Расчет уровневого режима грунтовых вод в осушаемых массивах польдерных систем с учетом дренажа

Размещено на http://www.allbest.ru/

РАСЧЕТ УРОВНЕВОГО РЕЖИМА ГРУНТОВЫХ ВОД В ОСУШАЕМЫХ МАССИВАХ ПОЛЬДЕРНЫХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ ДРЕНАЖА

Н.Д. Бобарыкин, Е.Н. Графова, К.С. Латышев

Аннотация

Приводится эффективный алгоритм численного расчета уровневого режима грунтовых вод с учетом дренажных систем. Сложность реализации указанного алгоритма численного решения заключается в совместном решении двумерного уравнения Буссинеска и дифференциального уравнения переноса воды в дренажных трубах (ДТ) как в части создания устойчивых и экономичных разностных схем, так и согласования их по граничным условиям на контуре взаимодействия между уровнями воды в проводящих каналах и уровнями грунтовых вод (УГВ) осушаемого массива.

Математическое моделирование, двумерные дифференциальные уравнения, польдерные системы, дренаж

Annotation

LEVEL ACCOUNT OF A CONDITION GROUNDWATERS IN DRAINED MASSIFS OF POLDER SYSTEMS WITH ALLOWANCE FOR OF DRAIN

N.D. Bobarykin, E.N. Grafova, K.S. Latishev

The effective algorithm of numerical level account of a condition of groundwaters with allowance for of drainage systems is resulted. The complication of realization of the indicated algorithm of a numerical solution is encompass byed a share solution of a bivariate Byssinec's equation and differential equation of carrying of water in drainage ducts (DD), as in a part of creation of stable and costeffective difference networks, and coordination them on boundary conditions on an outline of interplay between water lines in conducting channels and ground-water levels of a drained massif.

Mathematical modeling, the two-dimensional differential equations, polder systems, a drainage

1. Моделирование УГВ в осушаемых массивах на основе решения двумерного уравнения Буссинеска

Уровень грунтовых вод, согласно инвариантной математической модели польдерных систем, рассмотренной в работе, описывается нестационарным двухмерным уравнением Буссинеска в частных производных параболического типа:

, (1)

где Н - уровень грунтовых вод, м; м - коэффициент водоотдачи; Ф = K_f ? Н; K_f - коэффициент фильтрации, м/с; о - функция источника (стока) влаги, м/с.

Начальные условия. В начальный момент времени при t₀ = 0 для нестационарного двухмерного уравнения в частных производных (1) начальные условия задаются в виде:

H(x,y,t₀) = 3. (2)

Граничные условия для дифференциального уравнения Буссинеска (1), описывающего уровневый режим грунтовых вод, задаются для каждого канала на четырех сторонах прямоугольника осушаемого массива (ОМ), прилегающего к данному каналу, следующем образом:

; ; . (3)

Алгоритм численного решения двумерного уравнения Буссинеска, основанный на разностных схемах второго порядка точности 0(ф²+h_x+h_y). Сложность численного решения двухмерного уравнения Буссинеска определяется его двухмерностью и необходимостью построения консервативной разностной схемы, использующей дивергентный вид уравнения. Поэтому при численной реализации этого уравнения использовался метод расщепления и запись дифференциального оператора второго порядка в дивергентном разностном виде. В силу однородности процесса фильтрации осушаемого массива при численном решении нестационарного двухмерного уравнения в частных производных параболического типа (1) наиболее рационально использовать классический метод переменных направлений, основанный на редукции сложной задачи к последовательности простейших, который рассмотрен [1-2]. Следуя приведенному алгоритму в этих работах, дифференциальное уравнение (1) запишется в виде следующих двух разностных уравнений:

(4)

где h_y - шаг интегрирования по оси у; i = 1, 2, …, n - 1 - номер пространственного узла по оси х; m = 1,2,…,M-1 - номер пространственного узла по оси у; j = 0,…,k-1 - номер временного слоя; h_y - шаг по оси у;

.

Алгоритм численного решения уравнения (1) на разностной сетке строился на основе Т-образных разностных шаблонов и заключается в следующем.

На первом полушаге по времени ф / 2 (на разностной сетке вводились полуцелые временные слои интегрирование проводилось вдоль оси х, а на втором полушаге ф / 2 по переменной у.

Таким образом, при интегрировании двухмерного уравнения Буссинеска (1) вдоль оси х при заданных значениях начальных и граничных условий (2) - (3) вычисляются значения искомой функции Н во всех внутренних точках прямоугольника на вспомогательном полуцелом временном слое j+Ѕ.

На втором полушаге по времени ф при интегрировании двухмерного дифференциального уравнения (1), используя значения функции Н на вспомогательном временном слое j + Ѕ, вычисляются значения искомой функции Н на следующем временном слое j + 1. Нетрудно показать с помощью разложения в ряд Тейлора разностной производной функции Н по времени в окрестности точки j + Ѕ, что порядок аппроксимации по обеим переменным второй 0(ф²+h_x+h_y).

Такая методика построения численного решения двухмерного уравнения Буссинеска подразумевает проведение итерационного процесса до получения необходимой точности.

2. Расчет УГВ с учетом дренажа и заданием граничных условий в области сопряжения проводящей сети с осушаемым массивом

Динамика движения воды в дренах, как будет показано ниже, описывается дифференциальным уравнением в частных производных гиперболического типа следующего вида:

, (5)

где Q_др - расход воды в дренах, м³/с; щ, d - сечение и диаметр ДТ, м² и м; р - глубина закладки ДТ, м.

Начальные условия. В начальный момент времени при t₀=0 для нестационарного уравнения в частных производных (5) начальные условия задаются в виде:

Q(y,t₀) = 0. (6)

Граничные условия для дифференциального уравнения (5) определяю-щего расход воды в дренах, краевое условие на правой границе y=L2 не задается вообще при Q > 0, так как характеристики приходят на правую границу [3]. Для вывода формулы, позволяющей рассчитывать значения потока воды в ДТ на левой границе у = 0, рассмотрим построения, приведенные на рис. 1.

Применительно к гидродинамической системе проводящего канала и прилегающего к нему ОМ, представленной на рис. 1, запишем уравнение Бернулли в вертикальных плоскостях Н₀, d и h, пренебрегая членами уравнения с квадратами скоростей подъема (спуска) воды в канале и ОМ по сравнению с квадратом скорости воды в ДТ, следующим образом:

, (7)

где с - плотность воды, кг/м³; V - скорость воды при выходе из дренажной трубы, м/с; р - глубина закладки ДТ, м; h_p= h - z_p; H_p= H - z_p; Н_р - расстояние между УГВ и горизонтом закладки дрен.

Выражая явно скорость воды при выходе из дренажной трубы V и, учитывая, что поток воды в ДТ, равен Q = щV, получим соотношение для вычисления краевого условия на левой границе для дифференциального уравнения (5) в следующей форме:

Рис. 1. Схема системы проводящего канала и прилегающего к нему ОМ для вывода формулы значения потока воды в ДТ на левой границе (y= 0) ОМ

. (8)

Теперь выведем дифференциальное уравнение в частных производных гиперболического типа (5), описывающее пространственно-временное распределение потока воды вдоль дренажных труб. Уравнение движения сплошной среды по трубопроводу относительно потока жидкости Q записывается в виде:

, (9)

где Р - давление движущей среды; F - внешние массовые силы.

С учетом построений и обозначений, приведенных на рис. 1, дифференциальное уравнение (9), для переноса воды в ДТ, запишется в следующей форме:

.(10)

Алгоритм численного решения уравнения переноса воды в дренах. Нестационарное уравнение в частных производных (10) гиперболического типа, описывающее расход воды в дренах будем решать по экономичным, с вычислительной точки зрения, - разностным схемам бегущего счета [1]. Запишем дифференциальное уравнение в следующем виде:

, (11)

где ; .

C учетом знака Q > 0 разностная схема бегущего счета для дифференциального уравнения (11) запишется следующим образом:

, (12)

где m = 1, …, M; j = 0,…, k-1.

Умножая левую и правую часть разностного уравнения (12) на ф, приводя подобные члены, явно выразим искомую функцию Q_m^j+1:

; m = 1, …, M; j = 0,…, k-1, (13)

где .

Таким образом, присоединяя краевое условие на левой границе (8) к разностному уравнению (13), построенному по схемам бегущего счета, получен экономичный с вычислительной точки зрения алгоритм численного решения дифференциального уравнения (5), описывающего пространственно-временное распределение потока воды вдоль дренажных труб. Результаты численных расчетов УГВ с учетом дренажа. В качестве тестового примера расчета основных параметров ПС, включая расход воды в дренах, задавалась польдерная система, состоящая всего из одного проводящего канала, длиной 200 м (N=50) и шириной прилегающего к нему массива L2= 100 м (М=40). Шаг интегрирования по времени составлял 1800 с и в момент времени, когда уровень воды в канале достигал 2.2 м, насос выключался. Далее повышался до 2.25 м и насосная станция включалась (решались совместно система дифференциальных уравнений Сен-Венана для проводящего канала, двухмерное дифференциальное уравнение Буссинеска и дифференциальное уравнение переноса воды в дренах (10)), моделировалась закладка дрен диаметром d = 0.15 м на глубине р = 2.5 м перпендикулярно руслу канала. При этом междренное расстояние составляло 20 м и дрены закладывались по всей длине осушаемого массива (канала).

На рис. 2 а, b приведены результаты численных расчетов пространственно-временных зависимостей УГВ, уровня воды в проводящих каналах h и потоков воды в дренах Q, для которых время откладывается в часах, а расстояние в метрах. Укладка ДТ начиналась на расстоянии 12 м от русла канала в направлении координатной оси Y (рис. 2, а) через 20 м и всего их закладывалось 10 труб на глубину р = 2.5 м. При этом использовались следующие обозначения координат пространственных узлов, в которых приводятся соответствующие зависимости УГВ Н_х,у, по осям Х: 3-12 м, 5-20 м, 11-44 м, 13-52 м и по осям Y: 30-150 м, 15-75 м, 13-65 м, 3-15 м.

Рис. 2. Распределение уровня грунтовых вод вдоль осей Х (а) и У (b) для момента времени 50 ч

Из анализа рис. 2, a следует, что уровень грунтовых вод Н (сплошные линии) имеет одинаковые значения вдоль оси Х, определяемые постоянным уровнем воды в проводящем канале (штрих пунктирная прямая). При этом, амплитуда колебаний, обусловленная разностью значений УГВ над ДТ и между дренами, возрастает по мере удаления от русла канала, что связано с убыванием скорости движения воды вдоль ДТ и самотека в зависимости от удаленности от канала толщены почвы (рис. 2, b)

Изменение характера кривой уровня грунтовых вод вблизи канала (расстояние до канала порядка 20 м), по-видимому, объясняется совместным вкладом в осушение массива действием дрен и свободным стоком грунтовых вод.

Рис. 3. Распределение расхода воды в дренах Q вдоль осей Х (а) и У (b) для двух моментов времени 1 - 1 ч и 50 - 50 ч

Как следует из рис. 3-5, со временем величина потока воды Q вдоль ДТ возрастает при уменьшении (откачки) уровня воды в проводящем канале.

Рис. 4. Временная зависимость расхода воды для трех значений координат по Х и У: х₃=15 м, х₁₈=90 м, х₃₈=190 м (а) и у₃=12 м, у₅=20 м, у₁₀=40 м (b)

Так как уровень воды h одинаков вдоль проводящего канала, то и значения потока воды Q в дренах от координаты Х остаются постоянными (рис. 4, а). Зависимость потока воды Q от координаты Y по времени имеет ярко выраженную экспоненциальную убывающую зависимость по мере удаления от русла канала.

Временной ход потока воды в дренах Q, как и УГВ, полностью повторяет временную разверстку уровня воды hh в проводящем канале (рис. 5, нижняя кривая) и по мере удаления от канала сглаживается.

Отметим, что при выключенной насосной станции (hh = const, рис. 5) УГВ продолжает уменьшаться, но уже с другой интенсивностью, при убывающем потоке воды Q в ДТ (см. рис. 4), определяемым разностью уровней грунтовых вод и воды в канале (8), которая со временем убывает.

Рис. 5. Временная зависимость уровней воды в канале hh и грунтовых вод Н вдоль осей Х (а) и У (b) для трех значений координат

Увеличение междренного расстояния качественно меняет и временной ход уровневого режима воды в проводящем канале. Так, во втором случае совершено три цикла, а в первом неполный цикл (рис. 6) за время, равное 50 ч (на рис. 5 и 6 время процесса увеличено до 60 ч). При этом при работе 10 ДТ в ОМ насосная станция Q_Н =0.02 м³/с выключается при достижении уровня воды в канале hh = 2 м через 49 ч, а для 5 ДТ уменьшается до 29 ч, что обуславливается конкурирующими процессами откачки и наполнения проводящего канала водой с ОМ. Естественно, что пополнения проводящего канала в первом случае происходит интенсивнее, примерно в 1.7 раз (число ДТ в 2 раза больше).

Рис. 6. Распределение уровня грунтовых вод вдоль осей Х (а) и У (b) для момента времени 50 ч и пяти ДТ

Амплитуды УГВ на рис. 6 несколько больше, чем на рис. 2, что объясняется конечной скоростью фильтрации воды через грунт и при больших расстояниях между дренами нужно и большее время для понижения УГВ на одну и ту же величину. Пространственное распределение УГВ вдоль оси Y до середины ширины ОМ имеет линейную зависимость (закон Фарси), а затем преобразуется в экспоненциальную зависимость, что свидетельствует о недостаточности величины рассматриваемого промежутка времени.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект №06-01-00396.

вода экономический грунтовый осушаемый

Список использованных литературных источников

1. Графова Е.Н., Бобарыкин Н.Д. Математическое моделирование совершенных польдерных систем: монография. - Калининград: Изд-во КГТУ, 2009. - 229 с.

2. Бобарыкин Н.Д. Математическая модель польдерных систем и оптимальное управления уровнем грунтовых вод // Математическое моделирование (РАН). - 2005. - Т. 17. - № 7. - С.3-10.

3. Бобарыкин Н.Д., Латышев К.С. Моделирование движения воды в проводящих каналах польдерных систем // Математическое моделирование (РАН). - 2005. - Т. 17. - № 9. - С. 27-34.

Размещено на Allbest.ru