Новое в теории производственных функций
Решение задачи нахождения точки рыночного равновесия (где доход от производственной функции равен издержкам производства) различными способами. Доказательство достоверности: градиентный метод, метод Лагранжа и метод оптимальных весовых коэффициентов.
Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
Вид | статья |
Язык | русский |
Дата добавления | 26.06.2018 |
Размер файла | 161,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Новое в теории производственных функций
Некрестьянова Ю.Н.
Аннотация
В статье решена задача нахождения точки рыночного равновесия (где доход от производственной функции равен издержкам производства, при этом равны и max приросты их изменения) тремя различными способами: градиентным методом; методом Лагранжа; методом оптимальных весовых коэффициентов (метод, предложенный автором статьи). Тождественность результата - это доказательство достоверности метода оптимальных весовых коэффициентов.
Ключевые слова: производственная функция, принцип наименьшего действия, оптимальные весовые коэффициенты.
Nekrestianova U.N.
Postgraduate student, State University of management
NEW IN THE THEORY OF PRODUCTION FUNCTIONS
Abstract
The article solves the problem of finding the point of market equilibrium (where the income from the production function is equal to cost of production, equal and max gain their modifications) in three different ways: gradient method; the method of Lagrange; by the method of optimal weighting coefficients (method proposed by the author of the article). The identity of the result is proof of the validity of the method of optimal weighting coefficients.
Keywords: production function, the principle of least action, optimal weighting coefficients.
Теория производственных функций давно и широко используется в экономической науке для решения задач как макро, так и микро экономики (например, в теории фирмы). Преподавание теории производственных функций обычно осуществляется на примере функций двух переменных (например, [1]), так как в этом случае легко использовать геометрические иллюстрации и доказательства. В качестве типичной производственной функции двух переменных используется известная функция Кобба-Дугласа в виде:
(1)
Чаще ее представляют в виде:
(2)
Параметры a0, a1, a2 обычно определяются путем обработки статистической информации, то есть апостериори (после опыта), что плохо для прогнозов. Производственная функция (2) - это функция дохода от макроэкономики (отрасли, региона, страны в целом). Под переменными (параметрами производства) K и L понимаются объемы привлекаемых в экономику за рассматриваемый временной интервал «T» капиталов (K) и затрат средств на трудовые ресурсы (L), функция издержек при этом имеет вид:
(3)
Где b1, b2 - коэффициенты инфляции (средние) за период «Т».
Сразу же отметим важный факт, что g(x) является однородной функцией со степенью однородности единица. Это следует из того, что
(4)
Из теории известно, что всегда существует точка так называемого рыночного равновесия и в этой точке x*=(x1*,x2*) значения дохода f(x*) и издержек g(x*) равны, то есть
(5)
Из равенств (5) очевидно следует, что
(6)
То есть по определению однородной функции f(x) - однородна со степенью однородности единица. Таким образом f(x) и g(x) всегда будут иметь одинаковую степень однородности. Так как из вида (2) производственной функции f(x) следует, что
то получаем требование:
(7)
Таким образом, параметры a1 и a2 можно рассматривать как весовые коэффициенты факторов производства K и L. Это очень важный результат, который при достаточно достоверной и объемной статистической выборке должен подтверждаться на практике. И действительно, в работ [3] это подтверждение есть. Для макроэкономической производственный функции Кобба-Дугласа в [3] для экономики США приведены значения параметров и, полученные разными авторами для различных базовых временных промежутков. При этом особо подчеркивается, что авторами априори не предполагалось, что (a1+a2)=1. В таблице 1 представлены лишь два из представленных в работе [3] результата полученных известными в мире экономистами (Дугласом и Солоу).
Таблица 1 - Значения параметров a1 и a2
Из [3] и таблицы 1 следует, что a1 ? a2 и что a1 и a2 отстоят от 1/2 на одном расстоянии, то есть в - a1 ? a2 - в. При этом (a1 + a2) = 1. Однако главный результат получен в [2], где показано, что существуют оптимальные значения весовых коэффициентов по критерию принципа наименьшего действия. При этом не только всегда , но и существуют конкретные оптимальные числовые значения весовых коэффициентов , которые являются функциями их числа n. В случае n = 2 получаются оптимальные значения a1 = 0,382 b a2= 0,618. Это известное «золотое сечение» единицы на две оптимальные части (при этом 0,5 - 0,382 = 0,618 - 0,5 = 0,118). Это подтверждается, учитывая статистическую погрешность, и таблица 1 (особенно результат Солоу). В работе [2] получена формула расчета оптимальных значений весовых коэффициентов ai в случае произвольного их числа n в виде:
(8)
Здесь p > 0 - максимальный действительный корень полинома вида: . Таким образом для производственной функции Кобба-Дугласа получаем оптимальный вариант ; ; a0 = const. То есть
(9)
Для многофакторных производственных функций известна производственная функция Ричарда Стоуна, следующего вида:
(10)
где . Здесь также оптимальный вариант будет при ai определяемых по формулам (8), причем . Таким образом доказано, что в теории производственных функций типа Ричарда Стоуна (производственная функция Кобба-Дугласа здесь частный случай при n = 2) параметры ai действительно являются весовыми коэффициентами факторов производства . Более того, получена формула (8) для расчета их оптимальных значений при каждом n.
Для определения величины константы нужно воспользоваться точкой x*рыночного равновесия, где f(x*) = g(x*). В общем случае (n - мерном) функция издержек
(11)
Здесь bi - коэффициент инфляции. Тогда из равенства , получаем
(12)
Для определения координат точки x* рыночного равновесия можно использовать результат работы [2]. А именно из g(x*) = I0 имеем:
(13)
Из (13) получаем равенства
(14)
Таким образом, координаты xi* находятся без решения задачи оптимизации производственной функции. Но при этом используется оптимизация по принципу наименьшего действия. Для доказательства правильности определения величин xi* найдем их из решения задачи max прибыли
(15)
Покажем, что точкой max ц(x) будет та же самая точка рыночного равновесия x*, где f(x*) = g(x*) = I0. Для этого вычислим дифференциал ц(x) и приравняем его нулю. Из (15) получаем
(16)
Из (16) следует, что df(x) = dg(x), то есть
для (17)
Так как - мерные поверхности
(18)
касаются в точке x* = (x1*,…, xn*), то при величине g(x*) = I0 и величина f(x*) = I0. Тогда из (17) имеем
(19)
То есть действительно
(20)
Равенства (20) и (14) являются тождественными. При этом (14) получены через принцип наименьшего действия, а (19) при решении задачи максимизации прибыли ц(x). Таким образом, доказана справедливость равенств (14) и подхода (способа) их получения.
Получим теперь уравнения (14) еще одним способом: методом Лагранжа. Для этого решим задачу на условный экстремум (max) для производственной функции вида при бюджетном ограничении . В рассматриваемой задаче функция Лагранжа будет иметь вид:
(21)
Как известно, решение находится путем решения системы уравнений (нахождения величин xi) вида:
(22)
Так как и , то из (22) имеем уравнения:
(23)
Умножая уравнения (23) на xi и суммируя по получаем:
(24)
Так как из единичной степени однородности f(x) и g(x) следует, что и справедливо равенство , то из (24) получаем, что:
рыночное равновесие весовой коэффициент
(25)
Подставляя это значение л в уравнения (23), получаем равенства:
(26)
то есть
(27)
Здесь ai - весовые коэффициенты факторов производства xi, которые находятся по формулам (8).
Уравнения (27) и (14) являются тождественными. Таким образом, решение (14) получено тремя различными методами, что доказывает и его достоверность и достоверность всех трех методов решения. В итоге получено еще одно доказательство оптимального по принципу наименьшего действия разложения любой const = I0 на n частей в виде: , где ai - весовые коэффициенты (т.е. ) определяемые формулами (8).
Заметим, что в более общем случае, когда функция издержек g(x) имеет степень однородности величиной p (то есть g(x) не будет линейной формой, а будет, например, квадратичной формой вида , то есть однородной степени p = 2), функция дохода f(x) в виде (10) также будет иметь степень однородности
(21)
Преобразуя (21) к виду , где гi - весовые коэффициенты (определяемые по формуле (8)) факторов производства Xi. При этом параметры ai также всегда вычисляются через гi и p в виде ai = гi p.
Кроме того, метод оптимизации через оптимальные весовые коэффициенты применим к зависимым переменным (либо функциям)! В нашем случае , где zi = fi(xi) = ц(xi,ai) это зависимые через параметры (весовые коэффициенты) переменные - функции. Например, если в виде zi(xi,ai) = cixiai (вектор параметров a = (a1,…,an)) рассмотреть локальные критерии оптимальности процесса производства, которые очевидно всегда зависимы, то интегральный критерий может быть выражен, например, их средним геометрическим (либо в виде lnf(x,a)=Ц(x,a), что при дифференцировании обеспечит безразмерность).
В заключение, необходимо отметить, что предложенный в статье метод оптимальных весовых коэффициентов позволяет легко решать целый ряд задач экономики (например, задача оптимального распределения ресурсов бюджета по статьям расходов и т.п.).
Литература
1. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемых Ю.Н. Математические методы в экономике. - М.: Дело и сервис, 2001.
2. Некрестьянова Ю.Н. Оптимизация значений весовых коэффициентов критериев эффективности инвестиционного проекта / Ю.Н. Некрестьянова // Эффективные механизмы инновационно-технологического развития современного общества: материалы IX Всероссийской (с международным участием) научно-практической конференции, г. Сочи, 23-24 мая 2013 г. / НОУ ВПО СИЭИТ - Сочи: «Стерх ГРУП», 2013. - с. 60 - 62. - 0,15 п.л.
3. Терехов Л.Л. Производственные функции. - М.: Статистика, 1974.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Очевидное начальное опорное решение. Симплексный метод с естественным базисом. Графический метод решения задач линейного программирования. Двойственная задача, ее оптимальное решение. Матрица коэффициентов затрат. Полная схема межотраслевого баланса.
контрольная работа [89,6 K], добавлен 30.04.2009Типы производственных функций и их свойства. Одноотраслевые динамические макроэкономические модели. Основа балансовых моделей - балансовый метод, т.е. метод взаимного сопоставления материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них.
курс лекций [176,1 K], добавлен 25.01.2010Аналитические и численные методы безусловной оптимизации. Метод исключения и метод множителей Лагранжа (ММЛ). Метод Эйлера – классический метод решения задач безусловной оптимизации. Классическая задача условной оптимизации. О практическом смысле ММЛ.
реферат [387,0 K], добавлен 17.11.2010Графический метод решения задачи оптимизации производственных процессов. Применение симплекс-алгоритма для решения экономической оптимизированной задачи управления производством. Метод динамического программирования для выбора оптимального профиля пути.
контрольная работа [158,7 K], добавлен 15.10.2010Математическая теория оптимального принятия решений. Табличный симплекс-метод. Составление и решение двойственной задачи линейного программирования. Математическая модель транспортной задачи. Анализ целесообразности производства продукции на предприятии.
контрольная работа [467,8 K], добавлен 13.06.2012Анализ чувствительности производственной программы предприятия к изменению уровня запасов сырья. Элементы теории графов. Алгоритм для нахождения пути с правильной нумерацией вершин. Транспортная задача, метод минимального элемента и северо-западного угла.
курсовая работа [986,8 K], добавлен 31.05.2013Вычисление приближенного значения интеграла методом Симпсона, путем ввода функции, отрезка и шага dx. Решение задачи методом Симпсона с помощью ПЭВМ. Быстрота и точность решения определенного интеграла от функции, имеющей неэлементарную первообразную.
курсовая работа [601,2 K], добавлен 15.03.2009Метод Ньютона в задачах на безусловный экстремум. Свойство квадратичной сходимости. Сущность модели межотраслевого баланса. Составление системы балансовых соотношений в матричной форме. Определение оптимальных стратегий отраслей с помощью теории игр.
курсовая работа [207,6 K], добавлен 05.02.2014Симплекс метод решения задач линейного программирования. Построение модели и решение задачи определения оптимального плана производства симплексным методом. Построение двойственной задачи. Решение задачи оптимизации в табличном процессоре MS Excel.
курсовая работа [458,6 K], добавлен 10.12.2013Синтетический метод в прикладном системном анализе. Предпосылка синтеза системы с оптимальным распределением руководящих (координирующих) функций. Показатели центральности и периферийности. Целочисленное программирование. Учёт факторов неопределённости.
презентация [421,7 K], добавлен 19.12.2013Эконометрика как наука, позволяющая анализировать связи между различными экономическими показателями на основании реальных статистических данных. Структурная форма эконометрической модели. Метод наименьших квадратов: общее понятие, главные функции.
курсовая работа [135,1 K], добавлен 05.12.2014Основы теории производственных функций, аддитивные и мультипликативные виды. Показатели эффективности использования ресурсов. Комплекснозначная производственная функция ООО "Квант". Анализ производства предприятия с помощью производственных функций.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 29.06.2011Построение графического дерева решений по установленному критерию оптимальности. Анализ узлов дерева решений с точки зрения доступности информации. Определение вектора приоритетов альтернатив, используя метод анализа иерархий и матрицы парных сравнений.
контрольная работа [106,4 K], добавлен 09.07.2014Суть математического моделирования процессов и теории оптимизации. Метод дихотомии и золотого сечения. Поиск точки min методом правильного симплекса. Графическое решение задачи линейного программирования, моделирование и оптимизация трёхмерного объекта.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 15.01.2010Линейное программирование. Геометрическая интерпретация и графический метод решения ЗЛП. Симплексный метод решения ЗЛП. Метод искусственного базиса. Алгоритм метода минимального элемента. Алгоритм метода потенциалов. Метод Гомори. Алгоритм метода Фогеля.
реферат [109,3 K], добавлен 03.02.2009Способ перевозки при котором затраты связанные с перевозкой минимальны. Распределительный метод достижения оптимального плана. Метод последовательного улучшения плана перевозок. Написание программы. Visual Basic for Applications. Описание алгоритма.
курсовая работа [34,6 K], добавлен 20.11.2008Оптимальный план прямой задачи. Значения функций целочисленного и нецелочисленного решений. Оптимальное решение двойственной задачи и условия дополняющей нежесткости. Условия канонической задачи линейного программирования. Метод Жордана–Гаусса.
контрольная работа [323,0 K], добавлен 20.01.2011Формы задачи линейного программирования, каноническая форма. Симплекс-метод: теоретические основы, прямой алгоритм; метод Гомори. Математическая и техническая постановка задачи, программная реализация: запуск, графический интерфейс и созданные функции.
курсовая работа [578,7 K], добавлен 04.02.2011Типы транспортных задач и методы их решения. Поиск оптимального плана перевозок методом потенциалов. Решение задачи с использованием средств MS Excel. Распределительный метод поиска оптимального плана перевозок. Математическая модель, описание программы.
курсовая работа [808,7 K], добавлен 27.01.2011Виды проявления количественных связей между признаками. Определения функциональной и корреляционной связи. Практическое значение установления, направление и сила корреляционной связи. Метод квадратов (метод Пирсона), ранговый метод (метод Спирмена).
презентация [173,6 K], добавлен 19.04.2015