Математическая модель поиска деформируемых участков протяженных цилиндрических объектов в слоистой среде

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическая модель поиска деформируемых участков протяженных цилиндрических объектов в слоистой среде

Шамсутдинова Гульнара Ринатовна, лаборант

Викторов Сергей Владимирович, кандидат наук, доцент, доцент

Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета

В работе рассматривается математическая модель и решение обратной задачи поиска деформированных участков прямого цилиндра в трехслойном полупространстве методами электроразведки.

Мониторинг состояния протяженных объектов, например, продуктопроводов, которые в процессе эксплуатации могут быть подвержены деформации под воздействием явлений техногенного характера, является актуальной задачей. Применение эффективных электрических методов разведки позволяет достаточно точно исследовать геометрическую структуру исследуемого геологического разреза, содержащего проводящие электрический ток включения, оценить их размеры и форму. Возникающие теоретические задачи, которые заключаются в нахождении формы исследуемого включения, относятся к классу обратных задач геофизики.

Пусть в слоистом изотропном полупространстве, состоящем из трех плоско-параллельных горизонтальных слоев , , с удельными проводимостями , , соответственно, в слое содержится протяженное включение , цилиндрической формы. Ось цилиндрического включения расположена в плоскости xOy на расстоянии z = z_c, параллельно оси Ox. На участке цилиндр имеет деформацию (сдвиг вдоль оси Oy) (рис. 1). Решение задачи сводится к поиску параметров a и b, которые определяют участок искривления протяженного тела.

Обратная задача поиска параметров [a,b] протяженного включения заключается в поиске экстремали функционала А.Н. Тихонова вида [1]:

(1)

Рисунок 1. Цилиндрическое включение в трехслойном изотропном полупространстве

где S = S(a,b) функция параметрического описания поверхности деформированного на участке [a,b] цилиндра ; u^e (A,P) -- экспериментальные геофизические данные измерений, полученные на области E «дневной» поверхности, которые представляют собой значения, потенциала поля постоянного тока от точечного источника A в точке приемника ; u(A,P) -- модельное решение прямой задачи о поле точечного источника, которое представляется в виде следующий краевой задачи эллиптического типа [2]:

, при ; (2)

, , , при ; (3)

; (4)

; (5)

; (6)

, где i = 0,1; (7)

, где i = 0,1; (8)

при , где i = 0,1,c; (9)

где -- оператор Лапласа, -- функция Дирака, условие (4) определяет изолированность дневной поверхности, (5) и (6) -- условия непрерывности потенциала и плотности тока соответственно на границе поверхности S, (7) и (8) -- условия непрерывности потенциала и плотности тока соответственно на границах слоев z₁, z₂, (9) -- условие регулярности решения на бесконечности.

К задаче (2) и (9) применим метод интегральных представлений ее решения, который формируется на основе интегральных преобразований с построением функции Грина для вмещающего пространства [5].

Выбрав, в соответствии с методом, в качестве содержащей цилиндр среды трехслойное полупространство, построим для него математическую модель -- подзадачу для функции точечного источника (функции Грина ).

(10)

(11)

, где i = 0,1; (12)

, где i = 0,1; (13)

при (14)

В соответствии с применяемым методом выпишем интегральное представление решения прямой задачи и интегральное уравнение относительно неизвестных граничных значений потенциала на границе цилиндрического включения. Для этого рассмотрим следующую формулу:

Применим ее для областей , , , , получим формулу интегрального представления в обобщенном виде:

Предполагая, что источник находится в однородной среде, то есть , , :

(15)

Формула (15) -- это формула интегрального представления решения.

Чтобы найти значение потенциала на границе S, положим, что . Тогда , ,

. (16)

Формула (16) -- интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода относительно неизвестных граничных значений потенциала u(Q).

Таким образом, решение задачи определяется формулой (15), которая представляет собой определённый интеграл в случае вычисленных по формуле (16) значений u(Q) на границе S.

Предлагаемый в работе метод является универсальным методом понижения геометрической сложности исследуемой среды. С другой стороны, этот метод может быть использован также для поэтапного усложнения геометрии модели.

Для решения прямой задачи была реализована процедура для построения поверхности цилиндрического включения, соответствующего формулам параметрического описания цилиндра [7]:

, , :

где , S(x) -- функция сплайна для вычисления деформации протяженного цилиндрического включения на отрезке [a,b], который вычисляется по формуле:

, :

Рисунок 2. Направляющая цилиндра с деформацией

Для решения обратной задачи в работе [3] предлагается алгоритм поиска минимума функционала вариационного типа, реализованный методом конфигураций, ориентированным на поиск глобального минимума сильно-овражных функций [6]. При поиске локального включения варьируемыми параметрами является границы отрезка [a,b].

Для поиска решения обратной задачи и проведение вычислительного эксперимента было реализовано программное средство для случая однородного полупространства, а также представлены результаты решения [4]. Приведем сравнение результатов решения для однородной среды и для слоистой среды при равных значениях удельной проводимости , , , .

Задача вычислялась для следующих параметров:

· Источник находится в точке A(0,0,0);

· Приемник меняется по координатам x0 =0, xn = 20, y = 0, z = 0;

· Цилиндрическое включение находится в координатах x0 =-15, xn =15, y = 0, z = 0, деформация на участке

а = -5, b = 5, радиус включения R=1, проводимость .

Таблица 1. Данные обратной задачи

На таблице 1 представлены полученные результаты решения обратной задачи с помощью программного средства, где в 1 -- значения в однородной среде при , а в 2 -- значения в слоистой среде, при .

На рисунке отображается полученные в ходе решения обратной задачи: точный результат, результат на начальной итерации, результат на промежуточной итерации (50 итерация) и результат на конечной итерации (98 итерация).

геометрический математический геологический разведка

Рисунок 3. Результаты решения обратной задачи

Список литературы

1. Кризкий В.Н. Математическое моделирование потенциальных геоэлектрических полей / В.Н. Кризкий // Дисс.... д.ф.-м.н., Стерлитамак, 2004. - 360 c.

2. Кризский В.Н., Викторов С.В., Беляева М.Б. Математическое моделирование геоэлектрических полей в кусочно-однородных квазитрехмерных средах: Монография. - Стерлитамак: Стерлитамакский филиал БашГУ, 2015. - 110 с.

3. Кризкий В.Н. Определение границ квазитрехмерных локальных включений по данным геоэлектрических измерений // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2001. - Т. 8. - Вып. 2. - С. 620-621.

4. Кризкий В.Н. Математическое моделирование обратных задач потенциальных геоэлектрических полей в кусочно-однородных средах // Обратные задачи химии - Вып. 8 - Бирск: Бирск.гос.пед.ин-т, 2003. - С. 20-22.

5. Шамсутдинова Г. Р., Викторов С. В. Математическая модель поиска деформируемых участков протяженных цилиндрических объектов // Журнал Современная наука: Актуальные проблемы и пути их решения. № 1 (32). 2017. - С. 6-9

6. Беляева М.Б., Кризкий В.Н. Определение пространственной траектории скважины в кусочно-однородной среде по данным электроразведки. // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. XV Междунар. науч. конф.: В 10 т. - Т. 1. - Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2002. - С. 146-149.

7. Беляева М.Б. Математическое моделирование электрических полей в цилиндрических кусочно-однородных средах со сплайн-аппроксимацией границ / М.Б. Беляева //. Дисс.... к.ф.-м.н., Стерлитамак, 2007.

Размещено на Allbest.ru