Оптимальное управление внешним и внутренним долгом промышленного холдинга

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Специальность 05.13.01. -Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Оптимальное управление внешним и внутренним долгом промышленного холдинга

Трушин Юрий Викторович

Москва - 2008

Работа выполнена в Вычислительном центре им. А.А. Дородницына РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Дикусар Василий Васильевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Зубов Николай Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент

Бирюков Александр Гаврилович

Ведущая организация: Институт Проблем Управления Российской Академии Наук

Защита диссертации состоится 19 июня 2008 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д002.017.03 при Вычислительном Центре им. А.А. Дородницына РАН по адресу: 119991, г. Москва, ул. Вавилова, д. 42 в конференц-зале.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра им. А.А. Дородницына РАН

Автореферат разослан мая 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук Мухин А.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В Послании Президента России Федеральному Собранию РФ 16 мая 2003 года В.В.Путин отметил, что за десятилетие мы должны как минимум удвоить валовой внутренний продукт страны, при этом основное внимание должно быть уделено развитию промышленного производства.

Развитие промышленности невозможно без внутренних и внешних инвестиций. Отметим при этом, что долг государственных и частных промышленных предприятий - растет. Согласно данным, представленным Центральным банком РФ, внешний долг резидентов РФ составил на 1 апреля 2007 года 339,3 млрд долларов.

Активные действия представителей отечественной промышленности на финансовых рынках увеличивают их заимствования. Кроме того, быстрый рост данного сегмента внешнего долга РФ является следствием повышения кредитных рейтингов России и вызванного этим роста рейтингов отдельных предприятий.

Следует особо подчеркнуть, что внешний корпоративный долг формируется сравнительно небольшим числом крупнейших предприятий и банков. В настоящее время сложилось положение, когда ряд российских корпораций по объему своих долгов нерезидентам превысили пороговые значения экономической безопасности, разработанные для государства в целом (Маастрихтские соглашения). А ведь помимо долгов перед нерезидентами эти же корпорации имеют крупные долги перед российскими банками. Все это представляет угрозу экономической безопасности страны.

Все выше сказанное делает актуальной задачу разработки эффективных методов управления внешними и внутренними долгами промышленных предприятий.

Настоящая работа посвящена разработке методов численного и аналитического решения задачи оптимального управления (ОУ) (со смешанными ограничениями) долгом крупных промышленных предприятий. Предположение о линейности задач является существенным сужением применимости подхода к построению численных методов решения задач ОУ, однако оно не является значительным ограничением, т.к. многие задачи ОУ описываются линейными моделями. Задачи ОУ без смешанных ограничений решаются методом прогонки, но наличие смешанных ограничений коренным образом усложняет геометрию задачи и зачастую делает этот метод малоэффективным. Развитые к настоящему времени схемы решения задач ОУ либо используют некоторые предположения, вытекающие из их условий, таких как отсутствие фазовых ограничений или априорных предположениях о геометрии траектории оптимального управления, либо требуют других альтернативных подходов. Таким образом построение вычислительных схем (ВС) для решения указанного класса задач остается актуальным. Такая ВС включает: численное решение задачи, проверку истинности решения, нахождение аналитического решения.

Основная цель исследования состоит в разработке методологии решения линейных задач оптимального управления долгом промышленного холдинга для повышения эффективности работы предприятия.

Известно, что основными методами решения задач ОУ с фазовыми и смешанными ограничениями являются: прямые методы (спуск в пространстве управлений), метод вариации фазовых переменных; метод штрафных функций; метод приращения функционала; принцип максимума.

Теоретически наиболее проработанным методом решения задач ОУ является принцип максимума, но его практическое применение затруднено сложностью математического аппарата. Несмотря на то, что принцип максимума и сводит задачу ОУ к краевой задаче для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), наличие в краевых условиях связей типа равенств и неравенств значительно усложняет применение этого метода и требует, по крайней мере, решения задач:

- задачи Коши для систем ОДУ;

- задачи нелинейного программирования (для каждой расчетной точки );

- поиск нулей трансцендентных функций.

Информация, полученная при решении этих задач, определяет геометрию оптимальной траектории. Под последним мы понимаем зависимость от времени множества индексов активных ограничений.

Другими существенными затруднениями при решении задач ОУ являются: неединственность множителей Лагранжа, возможное вырождение принципа максимума, проблема выбора момента схода оптимальной траектории с ограничения типа неравенств, нерегулярность принципа максимума (что приводит к появлению обобщенных функции в правой части сопряженных дифференциальных уравнений).

Таким образом, изучение комплекса вычислительных процедур и методик решения задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями на базе принципа максимума, является актуальной задачей.

Цель работы

Основной целью диссертации является:

изучение, применение и обосновании методик решения линейных задач ОУ со смешанными ограничениями для конкретной задачи оптимального управления долгом промышленного холдинга;

определение условий сходимости схем численного решения задач к точному решению исходной задачи.

В этой работе рассмотрены вопросы, возникающие при использовании конкретного алгоритма решения конкретных линейных задач ОУ с ограничениями общего вида. Используемый нами алгоритм сводит линейные задач ОУ к конечномерным задачам ЛП с последующим их решением при помощи временньй дискретизации. Одна из причин, понижающая надежность вычислений связана с недостаточной точностью компьютерных вычислений, т.к. размерность задач ЛП может достигать десятков тысяч.

В соответствии с целью исследования поставлены следующие задачи:

1. Разработка численно-аналитических схем решения линейных задач ОУ со смешанными ограничениями.

2. Обоснование двухуровневого алгоритма решения исходной линейной задачи ОУ, на первом уровне которого предлагается предварительная гипотеза о геометрии оптимальных траекторий, а на втором она проверяется с использованием принципа максимума или каким-либо иным методом.

3. Компьютерная реализация предлагаемых подходов и исследование их эффективности при решении конкретных задач.

4. Исследование способов повышения эффективности численных приближенных решений.

5. Анализ сходимости дискретной аппроксимации исходной задачи.

Методы исследования

Для решения задачи ОУ долгом предлагается двухуровневая схема решения, на нижнем уровне решается линейная задача ОУ со смешанными ограничениями, методами предварительной оценки оптимальной траектории с помощью программного пакета «Баланс-2», разработанного совместно МПО «Научный центр» и кафедрой высшей математики МФТИ. На втором этапе проверяются условия оптимальности полученного численного решения с использованием принципа максимума, строится аналитическое решение. Эта двухуровневая схема позволяет свести построение аналитического решения к решению задачи на нахождение условного экстремума функции нескольких переменных традиционным аппаратом математического анализа и дать один метод построения допустимых траекторий основанный на вариациях функционала по временам переключений.

Научная новизна

Разработан новый двухуровневый алгоритм решения линейной задачи ОУ, на первом уровне которого предлагается предварительная гипотеза о геометрии оптимальных траекторий полученная методами предварительного численного анализа, а на втором этапе эта гипотеза проверяется с использованием принципа максимума. Показано также, что разработанный двухуровневый механизм решения задачи ОУ позволяет вычислить минимизируемый функционал в виде функции нескольких переменных от времен переключения. Эта функция является решением нескольких систем ОДУ, склеенных по непрерывности в точках переключений. Таким образом, все начальные условия исходной задачи являются параметрами построенной функции. Краевые условия задачи ОУ типа равенства в конечной точке представляются в виде функций переключений и рассматриваются как условия связи, а сама задача ОУ интерпретируется как задача на условный экстремум функции многих переменных, которая решается стандартным образом с использованием классической функции Лагранжа. Рассмотренная схема была апробирована при решении задачи управления внешним долгом. На основе этого метода также предложен метод построения допустимых траекторий при помощи вариаций времен переключений.

Разработана также методика численного решения систем ОДУ, позволяющая вводить для разнотемповых процессов свое дискретное время (предложено к изучению Дикусаром В.В), исследован один подход явного итеративного решения систем ОДУ, построены и изучены два монотонных оператора в конечномерных пространствах, дающих возможность обоснования сходимости итерационных процессов численного решения задач ЛП и СЛАУ большой размерности и изучены численные реализации решений этих задач, основанные на методе монотонного штрафа.

Обоснованность научных положений

Теоретические положения и выводы диссертации сформулированы в виде утверждений и теорем, которые строго доказаны.

Практическая ценность

Модели, методы и алгоритмы, разработанные в исследовании, применялись для решения различных практических задач моделирования экономических процессов в Московском Физико-Техническом институте и в Вычислительном Центре РАН. Также результаты работы могут использоваться для качественного и численного анализа выбора оптимального управления внешним и внутренним долгом промышленного холдинга.

Апробация работ

Основные положения исследования докладывались и обсуждались на 46 (2003 г.), 48 (2005 г.), 49 (2006 г.) и 50 (2007 г.) научных конференциях МФТИ., на международной конференции Computer Algebra Systems in Teaching and Research, 4 International Workshop, CASTR 2007. Siedlce, Poland [111]. оптимальный управление аппроксимация долг

Личный вклад

Основные результаты исследования отражены в шестнадцати публикациях. Список работ приведен в конце автореферата. В совместных работах [5-16] автору принадлежат результаты в равных долях.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения и четырех глав. Основное содержание диссертации изложено на 156 страницах печатного текста. Список использованной литературы составляет 103 наименований

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Для решения линейной задачи ОУ со смешанными ограничениями предлагается двухуровневая схема решения задачи, на нижнем уровне которой решается линейная задача ОУ со смешанными ограничениями методами предварительной оценки оптимальной траектории, а на втором - дается построение аналитического решения. На первом уровне существенно используются методы численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ), систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и задачи линейного программирования (ЛП). Поэтому в работе уделено достаточно внимания разработке эффективных способов решения задач СОДУ, СЛАУ и ЛП, которым посвящены две последние главы диссертации.

Во «Введение» изложены обоснование предмета и цели исследования, обзор литературы по данному вопросу и основные результаты, выносимые на защиту, характеристика их научной новизны, практической значимости и апробации полученных результатов.

Во первой главе «Задачи оптимального управления при наличии ограничений общего вида» дается описание вариационных задач оптимального управления Понтрягина, Блисса-Больца (Майера, Лагранжа), каноническая задача Дубовицкого-Милютина. Эта глава носит обзорный характер.

Во второй главе «Задача оптимального управления внешним долгом» рассматриваются две постановки задачи оптимального управления внешним долгом (задача I и задача II). Они отличаются числом фазовых переменных, управляющих параметров фазовых и смешанных ограничений. Эти задачи были предложены для изучения научным руководителем Дикусаром В.В. При изучении задачи I было показано, что, используя априорные предположения о геометрии оптимальной траектории, полученные при приближенных вычислениях программой «Баланс 2», можно найти эти траектории, доказать их оптимальность методами принципа максимума Понтрягина. Оптимальность же решения задачи II была проверена стандартными методами математического анализа.

В первом параграфе этой главы рассматривалась постановка задачи I. Объектом исследования является модель двухсекторной открытой экономической системы на временном интервале , все переменные которой неотрицательны и нормированы на одного работника. Первый сектор производит сырье и продукцию первичной переработки, а второй -- продукцию конечного потребления (потребительские товары и фондообразующую продукцию для обоих секторов). Экономика считается открытой, т.е. система обменивается продукцией с окружающим миром. При этом объем экспорта второго сектора предполагается пренебрежительно малым по сравнению с объемом экспорта первого сектора и в модели не рассматривается.

Предполагается, что производственная функция каждого из секторов имеет постоянную отдачу от масштаба производства и что связь между фондовооруженностью труда , и его производительностью определяется в секторе функцией вида

(2.1)

где , удовлетворяют неоклассическим условиям

Динамика фондовооруженности в -м () секторе задана уравнением

(2.2)

где , -- коэффициенты амортизации; -- поток внешних инвестиций в 1-й сектор; -- поток фондообразующей продукции из второго сектора в первый; -- поток внешних инвестиций во 2-й сектор; -- поток фондообразующей продукции второго сектора, направленный на собственное развитие.

Уравнение баланса продукции для первого сектора имеет вид

(2.3)

Здесь -- поток экспорта первого сектора, а , -- потребление продукции первого сектора в соответствующих отраслях.

Балансовое уравнение для второго сектора задается равенством

(2.4)

где -- поток продукции, направленный на неинвестиционное потребление.

В рассматриваемой модели предполагается, что потоки экспорта и импорта определяют динамику внешнего долга. Пусть означает внешний долг в момент времени . Тогда

,(2.5)

где обозначает поток обслуживания внешнего долга; -- поток импорта потребительских товаров; коэффициент служит для сопоставления внутренних и внешних цен.

Предполагается, что поток потребления не может быть меньше некоторого минимального значения

(2.6)

Кроме того, уровень фондовооруженности во втором секторе не должен падать ниже некоторого критического уровня

(2.7)

Смысл ограничения (2.7) состоит в том, что падение фондовооруженности в этом секторе ниже указанного критического уровня означает деиндустриализацию государства и утрату технологической независимости.

Значение внешнего долга не может превышать некоторого порогового уровня, за которым следует финансовое банкротство страны

(2.8)

Начальное состояние системы известно

(2.9)

Задача : Рассматривается задача о минимизации внешнего долга при наличии ограничений (2.1)-- (2.9), т.е.

(2.10)

и заданных краевых условиях

(2.11)

В параграфе 2.1.1 изучается первое приближение задачи определяемое линейной задачей ОУ.

Найти x3 (T)>min x3 при следующих ограничениях.

Система линейных ОДУ:

Фазовые ограничения типа неравенств:

Смешанные ограничения типа равенств:

Ограничения на управляющие функции типа неравенств:

Начальные и краевые условиями:

В §2.1.2 рассматривается задача со свободным правым концом без учета фазовых ограничений типа неравенство и снятие фазовых ограничений типа равенство. В том параграфе снимается ограничение типа равенства . Его можно снять двумя различными способами (2.21) или (2.22).

В §2.1.3 смешанное ограничение снималось равенством (3.21).

В §2.1.4 смешанное ограничение снималось равенством (2.22).

В §§2.1.3-2.1.4 изучается вид решения прямой и сопряженной задачи ОУ в зависимости от параметров задачи.

В §2.1.5 дается реализация численного решения основной системы с некоторыми фиксированными параметрами задачи.

В §2.1.6 при помощи метода предварительной оценки оптимальной траектории программным пакетом «Баланс-2» получено дискретное приближение для решения задачи управления внешним долгом с конкретными числовыми значениями параметров модели, формулируются гипотезы о геометрии оптимального процесса, находятся его характеристики и доказывается его оптимальность.

В §2.1.7 дается заключение по изучению задачи I.

В §2.2.1 дается постановка задачи II (динамическая модель обслуживания внешнего государственного долга). Для приближенной линейной постановки задачи ОУ имеем систему линейных ДУ:

с фазовыми ограничения типа неравенств:

смешанными ограничениями типа неравенств:

ограничениями на управляющие функции типа неравенств:

начальными и краевыми условиями:

,

и целевую функцию: .

В §2.2.2 дается решение задачи II методами классического математического анализа. В этом параграфе построено аналитическое решение исследуемой задачи как функция времен переключений, вычислен минимизируемый функционал и краевые условия как функция тех же параметров. В этой задаче было четыре точки переключения , поэтому мы вычислили функцию , два условия связи , и исследовали эту функцию на условный экстремум.

В этом параграфе найдены стационарные точки безусловного экстремума функции , одна из которых оказалась седловой точкой, а другая точкой локального минимума. Эти результаты были получены с привлечением математического пакета MAPLE.

Здесь же приводится аналитическое решение этой задачи, взятое из диссертации Д.А. Чекарева, которые совпадают с полученными в этом параграфе вычислениями.

В §2.2.3 на основе исследований проведенных в §2.2.2 предложен метод вариации минимизируемого функционала по временам переключений. При изучении задачи II был проделан следующий численный эксперимент. В поставленной задаче мы изменили краевые условия при , а именно закрепили первое условие , а для второго условия предположили, что .

Таким образом, условие равенства заменили условием неравенства. Вычисленная в предыдущем параграфе траектория является допустимой для предложенного случая. Путем некоторых вариаций времен переключений можно получить другие траектории. При этих вариациях мы будем стараться сохранять первое условие, и идти в направлении увеличения и уменьшения . В результате этих вычислений получены другие допустимые (в новой постановке) траектории с меньшим функционалом .

В третьей главе «Явные вычислительные схемы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений» приведены в основном результаты посвященные изучению некоторых итерационных процессов предназначенных для решения систем ОДУ, доказательство их сходимости с оценкой скорости сходимости.

В начале главы дается небольшое описание классических методов численного решения задачи Коши для систем ОДУ. В §3.1 приведены обозначения и некоторые вспомогательные результаты, в §3.2 изучаются некоторые итерационные процессы (ИП) для систем ОДУ. Для задачи Коши системы ОДУ с постоянными коэффициентами и симметричной матрицей: , , , предлагается ИП: . Обозначим ,, - собственные числа матрицы . Доказана теорема о скорости сходимости ИП при различных соотношениях между собственными числами. Приведем формулировку этого результата:

Теорема 3.1. Последовательность , , , последовательных приближений (ИП1) сходится по норме к решению задачи Коши с оценкой скорости сходимости

,

где произвольная, непрерывная на функция, при следующих дополнительных ограничениях:

, ,

1.1), ,

ограничения на соотношение между и нет;

1.2), , ;

1.3), , ;

2), , ,

2.1),

, ;

2.2), , ;

2.3), ,

;

3), ,

3.1), ,

;

3.2), , ;

3.3), , .

Аналогично изучаются случаи с несимметричной диагонализуемой матрицей и с непрерывной правой частью, удовлетворяющей условию Липшица , в этом случае изучается несколько типов ИП:

.

Для них доказываются теоремы аналогичные теореме 3.1 о скорости сходимости ИП в нормах и .

В §3.3 вводятся и изучаются последовательности согласованных ИП, в §3.4 исследуется связь интегральных и разностных ИП, здесь же вычисляется оценка погрешности перехода от интегрального к разностному ИП, в §3.5 дается программная реализация ИП, а в §3.6 приведены результаты вычислений. §3.7 посвящен изучению одной явной схемы интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений в задачах с большим параметром, здесь предложена методика численного решения, систем ОДУ, позволяющая вводить для разнотемповых процессов свое дискретное время для каждого уравнения системы. В §3.8 даны доказательства теорем, сформулированных в §3.2.

В четвертой главе «Методы решения систем линейных алгебраических уравнений и задачи линейного программирования, основанные на теории операторов монотонного типа» построены два монотонных оператора, которые можно использовать в качестве операторов штрафа при построении итерационных методов решения СЛАУ и задач ЛП. Глава содержит 5 параграфов - краткое описание классических методов; о решении вариационных неравенств в ; о сходимости одной итерации; построение монотонного коэрцитивного оператора, ядром которого является симплекс и решение с его помощью задачи линейного программирования; сведение задачи нахождения решения СЛАУ к решению ВН.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Разработана новая методика решения линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями, численного решения систем ОДУ, задач ЛП и СЛАУ большой размерности и изучены численные реализации решений этих задач.

Данная методика позволяют получить численное решение задачи ОУ, и, при необходимости, проверить его аналитически.

На основе предложенного подхода:

1) создана двухуровневая методика численного решения линейных параметрических задач ОУ со смешанными ограничениями (смешанные ограничения типа равенств изучались в случае исключения этих ограничений с уменьшением размерности вектора управлений), данная методика позволяют получить не только численное решение задачи ОУ, но и, при необходимости, проверить его аналитически;

2) исследована линейная модель оптимального управления внешним долгом;

3) проведен численный анализ модели, показавший эффективность предложенного подхода;

4) изучен способ решения задачи ОУ позволяющий вычислить и исследовать минимизируемый функционал в виде функции нескольких переменных от времен переключения;

5) построены итерационные процессы решения систем ОДУ, задач ЛП и СЛАУ большой размерности и изучены численные реализации решений этих задач.

Размещено на Allbest.ru

...