Математическая модель управления запасами

Карагандинский государственный технический университет, кафедра ИС

Математическая модель управления запасами

М.К. БАЙМУЛЬДИН, к.т.н., зав. кафедрой ИС,

Г.С. ШУЛГАУБАЕВА, ст. преподаватель,

О.В. КРЕМЕР, ст. преподаватель,

О.В. МАРТЫНЕНКО, ст. преподаватель,

Лица, ответственные за принятие решений, касающихся проектирования и создания экономических систем, могут оценить их эффективность одним из трех следующих способов.

Во-первых, есть возможность (по крайней мере, теоретическая) проводить управляемые эксперименты с экономической системой фирмы, отрасли или страны. Однако принятие неоптимальных решений может причинить ущерб экономической системе. При этом, чем больше масштаб системы, тем ощутимее убытки. Даже в случае оптимальных решений, касающихся, например, управления деятельностью фирмы, при проведении натурных экспериментов трудно сохранить постоянство факторов и условий, влияющих на результат, следовательно, сложно обеспечить надежную оценку различных экономических решений.

Во-вторых, если есть данные о развитии экономической системы за некоторый период времени в прошлом, то можно провести мысленный эксперимент на этих данных. Однако для этого нужно точно знать, какие изменения, каких входных переменных привели к наблюдаемому изменению выходных переменных, характеризующих эффективность экономической системы. Иногда причинами изменений могут оказаться случайные возмущения, или так называемый «шум». Поэтому нельзя слишком доверять оценкам экономических решений, полученным на основе данных о развитии системы в прошлом.

В-третьих, можно простроить математическую модель рассматриваемой системы, связывающую входные (независимые) переменные с выходными (зависимыми) переменными, а также с экономической стратегией, т.е. со способом управления экономической системой. Если есть основания для того, чтобы считать разработанную математическую модель адекватной рассматриваемой экономической системе, то с помощью модели можно производить расчеты или машинные эксперименты (если модель реализована на ЭВМ). По результатам этих экспериментов можно разработать рекомендации по повышению эффективности существующей или проектируемой экономической системы.

Условием для разработки модели является наличие так называемой информационной достаточности [1]. Это означает, что разработчик должен иметь достаточное представление о том, что является входными и выходными переменными в исследуемой системе и какие факторы оказывают влияние на процесс ее функционирования. Если уровень информационной достаточности невысок, то создать модель, с помощью которой можно получать новые знания об объекте-оригинале, невозможно. Если уровень информационной достаточности велик, т.е. система уже хорошо изучена, то вопрос о создании модели теряет смысл, так как новых знаний она также не дает. Следовательно, разрабатывать модель имеет смысл только в том случае, если объект-оригинал еще недостаточно изучен или вообще не существует в природе и только проектируется.

Если объект-оригинал существует, то модель считается адекватной ему в том случае, если зависимость выходных переменных от входных параметров в модели и в объекте-оригинале практически совпадает. При упрощении модели степень адекватности снижается.

Если же объекта-оригинала еще не существует, то модель считается адекватной объекту-оригиналу, если она с достаточной степенью приближения на уровне понимания моделируемого процесса исследователем отражает закономерности процесса функционирования реальной системы. Залогом адекватности в этом случае является полнота описания моделируемого процесса, т.е. учет всех факторов, поддающихся формализации.

Первая классификация математических моделей экономических систем была предложена Т. Нейлором в монографии «Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем» [2]. Он предлагал разделить их все на две группы: общие экономические модели и модели управления предприятиями. В основу классификации общих экономических моделей заложен масштаб изучаемой экономической системы. С этой точки зрения модели можно разделить на три большие группы: модели фирм, отраслевые модели и макроэкономические модели. Представителями моделей фирм являются:

- модели отдельных фирм;

- модели конкурентных отраслей;

- модели дуополий (объединение двух фирм);

- модели олигополий (объединение нескольких фирм);

- модели монополий.

Опыт создания моделей фирм, обобщенный Т. Нейлором, показывает, что разработка математических моделей даже таких систем такого масштаба, как фирма, представляет сложную научно-исследовательскую работу.

Во-первых, это проблема получения достоверной информации. Модель должна строиться на прочной эмпирической основе. Однако эта информация, как правило, недоступна для разработчиков экономических моделей. Руководство компанией просто не желает давать данные о деятельности своих предприятий посторонним лицам. Это особенно характерно для фирм, работающих в условиях сильной конкуренции.

Во-вторых, трудности построения адекватной численной модели фирмы связаны с тем, что такая модель должна опираться на глубокое знание реальных процессов принятия решений в организациях. Для этого надо хорошо ориентироваться в современном состоянии таких дисциплин, как теория принятия решений, теория организации, а также разбираться в вопросах психологии, социологии, политики, управления производством и экономики.

В-третьих, организация численных испытаний модели функционирования фирмы требует особого внимания к проблеме планирования эксперимента [3].

Макроэкономические модели предназначены для имитации экономических систем крупного масштаба, таких как область или страна в целом. С чисто технической точки зрения механизм численного моделирования экономики описывается теми же правилами, что и при имитации процесса функционирования фирм, отрасли или их подразделений [4]. По-прежнему надо определить структуру изучаемой системы, входные и выходные переменные, сформулировать задачу моделирования, построить схему алгоритма и написать программу. Однако по существу алгоритмические модели глобальных экономических систем сильно отличаются от микроэкономических моделей, и эти отличия связаны с проблемой вывода адекватных уравнений функционирования экономики в целом:

- входные переменные макроэкономической системы, такие как национальный доход, национальный продукт и общая численность работающих, зависят от большого числа существенных факторов. Их количество существенно превышает число переменных в микроэкономических моделях;

- между входными переменными существуют очень сложные взаимодействия и обратные связи;

- для формулировки реалистических гипотез относительно функционирования экономики требуются глубокие знания закономерностей ее развития;

- получить данные для построения математической модели макроэкономической системы намного сложнее, чем для микроэкономических систем.

Рассмотрим микроэкономические системы, которые можно условно назвать моделями управления предприятием. К моделям управления предприятиями относятся: модели массового обслуживания; модели управления запасами; производственные модели; модели торговли; финансовые модели.

Рассмотрим модель управления запасами, в которой рассматривается система управления запасом однородного товара на складе. Когда уровень запаса падает ниже некоторой критической отметки, оформляется заказ на поставку новой партии товара. При отсутствии товара на складе применяются штрафные санкции.

Постановка задачи. Допустим, мы хотим вложить средства в строительство склада для продажи автомашин. Существует контора, где оформляются документы на покупку машин, затем покупатель отправляется на склад и получает автомашину. Нужно разработать модель процесса работы склада. запас товар экономический модель

Решение задачи. При построении модели нужно установить, каким должно быть оптимальное количество автомашин, хранящихся на складе, при этом количество покупателей заранее неизвестно. Поэтому неопределенным является минимальный запас, который нужно поддерживать на складе ежедневно. С увеличением запаса товара растут эксплуатационные расходы, при уменьшении запаса товара может возникнуть ситуация, когда некоторые покупатели, оформившие покупку, не смогут получить товар к концу рабочего дня. Тогда по правилам, действующим на фирме, покупателям выплачивается неустойка в довольно крупных размерах. В то же время организация подвоза новых партий товара требует нескольких дней и сопряжена с дополнительными затратами.

Стоимость затрат на хранение товара пропорциональна количеству автомашин, находящихся на складе в данный день. Стоимость затрат на поставку товара пропорциональна объему партии, стоимость затрат, вызванных дефицитом товара, пропорциональна количеству покупателей, спрос которых остался неудовлетворенным. Таким образом, задача заключается в создании алгоритмической модели процесса функционирования сложной системы с целью оптимизации ее параметров. В данном случае условием оптимизации будет условие минимизации затрат на содержание склада в течение определенного периода времени. Входные переменные - случайные. Одна из них - случайное число продаваемых ежедневно автомашин (ежедневный расход товара). Вторая - случайное число дней, затраченных на организацию поставки дополнительной партии товара. Для величины ежедневного спроса можно указать возможный диапазон ее изменения. Речь может идти о сотнях покупателей в день с некоторым отклонением в ту или другую сторону. Значит, количество покупателей - это дискретная величина и здесь больше подходит биномиальное распределение, которое при большом числе возможных значений может быть успешно заменено нормальным распределением. Его характеризуют двумя параметрами: математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением числа покупателей. Единственное дополнительное условие заключается в том, что полученное возможное значение случайной величины нужно округлить до целой величины.

Точно также можно подойти и к выбору вида распределения для случайной величины времени поставки партии товара. Здесь также можно использовать вместо биномиального распределения дискретной случайной величины нормальное распределение непрерывной случайной величины [5]. Однако в данном случае диапазон возможных значений числа дней на поставку товара невелик, и поэтому такая аппроксимация является менее точной, чем для количества покупателей. Характеристиками распределения являются математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение времени поставки товара. Естественно, что и в этом случае возможное значение случайной величины должно быть округлено до целого числа.

Итак, входными переменными данной модели являются:

- средний ежедневный спрос и среднее квадратическое отклонение ежедневного спроса;

- среднее время поставки дополнительной партии товара и его среднее квадратическое отклонение;

- стоимость хранения единицы товара на складе в течение одних суток;

- стоимость затрат на доставку единицы товара;

- затраты, связанные с дефицитом каждой единицы товара;

- начальный уровень запаса товара;

- период работы склада.

Итого получилось семь входных переменных. К ним нужно добавить две варьируемые переменные:

- объем дополнительной партии товара;

- критический уровень запаса товара, при достижении которого администратор склада должен заказывать новую партию.

В качестве выходной величиной модели можно использовать средние затраты на содержание склада за заданный период времени с учетом ее разброса. Показателем эффективности моделируемого процесса целесообразно выбрать максимальные гарантированные затраты с заданным уровнем гарантии. Этот показатель представляет собой максимальный уровень затрат, которые с заданной надежностью не могут быть превышены при длительном использовании склада. В какие-то периоды склад может работать с относительно малыми затратами, а в какие-то с большими затратами. Но практически никогда затраты не превзойдут величины выбранного показателя эффективности.

Теперь определимся с уровнем надежности. Если вы не хотите рисковать, то должны ориентироваться на высокий уровень надежности, порядка 0,99. Это означает, что из ста периодов функционирования склада затраты превысят величину показателя эффективности. Если вы согласны на определенный риск, то можно выбрать уровень надежности 0,9. Тогда уже в десяти случаях из ста затраты превысят величину показателя эффективности.

Критерием эффективности может быть условие минимума показателя эффективности при изменении варьируемых переменных.

Концептуальная модель. Имеется склад, где хранится запас однотипного товара. Начальный уровень запаса равен N_ур. В результате удовлетворения ежедневного спроса происходит уменьшение запаса на случайную величину, имеющую нормальное распределение с известными характеристиками: математическим ожиданием М_д и средним квадратическим отклонением _д. Затраты на хранение единицы товара в течение суток составляют $C₁.

Если на складе не останется товара, то администрации склада придется уплатить прибывшим покупателям компенсацию в размере $C₃ за каждую недостающую единицу товара по отношению к заказанному количеству.

Чтобы избежать затрат, вызванных дефицитом товара, администрация склада периодически подает заявки на поставку дополнительных партий товара выбранного объема Part. Подача заявки производится в момент, когда уровень запаса товара снизится до выбранного уровня UR_min. Время выполнения заявки является случайной величиной с нормальным распределением и известными характеристиками M_T и _T. Затраты на поставку единицу товара составляют $C₂. Цикл работы склада составляет T_D дней.

Требуется разработать математическую модель, которая бы описывала возможный реальный процесс, позволяла изучать его закономерности и выбирать наивыгоднейший режим работы склада, обеспечивающий минимальные затраты на его содержание.

В частности, требуется установить:

- оптимальный уровень запаса UR_min, при достижении которого необходимо подавать заявку на поставку партии товара;

- оптимальный объем партии товара Part.

В качестве показателя эффективности моделируемого процесса, целесообразно выбрать максимальные гарантированные затраты на содержание склада (с заданным уровнем гарантии), определяемые по формуле:

где М_С - средние затраты на содержание склада в течение периода T_D дней;

_С - среднее квадратическое отклонение затрат на содержание склада;

K - квантиль, зависящий от уровня гарантии (K = 1,28 при = 0,9).

В качестве критерия выбора оптимального режима работы склада может быть принят минимум максимальных гарантированных затрат:

где - оптимальное значение уровня запаса товара, при достижении которого необходимо подавать заявку на поставку новой партии;

Part* - оптимальный объем партии товара.

Алгоритм модели. В качестве языка программирования для разработки компьютерной модели рассматриваемого процесса был выбран Visual Basic.

В состав базового комплекта исходных данных входят:

- начальный уровень запаса товара N_ур;

- средний ежедневный спрос товара М_Д;

- среднее квадратическое отклонение ежедневного спроса _Д;

- объем партии товара Part;

- уровень запаса, при котором должна оформляться заявка на поставку дополнительной партии товара UR_min;

- среднее время поставки товара М_Т дней;

- среднее квадратическое отклонение времени поставки товара _Т дней;

- стоимость хранения единицы товара в течение суток $C₁;

- стоимость поставки единицы товара $C₂;

- стоимость затрат на компенсацию отсутствия товара на складе $C₃ за каждую недостающую единицу;

- период функционирования склада T_D дней;

- число случайных реализаций N_p;

Глобальные переменные, которые вначале обнуляются:

- MSC - начальное значение суммы случайных величин общих затрат на содержание склада для различных реализаций моделируемого процесса;

- SSC - начальное значение суммы квадратов случайных величин общих затрат.

Кроме того, необходимо установить начальное значение времени поставки дополнительной партии товара, которое выходит за пределы работы склада и равняется:

Т_пост.0 = Т_D + 1.

Локальные переменные, которые необходимо обнулить:

S_C1 - начальное значение суммарных затрат на хранение товара в течение всего периода работы склада для одной реализации;

S_C2 - начальное значение суммарных затрат, связанных с нехваткой товара в течение всего периода работы склада одной реализации;

S_C3 - начальное значение суммарных затрат на поставку дополнительных партий товара в течение всего периода работы склада для одной реализации;

Т - исходное значение счетчика дней (модельное время);

Zajav - числовой признак отсутствия заявки на поставку дополнительной партии товара (если заявка подана, то Zajav = 1).

Расчет суммарных характеристик затрат на содержание склада осуществляется по формулам:

Показатель эффективности рассчитывается так:

Пример решения задачи моделирования.

Примем следующие исходные данные:

- начальный уровень запаса товара N_ур = 1000;

- cредний ежедневный спрос товара М_Д = 100;

- cреднее квадратическое отклонение ежедневного спроса _Д = 10;

- среднее время поставки партии товара М_Т = 3 дня;

- среднее квадратическое отклонение времени поставки товара _Т = 1 день;

- стоимость хранения единицы товара в течение суток С₁ = 2$;

- стоимость поставки единицы товара С₂ = 1$;

- затраты на компенсацию отсутствия единицы товара на складе С₃ = 10$;

- период функционирования склада T_D = 30 дней;

- число случайных реализаций N_p = 2000.

Варьируемые переменные:

- объем партии товара Part = 100; 200; 300; 400; 500;

- уровень запаса, при котором должна оформляться заявка на поставку дополнительной партии товара UR_min = 50; 150; 250; 350; 450; 550.

Результаты моделирования представлены в таблице.

Зависимость максимальных гарантированных затрат, тыс. $

Как видно из таблицы, оптимальными параметрами исследуемой системы, при которых максимальные гарантированные затраты на содержание склада минимальны, являются:

объем партии товара Part = 100;

критический уровень запаса товара UR_min = 250.

Список литературы

1. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 2003.

2. Нейлор Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем. М.: Мир, 2002.

3. Емельянов А.А., Власов Е.А. Имитационное моделирование в экономических информационных системах. М.: МЭСИ, 2005.

4. Лабскер Л.Г. и др. Математическое моделирование финансово-экономических ситуаций с применением компьютера. М.: МЭСИ, 2004.

5. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука. М.: Мир, 2006.

Размещено на Allbest.ru