таблица 12

Шкала оценки вероятности возникновения события (угрозы) FERMA

Предложенное улучшение метода FMEA позволяет снять все ограничения, приведенные в начале статьи, а применение условных вероятностей и функции полезности в методе обладает рядом преимуществ над балльными оценками, которые заключаются в следующем. Переход от балльных оценок к чистым оценкам вероятностей и оценкам тяжести последствий на основе полезности означает и переход от порядковой (ранговой) шкалы к шкале отношений. Расчет ПЧР не путем перемножения балльных оценок, а через расчёт ожидаемой полезности намного более обоснован (общепризнан в теории принятия решений). Появляется возможность создания в будущем алгоритмов принятия решений на основе критерия ожидаемой полезности. Поскольку предложенный набор критериев неявно задает байесовскую сеть, появляется возможность не только рассчитывать ПЧР, но и проводить диагностику и прогнозирование дефектов, их причин и последствий. Способ расчета ПЧР может быть также расширен на случай сети причин и последствий (когда причины оказывают влияние не только на дефект, но и сами на себя, а последствия дефекта взаимозависимы).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Форрестер, Дж. Динамика развития города / Дж. Форрестер; пер. с англ. М.Г. Орловой. - М.: Прогресс, 1974. - 287 с.

2. Мирошников, В.В. Модель комплексного многоуровневого FMEA-анализа сложных систем: монография / В.В. Мирошников, Н.М. Борбаць, Т.П. Дементьева; под ред. О.А. Горленко. -- Брянск: БГТУ, 2012. -- 124 с.

3. Нейман, Д. Теория игр и экономическое поведение / Д. Нейман, О. Моргенштерн. - М.: Наука, 1970. - 707 с.

4. Математические модели организаций: учеб. пособие / А.А. Воронин, М.В. Губко, С.П. Мишин, Д.А. Новиков. - М.: ЛЕНАНД, 2008. - 360 с.

5. Розен, В.В. Математические модели принятия решений в экономике: учеб. пособие / В.В. Розен. - М.: Университет, Высш.шк., 2002. - 288 с.

6. Кини, Р.Л. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения / Р.Л. Кини, Х. Райфа. - М.: Радио и связь, 1981. - 560 с.

7. Pearl, J. Causality: Models, Reasoning and Inference / J. Pearl. - 2nd edition.- Cambridge University Press,2009. - 464 p.

8. GENIE reasoning engine for graphical probabilistic model / Decision Systems Laboratory (DSL), University of Pittsburgh. - http://genie.sis.pitt.edu.

9. Kjжrulff, U. Bayesian Networks and Influence Diagrams. A Guide to Construction and Analysis / Uffe B. Kjжrulff, Anders L. Madsen. - New York: Springer, 2008. - 303 p.

10. Полковников, А.В. Управление проектами / А.В. Полковников, М.Ф. Дубовик. - М.: Эксмо, 2010. - 528 с.

11. Стандарты управления рисками. - Федерация европейских ассоциаций риск-менеджеров (FERMA), 2003. - 16 с. -http://www.ferma.eu/wp-content/uploads/2011/11/a-risk-management-standard-russian-version.pdf.

12. Мирошников, В.В. Комплексный метод многоуровневого FMEA-анализа в системе менеджмента качества организации / В.В. Мирошников, Н.М. Борбаць, Т.П. Дементьева // Вестн. БГТУ. - 2012. - №3(35). - С. 121-129.

13. Мирошников, В.В. Методика построения байесовой сети для анализа причин дефектов продукции и процессов / В.В. Мирошников, С.В. Ешин// Вестн. БГТУ. - 2011. - №2(30). - С. 93-100.

Материал поступил в редколлегию 24.04.13.

Размещено на Allbest.ru